Введение к работе
Диссертация посвящена исследованию общих свойств, разработке эффективных аналитических и численных методов анализа, а также численному решению задач оптимизации упругих тел и конструкций относительно их спектральных характеристик.
В общей форме обсуждаемые в диссертации задачи могут быть представлены в виде
Аі(Л(г)) -» max (min), і,-(Я(г); w{r),r) < 0, (1)
h(f) Л(г)
A(h(r))w(r) = \B{h(r))w{r), fefi. (2)
Однородная краевая задача (2) определена в области Г2; г- независимые переменные; w(f) - функция, описывающая напряженно-деформированное состояние; Л - собственные числа (критические силы потери устойчивости, квадраты собственных частот свободных колебании); А, В - симметричные линейные операторы; h(f) - вектор управляющих функций; Ji(h(r);w(r),r) < 0 - заданная система ограничений.
Рассматриваются задачи определения удовлетворяющей заданной системе ограничений вектор-функции h(r) из условия экстремальности заданного собственного значения спектральной задачи (2).
Актуальность темы. Изучение задач оптимального проектирования вида (1-2) начинается с работы J,- L. Lagrange (1770) о наивыгоднейшем очертании колонны минимального веса, выдерживающей заданную нагрузку. Полученное Лагранжем решение оказалось ошибочным и в последующем T.Clausen (1851) и Е.Николаи (1907) дали правильное решение этой задачи и указали на обобщения, приближающие постановку задачи к реальным условиям функционирования сжимаемых колонн.
Начиная с этого времени обращение исследователей к задачам оптимального проектирования механических систем относительно их спектральных характеристик принимает регулярный характер, что объясняется актуальностью этих задач при проектировании мостов, сооружений, летательных аппаратов. Отметим в этой связи исследования Д.И. Журавского (1860) о рациональном расположении ребер жесткости при усилении стенок трубчатых мостов, Н.Г.Ченцова (1936) об устойчивости оптимальных стержней, А.Ф. Смирнова (1936) о проектировании арок с максимальной фундаментальной частотой свободных колебаний.
Систематическое исследование спектральных задач оптимального проектирования, продолжающееся до настоящего времени, начинается с 60-х годов и вызвано прежде всего актуальностью этих задач в ракетостроении, самолетостроении, судостроении, машиностроении, строительстве сооружений. С другой стороны, в это же время появляется адекватный математический аппарат (принцип максимума Понтрягина, метод динамического программирования Беллмана, математическое программирование), а также мощные вычислительные средства для исследования сложных задач оптимизации.
Обстоятельное изложение многочисленных аспектов спектральных задач оптимального проектирования деформируемых систем, оригинальных постановок задач оптимизации и методов их решения а также обширная библиография по этому классу задач содержится в монографиях авторов Гринев В.Б., Филиппов А.П. (1975), Троицкий В.А. (1976), Ж.- Ар-ман. (1977), В.И.Бирюк, Е.К.Липин, В.М.Фролов. (1977), Гринев В.Б., Филиппов А.П. (1979), Баничук Н.В. (1980), Малков В.П. и Угодников А.Г. (1981), Олъхофф Н. (1981), Троицкий В.А., Петухов Л.В. (1982), Хог Э., Арора Я. (1983), Баничук Н.В. (1986), Литейное В.Г. (1987), Баничук Н.В., Кобелев В.В., Рикардс Р.Б. (1988), Хог Э., Чой К., Комков В. (1988), Баничук Н.В., Иванова С.Ю., Шаранюк А.В. (1989), Баничук Н.В., Бирюк В.И., Сейранян А.Л., Фролов В.М., Яремчук Ю.Ф. (1989).
С практической точки зрения чрезвычайно важным является не только построение оптимальных проектов, но и указание способа изменения текущих значений параметров проектирования, приводящих к улучшающим изменениям оптимизируемого функционала. Совокупность связанных с этим исследований получила название анализа чувствительности, а сами выражения для приращений функционала (их линейная часть) -формул чувствительности.
При решении многих спектральных задач оптимизации оптимизируемое собственное значение будучи некратным для неоптимального набора . параметров проектирования для оптимальных решений становится кратным. На это обстоятельство впервые обратили внимание Olhoff N., Ras-mussen S. (1977). Подчеркнем, что ввиду недифференцируемости кратного собственного значения по параметрам проектирования при построении выражений для приращения оптимизируемого собственного значения возникают принципиальные трудности.
