Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Спектральная математическая модель линейно-упругого тела 10
1.1. Традиционные способы описания упругих свойств 10
1.2. Закон Гука как линейное преобразование 21
1.3. Объемно-изотропное тело 28
1.4. Собственные значения оператора упругости и собственные состояния упругого ортотропного тела, обладающего объемной изотропией 30
1.5. Удельная потенциальная энергия деформации объемно-изотропных сред 43
1.6. Дополнительные соотношения между упругими постоянными
некоторых обьемно-изотропных материалов 48
Выводы по главе 1 56
Глава 2- Анизотропия упругих свойств текстурированных поликристаллических материалов с кубической симметрией структуры 57
2.1. Модель текстуриро ванной упругой ноли кристаллической среды 57
2.2. Точное решение задачи отыскания эффективных упругих характеристик для среды, допускающей инвариантное преобразование симметрии 71
2.3. Методы определения средних значений модулей упругости и коэффициентов податливости текстурированных поликристаллов с кубической симметрией структуры 83
2.4. Методы, позволяющие учитывать неоднородность напряжений и деформаций при определении эффективных упругих характеристик поликристаллов S7
2.5. Среднее геометрическое в задаче усреднения свойств текстурированной поли кристаллической среды с однородным модулем всестороннего сжатия 92
2.6. Формальная схема расчета эффективных упругих свойств текстурированных металлов 97
2.7. Анизотропия технических констант в поликристаллическом материале 105
2.8. Упругие модули ферритных сталей и технически чистого прокатанного железа 141
2.9. Независимые константы упругости и проблема исследования упругих свойств холоднотянутой проволоки 157
Выводы по главе 2. 159
Глава 3. Модели неупругого деформирования текстурированных поликристаллических сред 160
3.1 Теории пластического течения 160
3.2 Физические уравнения теории пластического течения. Пластическая анизотропия 171
3.3 Условные моменты первого порядка микроструктурных напряжений в текстурированном поликристалле 188
3.4 Моделирование упруго-пластической деформации поликристаллов с объемноцентрированной и гранецентрированной кубической решеткой 206
Выводы по главе 3 223
Глава 4. Упругие и предельные свойства объемно-изотропных композиционных материалов 224
4.1 Пространственно-армированные композиционные материалы 224
4.2 Модель 3D и 40-армированных композитов 226
4.3 Эффективные упругие модули пространственно-армированных композитов 233
4.4 Геометрические факторы, определяющие анизотропию физико-механиичеких свойств композитов 242
4.5 Указательные поверхности упругих модулей 3D и 4D-армированных композиционных материалов 254
4.6 Методы прогнозирования повреждения пространственно-армированных композитов 275
4.7 Условные моменты первого порядка микроструктурных напряжений объемно-изотропного композиционного материала 279
4.3 Структурно-феноменологический критерий повреждения объемно-изотропного композита 285
4.9 Моделирование схемы армирования макроскопически изотропного композита 294
Выводы по главе 4 296
Заключение 297
Библиографический список
- Собственные значения оператора упругости и собственные состояния упругого ортотропного тела, обладающего объемной изотропией
- Методы определения средних значений модулей упругости и коэффициентов податливости текстурированных поликристаллов с кубической симметрией структуры
- Условные моменты первого порядка микроструктурных напряжений в текстурированном поликристалле
- Геометрические факторы, определяющие анизотропию физико-механиичеких свойств композитов
Введение к работе
Одно из важнейших проявлений ускорения научно-технического прогресса, связано в значительной степени с повышением эффективности использования традиционных материалов: металлов и их сплавов, а іакже с необходимостью создания новых прогрессивных материалов, к которым в первую очередь относятся композиционные материалы. Во многих случаях реализация этой задачи возможна на основе оптимизации свойств структурно неоднородных материалов, т. е. материалов, представляющих собой микронеоднородные среды с размерами неоднородностей значительно меньшими характерных размеров образца или изделия. Основными областями применения таких материалов являются электроника, медицина, авиационное двигателестроение, а также автомобильная промышленность и
др.
