Содержание к диссертации
Введение
1. Краевые задачи для многослойных упругих волноводов и фононных кристаллов с отслоениями 19
1.1. Уравнения движения, граничные и начальные условия 19
1.2. Математическая постановка задач 27
1.3. Общая схема решения задач об упругих колебаниях многослойных структур с отслоениями 29
1.4. Характеристики колебаний упругих структур с отслоениями 33
2. Распространение упругих волн в многослойных структурах при неидеальном контакте между слоями 39
2.1. Прохождение упругих волн через многослойный пакет 39
2.2. Распространение упругих волн в слоистом периодическом композите (фононном кристалле) 43
2.3. Матрицы Грина для многослойного упругого волновода 47
2.4. Особенности распространения бегущих волн при ослаблении адгезионных связей на интерфейсах 60
3. Возбуждение пьезоэлектрическими преобразователями упругих колебаний в волноводе с отслоениями 66
3.1. Динамика пьезоэлектрического преобразователя 66
3.2. Упрощённые модели и учёт особенностей динамического поведения пьезоэлектрических преобразователей 74
3.3. Гибридный подход для описания взаимодействия пьезоэлектрических преобразователей с волноводом 79
3.4. Анализ резонансных свойств системы актуатор-волновод 84
3.5. Эффекты локализации и резонансы при взаимодействии отслоившегося пьезоактутора с упругим волноводом 88
3.6. Экспериментальная верификация
4. Упругие колебания многослойных волноводов с одиночным отслоением 101
4.1. Метод решения краевых задач в случае отслоения произвольной формы 102
4.2. Метод решения краевых задач в случае прямоугольного отслоения 105
4.3. Метод решения краевых задач в случае кругового отслоения 109
4.4. Метод решения краевых задач в случае полосового отслоения 114
4.5. Анализ дифракционных и резонансных свойств отслоения на границе раздела двух сред 117
4.6. Дифракция волн Лэмба на отслоениях 125
4.7. Экспериментальное подтверждение эффекта локализации и захвата энергии в слое с отслоением 134
4.8. Резонансные эффекты в фононном кристалле с отслоением 143
5. Упругие колебания многослойных структур с системой отслоений 156
5.1. Метод решения краевых задач в случае системы отслоений 156
5.2. Резонансные колебания системы отслоений 164
5.3. Формирование запрещённых и разрешённых зон равномерно отстоящими отслоениями в слое 172
5.4. Резонансы, локализация энергии и её фокусировка в фононном кристалле с полосовыми отслоениями 176
6. Распределённые системы отслоений 181
6.1. Стохастическое распределение трещин 181
6.2. Эквивалентность пружинной модели и модели со стохастическим распределением микротрещин 189
6.3. Периодическая система отслоений 193
6.4. Резонансы и локализация колебаний в фононном кристалле с периодически расположенными отслоениями 197
6.5. Сравнительный анализ подходов к моделированию повреждённых интерфейсов 209
Заключение 217
Приложение 219
Литература
- Общая схема решения задач об упругих колебаниях многослойных структур с отслоениями
- Матрицы Грина для многослойного упругого волновода
- Гибридный подход для описания взаимодействия пьезоэлектрических преобразователей с волноводом
- Экспериментальное подтверждение эффекта локализации и захвата энергии в слое с отслоением
Введение к работе
Актуальность диссертационного исследования определяется необходимостью построения и развития математических моделей для описания волновых процессов в композитных материалах при наличии в них отслоений различных типов, а также при неидеальном контакте и ослаблении адгезионных связей на интерфейсах. Создание таких моделей необходимо для идентификации отслоений в многослойных структурах средствами ультразвукового неразрушающего контроля.
Основной целью диссертационной работы является теоретическое и экспериментальное исследование дифракционных, резонансных и локализационных явлений в многослойных упругих волноводах с отслоениями различного типа, а также разработка соответствующих механико-математических моделей, их реализация в виде комплексов компьютерных программ и экспериментальная верификация.
В задачи диссертационного исследования входят:
-
разработка подходов и методов, позволяющих описывать и анализировать дифракцию упругих волн на одиночных, множественных, стохастически и периодически распределённых отслоениях различных форм в многослойных упругих волноводах;
-
разработка эффективных математических и компьютерных моделей, описывающих распространение упругих волн в многослойных структурах с учётом неидеального контакта между слоями;
-
экспериментальная верификация разработанных моделей;
-
исследование дифракционных явлений, возникающих при рассеянии упругих волн на отслоениях, в особенности резонансных эффектов, а также связанных с ними явлений локализации и захвата энергии.
