Анализ линейного и нелинейного деформирования тел в криволинейных координатах на основе смешанного метода конечных элементов Гуреева Наталья Анатольевна

Содержание к диссертации

Введение

1. Краткий обзор развития метода конечных элементов в расчетах на прочность 18

2. Основные соотношения теории упругости и пластичности в различных системах координат

2.1. Основные соотношения линейной теории упругости в декартовой системе координат 28

2.2. Основные соотношения деформационной теории пластичности в декартовой системе координат 31

2.3. Основные соотношения теории упругости в криволинейной системе координат 42

2.4. Основные соотношения деформационной теории пластичности в криволинейной системе координат 50

2.5. Основные соотношения инкрементальной геометрически нелинейной теории упругости при больших перемещениях 55

2.6. Вариационная формулировка задач теорий упругости и пластичности 62

Выводы по главе 2 71

3. Смешанная формулировка мкэ в геометрически линейной постановке 72

3.1. Конечный элемент для определения НДС упругих тел в условиях плоской задачи 72

3.2. Конечные элементы для определения НДС тел вращения при осесимметричном нагружении 100

3.3. Конечные элементы для определения НДС оболочек вращения при осесимметричном нагружении 108

3.4. Конечные элементы для произвольно нагруженной оболочки вращения 125

3.5. Конечные элементы для произвольной оболочки 153

Выводы по главе 3 163

4. Смешанная формулировка мкэ при упруго пластическом деформировании материала 165

4.1. Конечные элементы для плоской задачи в декартовой системе координат 165

4.2. Конечные элементы для осесимметрично нагруженных оболочек вращения в криволинейной системе координат 187

4.3. Конечные элементы для произвольно нагруженных оболочек вращения в криволинейной системе координат 202

Выводы по главе 4 215

5. Смешанная формулировка МКЭ с учетом геометрической нелинейности 217

5.1. Конечные элементы для плоско нагруженных оболочек вращения 217

5.2. Конечные элементы для осесимметрично нагруженных оболочек вращения 238

5.3. Конечные элементы для произвольно нагруженных оболочек вращения 258

5.4. Конечные элементы для произвольных оболочек 284

Выводы по главе 5 308

6. Смешанная формулировка мкэ для упуго нелинейного материала при учете геометрической нелинейности 309

6.1. Конечные элементы для произвольно нагруженных оболочек вращения 309

6.2. Конечные элементы для плоского нагруженных оболочек вращения 325

Выводы по главе 6 337

Заключение 338

Литература

• Основные соотношения деформационной теории пластичности в декартовой системе координат
• Конечные элементы для определения НДС тел вращения при осесимметричном нагружении
• Конечные элементы для осесимметрично нагруженных оболочек вращения в криволинейной системе координат
• Конечные элементы для произвольно нагруженных оболочек вращения

Введение к работе

Актуальность темы. Важнейшей задачей многих областей современной техники является создание прочных и надежных высококачественных конструкций. Для снижения материалоемкости современных инженерных конструкций различного назначения служит широкое использование тонкостенных элементов типа пластин и оболочек. Они используются в самолетостроении, при создании подводных и космических кораблей, в покрытиях инженерных сооружений и т.п.. Их широкое распространение обуславливает необходимость развития методов практического определения напряженно-деформированного состояния (НДС) пластин и оболочек.

В настоящее время создана достаточно полная теория определения напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек различной толщины.

Уравнения теории пластин и оболочек являются достаточно сложными и поэтому их аналитическое решение возможно лишь для некоторых, зачастую далеких от инженерной практики, случаев.

В решении задач строительной механики и механики деформируемого твердого тела широкое распространение получил численный метод конечных элементов (МКЭ), основанный на различных формулировках.

Большинством авторов предложены конечные элементы различных конфигураций в формулировке метода перемещений, используемые в библиотеках современных коммерческих программных комплексов (ANSYS, NASTRAN, LS-DYNA 3D, ABAQUS и др.).

Несмотря на то, что использование этих конечных элементов приводит к удовлетворительным результатам, смешанные схемы конечно-элементных решений, основанные на совокупности полей перемещений и полей напряжений, обладают преимуществами при определенных видах анализа. Гибридные методы МКЭ из-за ослабления требований гладкости перемещений w є С⁽¹⁾ и использования нескольких полей искомых величин приводят к возможности применения простейших полиномов при аппроксимации искомых параметров через их узловые значения, в результате чего найденные перемещения и напряжения оказываются непрерывными. А в двух обширных областях, таких как исследование несжимаемых и почти несжимаемых сред, а также при анализе конструкций типа пластин и оболочек, использование смешанных конечных элементов оказывается значительно более эффективным, чем использование элементов, основанных только на перемещениях.