Структурно неоднородные материалы могут состоять из одной, двух и более изотропных или анизотропных фазовых составляющих, разіраниченньїх поверхностями раздела и отличающихся своей пространственной ориентацией, формой, физико-механическими свойствами. Поведение и свойства микронеоднородных материалов "обусловлены сложным взаимодействием большого числа образующих структуру элементов, В силу малости элементов неоднородности и статистического характера их распределения в такой среде можно выделить так называемые представительные объемы, свойства которых одинаковы и соответствуют характеристикам всего материала. Следовательно, микронеоднородпую среду можно считать макроскопически однородной и характеризовать набором эффективных упругих или прочностных коэффициентов, связывающих усредненные по всему объему среды характеристики внешних полей напряжений и деформаций.
Для таких материалов, не действуют привычные корреляции между различными механическими характеристиками, они обладают анизотропией свойств, На практике состояние материала до сих пор описывают стандартными характеристиками механических испытаний, которые свидетельствуют о качестве материала. Однако для создания новых материалов, эффективной их обработки, оптимального использования в
;>
механических конструкциях, обеспечения высокой надежности этого недостаточно. Необходимо определение связи требуемых макроскопических характеристик с свойствами компонент и их пространственным распределением, умение воспроизводить заданные макроскопические свойства.
Большинство материалов, в том числе и пол икр металлических, обладают характерным строение решетки. При этом практически все используемые в промышленности металлы являются іекстурированньгми из-за термомеханического воздействия на их структуру в результате термической обработки, пластической деформации, рекристаллизации и т.д. Этим достигается управление многочисленными факторами, влияющими на результирующие характеристики металлов и сплавов. Оптимизация и управление этими факторами позволяет создавать материалы с наперед заданными свойствами, что дает возможность повысить качество изделий.
Набор эффективных характеристик микронеоднородных сред во многом определяет основные эксплуатационные свойства как природных, так и искусственных материалов. К числу последних следует отнести прежде всего композиционные материалы. Возможность изменения в широких пределах объемного содержания, формы, пространственного распределения, свойств различных компонент, составляющих композит, позволяет создавать вещества с необходимым набором служебных характеристик. Эта специфическая особенность композиционных материалов позволяет осуществлять их целенаправленное конструирование, и они находят все более широкое применение в различных отраслях промышленного производства.
Именно проблема определения эффективных упругих характеристик стала одной из фундаментальных задач механики деформируемого твердого тела и привлекает внимание большого числа исследователей. Несмотря на большое количество как оригинальных исследований, так и работ обзорного характера, обсуждаемую проблему нельзя считать окончательно решенной. При этом в некоторых случаях отсутствуют четкие ограничения области применимости предлагаемых соотношений. Кроме того, иногда привлекается неоправданно громоздкий математический аппарат, "Зачастую
выдвигаемые модели носят формальный математический характер с явным стремлением, главным образом, достигнуть наибольшей общности без учета обязательных требоианий о разумной простоте и эффективности в последующем использовании предлагаемых моделей'1 - Седов Л.И. [344, 345].
Модель поликристаллической среды с кристаллографической текстурой (металлы и их сплавы} является наиболее сложной в математическом описании моделью микронеоднородной среды со случайными локальными характеристиками физико-механических свойств. Поликристалл с кристаллографической текстурой явно анизотропный материал, поэтому методы, пригодные доя изотропных материалов, не подходят для описания свойств в данном случае. Методы изучения изотропных материалов часто формально переносятся па анизотропные, что не всегда оправдано. Широко используемые модели Закса, Ройсса, Тейлора, Фойгта не учитывают текстуру и анизотропию упругих свойств кристаллитов, которые оказывают существенное влияние на механические свойства анизотропного материала.
Существующие на сегодняшний день точные решения в проблеме отыскания эффективных модулей упругости микр он еод народных материалов получены для простейших структур: для сред, составленных из ортотропных слоев с произвольным распределением их по толщине [263, 382], и композиций изотропных фаз с одинаковыми модулями сдвига [36]. Естественно стремление найти и другие точные решения данной задачи. На примере известных точных решений видно, что частные предположения о симметрии приводят к уменьшению количества независимых упругих констант. Проблема сокращения числа упругих констант привлекала внимание еще во времена Грина, Стокса [269]. Но и до сих пор не прекратились попытки найти примеры материалов, допускающих снижение числа независимых упругих характеристик [81].
Наряду с определением эффективных упругих характеристик анизотропных микронеоднородных сред не менее важной является задача исследования их предельных свойств. При этом, несмотря на экспериментально наблюдаемую корреляцию анизотропии модуля
нормальной упругости и предела текучести [77, 124], традиционные методы прогнозирования не учитывают этого важного обстоятельства.
