Разделимые статистики и моменты остановки в обобщенной урновой схеме Иванов, Андрей Викторович

Введение к работе

Настоящая работа посвящена исследованию произвольных разделимых статистик в обратных задачах для обобщенной урновой схемы со случайными уровнями. Получено интегральное представление для характеристической функции произвольной разделимой статистики, интегральное представление для характеристической функции разделимой статистики в симметрической схеме, а также полный спектр предельных распределений разделимых статистик в симметрической обобщённой урновой схеме Маркова-Пойа со случайными уровнями.

Актуальность темы исследования.

Определим модель обобщенной урновой схемы (ОУС). Пусть

имеется урна, содержащая шары N различных цветов A_t А„,

причем первоначальное число шаров цвета A_d в урне равно а₃₀,
a_JO>0, J=l N, так что

; Н

а = I а₃₀

есть общее число шаров в урне в начальный момент. Шары последовательно и по одному случайно извлекаются из урны так, что при каждом извлечении любой из находящихся в урне шаров может быть извлечён с одинаковой вероятностью. После извлечения очередного шара фиксируется его цвет, а содержимое урны изменяется следующим образом: если шар цвета к₃ извлекается в п-й раз, то число шаров цвета к₃ в урне изменяется от a., ,^ до а.,_п,

где ia_3n, n>0, j=l Ш - заданный набор целых неотрицательных

чисел, являющихся параметрами схемы.

Таким образом, если после п испытаний уже было извлечено

про шаров цвета Aj, j=l N, то вероятности извлечения при

(п+1)-м испытании шаров соответствующих цветов задаются вектором

і ^N ]-1 ^{м N}
(ащ a_Nn))) Z a_Jn , 2 а_3п > о. I n_d = п. (1)

4 = 1 ^; J = i 3 = 1

Описанной ОУС можно сопоставить схему размещения частиц по

ячейкам, занумерованным числами 1 N. А именно, пусть в

начальный момент все ячейки пусты. Если в момент п+1,

п=0,1,2 из урны извлекается шар цвета Aj, то (п+1)-я частица

помещается в ячейку с номером 1. Таким образом, вероятности того, что (п+1)-я частица попадет в соответствующие ячейки, задаётся

вектором (1), где nj n_N - содержимое соответствующих ячеек

после размещения п частиц.

Важным частным случаем ОУС является обобщенная урновая схема Маркова-Пойа (ОУС МП) ¹⁾. В ОУС МП а_3п = тах{а_]О+сп,0), где сЄ{-і,о,1,...}. В этом случае после извлечения очередного шара он возвращается в урну с добавлением с шаров одного с ним цвета. В частности, при с=-1 получаем схему случайного выбора без возвращения, и в этом случае число испытаний не превышает а -содержимого урны в начальный момент, а при с=0 - схему случайного выбора с возвращением и в данном случае состав урны не изменяется. При с>1 эта схема обладает важньм эффектом последействия: если извлекается шар какого-то цвета, то вероятность извлечь шар того же цвета при следующем извлечении возрастает. В дальнейшем ОУС МП при с>1 будет называться схемой

^1} Ивченко Г.И., Медведев Ю.И. Об урновой схеме Маркова-Пойа: от 1917 г. до наших дней. "Обозрение прикл. и промышл. матем.", сер. дискретн. матем., (1996) 3, вып. 4, с.484 - 511.

Маркова-Пойа, или МП-схемой.

Обозначим через т\₃ (п) частоту (число) извлечений шаров цвета А₃ после п испытаний. Предположим, что до начала испытаний для J-го цвета установлен некоторый уровень v₃, где v_t..... v_K -целочисленные неотрицательные независимые в совокупности случайные величины (св.). Будем говорить, что частота цвета А_э

достигла соответствующего уровня v₃ в момент п. п=0.1,2 если

T\j(n))v_d, ті-, (0)=0, j=l N.

Пусть задано целое k, Kk

v(N.k) = minln: I l(x[j(n)>v₃) > к], (2)

называемую временем ошдания, или моментом остановки в ОУС со случайными уровнями (здесь и далее через 1(-) обозначается индикатор).

Обозначим через т^и^ (v(N,к)) частоту извлечений шаров цвета Aj в момент остановки v(N,к) (2) и рассмотрим произвольную разделимую статистику (PC) от частот соответствующих цветов Пі,...,% в момент остановки v(N, к), т.е. св. вида

Lnk = Z gj(tid). (3)

3 = 1

rflegj(x), j=l,..., N, - заданные функции целочисленного аргумента.

Задачи, связанные с изучением характеристик типа (3) в момент остановки v(N.к), носят название обратных задач для урновых схем.