Кроме того, в предложенных ранее конечных элементах используется упрощающая гипотеза о деформировании нормали. Для расчета ответственных оболочечных конструкций важно учитывать возможность возникновения в материале трещин, а для этого требуется с высокой точностью рассчитать концентрацию напряжений там, где инженерам приходится устраивать местные усиления (устраивать в углах вуты или приваривать косынки, усиливать отверстия накладками, устанавливать ребра жесткости и т.п.), что становится возможным, если рассматривать оболочку как толстую без использования упрощающей гипотезы.

Поэтому анализ линейного и нелинейного деформирования тел в криволинейных координатах на основе смешанного метода конечных элементов является актуальной задачей.

Тема диссертационной работы является существенным разделом исследовательской работы «Модернизация и использование трехмерных конечных элементов в расчетах прочности инженерных конструкций агропромышленного комплекса», выполняемой коллективом авторов Волгоградского ГАУ и поддержанной грантами Волгоградской области (2009 г.) и РФФИ (2015-2016г.г.).

На Царицынской ярмарке в 2016 г. работа отмечена золотой медалью в номинации «Инновационные разработки для АПК».

Цели исследования. В криволинейной системе координат на шаге нагружения вывод соотношений теории деформируемых твердых тел в актуальном базисе и для оболочек без использования гипотезы о деформировании нормали.

Получение нелинейного смешанного функционала для реализации в конечно-элементной формулировке.

Реализация разработанных теоретических положений (без использования гипотезы о деформировании нормали) при получении матриц деформирования объемных конечных элементов для определения НДС конструктивных элементов инженерных сооружений (пластин и оболочек произвольной толщины и др. деформируемых твердых тел).

Решение проблемы учета смещения конечного элемента как абсолютно жесткого тела.

Для достижения этих целей были поставлены и решены следующие задачи.

1. В криволинейной системе координат на основе соотношений механики сплошной среды получены выражения между приращениями деформаций и приращениями перемещений на шаге нагружения.

2. В криволинейной системе координат на шаге нагружения получены соотношения в геометрически нелинейной постановке между приращениями напряжений и приращениями деформаций на основе гипотезы о пропорциональности компонент девиаторов приращений напряжений компонентам девиаторов приращений деформаций для линейного материала [12], для упруго нелинейного материала [26], для упруго – пластического материала [13].

3. В криволинейной системе координат для нелинейно деформированного твердого тела получен смешанный функционал на основе равенства возможной и действительной работ внешних и внутренних сил с заменой на шаге нагружения действительной работы внутренних сил разностью полной и дополнительной работ [25, 26, 32].

4. На основе полученных соотношений разработаны алгоритмы формирования матриц деформирования объемных конечных элементов с узловыми неизвестными в виде перемещений и напряжений на основе билинейной и трилинейной аппроксимаций искомых величин в линейной и нелинейной постановках [3, 4, 5, 6, 7, 11, 15, 18, 20, 28].

5. При шаговом нагружении в криволинейной системе координат в теории нелинейного деформирования твердого тела в актуальном базисе использованы приращения деформаций, представленные линейными и нелинейными составляющими, что позволило определить добавочную матрицу деформирования на рассматриваемом шаге от действия суммарных напряжений предыдущих шагов нагружения.

6. Для решения проблемы учета смещения конечных элементов как абсолютно жестких тел предложена и разработана инвариантная векторно - тензорная аппроксимация перемещений и напряжений как векторных и тензорных полей [10, 13, 25, 26, 32] соответственно.

7. На основе инвариантной векторно – тензорной аппроксимации искомых величин, полученных определяющих соотношений и предложенного нелинейного смешанного функционала разработаны алгоритмы формирования матриц деформирования объемных конечных элементов: в линейной постановке - с узловыми неизвестными в виде перемещений и напряжений; в нелинейной постановке - с узловыми неизвестными в виде приращений перемещений и приращений напряжений [8, 9, 14, 20, 21, 22, 27, 32].