Предел упругости' элементов конструкций из металлов и сплавов в значительной степени определяется кристаллографической текстурой. Это обстоятельство стимулировало исследования текстуро образования в сплавах, а также развитие математических методов описания текстуры и методов расчета анизотропии физико-мехапических свойств текстурированпых поликристаллов. При оценке предельных свойств микронеодиородпых материалов используются два принципиально различных подхода: феноменологический и структурный. Феноменологический требует проведения большого количества испытаний материала при разных сочетаниях нагрузки. Структурные же модели лишены этой общности и касаются главным образом прогнозирования свойств при одноосных испытаниях. Представляет безусловный интерес сочетание феноменологическою и структурного подходов для описания предельных свойств микронеоднородных материалов.
В диссертационной работе для достаточно широкого класса объемно-изотропных структурно неоднородных сред, а именно текстурированных поликристаллов с однородным модулем всестороннего сжатия, а также 3D и 4D армированных композитов, решаются некоторые задачи их упругого и пластического деформирования, расширяющие возможности применения феноменологической теории и включающие информацию о текстуре поликристалла (преимущественной ориентации кристаллографических осей), надежно получаемую из эксперимента, либо информацию о вариантах армирования композиционного материала.
Цель работы заключается в исследовании закономерностей формирования анизотропии упругих и предельных свойств широкого класса объемно-изотропных структурно неоднородных упруго-пластических сред с использованием спектральных математических моделей.
Научная новизна работы заключается в следующем: 1. Разработана спектральная математическая модель анизотропной структурно неоднородной упруго-пластической среды.
Показано, что для некоторых микронеоднородных материалов наличие упругой симметрии макрообъема определяет лишь верхнюю границу для количества независимых констант упругости. Все дополнительные соотношения между макроконстантами упругости получены с использованием точных решений задач об определении упругих характеристик микронеоднородных сред.
Впервые найдено точное решение задачи об определении эффективных упругих характеристик поликристалла с однородным объемным модулем в случае двухкомпонентной текстуры, допускающей инвариантное преобразование симметрии при повороте системы на угол тг/4 в рамках двухуровневой трехмерной модели.
Разработана аналитическая схема расчета эффективных упругих свойств текстурированных поликристаллических материалов.
Предложены методы вычисления параметров армирования композиционных материалов.
На основе полученных аналитических соотношений для эффективных свойств проиллюстрирован независимый вклад упругой анизотропии монокристалла (компонент) и кристаллографической текстуры (пространственной ориентации компонент) в макроскопические свойства поликристаллов (композиционных материалов).
Для объемно-изотропных материалов разработана структурно-феноменологическая теория пластического течения.
С использованием физических уравнений пластического течения выполнено исследование текстурно-обусловленной симметрии пластической деформации и дан способ вычисления меры пластической анизотропии - коэффициента нормальной пластической анизотропии,
Проведено трехмерное аналитическое моделирование упруго-пластической деформации в макроскопически изотропных поликристаллах с объемноцентрированной и грансцентрированной кубической решеткой,
10.Дан метод расчета упругих и предельных характеристик объемно-изотропных композиционных материалов.
Достоверность полученных результатов обеспечена строгой математической постановкой задач, применением математически обоснованных методов решения, предельными переходами к известным частным случаям, сравнениями полученных решений с известными экспериментальными данными.
На защиту выносятся теоретические положения, связанные с разработкой новых спектральных математических моделей деформирования и повреждения текстурированпых структурно неоднородных сред, а также методов расчета их эффективных упругих и пластических характеристик и оценки возможной пластической анизотропии.
Практическая ценность работы состоит в создании теоретических основ создания регламентированной текстуры в металлах и сплавах, обеспечивающей необходимый уровень служебных характеристик полуфабрикатов и изделий. Результаты диссертационной работы могут быть использованы при оценке коэффициента нормальной пластической анизотропии, являющегося показателем способности материала к глубокой вытяжке и внесенного в европейский стандарт EN 10130 «Холоднокатаный лист из низкоуглеродистой стали для холодной штамповки». Предлагаемые алгоритмы оценки анизотропии эффективных свойств могут быть использованы при инженерных расчетах с применением современных математических пакетов, содержащих матричные операции без создания дополнительных программных надстроек для численной реализации тензорных преобразований.