Методы исследования. Для описания волновых полей в многослойных структурах, возбуждаемых нагрузками, и полей, рассеянных неоднородностями, используется интегральный подход, основанный на применении интегральных преобразований и интегральных представлений волновых полей с помощью матриц Грина. Распространение плоских волн в слоистых волноводах описывается с помощью матриц переноса. Действие пьезоактуаторов моделируется МКЭ ВПТ или с применением упрощённой модели pin-force. Для определения рассеиваемых на отслоениях полей применяется метод граничных интегральных уравнений и метод Бубнова-Галёркина. В случае бесконечного набора препятствий для периодически расположенных отслоений используется теория Флоке, а для стохастически распределённого набора отслоений применяется техника усреднения по ансамблю.
Достоверность и обоснованность результатов исследования обеспечиваются корректностью постановок рассматриваемых краевых задач, применением строгих математических методов, сравнением результатов с данными, полученными экспериментально или иными методами, а также сопоставлением с известными результатами других авторов.
Научную новизну работы составляют следующие результаты:
-
на основе интегрального подхода и метода матриц переноса развиты методы решения краевых задач о распространении упругих волн в многослойных структурах с неидеальным контактом между слоями или при ослаблении адгезионных связей межслойного соединения;
-
исследовано резонансное взаимодействие пьезоэлектрических преобразователей с многослойными волноводами при наличии отслоений в области контакта;
-
модифицирован метод граничных интегральных уравнений и на его основе разработаны алгоритмы и компьютерные программы, реализующие численное решение задач дифракции упругих волн на системе отслоений в многослойных структурах с учётом неидеальности контакта между слоями;
-
разработаны подходы к моделированию повреждённых интерфейсов, предложены методы решения задач рассеяния упругих волн на периодически и стохастически распределённых системах отслоений в многослойных структурах, а также выполнена их компьютерная реализация;
-
определены соотношения, связывающие два подхода для описания динамического поведения интерфейса с ослабленными адгезионными связями: на основе использования граничных условий пружинного типа и стохастически распределённого набора трещин;
-
исследованы резонансные явления в фононных кристаллах с системой отслоений и продемонстрирована возможность фокусировки волновой энергии, изучены закономерности формирования запрещённых зон в случае дифракции на периодическом наборе трещин;
-
получено экспериментальное подтверждение эффекта захвата и локализации энергии в волноводе с трещиной на частотах, теоретически предсказанных в рамках развитой модели;
-
исследованы спектральные свойства задач дифракции на одиночных, множественных и распределённых отслоениях различной формы в многослойных волноводах;
-
исследовано формирование запрещённых и разрешённых зон путём периодической расстановки неоднородностей.
Теоретическая ценность и практическая значимость полученных результатов определяются возможностью их применения в неразрушающем ультразвуковом контроле и мониторинге структур и конструкций.
Части диссертационной работы были выполнены при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (проекты 2.1.1/1231, 2.2.2.3.16084, 2.2.2.3/9070, 2.1.1/10643, 1.189.2014K, 11.9157.2014 и 9.743.2016), Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 06-01-96607, 07-01-00307, 11-01-90400, 11-01-96508, 12-01-00320, 12-01-90819, 12-01-31001, 12-01-33011, 13-01-96516, 13-01-96520, 14-08-00370, 16-51-53043, 16-41-230352), Совета по грантам Президента Российской Федерации (СП-248.2012.5 и СП-114.2015.5), Германской службы академических обменов DAAD (A/07/72548, A/09/72520, A1374048, 91547153) а также в рамках выполнения ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (проекты 14.740.11.0578 и 14.B37.21.0387).
На защиту выносятся:
-
результаты анализа свойств спектра и резонансных явлений для задач о взаимодействии протяжённых пьезоэлектрических преобразователей со слоистыми структурами при наличии отслоений в области контакта;
-
механико-математические модели, описывающие упругие колебания многослойного волновода с системами отслоений различных форм и типов с учётом ослабления адгезионных связей межслойных соединений или неидеальности контакта;
-
механико-математические модели, описывающие упругие колебания многослойного волновода со стохастическим и периодическим распределением полосовых и трёхмерных планарных отслоений;
-
соотношения, связывающие степень повреждённости интерфейса со значениями компонент матрицы жесткости граничных условий пружинного типа, описывающими неидеальный контакт в случае стохастического распределения микродефектов различной формы;
-
результаты исследования резонансных колебаний систем отслоений различного типа в многослойных волноводах;
-
результаты численного расчёта и анализа резонансных и локализационных явлений в фононных кристаллах с системой отслоений;
-
результаты экспериментальной верификации теоретически предсказанного эффекта локализации и захвата волновой энергии в слоистом волноводе с отслоением.