8. На основе предложенной векторно-тензорной аппроксимации полей перемещений
и напряжений разработан алгоритм получения матриц деформирования объемных конечных
элементов для нелинейно упругого материала при учете геометрической нелинейности

Объект исследования. Деформирование твердых тел (пластин и оболочек произвольной толщины и др. конструктивных элементов).

Предмет исследования. НДС при линейном и нелинейном деформировании твердых тел.

Методы проведения исследования – теория механики деформируемого твердого тела, методы аппроксимации, вариационные методы, методы функционального анализа, методы векторного и тензорного анализа, методы линейной алгебры, вычислительные методы математики.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

8. Способ инвариантной аппроксимации перемещений и напряжений твердых тел в криволинейной системе координат как векторных и тензорных полей соответственно.

9. Способ получения определяющих соотношений в криволинейной системе координат при линейном и упруго нелинейном деформировании материала с учетом геометрической нелинейности.

10. Способ получения смешанного функционала в криволинейной системе координат на шаге нагружения на основе равенства возможных и действительных работ внешних и внутренних сил.

11. Алгоритм получения на основе разработанной аппроксимации и полученного смешанного функционала в линейной постановке матриц деформирования объемных конечных элементов без упрощающих гипотез о деформировании нормали.

12. Алгоритм формирования без упрощающих гипотез матриц деформирования объемных конечных элементов на основе разработанного смешанного функционала с учетом физической нелинейности при различных способах получения определяющих соотношений.

13. Алгоритм получения матриц деформирования объемных конечных элементов на основе разработанного смешанного функционала при учете геометрической нелинейности.

14. Матрицы деформирования объемных конечных элементов, полученные на основе разработанного смешанного функционала в геометрически нелинейной постановке для нелинейно упругого материала.

Научная новизна диссертационного исследования заключается в следующем:

15. Предложена методика построения конечно-элементных схем на основе аппроксимации перемещений и напряжений как векторных и тензорных полей для численного решения задач определения НДС.

16. Получены соотношения в криволинейной системе координат для формирования матриц деформирования объемных конечных элементов без упрощающих гипотез о деформировании нормали при учете физической нелинейности.

17. Получены основные соотношения в криволинейной системе координат для формирования матриц деформирования объемных конечных элементов в смешанной формулировке МКЭ на основе предложенной векторно-тензорной аппроксимации перемещений и напряжений для упруго деформируемых тел.

18. Получен в криволинейной системе координат смешанный функционал на основе равенства возможной и действительной работ внешних и внутренних сил на шаге нагружения для определения НДС нелинейно деформируемых тел.

19. Получены в криволинейной системе координат зависимости между приращениями напряжений и приращениями деформаций на основе гипотезы о пропорциональности компонент девиатора приращений напряжений компонентам девиатора приращений деформаций для нелинейно деформируемых тел с учетом физической и геометрической нелинейностей.

6. Предложены соотношения в криволинейной системе координат для получения матриц деформирования объемных конечных элементов для нелинейно упругого материала при учете геометрической нелинейности. Подтверждено свойство аддитивности ковариантных компонент тензора приращений напряжений.

Практическая ценность диссертационной работы состоит в следующем.

20. Разработанные смешанные объемные конечные элементы без использования упрощающих гипотез о деформировании нормали позволяют определять НДС твердых тел (в т.ч. пластин и оболочек переменной толщины) при различных видах нагружения (плоского, осесимметричного, произвольного) в линейной и нелинейной постановках.

21. Разработанные программные модули, реализующие предложенные алгоритмы, найдут дальнейшее применение в инженерных расчетах конструкций и сооружений, в особенности при наличии в них отверстий и угловых вырезов, где НДС является существенно объемным и гипотезы о деформировании нормали не «работают».

3. С использованием программных модулей на основе разработанных конечных
элементов рассчитывались на прочность фрагменты конструкций в Федеральном госу
дарственном бюджетном научном учреждении «Поволжский научно-
исследовательский институт эколого-мелиоративных технологий»
(ФГБНУ «ПНИИЭМТ») и в Открытом Акционерном Обществе «Волгограднефтемаш».

Достоверность научных положений базируется на использовании основных соотношений механики деформируемого твердого тела, теории упругости, теории пластичности, векторного анализа, тензорного анализа, вариационного исчисления, теории аппроксимации. Проверка сходимости вычислительных процессов при различных размерах сеток дискретизации рассматриваемых конструкций подтверждена многократным сравнением численных результатов исследований с результатами, полученными другими авторами, сравнением численных результатов, полученных с помощью других программных комплексов, проверкой статических условий равновесия рассматриваемых конструкций.