Работа выполнялась на кафедре теоретической механики ГОУ ВПО «Уральского государственного технического университета-УПИ» в рамках исследований по г/б темам «Научные основы расчетов на прочность с учетом свойств, структуры материалов и различного характера внешних воздействий» и «Напряжения, деформации, разрушение структурно неоднородных тел при различных типах внешних воздействий».
Собственные значения оператора упругости и собственные состояния упругого ортотропного тела, обладающего объемной изотропией
Как было показано Я, Рыхлевским [333], упругое повеление анизотропной среды может быть рассмотрено в общем случае с помощью задания шести истинных модулей упругости, двенадцати безразмерных дистрибуторов жесткости, которые определяют базис из собственных упругих состояний, и трех неинвариантных параметров, задающих ориентацию тела относительно лабораторной системы координат. Количество независимых дистрибуторов и истинных модулей упругости определяется симметрией материала. Рассмотрим собственные значения оператора упругости и собственные состояния ортотропных материалов, обладающих объемной изотропией.
Ортотропное тело - тело, через каждую точку которого проходят три взаимно перпендикулярные плоскости упругой симметрии. Выберем параллельно этим плоскостям координатные плоскости, тогда упругие свойства при традиционном описании задаются девятью константами. При этом матрица модулей упругости в обозначениях Мехробади, Конина имеет вид:
Таким образом, для описания упругих свойств ортотропного тела, обладающего объемной изотропией необходимы все шесть истинных модулей упругости Кельвина-Рыхлевского, один безразмерный дистрибутор жесткости, а также три неинвариантных параметра, которые позволяют произвольным образом ориентировать описываемую систему координат в пространстве.
Аналогично определяются собственные значения для тел других классов симметрии. Из определителя (1А5) с учетом явного вида матрицы с XL для трансверсально-изотропного тела, обладающего объемной изотропией Как отмечено в [333] дистрибуторы жесткости могут быть заданы различными способами. Для примера в работе [333] дистрибутор жесткости является аргументом тригонометрических функций и выбирается таким образом, чтобы избежать радикалов. Дистрибутор жесткости % (0 2 2я) определяет ортогональное разложение осесимметричного собственного упругого состояния (рис. 1.4.2)
Тогда в рассматриваемом случае трансверсально-изотропного тела, обладающего свойством объемной изотропии, упругое поведение описывается четырьмя независимыми истинными модулями, а фигурирующий в представлении Я. Рыхлевского дистрибутор жесткости % является постоянной величиной Собственные значения Х\ уместно называть истинными модулями упругости Кельвина-Рыхлевского, так как еще в 1856 году в статье [95] Кельвин вводит собственные упругие состояния, называя их "the six principal strainypes of the body". Получить же структурные формулы с помощью существующих в то время математических средств он не мог. Рыхлевским предложено называть истинные модули упругости модулями Кельвина [334].
Один из них Х\ - утроенный модуль всестороннего сжатия, остальные модули сдвига при соответствующих собственных напряженно-деформированных состояниях. Модули упругости Кельвина-Рыхлевского однозначно определяют традиционные упругие константы.
Естественно ожидать как с математической, так и с физической точки зрения, что набор всех истинных модулей упругости и соответствующих им упругих состояний полностью раскрывает поведение упругого тела.
Для дальнейшего исследования неупругого поведения объемно-изотропных материалов рассмотрим различные способы представления энергии деформации.
Практически во всех фундаментальных трудах по теории упругости приводится упругая энергия деформации 2W (1.1.5) для изотропного тела с применением разложения тензоров напряжений или деформаций на шаровую и девиаторную части, что намного упрощает дальнейшее ее использование. При этом
С применением теории инвариантов Новожилов В.В. в работе [306] предлагает разнообразные способы представления удельной энергии деформации для изотропного материала. При этом к преимуществам предлагаемых разложений он относит простоту в обращении и механический смысл коэффициентов разложения. Ильюшин А.А. в работе [226] предложил приводить квадратичную форму, выражающую энергию изотропного тела через напряжения и деформации к главным осям, т.е. разбивать пространство напряжений на два собственных инвариантных подпространства. Эта идея получила свое развитие и в анизотропной теории упругости [115, 317]. В общем случае разложение удельной упругой энергии с выделением девиаторной части, отвечающей за предельные свойства материала получить до сих пор не удается. Но многие исследователи рассматривают разделение упругой энергии на составляющие в частных случаях упругой симметрии [86,321]. Далее показано, что для объемно-изотропных ортотропных сред удельная энергия деформаций всегда представима в виде суммы энергии изменения объема и изменения формы.