Публикации. Основное содержание и результаты диссертационных исследований отражены в 22 статьях, опубликованных в ведущих рецензируемых журналах, из них 16 в журналах, включенных в базы данных Scopus и Web of Science, и 6 в изданиях из перечня, утверждённого ВАК РФ. По итогам создания комплексов программ, реализующих механико-математические модели, было получено 13 свидетельств о государственной регистрации программы ЭВМ.
Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертации, докладывались в период с 2007 г. по 2016 г. более чем на 50 международных и всероссийских конференциях. В их числе: 79th Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Mechanics (г. Бремен, ФРГ, 2008 г.), 7th Solid Mechanics Conference EUROMECH (г. Лиссабон, Португалия, 2009 г.), Первая всероссийская конференция “Проблемы механики и акустики сред с микро- и наноструктурой” (г. Нижний Новгород, 2009 г.), International Conference Days on
Diffraction (г. Санкт-Петербург, 2010, 2012-2014 и 2016 гг.), XII-XVII Международные конференции “Современные проблемы механики сплошной среды” (г. Ростов-на-Дону, 2008-2014 гг.), 5th ECCOMAS Thematic Conference on Smart Structures and Materials (г. Саарбрюкен, ФРГ, 2011 г.), X Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (г. Нижний Новгород, 2011 г.), Акустический симпозиум “КОНСОНАНС” (г. Киев, Украина, 2011 и 2013 гг.), 3rd International conference on metamaterials, photonic crystals and plasmonics “МЕТА-2012” (г. Париж, Франция, 2012 г.), 14th International Conference on Mathematical methods in electromagnetic theory (г. Харьков, Украина, 2012 г.), IX международная научная конференция по гидроавиации “Гидроавиасалон-2012” (г. Геленджик, 2012 г.), 2nd International Conference on Phononic Crystals, Metamaterials, Phonon Transport and Optomechanics (Шарм-эль-Шейх, Египет, 2013 г.), Девятая Всероссийская научная конференция с международным участием “Математическое моделирование и краевые задачи” (г. Самара, 2013 г.), Second China-Russia Conference on Numerical Algebra with Applications (г. Ростов-на-Дону, 2013 г.), VII Всероссийская конференция по механике деформируемого твёрдого тела (г. Ростов-на-Дону, 2013 г.), VIII Российская научно-техническая конференция “Механика, ресурс и диагностика материалов и конструкций” (г. Екатеринбург, 2014 г.), Всероссийская школа-семинар “Математическое моделирование и биомеханика в современном университете” (пос. Дивноморское, 2011-2016 г.), VIII Всероссийская конференция по механике деформируемого твёрдого тела (г. Чебоксары, 2014 г.), The 11th European Conference on Non-Destructive Testing ECNDT 2014 (г. Прага, Чешская Республика, 2014 г.), International Conference on Physics and Mechanics of New Materials and Their Applications PHENMA-2015 (г. Азов, 2015 г.), 3rd International Conference on Phononic Crystals, Metamaterials, Phonon Transport and Phonon Coupling (г. Париж, Франция, 2015 г.), XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (г. Казань, 2015 г.), 8th European Workshop On Structural Health Monitoring EWSHM (г. Бильбао, Испания, 2016 г.).
Структура и объём работы. Диссертационная работа общим объёмом 240 страниц имеет следующую структуру: введение, шесть глав, заключение, приложение и список литературы, включающий 213 источников. Работа содержит 128 рисунков и 6 таблиц.
Общая схема решения задач об упругих колебаниях многослойных структур с отслоениями
Линейность задачи позволяет представлять поле перемещений и в волноводе с отслоением в виде суперпозиции волнового поля um, падающего на отслоения, и отражённого дефектами волнового поля usc n = nin + nsc. (1.23)
Это даёт возможность сначала строить um, а затем определять рассеянное поле таким образом, чтобы удовлетворить граничным условиям. Решение исходной нестационарной задачи с граничными условиями вида (1.5) или (1.6), в которых присутствует временная зависимость, задающаяся множителем pit), представляется как обратное преобразование Лапласа и(х, t) = С-Х{и{х, ш)Р(ш)} = -L Г и(х, ш)Р(ш) e- dw, (1.24) гармонического решения и(х,и). Здесь P(UJ) = {p(t)}, а контур интегрирования Г в комплексной плоскости частоты и для многослойных структур можно почти всюду совместить с вещественной осью [28]. Исключения составляют особые точки и{х,ш).
