Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Оценки сшиинвариантов, сэдл и инте гралов от сшиинвариантов 22
1.1. Оценки смешанных семиинвариантов случайных полей. 22
1.2. Оценки для сумм от смешанных семи инвариантов случайного поля с дискретным временем 38
1.3. Оценки интегралов от смешанных семи инвариантов случайного поля с не- прерывным временем 43
Глава II. Оценки старших спектральных плотности однородных случайных полей . 49
2.1. Оценки старших спектральных плотностей однородных случайных полей с дискретным временем 49
2.2. Оценки старших спектральных плотностей однородных случайных полей с непрерывным временем .
2.3. Аналитичность старших спектральных плотностей однородных случайных полей с дискретным временем 60
2.4, Аналитичность старших спектральных плотностей однородных случайных полей с непре
рывным временем. 65
Глава III. Исследование статистик сгшктральной плотности однородного в широком смысле случайного поля, полученных временным сдвигом 70
3.1. Асимптотические свойства статистик спектральной плотности однородного в широком смысле случайного поля с дискретным временем,по лученных временным сдвигом 70
3.2. Центральная предельная теорема для статистик спектральной плотности случайного поля с дискретным временем, полученных временным сдвигом 99
3.3. Центральная предельная теорема для случайных полей с непрерывным временем 127
Литература 134
- Оценки для сумм от смешанных семи инвариантов случайного поля с дискретным временем
- Оценки интегралов от смешанных семи инвариантов случайного поля с не- прерывным временем
- Оценки старших спектральных плотностей однородных случайных полей с непрерывным временем
- Центральная предельная теорема для статистик спектральной плотности случайного поля с дискретным временем, полученных временным сдвигом
Введение к работе
Спектральный анализ временных рядов и случайных полей является развитой ветвью теории случайных процессов и полей, основы которого заложены в фундаментальных работах Андерсона Т., Бриллинджера Д., Гренандера У,, Журбенко И.Г., Ибрагимова ИД., Колмогорова А.Н., Розанова Ю.А., Розенблатта М., Хеннана Э«, Ширяева А.Н., Яглома А.М., Ядренко М.И. В последнее время уделялось исключительно большое внимание спектральному анализу временных рядов и случайных полей. Такой широкий интерес продиктован приложениями методов спектрального анализа почти во всех областях науки, охватывая широкий диапазон задач техники, физики, геофизики, астрономии, экономики, биологии, медицины, причем, роль методов спектрального анализа в научных исследованиях непрерывно возрастает. Именно этим объясняется появление в последнее время ряда монографий, посвященных анализу временных рядов и случайных полей, а также множества самых разнообразных процедур статистического анализа.
Однако спектральный анализ случайных полей изучен в значительно меньшей мере, чем спектральный анализ временных рядов.
В предлагаемой работе рассматриваются следующие вопросы спектрального анализа однородных случайных полей: получение оценок смешанных семиинвариантов случайных полей; нахождение условий существования, ограниченности и гладкости старших спектральных плотностей однородных случайных полей в условиях регулярности; применение полученных результатов в статистическом анализе случайных полей, построив статистики спектральных плотностей второго порядка однородных случайных полей, полученной с помощью временного сдвига модифицированной периодограммы и изучив их статистические свойства.
Смешанные семиинварианты играют важную роль при изучении асимптотических свойств случайных полей. Особенно удобно их использование в предположениях слабой зависимости рассматриваемых случайных полей. Оценки смешанных семиинвариантов находят широкие применения при выводе предельных теорем, теорем о больших уклонениях для слабо зависимых случайных величин, оценок сверху старших спектральных плотностей однородных случайных полей в условиях регулярности*
Необходимость изучения старших спектральных плотностей однородных случайных полей в условиях регулярности поля обусловлена как многочисленными приложениями в физике, так и широким набором задач в статистике однородных случайных полей. Изучения старших спектральных плотностей однородных случайных полей требует задача проверки близости распределений поля к гауссов-ским, эта же необходимость возникла при оценке моментов статистики спектральной плотности второго порядка. При исследовании этих задач очень удобными оказываются условия регулярности случайных полей, которые могут использоваться в качестве априорных условий, поскольку в большинстве реальных ситуаций эти условия выполняются. Условие регулярности удобно не только при исследовании задач асимптотического характера, но и при статистическом анализе, который может быть существенно уточнен за счет таких начальных предположений.
Известно, что спектральные плотности вторых порядков полностью описывают гауссовские поля. Следовательно, знание статистически "хороших" оценок спектральных плотностей дает важную - 7 -информацию о структуре поля. Поэтому мы в нашей работе сочли нужным рассмотреть статистики спектральных плотностей второго порядка однородных случайных полей, полученной с помощью временного сдвига модифицированной периодограммы.
В случае стационарных процессов такая статистика была введена в работах Журбенко И .Г. по предложению Колмогорова А.Н. Эта статистика обладает рядом практических преимуществ по сравнению со статистиками типа Гренандера-Розенблатта.
