Бифуркационная неопределенность в классической механике и явление флуктуации точек ветвления в геометрически нелинейной теории оболочек Ларченко, Виктор Васильевич

Введение к работе

Актуальность тещ. При эволюции механической системы в закритическое положение в центре внимания обычно оказываются вопросы о механизмах, действующих в такой процессе. Предде всего, здесь требуют разрешения принципиальные момент о соотношении размерности математической постановки задачи и сто-хастичности, детерминированности v степени хаотизации, об устойчивости и наблюдаемости, связи условий прецизионного эксперимента и результатов наблюдений и т.д. Поскольку в глубокой закритической стадии имеет место весьма сложное поведение, то особое внимание уделяется условиям зароадения и роли флуктуации на начальном этапе развития изучаемых процессов.

В настоящее время в различных разделах нелинейной механики существуют несколько непротиворечивых в себе теорий. Наибольшее распространение получили модель цбпочки нормальных последовательных бифуркаций Ландау-Хопфа, сценарий странных аттракторов Рюэля-Такенса, теория бифуркации удвоения цикла и другие.

Хорошо известно многообразие форм потери устойчивости тонких упругих оболочек, разброс их критических давлений и трудности идентификации мезвду ними. Однако до сих пор не установлены механизмы, определяющие в полной мере явление бифуркационной устойчивости. Актуальность тема диссертационной работы следует из того, что в ней впервые в строгой математической постановке изложена модель деформирования тонкой оболочки в Окрестности критического давления, основанная на флуктуации точек бифуркации. Суть ее состоит в следующем. При возмущении срединной поверхности оболочки и внешнего давления могут изменяться тип ветвления, кратность собственного значения, группа вращения собственной функции и, естественно, координаты точек ветвления. Последний факт известен специалистам.

Таким образом, явление бифуркационной неустойчивости оказывается весьма сложным, оно определяется несколькими ме"-ханизмами. В отличие, например, от модели, основанной на повышение размерности тора перехода через точку нормальной би-ф^ркации в соответствующем каскаде, в предлагаемом направлении сложности вдвнтификации связаны не столько с количеством

точек ветвления в одной цепочке, сколько с многообразием реализаций таких цепочек.

Пусть требуется указать в прецизионном эксперименте способ потери устойчивости тонкой упругой сферической оболочки, нагруженной равномерним внешним давлением, опорный контур которой жестко защемлен. Одним из следствий проведенных исследований является утверждение: при любом малом неравномерном осесишетричном возмущении внешнего давления возможны нормальная и обратная бифуркации. Более того, тот или другой тип ветвления формы равновесия, а тем самим и способ потери устойчиво ти, определяются лишь распределением внешнего давления, ко не его величиной. Тем самым ясно, что в такой ситуации возникают трудности принципиального характера при фиксации в.прецизионном эксперименте способа потери устойчивости оболочки. Интерес к этим задачам выходит далеко за рамки собственно теории оболочек, поскольку касается фундаментальных проблем классичэской физики о предсказуемости и идентификации результатов эксперимента. Отмеченные свойства изучаемого обьэкта породили название диссертационной работы. Вторая часть выражения "бифуркационная неопределенность" заимствована нами из статей Гсйзенберга,

Цель работы. I) Выяснить механическое содержание неопределенности деформирования тонкой упругой оболочки в условиях неединотвенности.

1. В строгой математической постановке разработать формализм перехода механической системы в закритическое состояние. Его реализацией снять некоторые известные противоречия данных прецизионного эксперимента по устойчивости собственным значениям . системы Иаргерра.

2. Согласно воззрениям И.Пригожіша, трактовка неустойчивости связана с тем, что случайные флуктуации физической прироры в условиях неединственности возрастают, в то время как эти возмущения вдали от точек ветвления затухают. Последним свойством определяется'детермированное поведение механической системи вне малой окрестности точек буфуркацли. , Оставаясь » рамках классической механики, выяснить роль флуктуации в условиях неединственности, ограничиваясь теми возмущениями, которые определяют основные механизмы перехо-

да сферической шапочки в закрнтическиэ неосесимметричнне фор -мы.'

4. Учитывая наличие близко расположенных точек ветвления ь спектре критических давлений тонких упругих оболочек, изложить основные механизмы, определяющие трудности идентификации закритического деформирования указанных оболочек.

5. Разработать методы нелинейной аппроксимации решения уравнений геометрически нелинейной теории оболочек. Определить критические давления и формы равновесия на наилучших приближениях. На заданном компакте оценить количество оптимальних координатных последовательностей для уравнений Мар-герра.

На защиту выносятся. I. Новая модель явления бифуркационной неустойчивости тонкой упругой оболочки и механизмы, определяющие переход ее в закритичвское положение равновесия.

2. Критерий бифуркационной неустойчивости неосесимметркч-ных форм оболочек вращиния.

3. Адаптирующийся вариационный метод расчета последовательности критических давлений {Р_п j и напряженно-деформированного сосгояния тонкой упругой оболочки при наличии высоких градиентов в решении.

Научная новизна. I. Новизна предложенной автором модели заключается в том;- что ві;зрвие е строгой математической постановке на основе двумерных уравнений теории тонких упругих оболочек изложено многообразие форм перехода механической системы в закритическое состояние и указаны механизмы, реализующие этот процесс.