Проблема построения оптимальных решений с учетом кратности собственных значений с различных точек зрения обсуждалась многими исследователями. Отметим работу Баничук Н.В., Барсук А.А. (1983), где
был предложен метод декомпозиции для анализа задач с кратным спектром, публикации Братусь А.С, Сейрашн А.П. (1984), Сейранян А.П. (1987) в которых в общей форме проанализированы необходимые и достаточные условия оптимальности для конечномерных задач, а также монографию Э.Хога, К.Чоя и В.Комкова (1988), где имеется подробная библиография публикаций западных исследователей по этой проблеме.
Анализ как уже имеющихся, так и представленных в диссертации решений задач оптимального проектирования систем с кратными собственными значениями показывает, что кратность собственных значений достигается не только для оптимального набора параметров проектирования, но и для их значений из некоторой окрестности оптимального набора. В связи с этим Н.В. Баничуком, А.А. Барсуком и В.В. Сауриным (1995) введен в рассмотрение класс вариаций переменных проектирования, сохраняющих кратность собственных значений, и для которого формула чувствительности кратных собственных значений подставляется линейным по вариациям переменных проектирования функционалом.
Характерным для решения спектральных задач оптимизации является образование сингулярных решений, приводящих к обращению d ноль коэффициентов в определяющих уравнениях. Отметим в этой связи работы Niordson F. (1965), Olhoff N. (1975), Banichuk N.V., Karihaloo (1977), в которых исследованы закономерности образования сингулярных решений и изучено их асимптотическое поведение. Во всех упомянутых случаях рассмотрение велось для задач, описываемых линейными операторами. Автором было проанализировано образование сингулярных решений в нелинейных задачах оптимизации (1995) и обнаружено, что характер формирования сингулярных решений для этого класса задач существенно отличается от закономерностей образования сингулярных решений в задачах, описываемых линейными операторами.
В связи с широким распространением композиционных материалов и использованием анизотропных моделей для описания конструкций с конструктивной анизотропией оптимизация анизотропных свойств упругих тел за счет рационального распределения угла анизотропии представляет собой актуальную задачу. Большое число опубликованных исследований по эффективности армирования упругих тел и конструкций посвящено главным образом анализу влияния параметрических зависимостей угла анизотропии на значения оптимизируемых функционалов. В работах Н.В.Баничук, А.А. Барсук, Л.Р.Трифанова, А.В.Шаранюк (1991), А.А. Барсук, Л.Р.Трифанова, Н.Р.Трифанова(1%2), Н.В.Баничук, А.А.Барсук, В.В.Саурин (1995) иследованы задачи оптимального проектирования ани-
зотропных пластин в условиях устойчивости и свободных колебаний за счет рационального выбора распределения угла ортотропии.
Отметим также, что широкий класс задач оптимального проектирования связан с решением спектральных задач, определенных в симметричных областях, а структура оптимальных решений связана с симметрией области. Для частных случаев симметрии области эта связь обсуждалась А.А. Зевиным (1991). В диссертации с использованием аппарата теории групп представлен общий анализ взаимосвязи симметрии области и структуры оптимальных решений.
Наконец, укажем, что численное решение полной проблемы собственных значений больших размерностей (> 104) даже для современных ЭВМ сопряжено с большими усилиями. При численном решении спектральных задач оптимизации, сопровождаемом многократным решением задач на собственные значения, эти трудности существенно увеличиваются. Однако для симметричных механических систем задача решения проблемы собственных значений может быть заметно упрощена. Для систем, обладающих круговой симметрией, методы решения спектральных задач рассматривались А.Я. Гродно (1967), С.З. Динкевичем (1977), а для систем, инвариантных относительно параллельных сдвигов - М.Л. Бурышкиным (1975). В диссертации представлен общий способ анализа спектральных задач симметричных механических систем, использующий математический аппарат теории симметрии.
В последние годы в связи с созданием крупногабаритных космических конструкций серьезное внимание исследователей обращено на анализ спектральных задач для механических систем периодической структуры. Отметим в этой связи серию работ M.S. Anderson (1984 - 1991), в которых рассматривались задачи расчета свободных колебаний и устойчивости периодических решетчатых структур. В диссертации изложен общий способ расчета как континуальных, так и конечномерных периодических механических систем и с его использованием в замкнутой аналитической форме получены оригинальные решения ряда классических задач математической физики и механики конструкций.
Цель работы. Разработка общих методов анализа спектральных задач оптимального проектирования и с их использованием построение аналитических и численных решений классов задач проектирования упругих систем с экстремальным значениям фундаментальной частоты свободных колебаний или критической силы потери устойчивости.