Цель диссертации заключается в следующем: получение оценок смешанных семиинвариантов, сумм и интегралов от смешанных семиинвариантов, встречающихся в спектральном анализе однородных случайных полей; установить существование и ограниченность старших спектральных плотностей (и их смешанных производных) однородных случайных полей в условиях регулярности; исследовать аналитичность старших спектральных плотностей однородных случайных полей, в условиях регулярности; построить статистики спектральной плотности второго порядка однородного случайного поля, полученные временным сдвигом, и изучить их асимптотические свойства (несмещенность,состоятельность, асимптотическое распределение, построение доверительного интервала).
Отметим, что вопросы, рассматриваемые в диссертации, примыкают к исследованиям Бенткуса Р., Бриллинджера Д., Булинско-го А.В., Журбенко И .Г., Ибрагимова И.А., Леоненко Н.Н., Ядрен-ко М,И,
Диссертационная работа состоит из введения и трех глав. Во введении дан краткий обзор результатов по спектральному анализу стационарных процессов и однородных случайных по- - 8 -лей, а также результатов, полученных авторов.
Первая глава - "Оценки семиинвариантов высших порядков,, сумм и интегралов от семиинвариантов" - состоит из трех параграфов. Здесь изучаются смешанные семиинварианты, суммы и интегралы от смешанных семиинвариантов.
В работах 137,38] , при исследовании прохождения случайных сигналов через линейные и нелинейные системы вводятся в рассмотрение смешанные моменты и смешанные семиинварианты (в вышеуказанных статьях они назывались моментными и корреляционными функциями, соответственно) случайного процесса. С математической точки зрения эти характеристики были изучены в рабо^г тах [44,45,46.1 . Аналогичные задачи,- для случайных полей рассматривали Журбенко И.Г. [22, гл.1,21 , Леоненко Н.Н. [40 } ,. Смешанные семиинварианты являются наиболее удобным инструментом в самых разнообразных исследованиях по асимптоти-., ческим свойствам случайных полей. Использование семиинвариантов при условиях слабой зависимости рассматриваемых случайных полей представляется особенно удобным. Условия слабой зависимости начади изучать,в основном,в связи с проблемой распространения предельных теорем для,сумм независимых случайных величин на случай зависимых величин.Начало этим исследованиям положила работа Бернштейна C.H.tlOl в области теории суммирования зависимых величин. Целый.ряд исследований нашел обобщение в монографии І32І. Отметим, что крупные результаты, относящиеся к проблеме асимптотической нормальности случайных процессов и . полей получены Булинским.А.В.,Розановым Ю.А.,Ибрагимовым И.А., Журбенко И.Г., Ядренко М.И. и рядом других ученых.
Имеется ряд определений слабой зависимости систем случайных величин и " - алгебр событий. Обзор наиболее употреби- тельных мер зависимости случайных величин и с^ - алгебр событий содержится в работах [14,54] Приведем некоторые из них.
Говорят, что неотрицательная функция {?. t *j ( является мерой зависимости сі - алгебр J^ и 3^ , если !i J\ ,71-0, когда ^ и?, независимы. Например, поло- (?i дг^$1Ч,{|Р(А^РсА)РсМ:АеТ^?;^ получим, что ї^ и 3^ независимы тогда и только тогда, когда
Рассмотрим случайное поле ^СМ ,tle . Приводимые ниже условия слабой зависимости (иначе говоря, условия перемешивания или условия регулярности) полей с дискретным временем естественным образом переформулируются на поля с непрерывным временем.
Следуя Журбенко И.Г. [22, стр.6 ) , положим >t),(o.i) ouV,VW{34V'),34V")|, (0.2) - алгебра событий, порожденная случайными величинами Ї(Д) jt^V^V^-2 , |V| - число элементов в конечном множестве у dLy.C*) " называют коэффициентом с.п.ел. поля.
Отметим также, что при |\.=:1 в определении (0.1) можно брать соответственно V-{т. v.«,Tj( >V^H. ,*","^и Р где *~4 П.
Условие с.п. состоит в том, что о^^(^) . », 0 при
Т" ^со, У1я2.,3^,... . Аналогичным образом определяется коэффициент р.СП, ^=SupWv:v"):lVhiv"i=n., ?оґ,Г)**Ь ^CVWVsLtP{12(A/b>~PcA)l:Ae?cVS,BercY,,)}? (0.3) и условие р.с.п..
Существенно, что в этих условиях не требуется равномерности по объему рассматриваемых множеств V » V Условия с.п. и р.с.п. выполняются для широкого класса случайных полей. Например, выполнимость таких условий в моделях статистической физики проверялись Добрушиным Р.Л., Нахапетяном Б.С. [21,49] Простейшим условием слабой зависимости для ел. полей, является условие WL - зависимости, введенное Бернштейном С.Н.ІЮ] (см., также І39, 52] ) и состоящее в независимисти ) и WW pcV'.VVvn..
Рассмотрим ел. поле ^lt>, ЫЯ" или Іє2\
Всюду в диссертации предполагается, что время \_ , если нет явных оговорок, может быть как непрерывным, так и дискретным. Пусть S (t,v. ..,Х-уЛ смешанные семиинварианты ел.поля (и) и пусть + =.(4-. I . \ .
