Введение к работе
_Актуальиооть_темнг Ветвящиеся процеосы, возникнув как отдельные математические модели развития популяции частиц, способных размножаться, превращаться и гибнуть по олучайным законам, начали изучаться в конце 40-х годов. Началом создания теории ветвящихся случайных процессов послужили работы А.Н.Колмогорова, Б.А.Севастьянова» Н.А.Дмитриева, А.М.Яглома, Р.Белмана, Т.Харриса.
Интенсивное развитие теории ветвящихся процессов в настоящее время обусловлено широкими возможностями ее приложений в решении большого круга прикладных задач, возникающих в йязике, химии, биологии, технике. Общей чертой всех изучаемых в теории случайных процессов схем ветвления является предположение независшости эволюции существующих в популяции частиц друг от друга. Такое предположение является вполне допустимым при использовании ветвящихся процессов в качестве математических моделей многих реальных процессов на ранней стадии их разрития. Вместе с тем, это предположение сужает возможности применения развитой теории ветвящихся процессов при изучении реальных процессов ветвления на более поздних стадиях их развития, когда число существующих частиц велико и взаимодействием частиц уже нельзя пренебречь, когда включаются механизш,регулирующие интенсивности гибели и размножения частиц. Поэтому актуальной задачей является изучение схем ветвления частиц, в которых меняется режим ветвления вместе с изменением плотности популяции частиц.
В конце 60-х годов появились работы Н.Е.Левино", А.М.Леонтовича, И.И.ІІятецкого-Шапиро. (1968), А.В.Васильева (1968), затем В.А.Лабков-ского (1972), Т.йШва^агі (1976), где обсуждались и изучались схемы
ветвления частиц, в которых каждая частица кивет единицу времени и в конце своей жизни независимо от других частиц гибнет или превращается в несколько частиц с вероятностями, зависящими от числа существующих частиц в момент деления.
Дальнейшее изучение этоК схемы ветвления продолжалось в работах Б.А.Севастьянова и А.М.Зубкова (1974), Е.ІСпебанера (І383-І985), Р. Хепфнера (1985, 1986).
Следует отметить, что более реальными являются схемы с изменяющимися режимами ветвления частиц, в которых частицы гибнут или размножаются в любой момент времени. Такие схемы ветвления описываются случайными процессами с непрерывный временем.
Цель работы. Исследование нового класса случайных процессов с непрерывным временем - ветвящихся с переменньм режимом процессов, описывающих схемы ветвления частиц, в которых интенсивности размножения и гибели частиц меняются вместе с изменением числа частиц, существующих в момент деления. Изучение вероятностей вырождения этих процессов, исследование предельного поведения процессов при различных режимах размножения и регулирования интенсивностеп превращения частиц.
.Методика исследований. В диссертационной работе разработан новый метод исследования предельного поведения случайных процессов,, описывающих схемы ветвления,- в которых интенсивности размножения и гибели частиц произвольным образом зависят от числа частиц, существующих в момент деления. Суть метода состоит в следующем. Вначале изучаются ветвящиеся с переменным режимом процессы, описывающие схему ветвления с конкретной зависимостью интенсивностей превращения частиц от числа частиц, существующих в момент превращения. Затем устанавливается, насколько могут отличаться интенсивности превращения частіш в ветвящемся с переменным ретаглом процессе с
произвольной зависимостью от числа существующих частиц интенсивностей превращен!!;!, от интенсивностей превращений в изученных процессах, чтобы асимптотическое поведение агих двух классов процессов совпадало.
Научная новизна. Предложенный метод исследования позволил провести асимптотический анализ поведения новых классов случайных процессов, описывающих схемы ветвления со стабилизирующимися с ростом численности частиц интенсивностями превращения и схемы со стремящимися к нулю с ростом численности частиц интенсивностями гибели и размножения.
Полностью исследовано асимптотическое поведение случайных процессов, описывающих схему ветвления с обратно пропорциональной численности регулировкой интенсивностей гибели и размножения частиц при докритическом, критическом и надкритическом режимах размножения и докритической, критической и надкритической регулировками.
Проведен полный асимптотический анализ случайных процессов, описывающих схемы ветвления о обратно пропорциональной численности регулировкой интенсивноотей превращения частиц, допускающей возможность иммиграции частиц.
Полностью изучено предельное поведение ветвящиеся с переменным режимом процессов, описывающих развитие популяции частиц в лиЯитирующей среде, которая позволяет развиваться ограниченному числу частиц, без иммиграции и с иммпграциеіи
Предложена методика использования тауберовых теорем для асимптотического анализа поведения Функций со степенной скоростьп стремления к нулю.
Теоретическая и практическая значимость. Разработанные в диссегтационноі1 работе методы исследования и полученные результаты служат осново!: для ченчптотпеского янялпзч случайных процессов, етп'сыряг»."их ох-?чч вегв^енсл с ::з"рняг:зя!пся при и?у>чен;ти числен-
4 ности существующих частиц интенсивностями гибели и- размножения
частиц. Эти результаты могут найти непосредственное практическое приложение при анализе конкретных схем о изменяющимся режимом ветвления, которые реализуются во многих физических, хшических, микробиологических процессах.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на семина-. pax Ин-та математики АН Украины, Московского университета, на секции теории вероятностей и математической статистики при ученом совете Ин-та математики АН Украины, на выездам заседании Украинского республиканского семинара по теории вероятностей и математической статистики (Львов, 1987), на школе-коллоквиуме по теории случайных процессов в Косове (1990), на II Донецкой конференции "Вероятностные модели процессов в управлении и надежности", на советско-шведском симпозиуме по ветвящимся процессам в Киеве( 1990), на ІУ, УІ советско-японских симпозиумах по теории вероятностей и математической статистике, на Ш, ІУ Международных Вильнюсских конференциях по теории вероятностей и математической статистике, на I Всемирном Конгрессе Общества математической статистики и теории вероятностей им, Я.Бернулли.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 47 работ, из них 18 работ составили основу диссертации. Список этих работ приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, раздела некоторых предварительных сведений и 10 параграфов, разбитых на пункты и сосредоточенйых в 2 главах, приложения и списка литературы, включающего 65 наименований. Объем работы - 269 страниц машинописного текста.