Изучение установившихся относительно положения равновесия гармонических колебаний может быть рассмотрено как необходимый этап построения решения нестационарной задачи. При этом зависимость от времени вектора перемещений и имеет вид u(x,t) = Re[u(x,uj)e- }. Здесь и(х,и) - комплексная амплитуда перемещений при гармонических колебаниях с круговой частотой ш. В дальнейшем при описании гармонических колебаний, там где это возможно, для комплексной амплитуды прямое указание на зависимость от круговой частоты ш опущено. Введение комплексных амплитуд удобно тем, что они описывают одновременно амплитуду и сдвиг фазы. Таким образом, в случае гармонических колебаний решается задача относительно комплексных амплитуд, которые умножаются на ехр(—iojt), а затем берётся вещественная часть получившегося выражения [28]. Учёт внутреннего трения, связанного с появлением в среде вязкости, пропорциональной скорости перемещения частиц, даёт дополнительный член —Scjdu/dt в уравнениях (1.1) или в случае гармонических колебаний дополнительное слагаемое ієшши. Следовательно, при гармонических колебаниях вид уравнений останется прежним, если ввести обозначение и2 := и2 + \ешш/р при Imw 0.
В случае полуограниченных тел, когда объём V включает бесконечно удалённые точки (полупространство, пакет слоёв), предположение об установившемся характере колебаний всего объёма приводит к неоднозначности, поэтому обычно единственность для полуограниченных тел обеспечивается дополнительными условиями, сужающими класс допустимых решений [75], которые формулируются в виде принципов излучения. В настоящей работе используется принцип предельного поглощения [28,75], согласно которому в качестве решения и(х,со) задачи для установившихся с частотой со гармонических колебаний полуограниченного идеально упругого тела берется равномерный предел единственного решения п(ж, ио+\ио) аналогичной задачи для среды с поглощением, удовлетворяющего на бесконечности нулевым условиям, при стремлении параметра внутреннего поглощения є или, что равнозначно со 0, к нулю: и(х, со) = lim и(х, со + ico). we- 0+0 Задача о плоских гармонических колебаниях и(хі,Хз,со), описываемых уравнениями (1.1), в плоскости х\Ох% упругого тела, которое неогра-ничено вдоль оси х\ может решаться путём применения интегрального преобразования Фурье Тхл по переменной хл: U(ahx:hсо) = Тх.{u(xh x:hco)} = [ u(xh ж3,со) eiaiXldXl. (1.25) — СЮ В этом случае применение прямого преобразования позволяет избавиться от производных по хі и свести задачу к обыкновенным дифференциальным уравнениям относительно образов функции U(aux3,u) с параметром преобразования Фурье аъ Построение решения ОДУ U(ahx co) с учётом зависимости от а\ позволяет получить гармонической решение задачи в виде обратного (T l) преобразования Фурье оо и(хих3,ш) = F-l{U{al)Xi)uj)} = — [ U(ahx3,uj)e-la da. (1.26) v v 2тт —оо Для трёхмерных неограниченных вдоль осей х\ и х2 тел может быть применена та же самая схема построения решения, но уже с двукратным преобразованием Фурье ТХ1Х2 оо оо U(ai,a2,u)= J [ u(xhX2,x3,u)Jla+a dXldx2. —оо —оо
Вектор-функция U(aua2,u) аргументов аиа2 при каждой фиксированной частоте ш имеют счётное количество полюсов. Эти полюса соответствуют волновым числам бегущих мод, распространяющихся в волноводе. В свою очередь, после применения обратного преобразования Фурье строится комплекснозначная функция и(х,и), изучение особенностей которой в зависимости от частоты и позволяет не только значительно уменьшить численные затраты при вычислении обратного преобразования Лапласа, но и выделять отдельные волновые пакеты в виде полуаналитических представлений. Пары точек дискретного спектра иоп = Reujn + ilmwn и ujn = — Re(x n + і Im(х п являются полюсами и(х,со) и расположены в нижней полуплоскости Imw 0 симметрично относительно Re и = 0. Если выделены точки дискретного спектра шп, являющиеся полюсами и(х,и), то их вклад в нестационарное решение описывается слагаемыми un(x,t) = (2lmTesu(x,uj)\ е"Же ) е"Іт . (1.27) Чем ближе спектральная точка соп в плоскости комплексной частоты ш к вещественной оси Imw = 0, тем более выраженным будет вклад ип вследствие меньшего затухания. При этом можно оценить период колебаний как Т = 2ir/Reujn. Как правило, такие решения указывают на локализацию колебаний, связанную с неоднородностью волновода [113,117,148].