При анализе ел. полей, например, при исследовании старших сп.пл. однородных ел.полей с дискретным временем, приходится сталкиваться с суммами вида - II - а при исследовании старших сп. пл. однородных сл.полей с непрерывным временем, приходится иметь дело с интегралами вида \{
При этом в (0.4) и (0.5), как обычно, полагаем и ~и — ^» и их соответственно будем обозначать через "Ц^ , ф При К~1, <^и>0 , %:^ і Д =3^ . .. , Ц, выражения (0.4) и (0.5) рассмотрены в работахt.9, 29} , где находятся оценки сверху для (0.4), (0.5).
Изучению свойств смешанных семиинвариантов ел. процессов посвящены работы Бенткуса Р., Тарасявичюса П. 1.8] , Журбенко И.Г. и Зуева Н.М. 124-28] В этих работах находятся оценки смешанных семиинвариантов ел. процесса, удовлетворяющего некоторым условиям слабой зависимости. Например, в статье 28) получены оценки смешанных семиинвариантов ел. процессов в условиях перемешивания почти марковского типа. Асимптотические свойства смешанных семиинвариантов ел. полей с дискретным временем изучаются в первой главе монографии Журбенко И.Г.[22*]
Первая глава диссертации посвящена исследованию асимптотических свойств смешанных семиинвариантов ел. полей и выводу оценки сверху для сумм (0.4) и интегралов (0.5).
В параграфе I.I настоящей главы устанавливаются оценки сверху для модуля смешанных семиинвариантов ел. полей. Доказано, что если ел. поле ^Си і t. є 2 > имеет абсо- -Валютный момент р -го порядка, то для любых VI, 2. И, -1 р, выполняется неравенство
Отметим, что при к-1 этот результат получен в работе [8] для ел. процесса с независящими от сдвига моментами. Один из основных результатов 1.1 состоит в том, что если для некоторого р и > 0 существует абсолютны! момент р(1+1) -го порядка сл.поля, то для каждого И, 1 ^-Р? имеет место неравенство IbA.-t^la^^^ct^.^^y^ (0.6)
Полученная оценка уточняет один результат Журбенко Й.Г. {22, гл. I } . Отметим, что в t22] находятся оценки смешанных семи- инвариантов ^рі^ч,*" ; Тр) , ел. полей уЧчДв/С при условии, что ел. поле имеет абсолютный момент 1р(1+і) -го порядка. Сравнивая (0.6) и (1,2.5) из [22]убедимся, что оценка (0,6) является уточнением оценки (1,2,5), Улучшение достигается за счет обобщения теоремы 17,2.2 из 1^321 и.использования более точных оценок работы [Ъ~\ . При К-1 из (0.6) вытекает неравенство (8) , доказанное в L29] , причем, неравенство получается с улучшенным коэффициентом. Более того, область применимости неравенства (0.6) шире, чем (8) ИЗІ29]
В этом же параграфе рассматривается также ел. поле L^ ? с коэффициентом р.с,п. (ЬпСО Доказано, что если существует абсолютный момент р -го порядка ел. поля, то при каждом УЦ 1 < W < 07 выполняется неравенство - ІЗ - причем, порядок моментного условия неулучшаем. Аналогичный результат для Sp ("L,... Д р) в случае стационарного процесса получен в [24] при условии, что ел. процесс имеет абсолютный момент 1р -го порядка.
Полученные нами оценки использованы в параграфах 1.2 и 1.3 для получения оценки сверху сумм (0.4) и интегралов (0.5), которые необходимы во второй главе при спектральном анализе ел. полей. Эти же оценки использованы также в главе Ш настоящей диссертации при доказательстве предельных теорем для ел.полей в условиях перемешивания.
Б 1.2 получены оценки сверху для сумм (0.4). Доказано, что если для некоторого р и >0 ел. поле I4"u,"te Z > имеет абсолютный момент p^l-v-L) -го порядка, то для любого VLf 1 ^ К ^ р ? справедливо неравенство ^Л^\ц\\,±<г^\^ф ]. (0.7)
В частности, при ^ !,W*p, ^и*0,%_~ О , j ~ 3,..., И , из (0.7) следует неравенство (II) работы ^29} . Рассматриваются также ел. поля fe^x) у\.^- % с коэффициентом р.с.п. (Ь^О Показано, что если существует абсолютный момент р -го порядка ел. поля, то для любого И., 1 К^Р, выполняется неравенство
Б частности, устанавливается, что если Wl - зависимое сл.поле имеет абсолютный момент р -го порядка, то для любого И. 1 ^ vl ^ р? справедливо неравенство
Все результаты, приведенные в 1,2 для ел. полей с дискретным временем распространяются в 1.3 на ел. поля с непрерывным временем. Укажем один из результатов, полученных для интегра-лов (0.5). Предположим, что ел. поле ^(Л^ , t^u. » имеет абсолютный момент р -го порядка, тогда для любых И-,1^П~Р> справедливо неравенство
Отметим, что подобные результаты для ел. полей получены впервые. Полученные в 1.2 и 1.3 результаты могут быть применены при выводе теорем о больших уклонениях для слабо зависимых величин (см., например,[9} ). Эти же оценки использованы нами в главе II настоящей диссертации для получения оценок свер- ху сп. пл. старших порядков, которые необходимы при статистическом анализе ел. полей.