Методы определения средних значений модулей упругости и коэффициентов податливости текстурированных поликристаллов с кубической симметрией структуры
Наличие информации об упругих константах кристаллита, количество которых в общем случае анизотропии равно двадцати одному и снижается в зависимости от вида его симметрии, наводит на мысль получить упругие характеристики поликристалла простым усреднением. В предположении, что ориентация ячеек в поликристалле равновероятна и поликристалл, как любое изотропное тело, характеризуется двумя упругими константами, эта задача была решена сначала Фойггом в 1928г. [98] путем усреднения матрицы упругих модулей кристалла, а затем Ройсом в 1929г. [79] из усреднения обратной матрицы -матрицы коэффициентов податливости. Эти методы эквивалентны усреднению линейных инвариантов тензоров модулей упругости С и коэффициентов податливости S. Получаемые при этом значения средних коэффициентов не удовлетворяют необходимому условию взаимной обратимости соответствующих матриц (1.1.3).
Более детальное рассмотрение, выполненное Р. Хиллом в 1952г. [35], показало, что эти усреднения соответствуют предположениям об однородности деформаций в поликристалле в первом случае, и однородности напряжений - во втором, а получаемые значения объемного модуля и модуля сдвига поликристалла дают верхнюю и нижнюю вариационные границы для его эффективных свойств. Для квазиизотропного поликристалла эти границы не достигаются и получаемый интервал их возможных значений может бать достаточно широким в случае большой анизотропии упругих свойств кристаллитов. Хилл предложил определять эффективные упругие характеристики как среднее арифметическое значений, получаемых в приближениях Фойгта и Ройса.
Рассмотрим эти методы подробнее на примере ортотропного материала с кубической симметрией структуры.
Предполагая в поликристаллическом объекте однородность деформаций (Є 0) или напряжений (О = 0) из равенств (1.6.4) можно найти значения упругих констант в приближениях Фойгта (символ V) и Ройсса (символ R), соответствующих двум предельным моделям материала:
В лабораторной системе координат Ох}х2х3, совпадающей с главными осями симметрии свойств, упругие характеристики отдельного кристаллита можно установить, применяя формулу преобразования компонент тензора четвертого ранга где Од = cos\fkrpXj) - случайные направляющие косинусы, задающие положение отдельного кристаллита в лабораторной системе координат. Проводя осреднение в выражении (2.3.2), получим
Таким образом, средние значения упругих характеристик поликристалла выражаются через средние значения комбинации направляющих косинусов и коэффициенты податливости монокристалла по формуле (2,3.3). Однако, нетрудно показать, что для определения всех коэффициентов податливости, характеризующих ортотропный текстурированный поликристалл, достаточно трех текстурных параметров [65, 292, 299].
Из выражения (2.3.3.) непосредственно получаем знак осреднения по множеству ориентации ячеек в поликристаллическом материале. Свертки по двум индексам тензора коэффициентов податливости монокристалла sypp siPjp являются тензорами второго ранга, который изотропен для монокристаллов с кубической решеткой. Тогда для средних значений сверток тензора коэффициентов податливости имеем
Дальнейшее исследование проходило по пути отыскания эффективных упругих характеристик квазиизотроиных поликристаллов в рамках тех или иных упрощающих гипотез и попыток найти для них более узкий интервал возможных значений [47].
