Введение к работе
Актуальность работы. В математической физике иирокое применение находят аналитические методы теорий комплексных и гиперкомплексных функций. Хородей иллюстрацией этого является развитие различных аналитических методов реиения задач теории упругости. Основой эффективных приложений комплексного анализа (теории аналитических функций комплексного переменного или ТФІСП) в теории упругости является комплексное представление обцего ренекия уравнений плоской теории упругости называемое в литературе формулой Колосова-Мусхелишвили. В осесимметричной теории упругости успешно используются различные классы обобщенных аналитических по Векуа функций комплексного переменного, р- и (р,д)-аналитические функции комплексного переменного. В связи с успехами различных теорий функций комплексных переменных в двумерных задачах имеются многочисленные подходы, распространяющие методы этих теорий и их гиперкомплекных обобщений на пространственные задачи теории упругости. Наиболее значимые результаты в этом направлении в настоящее время достигнуты последователями кватернионного анализа. Теория регулярных кватернионных функций неполной кватернионной переменной развивается как пространственный аналог ТФКП и приспособлена для аналитических исследований пространственных задач математической физики. В последнее время опубликован ряд работ, показывающих эффективность применения кватернионного метода в пространственных задачах теории упругости. Ряд существенных результатов в этом направлении получен для звездных областей. Кроме того, в современной математической теории упругости имеются не решенные аналитические проблемы, важные в теоретическом и практическом плане, такие, как, например, вопросы об общих решениях и теоремах о среднем для уравнений теории упругости. Отметим также, что известные представления решений классических задач о равновесии упругого шара имеют определенные недостатки, в частности, решения представлены через трудно обозримые ряды или через производные до второго порядка включительно от некоторы;: квадратур, в ряде работ рассматривались осесинметрччиыо и другие частные случаи. Сказанное выше и определяет актуальность темы данной работы.
Цальв работы является развитие кватернионного подхода при решении пространственных задач теории упругости, получению кватернионных представлений общего решения уравнения Ламе теории упругости в звездных и в произвольных областях, их эффективным прилохенияы при решении основных краевых задач теории упругости, изучению свойств применяемых кватернионных функций, а такхо изучению других аналитических свойств решений уравнений теории упругости.
Методика выполнения работы. В исследованиях использованы теории регулярных кватернионных функций, гармонических функций, вещественный и комплексный анализы, теория специальных функций математической физики, теория интегральных уравнений и техника операторов радиального интегрирования.
Научная новизна. Разработан математический аппарат, обобщающий метод - комплексных функций на трехмерное пространство, основанный на кватернионном подходе к теории системы Моисила-Теодореску, при котором решения этой системы являются регулярными кватернионными функциями. Получен ряд новых существенных результатов по теории применяемых кватернионных функций, в частности доказаны аналоги важных аппроксимационных теорем М. А. Лаврентьева, М. В. Келдыша из комплексного анализа. Разработана техника операторов радиального интегрирования, приспособленная для решения задач математической физики в звездных областях. С ее помощью получено новое кватернионное представление общего решения уравнения Ламе в звездных областях. Показано, что в случае плоской деформации из него вытекаем комплексное общее решение Колосова- Нусхелишвили. Получено новое представление общего решения уравнения Ламе в произвольных областях, выраженное через два регулярные кватернионные функции в виде прямого пространственного аналога формулы Колосова-Мусхелишвили. Показаны эффективные приложения полученных новых представлений: решения четырех основных задач о равновесии упругого шара получены в квадратурах в виде аналогов известных формул Пуассона и Неймана из теории гармонических функций; предложен новый метод решения первой основной задачи теории упругости для произвольной ограниченной области с ляпуновской границей в предположении, что известна функция Грина гармонической задачи Дирихле. Для уравнения гармонических колебаний упругого тела и
для уравнения, получающегося из динамического уравнения Ламе при одностороннем преобразовании Лапласа по времени, доказаны новые аналоги теорем о среднем из теории гармонических Функций. Полученный при этом оператор усреднения при определенных условиях имеет норму меньшую единицы, что гарантирует возможность применения метода Монте-Карло при численном решении первой краевой задачи. Впервые общее решение уравнения гармонических колебаний упругого тела в звездной области выражено в интегро- дифференциальной форме через три произвольные гармонические функции.
Достоверность полученных в работе результатов. Выводы и положения, сформулированные в диссертации, основаны на строгих математических доказательствах и в частных случаях из них следуют известные ранее результаты.
Научная и практическая ценность. Развитая теория регулярных кватернионных функций может служит аналитическим аппаратом при исследовании пространственных задач математической физики. Полученные новые представления общих решений различных уравнений теории упругости имеют теоретическое и практическое значения. Предложенный здесь метод может служить основой для численного решения первой основной задачи теории упругости в произвольных областях. Тензоры Грина четырех основных задач о равновесии упругого шара впервые выражены в замкнутой форме через элементарные и специальные функции. Установленные теоремы о среднем могут служит основой для решения краевых задач методом Монте-Карло.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались
1.. На семинаре математического факультета Якутского государственного университета.
2. На семинарах отдела механики деформируемого твердого
тела (рук. проф. Соснин О-В.) и лаборатории динамической
прочности (рук. проф. Аннин Б.Д.) Института гидродинамики им.
М. А. Лаврентьева СО РАН.
3. На їх Всесозной конференции пс численным uvwnvj.
решения задач теории упругости и пластичности (Саратов, 191Й).
-
На VI Всосозном съезде по теоретической и прикг.шк>0 механике (Ташкент, 1Э86).
-
На расширенном заседании кафедры теоретической йлгэп'.сЛ
Якутского государственного университета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы і работах [ 1-EJ].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 94 наименований. Работа изложена на 111 страницах машинописного текста.