Вторая глава - "Оценки старших спектральных плотностей однородных случайных полей" - состоит из четырех параграфов. В настоящей главе диссертации исследуются свойства старших сп. пл. однородных ел.полей, удовлетворяющих условию СП., р.с.п. и WL - зависимости.
Общие вопросы спектральной теории старших порядков стационарных процессов и однородных ел. полей изучались Леоновым В.П. и Ширяевым А.Н. 144,46,58) , Леоненко Н.Н. t40] , Ягло- мом A.M. L 60] .- 15 -Изучению свойств старших сп. пл. стационарных процессов с дискретным временем, удовлетворяющих условию перемешивания "по Розенблатту", перемешивания "по Ибрагимову", посвящены работы Журбенко И.Г. и Зуева Н.М. 124,25} Первый параграф второй главы монографии 1221 посвящен исследованию старших сп.пл. однородных сл.полей с дискретным временем, удовлетворяющих условию СП.
В параграфах 2.1 и 2.2 настоящей диссертации рассматриваются однородные ел. поля, удовлетворяющие условию СП.,р.СП. и VYL - зависимости. Для этих ел. полей исследуются существование и ограниченность старших сп. пл., существование и ограниченность смешанных производных старших сп. пл.. Например, пока-зано, что если при некотором : ? О ел.поле (^"t^ , "L ^ X имеет абсолютный момент р(1+Л -го порядка, принадлежит классу SW и bu-Xt'^'t-rmr < (0.8) где %а" Фиксированное неотрицательное целое число, то для любого VL t 1 VI -1 р , существуют сп. пл. И_ -го порядка (^) , все ее частные производные порядка О^О^фД AP'^)k*^Vi* для которых при всех ^v^'^y^, Х- в J{ , выполняются неравенства М«ф). ^ІЛхи *-**> l A^Rvt^-
Отсюда, в частности, получается, что ел. поле (^,хЄ ; принадлежит и классу Д Принадлежность процесса классу /л , то есть возможность представления смешанных семиинвариантов старших порядков через сп, пл. старших порядков указывалась Колмогоровым А.Н, в [34] и рассматривалась Ширяевым А.Н. ВІ58}.
Отметим, что при VL=p из приведенных результатов вытекают утверждения теорем 2.I.I и 2.1.2, которые доказаны в 22, стр. 37-391 при условии (0.8) и существования абсолютного момента 'Z.p^l^L^ -го порядка однородного ел.поля.
В отличие от [.22, гл.2] в 2.1 и 2.2 порядок момента, налагаемого на ел. поля ^(Л> , т ^ ) ослабляется до неулучшаемого порядка, а также рассматриваются ел. поля с непрерывным временем. Отметим, что изучение, например, дисперсии статистик сп. пл. приводит нас к необходимости получения оценок сверху для сп. пл, высших порядков, которые мы можем указанным образом оценить за счет использования некоторой информации о коэффициенте перемешивания. Доказанные в 2.1 и 2,2 результаты в третьей главе используются при исследовании свойств статистик сп. пл, ел.поля, полученные временным сдвигом.
В 2.3 и 2.4 исследуются аналитичность старших сп. пл. однородных сл,полей, удовлетворяющих условию сп,, р,с,п.. Показано, что если при некотором .^ О выполнено условие -niU , _„. -, „-,, - р принадлежит классу Ь и где Ь - фиксированное положительное число, то при любом VL ^ 1 "^ VT_ -к р, сп.пл, VL -го порядка л. () аналитич- - 17 -на в области ((.Чі'-'^О'-і^і —^ 1, и в этой области она удовлетворяет неравенству
1К'-М^'кС,1'1>А-(Ф(сн-»!)Чк1.
Аналогичные результаты получены и для однородных ел» полей с дискретным временем, удовлетворяющих условию р.с.п..
Аналитичность старших сп# пл. стационарных процессов ^(t) 9\.Є- X. ; в условиях перемешивания "по Розенблатту", "по Ибрагимову" исследованы в работах 24.25] В отличие от вышеуказанных работ, в 2.3 и 2.4 рассматриваются сл.поля, как с дискретным временем, так и с непрерывным временем. Более того, порядок моментного условия, налагаемого на стационарные ел. процессы ослабляется до неулучшаемого порядка, причем область аналитичности шире, чем в L24, 25] Следует подчеркнуть, что для ел. полей такие результаты получаются впервые.
Третья глава - "Исследование статистик спектральной плотности однородного в широком смысле случайного поля, полученных временным сдвигом" - состоит из трех параграфов.