4. Новизна и эадективность критерия обусловлены тем, что вопрос о бифуркационной неустойчивости решения системы с эллиптической главной частью сведен к существованию нулей первого 'порядка на внутренних точках отрезка интегрирования для искомых системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

5. Впервые установлена возможность увеличения кратности вырождения 1> первого собственного, значения спектра {Р_п\ Через функционалы уравнения разветвления и амплитуды несовершенств срединной поверхности оболочки вращения пыведены условия изменения 1^ . Даш оценки сверху THiiat^Ent 0(I^й- ) где, I^й - естественный малый параметр при старших производных '

уравнений W^preppa.

4. Отличительное свойство созданного адаптирующегося вариационного метода связано с определением координатной последовательности *f_K}- Последние априори не знаются, но вычисляется в процессе реализации метода из условия минимизации погрешности аппроксимации. Уравнения для некоторых констант Галеркина формулируются проекцией не исходных уравнений, а их невязок. Кроме того, элементы из {'О'не обязаны удовлетворять даже главным граничным условиям. '

5. Обнаружен новий эффект, связанны}⁴ с изменением количества тс зк сгущения в спектре критических давлений несовершенной сферической оболочки.

6. Предлочены новые формулы асимптотики верхних критических давлений сферической шапочки в неосесиммвтричной постановке для скользящего защемления опорного контура и подвижно-го шарнирного его опирання.

Достоверность результатов подтверждена систематическим сравнением с данными прецизионных экспериментов Пармертера, Ихиды, Сунакавы, Нренцке, Кирчана, Тилльмана,- Терстона, Пен-нинга, Крюгера, Глокнера, Лу, Адама, Кинга и др., решением одной и той те. задачи несколькими методам, согласованностью заключений численного и асимптотического анализов, последовательным применением методов математической шизики и строгим обоснование: ряда утверждений. ,

Теоретическое и практическое значение. Созданная модель перехода механической системы в закритическое положение равновесие весьма универсальна, поскольку использует лишь общие свойства уравнени. теерии оболочек. Она может быть обобщена на широкий класс сингулярно возмущенных краевых задач математической физики, в которых имеет место сгущение точек ветвления в травой полуокрестности начала спектра.

В приложении диссертации изложена теоретико-экспериментальная методика оаднки эффективности электрофизического воз-.действия на оболочечнуго конструкцию по точкам бифуркации. Здесь разброс в результатах измерений зависит как от свойств с5олочки, обусловленных бифуркационной некорректностью, так и от особенностей взаимодействия потока энергии с нею, ус-, тойчивости характеристик источника энергии и т.д. Новая, мо-

дель повышает достоверность заключения, поскольку более полн^ учитывает механизмы потери устойчивости.-

Публикации и апробация работы. Основные результаты диссертации анонсированы в заметках Гі - ЗІ . Расширенное юс изложение приведено в статьях [4 - Ш .

Сначала идея адаптирующегося вариационного метода была .сформирована в [і], подробнее описана в [б]. Затем выяснилась его новизна не только в пределах теории оболочек, ло и в других разделах механики дефорируемого твердого тела и даже в нелинейных задачах математической физики. В связи с этим метод опубликован в работе [ю].

Аналогичная ситуация возникла при публикации статей

Результаты диссертации докладывались на Всесоюзной школе по математическому моделированию в науке и технике (Пермь, 1986), ка I Всесоюзной конференции по математическсиу моделированию в науке и технике (Москва, 1988), на Всесоюзной кон-фереиции по численным методам в теории упруг^сти и пластичности (Волгоград, 1389), на Всесоюзной совещании по методам малого параметра (Нальчик, 1987), на семинаре Института прикладной математике АН СССР (Москва, IS85, рук. чл.-кор. АН СССР К.И.бабенко), на семинаре механики деформируемого твердого тела в Новосибирском.госуниверьитете (IS86, рук. акад. Е.И. Шемякин), там же (1990, рук. проф. Б.Д.Аншш), на семинаре механики дефорируемого твердого тела Мнститута гидродинамики СО АН ПССР (Новосибирск, 1984, IS86, 198Э, рук. проф. 0.3.Соснин), на семинарах механики деформируемого твердого тела в МАМИ и Институте механики пун Московском госуниверои-тете (IS84, IS86, 1990, рук.чл.-кор.АН СССР Э.И.ГриголкО , на оешшаре физики быстрых процессов Института гидродинамики СО АН СССР (Новосибирск, 1988, рук. акад. В.М.Титов), на семинаре качественных методов дифферештсальных уравнений Института математики СО АН ХСР (Новосибирск, 1984, 1987, рук. проф. Т.И.Зеленяк), на семинаре кафедры теории пластичности. Московского госуниверситета (1991, рук. проф. В.Д.Клшников), на семинаре кафедры механики Казанского госуниверситета' (Казань, 1991, рук. проф. Ю.Г.Коноплев), на семинаре механики деформированного твердого тела Тверского политехнического ин-

ститута CI90I, рук. проф. А.Г.Зубчанинов), на семинаре кафедры сопротивления материалов Московского авиационного института (1991, рук. проф. А.Г.Горшков), на семинаре математического моделирования в механике деформируемого твердого тела Института проблем механики АК СССР (Москва, І99Ї, рук. проф. В.Н.Кукудааков), на семинаре кафедры вычислительных методов механики деформированных тел Ленинградского госуниверситета (3 991, рук. проф. К.Ф.Черных).

Структура диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, трех приложений и списка литературы, включающего 309 наименований. Диссертация содержит 476 страниц, в тог.1 числе ИЗ графиков, 34 таблицы, 14 текстуальных таблиц, 2 схемы, I диаграмму, 10 фигур поясняющего характера.