В 1946 году КМ Лифшиц и Л.Н. Розенцвейг [263] из статистических уравнений теории упругости поликристалла, решаемых в перемещениях, в предположении малой анизотропии зерен, с учетом только парных корреляций между случайными модулями упругости в соседних точках, получили эффективные значения в виде суммы, усредненных по схеме Фойгта модулей и корреляционных поправок. Высокой степенью наглядности обладает метод самосогласования, предложенный А.М. Хершем в 1954г, [32] и Е. Кренером в 1958г. [44]. Суть метода заключается в предположении о равенстве среднего поля деформаций по ансамблю анизотропных частиц случайной ориентации, помещаемых в матрицу с эффективными свойствами, макроскопической деформации. В рамках вариационного подхода 3, Хашиным и С. Штрикмаиом в 1963г. [29] был установлен более узкий, чем задаваемый границами Фойїта и Ройса, интервал для эффективных упругих свойств кваз и изотропного поликристалла. Методом перенормировок статистических уравнений теории упругости А.Г. Фокиным и Т.Д. Шермергором (1968, 1977) [382], сначала в рамках сингулярного приближения, а затем обобщенного сингулярного приближения, получены эффективные значения упругих свойств квазиизотроппых поликристаллов и некоторых композиционных материалов, а также более узкие границы для их значений, чем границы Хашина-Штрикмана. Используемое в методе сингулярного приближения пренебрежение формальной частью второй производной тензора Грина уравнения равновесия и сохранение лишь сингулярной части, эквивалентно предположению о предельной локальности корреляционных функций случайного поля модулей упругости неоднородной среды. Результаты, получаемые методом сингулярного приближения, методом обобщенного сингулярного приближения и границы Хашина-Штрикмана, могут быть найдены и методом самосогласованного поля. Если в качестве упругих свойств матрицы принять упругие характеристики некоторого тела сравнения и придавать этим характеристикам различные значения, то можно получить в аналитическом виде все решения, отвечающие перечисленным методам. Это позволяет, в некоторой степени, выявить физическую суть принимаемых при математическом моделировании формальных допущений.
Неожиданным, в русле работ, посвященных определению эффективных упругих свойств поликристаллов, был простой метод К.С. Александрова [112], который в 1965г. предложил проводить усреднение матриц модулей упругости на базе их высших инвариантов. Так, из равенства определителей матриц модулей упругости кубического кристалла и модулей упругости изотропного тела с эффективными свойствами им было получено значение эффективного модуля сдвига квазиизотропного поликристалла. В дальнейшем, К.С. Александровым и Л.А. Айзенбергом [113], на примере тензорных свойств второго ранга, в 1966г. была отмечена связь этого способа усреднения с усреднением логарифмов собственных значений соответствующих матриц. Это обстоятельство имело в дальнейшем определяющее значение для развития теории. Усреднение на базе высших инвариантов независимо от К.С, Александрова было выполнено в 1971г. Г.И. Пересадой [78] для поликристаллов с кубической и гексагональной симметрией структуры.
Условные моменты первого порядка микроструктурных напряжений в текстурированном поликристалле
Одной из до сих пор неу решенных проблем механики микронеоднородных сред яшіяется задача определения полей микроструктурных напряжений при произвольном макроскопическом нагружении. Имеющиеся случаи [123, 164, 179] получены либо численными методами, либо методами статистического металловедения, затрудняющими в силу громоздкости их использование в различных приложениях. Представляет интерес получение простых аналитических соотношений, устанавливающих связь средних по объему зерна компонент тензора напряжений с компонентами тензора макронапряжений и упругими характеристиками кристаллитов. Но кроме анизотропии упругих свойств монокристалла на микроструктурные напряжения оказывает существенное влияние текстура материала, а также влияние окружающих зерен» Известные же модели Закса (Тейлора) для анизотропных поликристаллов основаны на предположении однородности напряжений (деформаций) в образце, и следовательно, не учитывают влияния на напряжения в зерне текстуры материала. Далее рассмотрены макроскопические напряжения при отказе от гипотезы об однородности среды.
Макроскопические напряжения определяются усреднением микронапряжений, отнесенных к областям второго порядка малости (кристаллитам) по сравнению с представительными элементами объема среды. Микронапряжения определяются приложенными макроскопическими напряжениями и различием в эффективных и локальных значениях упругих констант. Представляет интерес оценка влияния текстуры на микронапряжения при различной ориентации внешней нагрузки по отношению к локальным кристаллографическим осям.
Для наглядного описания влияния на микронапряжения текстуры они находятся в зернах нетекстурированного материала, а также при частном типе текстуры и сравниваются с данными для однородного материала. В основу решения положим известные эффективные значения упругих характеристик поликристалла. В случае бестекстурного материала - это решение Александрова К.С. для квазиизотропных материалов с кубической симметрией решетки [112], В случае текстуриро ванн ого материала - это точные значения упругих констант материала с двухкомпонентнои текстурой (001)[100]+(001)[110], где компоненты взяты в равном объемном содержании, определяемые соотношениями (2,2.28), (2.2.29), (2.2.39).