В данной главе диссертации исследуются свойства статистик сп. пл. однородных в широком смысле ел. полей, полученных временным сдвигом, а также методом семиинвариантов доказана центральная предельная теорема для сл.полей с непрерывным временем.
Различным аспектам оценок сп.пл. однородных сл.полей посвящены работы Бенткуса Р., Рудзкиса Р..Сушинскаса Ю.I 7] , - 18 -Виленкина С,Я. t.161 , Коняева K.B. І36] , Мирзахмедова М.А. t48} , Труш Н.Н* L56] . В этих работах исследуются статистические свойства оценок сп. пл. второго порядка типа Гренандера--Розенблатта однородного ел. поля. Вопросами статистического анализа стационарных процессов занималась и Малевич Т.Л.L47]. Практические рекомендации по вычислению различных характеристик оценок сп. пл. с помощью ЭВМ даются в работах [1,16,22, 50, 57].
В отличие от вышеуказанных работ, в главе ГО строится статистика сп. пл. второго порядка однородного в широком смысле сл»поля, полученных временным сдвигом, и исследуются ее асимптотические свойства.
Рассмотрим ел.поле ?(Л) > Хв, , с нулевым математическим ожиданием. Обозначим где К -(К 1? , Jv\ J\ і ' " і -N к - натуральные числа. По наблюдениям ^\1<е\$;$ KS^S^fc?, S-fk'-'^/^j сл.поля построим величину где КЧ^—Д^» ичц,...л^д^с-)- некоторая вещественная функция, равная нулю вне множества %
Введем статистику *-гСО сп.пл. ел. поля по наблюдени- ям ? l\.) t Є- К. , следующим образом: L-t і U* !>Pl: ,T« -положительные целочисленные функции от-^"
Статистика (0,9), вообще говоря, не принадлежит классу статистик типа Гренандера - Розенблата, при К-І. она была введена Журбенко И.Г.. L22, г л ,4] по предложению Колмогорова А.Н.
В 3.1 приводятся точные выражения для смещения и дис-Персии статистики (0.9) при условии, что ел. поле ^(,"t)?"t^X принадлежит классу Д П S и существует сп. пл. четвертого порядка. Естественно, что асимптотические свойства статистики сп. пл. зависят от гладкости сп. пл.. Мы предполага-ем, что сп.пл. сд.поля (^),11^ Z. при любом ХЄ1І , некоторых заданных Я^П ,^^С^Д1,С^^0 удовлет- ' (0.9) воряет соотношению ll^M-^ue^ix.r. ^t а ' <одо)
Исследуются также асимптотические свойства математического ожидания статистики (0.9). Показано, например, что если сп, пл. (/> сл.поля (.V) , "Iе- 2. удовлетворяет условию (0.10), а функция Ц) 1#>) » задаваемая равенством удовлетворяет соотношениям для любого АсіПДх[-5,] ^^ о , то H^-fwi^i: ^fiv^*- d-1 r\fe
Отсюда следует, что статистика (0.9) является асимптотически несмещенной оценкой СП. пл. ел. поля ^С"Н; -^є. . В этом же параграфе изучаются асимптотические свойства второ го момента построенной статистики. Предположим, что сл.поле принадлежит классу , сп. пл. удовлетворяет соот- ношению (0.10)^ сп. пл. четвертого порядка существует и ограничена. При этих условиях и определенных ограничениях на выбор коэффициентов &»Л*^ выделяетчя главный член дисперсии статистики (0.9).
Исследованию асимптотического распределения статистик (0.9) посвящен 3.2. Предполагается, что однородное в узком смысле.ел. поле f C"t), t& 2- у принадлежит классу Д. , сп. пл. rt-A' V * ' % ' <г<Л ' сл* поля ограничены, сп. пл.второго порядка ^-^) удовлетворяет условию (0.10) и |(/L)?0> коэффициент сп. оі.^^»^ сл. поля удовлетворяет неравенству где л.