Апробация работы. Основные результаты исследований докладывались и обсуждались на:

- международных научно-практических конференциях «Инженерные системы»
(РУДН, г. Москва) в 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2015 г.г.;

II международной научно-практической конференции «Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела» (КГУ, г. Казань) в 2009г.;

VII международной научно-практической конференции «Современные достижения европейской науки» (г. София, Болгария) в 2011г.;

международной научно-практической конференции «Фундаментальные исследования» (Тель-Авив, Израиль) в 2011г.;

Всероссийской научной конференции «Обратные краевые задачи и их приложения» (КФУ, г. Казань) в 2014г.;

XI Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (КФУ, г. Казань) в 2015г.;

Саратовском государственном техническом университете им. Гагарина Ю.А. на расширенном заседании кафедры «Теория сооружений и строительных конструкций» (г. Саратов) в 2016 г.;

Воронежском государственном университете на расширенном заседании кафедры «Механика и компьютерное моделирование» (г. Воронеж) в 2016 г.;

ежегодных международных научно-практических конференциях «Аграрная наука – основа успешного развития АПК» (Волгоградский ГАУ) в 2006, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016 г.г.

Публикации. Основные результаты исследований, выполненных по теме диссертационной работы, опубликованы в 34 научных статьях, из них 27 в рецензиру-

емых изданиях, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией Министерства образования и науки Российской Федерации; получены 5 свидетельств о государственной регистрации программ для ЭВМ, включенных в данную работу. Из совместных публикаций в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору. Список опубликованных работ приводится в конце данного реферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 382 страницах машинописного текста, содержит титульный лист, оглавление, введение, шесть глав основного текста, содержит 47 рисунков, 17 таблиц, заключение и список литературы из 412 наименований литературных источников, 11 листов приложений.

Основные соотношения деформационной теории пластичности в декартовой системе координат

Свое развитие МКЭ получил в середине прошлого века. Свойства универсальности и экономичности вычислительных алгоритмов метода конечных элементов позволили ему занять доминирующее положение среди методов исследования процессов деформирования твердых тел различных конфигураций. Основные зависимости между геометрическими и физическими величинами в механике сплошной среды выводятся на элементе дифференциально малых размеров. МКЭ базируется на физической дискретизации рассматриваемой конструкции, что отличает его от остальных численных методов, основывающихся на математической дискретизации уравнений граничных условий. Рассматриваемая конструкция как сплошная среда с бесконечно многими степенями свободы заменяется дискретной моделью связанных между собой конечных элементов с конечным числом степеней свободы.

Основная задача заключается в том, чтобы выбрать ту модель, которая лучше всего аппроксимирует рассматриваемый континуум. В результате такой дискретизации уравнения, с помощью которых описывается состояние в отдельных элементах, являются алгебраическими вместо дифференциальных или интегральных. Понятие «конечный элемент» было впервые использовано в работе [405] при расчетах напряженно – деформированного состояния инженерных структур. Стремительное развитие почти всех видов инженерных конструкций (особенно в авиации) требовало более точных расчетов. Поэтому методы сил и деформации, как два основных метода расчета напряженно-деформированного состояния, получают особое значение в связи с переводом их в матричную форму, отвечающую применению счетно-вычислительных машин. В 1954 г. Дж.Аргирис впервые ввел понятие матрицы жесткости, которое было использовано при расчетах пластин и оболочек [4]. Первая работа, в которой была изложена современная концепция МКЭ, относится к 1956г..

В течение последних 30-40 лет при решении задач строительной механики и механики деформируемого твердого тела большое значение приобрели численные методы, основанные на вариационных постановках. Среди них особое место занимает метод конечных элементов благодаря его универсальности в программной реализации и возможности создания полностью автоматизированного цикла расчета. В настоящее время метод конечных элементов заложен в основу почти всех систем автоматизированного расчета конструкций во многих отраслях техники: авиастроении, судостроении, машиностроении, в промышленном и гражданском строительстве и др.

Теории и решению задач деформирования конструкций методом конечных элементов посвящен целый ряд монографий и учебников. Среди них следует отметить работы [24, 35, 56, 90, 97, 206, 214, 222, 230, 231].