Для нетекстурированного материала напряжения в зерне, отнесенные к кристаллографическим осям найдем из решения Эшелби [18, 75, 195, 196, 197] о деформации упругого сферического зерна кубической симметрии, помещенного в бесконечную однородную изотропную матрицу из материала с эффективными упругими характеристиками. Пусть гс - стесненная деформация зерна большего размера из материала матрицы с упругими характеристиками с . Приравняем напряжение в таком зерне при заданной однородной деформации Б напряжениям в зерне кубической симметрии со свойствами С- при той же однородной деформации [382]
Этими соотношениями с учетом разложения (33,12) и явного вида элементов тензорного базиса (1А26) полностью решается задача об определении микронапряжений в квазиизотропном поликристалле при произвольном виде макроскопического нагружепия.
В качестве иллюстрации рассмотрим зависимость компонент тензора микронапряжений при изменении положения внешней растягивающей силы р по отношению к кристаллографическим осям зафиксированного кристаллита- Пусть в - угол между осью растяжения и кристаллографическим направлением [001J, р - угол между проекцией растягивающей силы на плоскость (001) и кристаллографическим направлением [100] (рис. 3.3.1).
Определение микронапряжепий текстурированного поликристалла с кубической симметрией решетки выполним на примере двухкомпонентной текстуры (001)[100]+(001)[П0], где компоненты взяты в равном объемном содержании. При этом поликристаллическая система является макроскопически трансверсально-изотропной.
Для двухкомпонентной среды тензор коэффициентов податливости S в некоторой произвольной точке системы можно записать в виде соотношения s = s2+ti(s}-s2) , (3.3.28) где S] - тензор податливости ориентировки [100], s2 - тензор податливости ориентировки [ПО]; (Л - случайная индикаторная функция, равная единице, когда точка принадлежит зернам первой ориентации и нулю в остальных точках системы. При этом {//) - равно объемному содержанию первой компоненты. В случае равной объемной концентрации \№) - 1/2.
Далее для определения средних напряжений по объему, занятому отдельной ориентировкой, воспользуемся законом Гука для произвольной точки системы (1.1Л), записанным с учетом представления (3.3.28) в виде Є = s2G + {i(sx -S2) r . (3.3.29) Проводя осреднение по всему объему текстурированного образца и используя свойства индикаторной функции, получаем {) = (0-) + -( -) ) (3.3.30) I где о 1 - тензор средних напряжений ио объему, занятому первой компонентой. Поскольку средние по объему поликристалла значения напряжений и деформаций связаны с тензором эффективных коэффициентов податливости обобщенным законом Гука (2.1.13), то получаем уравнение для определения тензора средних напряжений по объему, занятому первым компонентом
Геометрические факторы, определяющие анизотропию физико-механиичеких свойств композитов
Композиционный материал представляет собой многосложную структуру, образованную комбинацией различных компонент: армирующих элементов и связующего. Конструкции из композииионных материалов благодаря высокой удельной прочности находят широкое применение в инженерной практике, особенно при проектировании изделий для работы в экстремальных условиях с жесткими весовыми ограничениями и повышенными требованиями к надежности. Исследование прочности и разрушения конструкций из композиционных материалов является интенсивно развивающимся направлением в механике деформируемого твердого тела, поскольку использование композитов позволяет также получать материалы с качественно новыми свойствами по сравнению со свойствами составляющих их компонент. Будучи освоенными, композиционные материалы открывают новые возможности для разработки приннипиально новых изделий и конструкций. Армирующие элементы в виде тонких волокон, нитей, жгутов или тканей обеспечивают физико-механические характеристики материала, в частности, высокую прочность и жесткость в направлении ориентации волокон. В качестве армирующих элементов используются металлические проволоки, нитевидные кристаллы, высокопрочные стеклянные, углеродные, органические, борные волокна и др. Армирующие компоненты в композитах применяются в виде моноволокон, нитей, проволок, жгутов, сеток, тканей и др. Связующее или матрица является важным элементом, обеспечивающим монолитность композиционного материала. Матрица фиксирует форму изделия и взаимное расположение армирующих волокон. В качестве матрицы используются металлы, отвержденные эпоксидные, полиэфирные и некоторые другие термореактивные смолы, а также полимерные термопластичные материалы,
В волокнистых композитах высокопрочные волокна воспринимают напряжения, возникающие в конструкции при действии внешних нагрузок, и обеспечивают жесткость и прочность композиции в направлении армирования. Направленный характер свойств - важнейшее достоинство композиционных материалов, позволяющее создавать элементы конструкций с заранее заданными свойствами, наиболее полно отвечающие характеру и условиям работы. Многообразие волокон и матричных материалов, а также схем армирования, используемых при создании композитов, позволяют направленно регулировать прочность, жесткость и другие свойства.