0^< ^-,1?0 , Q В этих условиях и при некоторых ограничениях на выбор коэффициентов Сі»Л*Л доказана асимптотическая нормальность К статистики (0.9). Найдены доверительные границы для этой статистики. В 3.3 методом семиинвариантов доказана центральная предельная теорема для измеримых сл.полей, заданных на эвклидовом пространстве Rte , при этом основную роль играют результаты, полученные в I.I. В главе Ш при доказательстве большинства теорем используется ограниченность сп. пл. четвертого порядка, а при изучении асимптотических свойств статистики сп. пл. ограниченность сп. пл. и более высоких порядков. Используются также условия гладкости сп. пл. Все эти требования на основании результатов главы II могут быть удовлетворены за счет использования свойств перемешивания ел. полей. Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре "Случайные процессы и поля" (МГУ, 1978, 1980 гг.)., Всесоюзной конференции по математической стаг-тистики, посвященной 100-летию со дня рождения В.И.Романовско-го (Ташкент, 1979 г.), Республиканской конференции математиков Узбекистана (Ташкент, 1980 г.), Всесоюзной школе-семинаре "Многокомпонентные случайные системы" (Ташкент, 1982 г.)., Ш-Ферганском коллоквиуме по предельным теоремам теории вероятностей (Фергана, 1983 г.) и неоднократно на городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике при ТашГУ им.В.И.Ленина, руководимом академиком АН УзССР Сираждиновым С.Х. Основное содержание диссертации опубликовано в [ 71-741 . Пользуясь случаем, выражаю свою глубокую благодарность своим научным руководителям Журбенко И.Г. и Мирзахмедову М.А. за постоянное внимание и ценные советы при выполнении этой работы. Спектральный анализ временных рядов и случайных полей является развитой ветвью теории случайных процессов и полей, основы которого заложены в фундаментальных работах Андерсона Т., Бриллинджера Д., Гренандера У,, Журбенко И.Г., Ибрагимова ИД., Колмогорова А.Н., Розанова Ю.А., Розенблатта М., Хеннана Э«, Ширяева А.Н., Яглома А.М., Ядренко М.И. В последнее время уделялось исключительно большое внимание спектральному анализу временных рядов и случайных полей. Такой широкий интерес продиктован приложениями методов спектрального анализа почти во всех областях науки, охватывая широкий диапазон задач техники, физики, геофизики, астрономии, экономики, биологии, медицины, причем, роль методов спектрального анализа в научных исследованиях непрерывно возрастает. Именно этим объясняется появление в последнее время ряда монографий, посвященных анализу временных рядов и случайных полей, а также множества самых разнообразных процедур статистического анализа. Однако спектральный анализ случайных полей изучен в значительно меньшей мере, чем спектральный анализ временных рядов. В предлагаемой работе рассматриваются следующие вопросы спектрального анализа однородных случайных полей: получение оценок смешанных семиинвариантов случайных полей; нахождение условий существования, ограниченности и гладкости старших спектральных плотностей однородных случайных полей в условиях регулярности; применение полученных результатов в статистическом анализе случайных полей, построив статистики спектральных плотностей второго порядка однородных случайных полей, полученной с помощью временного сдвига модифицированной периодограммы и изучив их статистические свойства. Смешанные семиинварианты играют важную роль при изучении асимптотических свойств случайных полей. Особенно удобно их использование в предположениях слабой зависимости рассматриваемых случайных полей. Оценки смешанных семиинвариантов находят широкие применения при выводе предельных теорем, теорем о больших уклонениях для слабо зависимых случайных величин, оценок сверху старших спектральных плотностей однородных случайных полей в условиях регулярности Необходимость изучения старших спектральных плотностей однородных случайных полей в условиях регулярности поля обусловлена как многочисленными приложениями в физике, так и широким набором задач в статистике однородных случайных полей. Изучения старших спектральных плотностей однородных случайных полей требует задача проверки близости распределений поля к гауссов-ским, эта же необходимость возникла при оценке моментов статистики спектральной плотности второго порядка. При исследовании этих задач очень удобными оказываются условия регулярности случайных полей, которые могут использоваться в качестве априорных условий, поскольку в большинстве реальных ситуаций эти условия выполняются. Условие регулярности удобно не только при исследовании задач асимптотического характера, но и при статистическом анализе, который может быть существенно уточнен за счет таких начальных предположений. Известно, что спектральные плотности вторых порядков полностью описывают гауссовские поля. Следовательно, знание статистически "хороших" оценок спектральных плотностей дает важную -информацию о структуре поля. Поэтому мы в нашей работе сочли нужным рассмотреть статистики спектральных плотностей второго порядка однородных случайных полей, полученной с помощью временного сдвига модифицированной периодограммы. В случае стационарных процессов такая статистика была введена в работах Журбенко И .Г. по предложению Колмогорова А.