В вышеупомянутых работах рассмотрены вопросы расчета конструкций различных типов: стержневых систем, осесимметрично и произвольно нагруженных трехмерных конструкций, а также отдельные вопросы расчета тонкостенных конструкций – оболочек и пластин.

Основные трудности на пути решения задач деформирования тонкостенных конструкций методом конечных элементов связаны с необходимостью выполнения определенных условий совместности конечных элементов и сходимости вычислительного процесса. Одним из таких условий является необходимость соблюдения непрерывности искомых функций, а иногда и их производных на границах смежных элементов.

Для пластин и оболочек, расчет которых основан на классической теории с использованием гипотезы Кирхгофа-Лява, данное условие оказывается трудновыполнимым. Поэтому для расчета пластин и оболочек было создано множество конечных элементов, основанных на несогласованных аппроксимациях. Вообще говоря, при измельчении сетки несогласованность полей перемещений уменьшается и в пределе результат должен сходиться. Однако применение несогласованных конечных элементов не позволяет контролировать точность расчета. В классической теории оболочек существует также ряд дополнительных трудностей: формулировка граничных условий в острых углах, граничных условий при нелинейных деформациях и др. Кроме того, классическая теория не учитывает поперечные сдвиги и деформации в трансверсальном направлении, что важно для современных композитных материалов.

Иногда указанные проблемы удается решить путем выбора подходящего для метода конечных элементов варианта теории оболочек. Например, используя вариационные уравнения на базе соотношений теории оболочек типа Тимошенко. Такой выбор обеспечивает понижение порядка производных искомых функций в исходных функционалах от второго в классической теории оболочек к первому в теории оболочек типа Тимошенко. Этим значительно упрощается построение конечных элементов для произвольных оболочек. Кроме того, применение теории оболочек типа Тимошенко позволяет учитывать специфические особенности деформирования композитных материалов – низкие жесткость и прочность в трансверсальном направлении.

В настоящее время существует только два метода, с помощью которых можно проводить полностью автоматизированный расчет прочности сложных конструкций. Это метод конечных элементов (МКЭ) и метод граничных элементов (МГЭ). МГЭ весьма эффективен при расчете прочности однородных массивных трехмерных конструкций. По точности решения, затратам по времени на подготовку данных и по времени расчета для трехмерных задач МГЭ имеет лучшие показатели, чем метод конечных элементов. Однако в геометрически нелинейных задачах при расчете прочности неоднородных и анизотропных конструкций МКЭ в настоящее время имеет преимущества перед методом граничных элементов. Это относится и к расчету прочности оболочек, где метод конечных элементов является основным инструментом для анализа реакций конструкций на сложные внешние воздействия [24].

Конечные элементы для определения НДС тел вращения при осесимметричном нагружении

Среди многообразных геометрических тел особое место занимают оболочки вращения, как наиболее часто используемые в конструктивных элементах. Тонкостенной осесимметричной оболочкой называется оболочка, имеющая форму тела вращения, т.е. оболочка полярно симметричная относительно некоторой оси. Причем толщина оболочки весьма мала по сравнению с радиусами кривизны ее поверхности.

Примеры использования оболочек вращения очень разнообразны и многочисленны. Это - паровой котел, корпус ракеты, трубопроводы, гигантские нефте- и газохранилища, емкости для хранения и транспортировки самых разнообразных продуктов. Широко распространены тонкостенные гибкие оболочки в точном приборостроении в качестве чувствительных элементов различного рода регуляторов и датчиков.

Исследования НДС тонких оболочек - одна из важнейших проблем механики деформируемого твердого тела. В настоящее время насчитывается огромное количество статей и книг, посвященных проблеме нелинейного деформирования оболочек [56, 57, 61, 62, 198, 206].

Оболочка вращения может быть рассечена плоскостями, проходящими через ее ось и перпендикулярно к ней. Кривые на поверхности, являющиеся следом пересечения оболочки с плоскостями, проходящими через ось вращения, называются меридианами. Плоскости, перпендикулярные к оси оболочки, пересекают поверхность вращения по параллельным кругам.

Для аппроксимации оболочек вращения при осесимметричном нагружении выбираются кольцевые конечные элементы, имеющие постоянное поперечное сечение различных форм.