Матрицы Грина для многослойного упругого волновода
Подынтегральные функции в (2.16) и (2.46) имеют особенности в полюсах (k, которые являются решениями дисперсионных уравнений det АУ(±С М) = 0, det АЯ(±С М) = О или detA(±Cjfe(w)) = 0 в соответствии с тем рассматривается задача в декартовой или цилиндрической системе координат. Если известны значения (j и функции К±(а, z) не имеют точек ветвления, то вычисление интегральных представлений (2.46) для волновых полей в дальней от области приложения нагрузки q ir O) зоне может быть заменено суммой вычетов в полюсах С,к [177]. При этом необходимо предварительно перейти от полубесконечного контура Г+ к бесконечному контуру Г, получаемому с помощью поворота контура Г+ на 180 [28,75]. Возможность такого разворота обеспечивается представлением функции Бесселя в виде полусуммы функций Ханкеля Jm(ar) = Х- (н (аг) + Н%\аг)\ что, применяя лемму Жордана и замыкая контур в верхнюю полуплоскость в дальней от места приложения нагрузки зоне, позволяет свести вычисление (2.46) к сумме вычетов
Роль экспоненты, описывающей распространение нормальных мод, играют функции Ханкеля, имеющие при \аг\ 1 асимптотику Н$(аг) -с flei(ar-nm/2-n/4\ П рассмотрении интегральных представлений для перемещений в декартовой системе координат вида (2.31) также используется процедура разворота контура, так как интеграл по переменной 7 сводится к функции Бесселя [178]: 2тгіт Jm(r) = J0 е »?-" . В плоском случае для вычисления интегралов (2.28) достаточно замыкания контура в верхнюю или нижнюю полуплоскость в соответствии с убыванием подынтегральной функции, подробнее см. монографии [28,75]. Для решения дисперсионного уравнения используются асимптотики при близких к нулю частотах из работы [149], которые уточняются с помощью метода Мюллера. Полюса ±( ( х ) являются волновыми числами нормальных мод, которые контур Г обходит в соответствии с принципом предельного поглощения [28]. На практике, если положить и = UJ\ + iuj2, где х і,бо 2 Є R, тогда при х 2 = 0 вещественные положительные регулярные полюса следует обходить снизу, а отрицательные - сверху [75].
Для построения аналитического продолжения К.±(а\,а2, Жз, і) с вещественной оси ш\ Є Ш на комплексную плоскость ш = ш\ + і х 2 дела ется замена а = (Зш, тогда ((Зш) = л/иР(З2 — v ,п и неоднозначность возникает лишь при выборе ветвей радикалов оо2. Легко проверить, что К±(аі,а2,жз,а;і) = К а з,- ). Для волноводов конечной толщины матрица Грина К сц, а2, ж3, ui) - однозначная по а функция, а ш входит в неё лишь через радикалы 7п/. Однако изменение знака 7п/ не меняет вид функции, поэтому символ матрицы Грина К сц, а2, ж3, і) можно аналитически продолжить с вещественной оси во всю комплексную плоскость х , непрерывно изменяя при этом контуры интегрирования и избегая их пересечения полюсами (j .
В полупространстве могут распространяться объёмные волны и волны Рэлея (рэлеевский полюс (і). В упругом свободном многослойном волноводе имеет место пространственная дисперсия волн Лэмба, которая связана с наличием свободных от напряжений границ. Каждой частоте колебаний свободного слоя соответствует конечное число распространяющихся волн с вещественными волновыми числами и счётное количество затухающих волн с отличной от нуля мнимой частью волнового числа. Для характеристики волн в среде с дисперсией, используются понятия фазовой vph и групповой скоростей vgT волн. Фазовая скорость волны описывает скорость перемещения гребня гармонической волны, тогда как групповая скорость описывает скорость перемещения волнового пакета vph = w/C, vgT = duj/d(. Дисперсия называется нормальной, если vgT vph, и аномальной, если % ph [179]. Кроме того, существуют так называемые обратные волны (см. рисунок 2.7 при 5.8 соН 6.28), у которых противоположны направления фазовой и групповой скоростей, связь между которыми задаётся формулой Рэлея uH/V12 10 0 (йН/О12 10
Дисперсионные характеристики для свободного слоя из алюминия: волновые числа (k (а), групповые скорости vgT (б) Дисперсия в однородном упругом слое качественно зависит лишь от коэффициента Пуассона и. Вне зависимости от v в упругом свободном слое существуют симметричные Si и антисимметричные (ц нормальные моды, а также моды SHi. На рисунке 2.7 приведены дисперсионные характеристики (нормальные моды Si и сц) для слоя из алюминия, имеющего коэффициент Пуассона v = 0.33. Моды so и 2о являются распространяющимися при любых значениях иоН. На частоте отсечки шН = тг распространяющейся модой становится а\.