Н. Эта статистика обладает рядом практических преимуществ по сравнению со статистиками типа Гренандера-Розенблатта. Получение оценок смешанных семиинвариантов, сумм и интегралов от смешанных семиинвариантов, встречающихся в спектральном анализе однородных случайных полей; - установить существование и ограниченность старших спектральных плотностей (и их смешанных производных) однородных случайных полей в условиях регулярности; - исследовать аналитичность старших спектральных плотностей однородных случайных полей, в условиях регулярности; - построить статистики спектральной плотности второго порядка однородного случайного поля, полученные временным сдвигом, и изучить их асимптотические свойства (несмещенность,состоятельность, асимптотическое распределение, построение доверительного интервала). Отметим, что вопросы, рассматриваемые в диссертации, примыкают к исследованиям Бенткуса Р., Бриллинджера Д., Булинско-го А.В., Журбенко И .Г., Ибрагимова И.А., Леоненко Н.Н., Ядрен-ко М,И, Диссертационная работа состоит из введения и трех глав. Во введении дан краткий обзор результатов по спектральному анализу стационарных процессов и однородных случайных по - 8 -лей, а также результатов, полученных авторов. Первая глава - "Оценки семиинвариантов высших порядков,, сумм и интегралов от семиинвариантов" - состоит из трех параграфов. Здесь изучаются смешанные семиинварианты, суммы и интегралы от смешанных семиинвариантов. В работах 137,38] , при исследовании прохождения случайных сигналов через линейные и нелинейные системы вводятся в рассмотрение смешанные моменты и смешанные семиинварианты (в вышеуказанных статьях они назывались моментными и корреляционными функциями, соответственно) случайного процесса. С математической точки зрения эти характеристики были изучены в рабо г тах [44,45,46.1 . Аналогичные задачи,- для случайных полей рассматривали Журбенко И.Г. [22, гл.1,21 , Леоненко Н.Н. [40 } ,. Смешанные семиинварианты являются наиболее удобным инструментом в самых разнообразных исследованиях по асимптоти-., ческим свойствам случайных полей. Использование семиинвариантов при условиях слабой зависимости рассматриваемых случайных полей представляется особенно удобным. Условия слабой зависимости начади изучать,в основном,в связи с проблемой распространения предельных теорем для,сумм независимых случайных величин на случай зависимых величин.Начало этим исследованиям положила работа Бернштейна C.H.tlOl в области теории суммирования зависимых величин. Целый.ряд исследований нашел обобщение в монографии І32І. Отметим, что крупные результаты, относящиеся к проблеме асимптотической нормальности случайных процессов и . полей получены Булинским.А.В.,Розановым Ю.А.,Ибрагимовым И.А., Журбенко И.Г., Ядренко М.И. и рядом других ученых. Имеется ряд определений слабой зависимости систем случайных величин и " - алгебр событий. Обзор наиболее употреби 9 тельных мер зависимости случайных величин и с - алгебр событий содержится в работах [14,54] Приведем некоторые из них. Говорят, что неотрицательная функция {?. t j ( является мерой зависимости сі - алгебр J и 3 , если !i J\ ,71-0, когда и?, независимы. Например, поло жив (?i дг $1Ч,{Р(А РсА)РсМ:АеТ ; получим, что ї и 3 независимы тогда и только тогда, когда Рассмотрим случайное поле СМ ,tle . Приводимые ниже условия слабой зависимости (иначе говоря, условия перемешивания или условия регулярности) полей с дискретным временем естественным образом переформулируются на поля с непрерывным временем. Существенно, что в этих условиях не требуется равномерности по объему рассматриваемых множеств V » V Условия с.п. и р.с.п. выполняются для широкого класса случайных полей. Например, выполнимость таких условий в моделях статистической физики проверялись Добрушиным Р.Л., Нахапетяном Б.С. [21,49] Изучению свойств смешанных семиинвариантов ел. процессов посвящены работы Бенткуса Р., Тарасявичюса П. 1.8] , Журбенко И.Г. и Зуева Н.М. 124-28] В этих работах находятся оценки смешанных семиинвариантов ел. процесса, удовлетворяющего некоторым условиям слабой зависимости. Например, в статье 28) получены оценки смешанных семиинвариантов ел. процессов в условиях перемешивания почти марковского типа. Асимптотические свойства смешанных семиинвариантов ел. полей с дискретным временем изучаются в первой главе монографии Журбенко И.Г.[22 ] Первая глава диссертации посвящена исследованию асимптотических свойств смешанных семиинвариантов ел. полей и выводу оценки сверху для сумм (0.4) и интегралов (0.5). В параграфе I.I настоящей главы устанавливаются оценки сверху для модуля смешанных семиинвариантов ел. полей. Доказано, что если ел. поле Си і t. є 2 имеет абсо -Валютный момент р -го порядка, то для любых VI, 2. И, -1 р, выполняется неравенство Отметим, что при к-1 этот результат получен в работе [8] для ел. процесса с независящими от сдвига моментами. Один из основных результатов 1.1 состоит в том, что если для некоторого р и 0 существует абсолютны! момент р(1+1) -го порядка сл.поля, то для каждого И, 1 -Р? имеет место неравенство IbA. la ct . y (0.6) Полученная оценка уточняет один результат Журбенко Й.Г. {22, гл. I } . Отметим, что в t22] находятся оценки смешанных семи инвариантов рі ч, " ; Тр) , ел. полей уЧчДв/С при условии, что ел. поле имеет абсолютный момент 1р(1+і) -го порядка. Сравнивая (0.6) и (1,2.5) из [22]убедимся, что оценка (0,6) является уточнением оценки (1,2,5), Улучшение достигается за счет обобщения теоремы 17,2.2 из 1 321 и.