Геометрия оболочки вращения при осесимметричном нагружении. В качестве отсчетного меридиана выбирается линия s пересечения срединной поверхности оболочки с вертикальной плоскостью xOz. На линии s рассматривается произвольная точка М. Положение этой точки в декартовой системе координат определяется радиусом - вектором R=xi+r(x)k , (3.3.1) где х - осевая координата; г - радиус вращения точки М вокруг оси Ох. Базисный вектор, касательный к отсчетному меридиану s в произвольной его точке М, определяется дифференцированием (3.3.1) al = R,s = xJ + r,sk . (3.3.2) 110 Вектор, нормальный к линии s, определяется векторным произведением a0=a1xj=(Ix,s+kr,xx,s)x] = x,sk-r,sI. (3.3.3) Положение произвольной точки M0t, отстоящей на расстоянии t от отсчетного меридиана s, определяется радиусом - вектором (3.1.28) R0t = R0 + ta0 Базисные векторы точки M0t в исходном недеформированном состоянии оболочки определяются в матричном виде (3.1.30){l0} = [S]{r};{r} = [sr,{0}. 2x1 2x2 2x1 2x1 2x2 2x1 Производные векторов локального базиса точки М представляются разложением по векторам локального базиса точки М в матричном виде (3.1.33) {04 = Н{0}. 2x1 2x2 2x1 3.3.2. Перемещения и деформации. После нагружения оболочки произвольная точка М0 отсчетного меридиана получает перемещение, характеризуемое вектором перемещения, который выражается через его проекции на векторы локального базиса точки М0 в виде (3.1.34) V = {g0f {v}. 1x2 2x1 Производные вектора перемещения (3.1.34) по криволинейным координатам s, t определяются выражениями (3.1.35) в виде V,s = f11g1 + f 0; V ,t = f31g1 +/3а0. После нагружения оболочки произвольная точка оболочки М0 переходит в положение М . Радиус - вектор точки М в деформированном состоянии оболочки определяется выражением (3.1.36) R = R0t + V.

Векторы, касательные к координатным линиям s и t в точке Мг деформированного состояния оболочки, определяются дифференцированием радиуса - вектора (3.1.36) по координатам s, t в виде (3.1.37) g1 = g0(1 +/Л + а0/1 ;Я3=Я10/31+«0(1 + /3).

Деформированное состояние в рассматриваемой точке Mt характеризуются тензором деформаций. Ковариантные компоненты тензора деформаций (2.3.17), определяемые разностью компонент метрических тензоров исходного и деформированного состояний [232], записываются соотношениями s11=-(g11-g101) = g01-V,s = v,1s1 + tm21) + W (m11 + tm21m11 + tm22m12 ) + v,3 tm22 + W (m21 + tm21m21 + tm22m22); s22=v1, + ; (3.3.4) r + tx r + tx s33=-(g33-g033) = a0-V,t = v,3t; = 2 13 13 2 s13 = - (g13 - g1 0 3) = 1 (gf, +a0V,s) = 1(v,1 1+ 21Wv 22 + 2 +v1m12+v3+v3m22), где компонента 22 тензора деформаций определяется как отношение разности длин окружностей, образованных вращением точек М0t и М вокруг оси Ох, в деформированном и исходном состояниях,соответственно, к длине окружности, описываемой точкой М0 вокруг оси Ох в исходном состоянии.

Так как задача решается в геометрически линейной постановке, то в соотношениях (3.3.4) пренебрегли произведениями производных векторов перемещений как бесконечно малыми второго порядка малости. С учетом (3.1.33) и (3.1.37) ковариантные компоненты тензора деформаций (3.3.4) можно выразить через компоненты вектора перемещения в матричном виде (3.2.4) W = WW. 4x1 4x2 2x1 Соотношения между деформациями и напряжениями. Зависимости между компонентами тензора деформаций и компонентами тензора напряжений для изотропной среды определяются законом Гука, который для осесиметричного напряженного состояния записывается в виде 11

Конечные элементы для осесимметрично нагруженных оболочек вращения в криволинейной системе координат

После нагружения оболочки произвольная точка М0 переходит в положение М . Положение точки М, отстоящей на расстоянии t от срединной поверхности, в деформированном состоянии оболочки определяется радиусом -вектором (3.1.36) R(=R0t+V.