Гибридный подход для описания взаимодействия пьезоэлектрических преобразователей с волноводом
На практике для описания взаимодействия пьезоактуаторов с подложкой широко применяются shear-lag и pin-force модели [7]. Эти модели позволяют достаточно точно описывать генерируемые волновые поля в случае тонких пьезоактуаторов для низких частот и однородной подложки. Если рассматривается задача о воздействии на упругий слой полосового актуато-ра толщиной h& и шириной w& с клеевой прослойкой толщиной /ib и модулем сдвига /ІЬ, геометрия которой приведена на рисунке 3.4, то может использоваться модель shear-lag. В монографии [7] было показано, что соединительный клеевая прослойка передаёт в упругий слой сдвиговое воздействие, генерируемое актуатором. Соответственно, в векторе нагрузки отсутствуют нормальные напряжения, а сдвиговая компонента выражается согласно формуле [7, с. 419]
Здесь нижний индекс а соответствует актуатору Eh vx - модуль Юнга и коэффициент Пуассона слоя, Я - толщина слоя. Величина eISA связана с деформациями, возникающими в актуаторе при разности потенциалов Аф = ф 2 — ф\, которые можно выразить через элемент тензора пьезоэлектрических постоянных б/зі и толщину актуатора /га [7, с. 398]:
Моделировать тонкую клеевую прослойку можно также с помощью граничных условий пружинного типа (1.7) [144].
При очень тонких прослойках модель shear-lag предельным переходом (hh _ о) может быть преобразована в модель pin-force. В рамках модели pin-force действие актуатора сконцентрировано в окрестности его краёв [7] в виде сдвиговых нагрузок [7] Т(Х1) = rfOzi; 0, wa) = та{(жі - w ) - 6(хг), 0, 0}т. (3.29) Важно отметить, что коэффициент аа зависит от напряжений, деформаций и перемещений в слое. В задачах статики аа = 4, в динамических задачах с высокими частотами колебаний реакция слоя приводит к более сложным функциям напряжений и перемещений, поэтому значение коэффициента аа зависит от частоты и свойств волновода и требует пересчёта [7].
Типичный актуатор, используемый на практике для задач мониторинга, приведен на рисунке 3.5. Он состоит из тонкой пьезокерамической пластины и металлических электродов, нанесённых на её верхнюю и нижнюю грани. При этом нижний электрод загнут и частично выведен на дневную поверхность. Такая конфигурация удобна для установки актуатора но ведёт к сложной волновой картине при возбуждении им колебаний и, следовательно, к необходимости учитывать ориентацию актуатора. На низких частотах и при малой толщине актуатора по отношению к толщине слоя его воздействие может быть описано на основе pin-force модели.
Рассматриваемый круговой пьезоактуатор имеет толщину /га и ограничен двумя поверхностями Si = {х2 + х\ Q Х:І = Н} и 5 2 = {х2 + х\ 2,Жз = Н + /га} радиуса д&. Один из металлических электродов занимает всю нижнюю поверхность S\ и имеет загнутую часть, которая состоит из боковой
Здесь qm - интенсивности сил, а точки (а1п) а2, Н) расположены равномерно вдоль контура С, учитывающего границы электродов, соответствующие областям возбуждения волн Лэмба. Выбор контура С и мощностей qn может быть сделан из решения связанной задачи или на основе экспериментальных данных.
Далее всюду в качестве подложки использовалась алюминиевая пластина толщиной Н = 1.5 мм, и актуатор из пьезоэлектрического материала PIC 155, свойства этих материалов, используемых во всех экспериментах и расчётах, приведены в таблицах 7.1 и 7.2. Геометрические параметры кругового актуатора: да = 5 мм, д\ = 1.4 мм, д2 = 2.3 мм, д% = 4.1 мм, 270 270
Диаграммы направленности тахйзХр(г = 30 мм,0,О) Для кругового неосесимметричного актуатора, полученнвіе эксперименталвно Q4 = 4.7 мм, ha = 0.25 мм. На рисунке 3.6 для различных центральных частот представлены экспериментально полученные диаграммы излучения на расстоянии г = 30 мм от центра актуатора (ориентация 6 = 15). Можно видеть, что лишь на низких частотах диаграммы направленности почти симметричны, а с ростом частоты картина значительно усложняется. На более высоких частотах амплитуды колебаний в точках на направлениях, совпадающих с ориентацией (0 = 0), в несколько раз больше чем в ортогональных (в = 0 ± 90).