Одним из наиболее важных в практических приложениях случаев общей модели является симметрическая ОУС. Схема называется симметрической, если для неё выполнены следующие условия:

1. параметры а_3п не зависят от J, т.е. а_3п=а_п для всех 3=1 N. п=0,1,2 ; '

2. уровни v_t v_N являются независимыми в совокупности

копиями некоторой целочисленной неотрицательной св. V с p=P(v=0)

3) функции gj не зависят от индекса 3-

В симметрическом случае PC L_Nk (3) принимает следующий вид

Чк - 2 gdlj). (4)

3 = 1

Л. Холстом и Ю.Хюслером ^г) было получено интегральное представление для характеристической функции (х.ф.) PC L_Nk (3) в ОУС с вырожденными уровнями, т.е. когда P(v₃=Hij)=l для некоторых

Щд>1, 3=1 N, а также описан класс предельных распределений

PC L_Hk (4) в симметрической ОУС МП с вырожденным уровнем при N-»«> и k=k(N). Теорема об интегральном представлении для х.ф. произвольной PC L_Nk вида (3) в схеме выбора с возвращением со случайными уровнями впервые была доказана Г.И.Ивченко ³'. В этой же работе описан класс предельных распределений PC L_Nk (4) в симметрической схеме выбора с возвращением со случайными уровнями при N-*» и k=k(N). Однако общая модель со случайными уровнями является до сих пор мало изученной.

Цель работы. Целью настоящей диссертационной работы является изучение разделимых статистик в обратных задачах для ОУС со случайными уровнями. В ней получено замкнутое интегральное представление для х.ф. PC L_Nk (3) в ОУС, а также описан класс

^г) Hoist L., Husler J. Sequential urn schemes and birth processes. Adv. Appl. Probab. (1985) 17, pp. 257-279.

³⁾ Ивченко Г.И. Разделимые статистики в обратной задаче о размещении. Дискретная математика (1989) 1, вып. 1, с. 60-73.

предельных распределений L_Hk (4) в симметрической ОУС МП со случайными уровнями при N-*» и k=k(N). Тем самым, в диссертационной работе с единых позиций, в терминах произвольных разделимых статистик и моментов остановки, изучена ОУС со случайными уровнями, включающая в себя ряд важных конкретных схем, представляющих собой и самостоятельный интерес, наиболее популярными из которых являются схемы выбора с возвращением и без возвращения и схема Маркова-Пойа, которым посвящено большое число работ по данной тематике.

Методы исследования. Для вывода х.ф. PC L_Nk (3) в ОУС со случайными уровнями использовался метод вложения изучаемой ОУС в подходящий марковский процесс с непрерывным временем, а также метод условных характеристических функций с использованием аппарата суммирования условно независимых случайных величин и смесей вероятностных распределений.

Научная новизна. В работе

получено интегральное представление для х.ф. произвольной PC L_Nk (3) в ОУС со случайными уровнями;

получено интегральное представление для х.ф. PC L_Nk (4) в симметрической ОУС со случайными уровнями;

получен полный спектр асимптотических распределений PC L_Nk (4) в симметрической ОУС МП со случайными уровнями при N-»co и k=k(N);

получен полный спектр асимптотических распределений времени ожидания v(N,к) в ОУС МП со случайными уровнями при N->oo и k=k(N).

Теоретическая и практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер, однако полученные результаты (в частности, результаты о предельных распределениях времени ожидания в ОУС МП) могут быть использованы в различных конкретных приложениях.

Апробация результатов. Результаты настоящей работы докладывались на научной конференции-конкурсе студентов, аспирантов и молодых специалистов (Москва, апрель, 1994), научном семинаре в Математичеком институте им. В.А.Стеклова РАН (Москва, июнь, 1995), Четвертой Петрозаводской конференции "Вероятностные методы в дискретной математике" (Петрозаводск, июнь, 1996), а также в виде тезисов на Второй всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Йошкар-Ола, 1995) и Третьей всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Туапсе, 1996).

Публикации. Материалы диссертации послужили основой для написания 9 публикаций, список которых приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содержащего 63 наименования. Полный текст диссертации занимает 114 страниц.

Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Григорию Ивановичу Ивченко за постоянное внимание и поддержку при работе над диссертационными материалами.

Похожие диссертации на Разделимые статистики и моменты остановки в обобщенной урновой схеме

Сходимости цен в задачах оптимальной остановки случайных процессов по неполным данным в схеме Калмана-БьюсиБакиа, Инаам

Оценки моментов симметрических статистикИбрагимов, Рустам Маратович

Свойства оптимального момента остановки в задаче наилучшего выбора Пешков Николай Валерьевич