Векторы локального базиса точки М , касательные к координатным линиям, определяются дифференцированием (3.1.36) по координатам s, 0,іи записываются в виде Деформированное состояние в рассматриваемой точке характеризуются тензором деформаций. Ковариантные компоненты тензора деформаций (2.3.17), определяемые разностью компонент метрических тензоров исходного и деформированного состояний [232], записываются соотношениями компоненты метрического тензора деформированного состояния. Так как задача решается в геометрически линейной постановке, то в соотношениях (3.4.17) пренебрегли произведениями производных векторов перемещений как бесконечно малыми второго порядка малости.

С учетом (3.4.11) и (3.4.16) ковариантные компоненты тензора деформаций (3.4.17) можно выразить через компоненты вектора перемещения в матричном виде { } = [4]М 6x1 6x3 3x1 (3.4.18) где {є}Т = {є11 є22 є33 2є12 2є13 2є23] 6x1 матрица строка ковариантных компонент тензора деформаций в точке М; [Lk] - матрица дифференциальных операторов (для криволинейной к 6x3 системы координат).

Соотношения между деформациями и напряжениями. Зависимости между компонентами тензора деформаций и компонентами тензора напряжений для изотропной среды определяются законом Гука [232], который для произвольного напряженного состояния записывается в виде cr23 - матрица - строка контравариантных компонент тензора напряжений в произвольной точке оболочки; [Ск] - матрица податливости материала (для криволинейной системы 6x6 координат).

Матрица деформирования конечного элемента. В качестве дискретного элемента выбирается объемный элемент в форме произвольного восьмиугольника с узлами i, j, k, l, m, n, p, h (рис. 3.4.1 а.). Узловыми неизвестными конечного элемента принимаются перемещения и напряжения. Для выполнения численного интегрирования произвольный восьмиугольник отображается на куб с локальными координатами ,г,С (рис. 3.4.1 б.), изменяющихся в пределах -1 ,г, 1. Глобальные координаты s,e,t восьмиугольника через их узловые значения выражаются трилинейными соотношениями s = { p(,ri,C)}T{sy}; в = { р(л,С)}Т{ву}; t = { p(,Tj,C)}T{ty}, (3.4.21) 1x8 8x1 1x8 8x1 1x8 8x1

Аппроксимация компонент перемещения произвольной точки конечного элемента через компоненты перемещений узловых точек выполняется в двух вариантах. 1 вариант. Компоненты перемещения аппроксимируются как скалярные величины. Контравариантные компоненты перемещения произвольной точки конечного элемента аппроксимируются через контравариантные компоненты перемещений узловых точек трилинейными соотношениями

Как видно из (3.4.29), при использовании скалярной аппроксимации отдельная компонента перемещения произвольной точки конечного элемента аппроксимируется через узловые значения только этой же компоненты выражениями (3.4.27). 2 вариант. Компоненты перемещения аппроксимируются как компоненты векторных величин.

Перемещение произвольной точки конечного элемента (3.4.14) аппроксимируется через перемещения узловых точек трилинейными соотношениями

С использованием соотношения (3.4.10) можно получить матричные выражения базисных векторов узловой точки через базисные векторы произвольной точки конечного элемента {g0«} = [ r][sr {g0} = [Y"]{g0}; 3x1 3x3 3x3 3x1 3x3 3x1 {g0ro} ={g0} [їю] ; (G = i,j,k,l,m,n,p,h), \Т ( „лГг п-\Т 1x3 1x3 3x3 (3.4.33) где g0u,J = {g g20o} a0"} - матрица - строка базисных векторов узловой 1x3 точки конечного элемента. С учетом (3.4.33) вектор (3.4.32) запишется в виде V = {g0}T [fj p2[fj ... p7[rPJ p8[rhJ {vy}. (3.4.34) f %[У]Г ...(p7[rpJ ф"]т 1x3 L 3x3 3x3 3x3 3x3 24x1 Приравниванием правых частей (3.4.30) и (3.4.34) можно получить аппроксимирующее выражение для компонент вектора перемещения произвольной точки конечного элемента в виде Как видно из (3.4.36), при использовании векторной аппроксимации каждая компонента вектора перемещения произвольной точки конечного элемента аппроксимируется через узловые значения всех компонент векторов перемещений Va(co = i,j,kJ,m,n,p,h) узловых точек и через матрицы выражения (3.4.33) учитываются параметры используемой системы координат.