Для рассматриваемого актуатора с центром в точке (0,0, Н) была численно решена задача о минимизации разности скоростей перемещений \щ(г = 30,6) — йе р(г = 30), полученных экспериментально и с помощью модели, описанной в 3.2. Из решения задачи о минимизации могут быть оценены значения неизвестных интенсивностей qn, т = \,М. При этом значения qn предполагались равными вдоль контуров электродов, см. рисунки 3.5,3.7. В результате был определён контур С, который получается путём проецирования dSh 0S4 и dS5, где Sg = {(Xl - зsin )2 + (х2 - зcos )2 QI,X3 = H + К} П S2, о точки приложения сил У векторы действия сил X] Замена воздействия актуатора точечными нагрузками на плоскость ж з = Н. Вдоль первого контура qn « 1, а вдоль двух других контуров qn « 0.25. Данный факт может объяснён неоднородностью создаваемого в пьезоматериале электрического поля и соответственно неравномерными касательными силами вдоль контуров электродов. Схема, изображающая полученные векторы qmpn, лежащие в плоскости ж з = Н и ортогональные контуру С, приведена на рисунке 3.7.
Гибридная схема решения связанной задачи о взаимодействии пьезоэлектрического преобразователя с многослойной упругой подложкой основана на использовании двух методов. В 2.3 описан метод определения волновых полей в многослойном волноводе V при заданной поверхностной нагрузке q{xi), а в 3.1 — МКЭ ВПТ, позволяющий определять перемещения и электрический потенциал в пьезоэлектрическом теле, занимающем объём К, с заданной механической нагрузкой q(Xl). Таким образом, можно реализовать гибридную схему для составного тела, изображенного на рисунке 3.8. Для этого следует положить q(xi) неизвестной и определить область следующим образом: К = {0 хх w&, \х2\ ос, Я хг /га + Я}, то есть сделать сдвиг х? = х? + Я. упругий слой пьезоактуатор электрод область контакта
Экспериментальное подтверждение эффекта локализации и захвата энергии в слое с отслоением
На алюминиевую пластину 500 мм х 500 мм и толщиной 1 мм был приклеен прямоугольный пьезоактуатор размерами 70 ммхЮ ммх0.2 мм, см. рисунок 3.24. Для удобства введена декартова система координат в соответствии с предыдущими разделами: оси Ох\ и Ox i соответственно перпендикулярны и параллельны длинной стороне актуатора, а ось Ох?, перпендикулярна плоскости пластины, на которой закреплен актуатор. Измерения проводились вдоль середины актуатора Х2 = 0 при —200 Х\ 200 с обеих сторон пластины х? = {0, Н} с шагом 0.5 мм, на центральных частотах /о = 80 кГц и /о = 180 кГц. пластина пьезоактуатор электрод точки измерения
Под действием электрического импульса p{t) с заданной центральной частотой /о пьезоактуатор вызывает колебания, которые измеряются с помощью лазерного виброметра. В ходе проведения экспериментов на актуатор подавался электрический входной импульс p(t), который представляет собой Nc циклов косинуса, модулированных окном Ханна 2тг/оА г p(t) = -cos(27rf0t) 1 0 t NcT, Т = 1//о, (3.40) 2 Nc где /о – центральная частота. Оптимальное количество циклов Nc = 5 подбиралось исходя из длительности сигнала и скорости волн Лэмба с целью избежать дополнительных отражений от границ образца и в то же время чёткого выявления эффектов.