Методы исследования. При анализе обсуждаемых в диссертации задач широко применяются методы вариационного исчисления и опти-
мального управления; математические методы теории симметрии; современные методы решения задач на собственные значения; конечноразност-ные и конечноэлементные дискретизации континуальных формулировок задач оптимизации; современные технологии организации вычислительных процессов.
Научная новизна.
-
Развит эффективный метод решения полной проблемы собственных значений для симметричных механических систем (метод декомпозиции). Установлены общие закономерности формирования спектра собственных значений периодических систем и с их использованием в замкнутой аналитической форме построены оригинальные решения ряда спектральных задач механики деформируемых систем.
-
Установлена связь симметрии механической системы и структуры оптимальных решений.
-
Получены формулы чувствительности кратных собственных значений в классе вариаций параметров проектирования, сохраняющих кратность.
-
Получены оригинальные аналитические решения одномерных спектральных задач оптимального проектирования, описывающих различные постановки задач оптимизации - задачи оптимизации устойчивости сжимаемых стержней (шарнирное закрепление, жесткое защемление концов стержня, стержни с упругой заделкой); задачи оптимпзаци устойчивости стержней при тепловых нагрузках; задачи оптимизации устойчивости скручиваемых стержней; задачи оптимизации изгибной жесткости гибких стержней (случаи нелинейного изгиба и закритического деформирования); задачи оптимального проектирования балки с максимальной фундаментальной частотой изгибных колебаний.
-
Построено бимодальное решение в задаче оптимизации устойчивости сжимаемого жестко защемленного стержня для случая линейной зависимости изгибной жесткости от площади поперечного сечения стержня.
-
Исследован класс задач проектирования упругих анизотропных пластин с экстремальным значением фундаментальной частоты свободных колебаний за счет рационального выбора распределения угла анизотропии.
7. Исследован класс задач оптимизации устойчивости упругих ани
зотропных пластин за счет рационального выбора распределения угла
анизотропии.
Теоретическая и практическая ценность. Развитые общие методы анализа спектральных задач оптимального проектирования могут
быть применены при решении задач расчета и оптимизации устойчивости и частот свободных колебаний упругих систем, а полученные решения конкретных задач дают количественные оценки эффективности оптимальных решений и могут быть непосредственно использованы при проектировании механических конструкций по динамическим характеристикам и устойчивости. В частности, изложенные в диссертации методы эффективно применялись при решении конкретных задач в рамках х/д НИР с ИПМ АН СССР и НАГИ им. Н.Е.Жуковского (1978 -1990гг.).
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международных съездах по оптимальному проектированию (The World Congress of Structural and Multidistiplinary Opimization) (Goslar (Germany),1995; Zacopane (Poland),1997); Всесоюзных съездах по теоретической и прикладной механике (Ташкент,1986; Москва,1991); Всесоюзных конференциях по оптимальному управлению в механических системах (Киев,1979; Москва,1981); Всесоюзных конференциях "Проблемы снижения материалоемкости силовых конструкций" (Горький,1984,1989); Всесоюзной конференции "Современные проблемы информатики, вычислительной техники и автоматизации" (Горький,1988); Международной конференции " Проблемы оптимизации в механике деформируемого твердого тела" (Нижний Новгород,1995).
Результаты диссертации излагались на научных семинарах Института проблем механики АН РФ (1982, 1997; н.р. - проф. Н.В.Баничук); Московского института электронного машиностроения (1985; н.р. - проф. А.С.Кравчук); Нижегородского госуниверситета им. Н.И.Лобачевского (1986,1997; н.р. - проф. В.П.Малков); Тульского госуниверситета (1997; н.р. - проф. Л.А. Толоконников); Инстиута математики АН РМ (1995, 1997; н.р. -проф. В.Г.Чебан); ТехническогогосуниверситстаРеспублики Молдова (1997; н.р. - проф. В.Ю.Марина).
Представленные в диссертации результаты регулярно обсуждались на итоговых научных конференциях Молдавского госуниверситета, на научных семинарах Отдела математических методов оптимизации Вычислительного центра МолдГУ.
Публикации. Основные результаты дисертации опубликованы в работах [1 - 28].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, двух приложений, списка литературы из 175 наименований, включает в себя 84 иллюстрации (в 74 из них в графической форме представленны результаты численных расчетов), 80 таблиц и занимает 360 страниц (в той числе иллюстрации и таблицы занимают 72 страницы,
библиография - 11 и приложения - 18), набранных в текстовом редакторе LaTexie (шрифт 12pt, style - disser(baselinestretch{1.0})).