В результате совмещения армирующих элементов и матрицы образуется комплекс свойств композита, не только определяемый исходными характеристики его компонентов, но и включающий свойства, которыми изолированные компоненты не обладают. Эффективность применения композитов в конструкциях определяется степенью совершенства методов расчета и проектирования изделий. Механические характеристики композиционных материалов, обусловливаемые схемой расположения волокон, могут изменяться в широких пределах, что позволяет получать конструкции с направленной анизотропией физико-механических свойств, соответствующих спектру действующих нагрузок. Таким образом, изготовление конструкций из композитов предусматривает, кроме создания геометрических форм, определение рациональной структуры материала, т.е. углов ориентации, числа и порядка чередования волокон или слоев, вида армирующих элементов, их относительного содержания в композиции и других параметров. При этом эффективность в значительной степени зависит от степени соответствия формы, назначения и условий эксплуатации изделия возможностям материалов, а также технологическим возможностям.
Далее будут рассмотрены композиты, армированные в трех взаимно ортогональных направлениях (ЗВ-армированные композиционные материалы) и армированные но четырем диагоналям куба (40-армированные композиционные материалы). При этом будет показано, что такое армирование при равном объемном содержании изотропных волокон каждого направления в изотропной матрице приводит к объемной изотропии композита в целом.
ЗО-армировапные композиционные материалы имеют существенное превосходство по модулям упругости в направлении укладки волокон» но обладают относительно низкой сдвиговой жесткостью в плоскостях, перпендикулярных основному расположению арматуры [325]. В особенности этот недостаток присущ трехмерно армированным композитам, изготовленным на основе углеродной матрицы, модули сдвига которых в главных плоскостях упругой симметрии в два-четыре раза ниже соответствующих модулей композитов с полимерной матрицей. Для устранения этого недостатка используются различные технологические приемы, в частности, варьирование угла укладки арматуры и перераспределение по плоскостям основного армирования или усложнение схем армирования за счет пространственного расположения арматуры. Последнему из двух направлений уделяется много внимания. Технология изготовления таких композитов довольно сложна, кроме того, усложнение схемы армирования за счет увеличения числа пространственных направлений армирования приводит, как правило, к снижению объемного содержания арматуры, и, следовательно, к уменьшению жесткости и прочности. Исключение составляют композиты, армированные по четырем диагоналям куба (4D). Предельный коэффициент армирования таких композитов в случае использования волокон круглого сечения оказывается 0,68 [360]. Большой интерес представляют композиты, армированные по диагоналям куба, еще и с точки зрения увеличения сдвиговой жесткости не только в главных плоскостях упругой симметрии, но и под углом 45 к ним.
Предлагаемый аналитический подход к анализу упругих и прочностных свойств 3D и 4D пространственно-армированных композитов основывается на представлении напряженно-деформированного состояния материала через собственные упругие состояния.
Итак, рассмотрим матричный композиционный материал, армированный прямолинейными волокнами круглого сечения либо в трех взаимно ортогональных направлениях (3D армирование, рис, 4.2.1, 4.2.2), либо по диагоналям куба (4D армирование, рис, 4.2.3,4.2.4), Относительное объемное содержание волокон для каждого направления армирования одинаково. Материал матрицы и волокна - изотропен.
Упругие свойства матрицы и волокон задаются объемными и сдвиговыми модулями Kmf Kfy Gm, Gf соответственно. 3D и 4D армированные композиты с одинаковым относительным содержанием волокон каждого направления имеют три взаимно ортогональные оси симметрии четвертого порядка, поэтому на основании принципа Неймана [202, 349] тензор модулей упругости четвертого ранга обладает кубической симметрией. Следовательно, эффективные свойства композита, определяются тремя упругими константами.