использования более точных оценок работы [Ъ \ . При К-1 из (0.6) вытекает неравенство (8) , доказанное в L29] , причем, неравенство получается с улучшенным коэффициентом. Более того, область применимости неравенства (0.6) шире, чем (8) ИЗІ29] В этом же параграфе рассматривается также ел. поле L с коэффициентом р.с,п. (ЬпСО Доказано, что если существует абсолютный момент р -го порядка ел. поля, то при каждом УЦ 1 W 07 выполняется неравенство причем, порядок моментного условия неулучшаем. Аналогичный результат для Sp ("L,... Д р) в случае стационарного процесса получен в [24] при условии, что ел. процесс имеет абсолютный момент 1р -го порядка. Полученные нами оценки использованы в параграфах 1.2 и 1.3 для получения оценки сверху сумм (0.4) и интегралов (0.5), которые необходимы во второй главе при спектральном анализе ел. полей. Эти же оценки использованы также в главе Ш настоящей диссертации при доказательстве предельных теорем для ел.полей в условиях перемешивания. В частности, при !,W p, и 0,%_ О , j 3,..., И , из (0.7) следует неравенство (II) работы 29} . Рассматриваются также ел. поля fe x) у\. - % с коэффициентом р.с.п. (Ь О Показано, что если существует абсолютный момент р -го порядка ел. поля, то для любого И., 1 К Р, выполняется неравенство Отметим, что подобные результаты для ел. полей получены впервые. Полученные в 1.2 и 1.3 результаты могут быть применены при выводе теорем о больших уклонениях для слабо зависимых величин (см., например,[9} ). Эти же оценки использованы нами в главе II настоящей диссертации для получения оценок сверху сп. пл. старших порядков, которые необходимы при статистическом анализе ел. полей. Вторая глава - "Оценки старших спектральных плотностей однородных случайных полей" - состоит из четырех параграфов. В настоящей главе диссертации исследуются свойства старших сп. пл. однородных ел.полей, удовлетворяющих условию СП., р.с.п. и WL - зависимости. В отличие от [.22, гл.2] в 2.1 и 2.2 порядок момента, налагаемого на ел. поля (Л , т ) ослабляется до неулучшаемого порядка, а также рассматриваются ел. поля с непрерывным временем. Отметим, что изучение, например, дисперсии статистик сп. пл. приводит нас к необходимости получения оценок сверху для сп. пл, высших порядков, которые мы можем указанным образом оценить за счет использования некоторой информации о коэффициенте перемешивания. Доказанные в 2.1 и 2,2 результаты в третьей главе используются при исследовании свойств статистик сп. пл, ел.поля, полученные временным сдвигом. Аналитичность старших стационарных процессов (t) 9\.Є- X. ; в условиях перемешивания "по Розенблатту", "по Ибрагимову" исследованы в работах 24.25] В отличие от вышеуказанных работ, в 2.3 и 2.4 рассматриваются сл.поля, как с дискретным временем, так и с непрерывным временем. Более того, порядок моментного условия, налагаемого на стационарные ел. процессы ослабляется до неулучшаемого порядка, причем область аналитичности шире, чем в L24, 25] Следует подчеркнуть, что для ел. полей такие результаты получаются впервые. Третья глава - "Исследование статистик спектральной плотности однородного в широком смысле случайного поля, полученных временным сдвигом" - состоит из трех параграфов. В данной главе диссертации исследуются свойства статистик сп. пл. однородных в широком смысле ел. полей, полученных временным сдвигом, а также методом семиинвариантов доказана центральная предельная теорема для сл.полей с непрерывным временем. Различным аспектам оценок сп.пл. однородных сл.полей посвящены работы Бенткуса Р., Рудзкиса Р..Сушинскаса Ю.I 7] , - 18 -Виленкина С,Я. t.161 , Коняева K.B. І36] , Мирзахмедова М.А. t48} , Труш Н.Н L56] . В этих работах исследуются статистические свойства оценок сп. пл. второго порядка типа Гренандера--Розенблатта однородного ел. поля. Вопросами статистического анализа стационарных процессов занималась и Малевич Т.Л.L47]. Практические рекомендации по вычислению различных характеристик оценок сп. пл. с помощью ЭВМ даются в работах [1,16,22, 50, 57]. В главе Ш при доказательстве большинства теорем используется ограниченность сп. пл. четвертого порядка, а при изучении асимптотических свойств статистики сп. пл. ограниченность сп. пл. и более высоких порядков. Используются также условия гладкости сп. пл. Все эти требования на основании результатов главы II могут быть удовлетворены за счет использования свойств перемешивания ел. полей. Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре "Случайные процессы и поля" (МГУ, 1978, 1980 гг.)., Всесоюзной конференции по математической стаг-тистики, посвященной 100-летию со дня рождения В.И.Романовско-го (Ташкент, 1979 г.), Республиканской конференции математиков Узбекистана (Ташкент, 1980 г.), Всесоюзной школе-семинаре "Многокомпонентные случайные системы" (Ташкент, 1982 г.)., Ш-Ферганском коллоквиуме по предельным теоремам теории вероятностей (Фергана, 1983 г.) и неоднократно на городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике при ТашГУ им.В.И.Ленина, руководимом академиком АН УзССР Сираждиновым С.Х.Оценки для сумм от смешанных семи инвариантов случайного поля с дискретным временем
Оценки интегралов от смешанных семи инвариантов случайного поля с не- прерывным временем
Оценки старших спектральных плотностей однородных случайных полей с непрерывным временем
Центральная предельная теорема для статистик спектральной плотности случайного поля с дискретным временем, полученных временным сдвигом
Похожие диссертации на Спектральный анализ однородных случайных полей