Конечные элементы для произвольно нагруженных оболочек вращения

В качестве дискретного элемента выбирается объемный призматический конечный элемент с постоянным поперечным сечением в плоскости xОz в форме

произвольного четырехугольника с узлами i,j,k,l (Рис. 3.1.4.). Узловыми неизвестными принимаются приращения перемещений и приращения напряжений. Для выполнения численного интегрирования произвольный четырехугольник отображается на квадрат с локальными координатами ,77, изменение которых выражается неравенствами -1 ,г/ 1 . Глобальные координаты х, z произвольной точки конечного элемента через их узловые значения выражаются билинейными соотношениями (3.1.13) х = {/( фУ {ху}

Дифференцированием (3.1.13) по алгоритму, описанному в п.3.1 соотношениями (3.1.14) - (3.1.17), определяются производные глобальных координат в локальной системе х, ,х z, ,z и производные локальных координат в глобальной системе,х, ,z?],x,?],z.

Компоненты вектора приращений перемещений произвольной точки конечного элемента аппроксимируются через компоненты векторов приращений перемещений узловых точек конечного элемента с использованием билинейных функций формы в виде векторов приращений перемещений узловых точек конечного элемента.

В (4.1.26) компоненты вектора приращений перемещений произвольной точки конечного элемента аппроксимируются через компоненты узловых векторов приращений перемещений как скалярные величины. В этом случае каждая компонента вектора приращений перемещений произвольной точки конечного элемента аппроксимируется через узловые значения только этой же компоненты выражениями (4.1.25).

Компоненты тензора приращений напряжений в произвольной точке конечного элемента аппроксимируются через компоненты тензоров приращений напряжений в узловых точках конечного элемента с использованием билинейных функций формы в виде матрица - строка компонент тензоров приращений напряжений в узловых точках конечного элемента.

Зависимость компонент тензора приращений деформаций в произвольной точке конечного элемента от компонент тензора приращений перемещений узловых точек конечного элемента с учетом (4.1.26) определяется матричным соотношением [75]

После выполнения варьирования функционала (4.1.30) по узловым {Лсг }Ги {Avyf получаются системы уравнений Матрица деформирования всей конструкции формируется с применением традиционной процедуры МКЭ [214]. Пример 4.1.1. Рассматривалась пластина, защемленная на левом конце и загруженная силой F на правом конце, (Рис. 4.1.1). Ее напряженно-деформированное состояние определялось в условиях шагового нагружения при геометрических размерах: l= 0,2м; h=0,01м. Первоначальная нагрузка принимается Af1 =0,0 1Н.

Диаграмма растяжения материала использована из [33] (дюралюмин Д16Т) (Рис.4.1.2). Параметры диаграммы деформирования принимались следующие: Е = 7,5х104 Мпа - модуль упругости; =0,3 - коэффициент Пуассона; y=0,00267 - деформация, соответствующая пределу текучести y =200МПа.

При дискретизации пластины принято: Nm – число узлов вдоль пластины; Nn – число узлов по толщине; (Nm-1)(Nn-1) – число элементов. Интегрирование по объему конечного элемента выполнялось численно по формуле Гаусса с использованием девяти точек интегироваия в одном направлении. В каждой точке интегрирования проверялось условие Хубера-Мизеса. При условии сг0 а0у в алгоритме использовалась матрица упругости [C], если сг0 сг0у, то использовалась матрица пластичности [Cп]. Матрица деформирования [к] отдельного дискретного элемента формируется на основе соотношений, изложенных в п. 4.1. Коэффициенты матрицы деформирования элемента в матрице деформирования ластины располагаются по алгоритму, приведенному в [79].

Полученная система алгебраических уравнений решалась методом Гаусса, в результате чего для каждого узла определялись значения напряжений и перемещений.

Шаговый процесс нагружения продолжался до достижения заданной нагрузки. При получении диаграммы деформирования материала использовались формулы [169] : в пределах упругости

Сила, при которой в крайних волокнах заделки возникают напряжения, равные пределу текучести y обозначается символом Fy, эпюра нормальных напряжений в заделке представлена на Рис. 4.1.3. Значение момента внутренних сил этой эпюры определяется по формуле описывается весь процесс изменения напряженно-деформированного состояния конструкции. Решение считается оконченным, если полученные в конце значения напряжений при различных количествах шагов оказываются незначительно различимыми. Эпюра нормальных напряжений в заделке пластины при различных количествах шагов гаружения показана на Рис.4.1.5.