Введение к работе
Актуальность. В настоящее время интерес к механике связанных полей постоянно возрастает, что обусловлено, прежде всего, расширением сферы применения эффекта взаимодействия между полями самой различной природы. В частности, на протяжении многих лет особое внимание уделяется пьезоэлектрическому эффекту. Это связано с широким применением технических устройств, работа которых основана на взаимодействии механических и электрических полей в пьезоактивных материалах.
Наряду со ставшими уже традиционными областями науки и техники, в которых активно используется пьезоэффект (излучатели и приемники звука в гидроакустике, пьезотрансформаторы, устройства для ультразвуковых томографов, различные измерительные устройства), необходимо отметить относительно новые области. Так, например, в конструкциях микроволновых двигателей в последнее время часто применяются керамические пьезоприводы, началось довольно широкое исследование задач по моделированию конструкций с использованием пьезоэлектрических и пьезокерамических устройств с целью погашения нежелательных колебаний. Такие задачи находят свое применение в авиации для подавления колебаний авиационной панели, гашении колебаний конструкций газотурбинных двигателей на критических скоростях.
Большинство современных технических устройств, использующих пьезоэффект, создаются на базе многослойных элементов, а в качестве пьезоэлектрического материала все чаще применяется пьезокерамика. Это связано с тем, что такие устройства обладают повышенной чувствительностью и температурной стабильностью, высокой эффективностью преобразования электрической энергии в механическую, низкой себестоимостью и простотой конструкции. Тем не менее, задачи о колебаниях слоистых электроупругих сред изучены еще недостаточно.
Задачи со смешанными граничными условиями традиционно считаются наиболее интересными и в то же время являются трудными для моделирования и решения. Постановка смешанных задач для электроупругих сред базируется на
классической формулировке смешанных граничных условий для переменных механического поля, дополненных смешанными граничными условиями для электрических составляющих. Также к задачам со смешанными граничными условиями относятся задачи, предметом которых являются пьезоэлектрические слоистые тела, содержащие внутренние электроды. Тогда на границе электродированной и неэлектродированной частей основные электрические характеристики терпят разрыв.
Целью исследования настоящей диссертационной работы является изучение и построение математических моделей колебаний многослойных полуограниченных электроупругих сред, содержащих системы поверхностных и внутренних электродов.
Методика исследований. Использованные в работе методы опираются на классические положения теории электроупругости и формулировки краевых задач. В ходе исследования использовались интегральные преобразования Фурье, общие методы изучения систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка и систем обыкновенных дифференциальных уравнений, аналитические методы построения матриц-символов Грина для многослойных сред, методы теории функции комплексного переменного. Решения полученных интегральных уравнений смешанных задач строились методом фиктивного поглощения.
Научная новизна заключается в том, что в работе построены решения электромеханических задач для слоистых электроупругих сред с системами поверхностных и внутренних электродов; получены матрично-функциональные соотношения, связывающие основные динамические характеристики, и на их основе построены системы интегральных уравнений динамических смешанных задач для многослойных электроупругих сред, содержащих внутренние электроды. Для задачи о сдвиговых колебаниях двухслойной электроупругой среды при наличии на стыке слоев внутреннего электрода построено решение интегрального уравнения методом фиктивного поглощения; получено аналитическое представление элементов блочной матрицы-символа Грина для
слоистой электроупругой среды в виде отношения целых функций; построено решение антиплоской задачи в случае непроводящей поверхности; исследованы дисперсионные свойства элементов матрицы-символа Грина; проведен численный анализ решения интегрального уравнения динамической задачи о сдвиговых колебаниях пьезоактивной среды, содержащей внутренний электрод.
Практическая значимость заключается в возможности применения результатов работы в различных областях современной науки и техники. Например, в таких, как авиастроение, медицина, измерительное приборостроение, геофизика, акустоэлектроника и многих других. Разработанные модели и методы исследования могут быть использованы при проектировании различных пьезоэлектрических преобразователей, при создании материалов с заранее заданными свойствами.
Достоверность полученных в работе результатов обеспечивается строгостью используемых методов решения, адекватностью построенных математических моделей, сравнением с простыми примерами, допускающими аналитическое представление.
Работа выполнялась в рамках ряда государственных научно-технических программ и имела поддержку научных фондов, что также указывает на ее актуальность и практическую значимость, в том числе:
Российский фонд фундаментальных исследований, грант «Динамика множественных дефектов в сварных соединениях конструкций и материалов», проект № 08-08-00144, 2008-2010 гг.
Российский фонд фундаментальных исследований и Администрация Краснодарского края, грант «Механика связанных полей в элементах конструкций и материалах акустоэлектроники», проект №09-01-96501, 2009-2011 гг.
Программа Президента РФ «Развитие научного потенциала ВШ», грант НШ-22298.2008.1.
Публикации. Результаты выполненных по теме диссертации исследований содержатся в 12 публикациях, в том числе в 3 статьях, которые
были опубликованы в изданиях, рекомендуемых ВАК. В работах, выполненных в соавторстве, автору диссертации принадлежит построение матрично-функциональных соотношений для слоистых пьезоэлектриков с электродными структурами, разработка и численная реализация методов, проведение вычислений и анализ полученных результатов.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на ряде конференций и семинаров: II Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, 2007 г.); XXVI Российской школе по проблемам науки и технологий; XXXVII Уральском семинаре по механике и процессам управления, посвященному 150-летию К.Э. Циолковского, 100-летию СП. Королева и 60-летию Государственного ракетного центра «КБ им. академика В.П.Макеева»; XXXVIII Уральском семинаре по механике и процессам управления (г. Миасс, 2006, 2007, 2008 гг.); V и VI Всероссийских научных конференциях молодых ученых и студентов «Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах» (г. Анапа, 2008 - 2009 гг.); XII Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды» (г.Ростов-на-Дону, 2008 г.); IX объединенной научной конференции студентов и аспирантов факультета компьютерных технологий и прикладной математики КубГУ (г.Краснодар, 2009г.); Международной научно-практической конференции «Современные направления теоретических и прикладных исследований» (г. Одесса, 2009 г.). В полном объеме диссертация докладывалась на семинаре кафедры высоких технологий прогноза и предупреждения ЧС Кубанского государственного университета.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы и трех приложений. Работа содержит 141 страницу, в том числе 14 страниц списка использованной литературы и 41 страницу приложений. Список использованной литературы включает 138 наименований.