На рисунке 3.25 представлены скорости перемещений, измеренные на поверхности х? = 0 в точках х\ = Щ ± 25 и х\ = Щ ± 90, а также результаты, полученные с помощью пакета COMSOL, модели pin-force и гибридной модели. Модель точечных сил позволяет получить приемлемые результаты, однако локальные максимумы сигнала не всегда совпадают с максимумами модель pin-force
Скорости перемещений на поверхности пластины й3( ± 25,0,0, ) и й3( ± 90,0,0,4), рассчитанные и измеренные при центральной частоте /0 = 80 кГц, для идеального контакта актуатора с волноводом (яо;а = 0) экспериментального сигнала. Результаты расчётов в COMSOL содержат заниженные амплитуды скоростей перемещений пластины, но позволяют довольно точно моделировать динамику системы актуатора-слой. Наконец, скорости перемещений пластины, рассчитанные на основе связанной модели, хорошо совпадают со скоростями, зафиксированными лазерным виброметром в ходе эксперимента. Амплитуды скоростей перемещений пластины, рассчитанных с использованием полиномов Гаусса-Лежандра-Лобатто, примерно на 10% выше измеренных экспериментально, в то время как полиномы Чебышева позволяют получить решение, практически полностью совпадающее по амплитудам с экспериментальными данными.
Для экспериментальной верификации гибридной модели в случае отклеенного пьезоактуатора использовалась та же самая экспериментальная установка. Сначала прямоугольный пьезоэлектрический актуатор был приклеен только в области Sc = [f ,wa] мм, и недоклеен в области Sd = [0, f\ мм. При проведении эксперимента использовались следующие параметры образца: w& = 10 мм, h& = 0, 2 мм, Я = 1 мм, V2 = 10 В, области отслоения Sd = [0, 5] и контакта Sc = [5,10]. После измерения скоростей перемещений пластины, сгенерированных отслоившимся актуатором, он был полностью приклеен, и были проведены аналогичные измерения. Таким об разом, были получены данные для полностью приклеенного и частично отклеенного актуатора. Для дополнительного контроля было проведено два независимых эксперимента с одинаковой геометрией: было использовано две алюминиевые пластины одинаковых размеров и два одинаковых пьезо-актуатора одного производства.
Скорости перемещений на поверхности пластины й3(зл, 0, 0, ), измеренные при fn = 180 кГц для наполовину отклееного актуатора (ол = [0 a]) На рисунках 3.26-3.27 изображены линии уровня полей скоростей вертикальных перемещений поверхности пластины йз(жі,0,0,), измеренные экспериментально в точках х\ при Х2 = 0, Жз = 0. При этом различимы два волновых пакета, соответствующих распространению бегущих мод 2о и So. Волны Лэмба отражаются от краёв пластины, что усложняет волновую картину. Используя информацию, представленную на рисунках 3.27 и 3.26, можно выделить точки на оси Ох\, которые являются предпочтительными для дальнейшего анализа процессов возбуждения упругих волн Лэмба отслоившимся пьезоактуатором на основе экспериментальных данных. эксперимент гибридный метод (ГЛЛ) гибридный метод (ГЧЛ) Скорости перемещений на поверхности пластины й3(хі кГц, для наполовину измеренные и рассчитанные при центральной частоте /о отклееного актуатора (S i = [0, ]) ±108,0,0, ), полу На рисунке 3.28 приведены зависимости щ(х 2 ченные экспериментально и с помощью гибридного подхода в двух точках справа (хг = f + 108) и слева от актуатора (хг = f - 108). Можно видеть, что при хорошем совпадении времени прихода сигнала со стороны приклеенной части актуатора (справа), появляется некоторое расхождение во времени прихода сигнала со стороны отклеенной части актуатора (слева). Тем не менее, форма и амплитуда скоростей перемещений в точках xi = -f ± 108 имеют похожий вид. эксперимент
Скорости перемещений на поверхности пластины й3(хъ0,0,г = 0.1 мс), измеренные и рассчитанные при центральной частоте /0 = 80 кГц, для наполовину отклееного актуатора (Sd = [0, ])
На рисунке 3.29 представлено сравнение данных эксперимента с результатами моделирования на основе интегрального подхода и МКЭ ВПТ, с использованием двух различных интерполяционных полиномов: Гаусса-Лежандра-Лобатто и Гаусса-Чебышева-Лобатто. Можно видеть, что конкретный вид аппроксимирующих функций практически не влияет на полученное численное решение (изменяется только амплитуда). эксперимент гибридный метод (ГЛЛ) 0.5 гибридный метод (ГЧЛ) 0.
На более высоких частотах совпадение моделируемых значений с экс периментальными данными несколько хуже, что проиллюстрировано на рисунке 3.30, где представлены скорости перемещений точек поверхности пластины на частоте 180 кГц в момент времени t = 0.05 мс. По графикам, представленным в данной главе, можно сделать выводы, что разработанная двумерная математическая модель эффективно описывает динамическое взаимодействие пьезоактуатора с упругим волноводом при разной степени контакта на низких частотах