Содержание к диссертации
Введение
1 Локальные максимумы и промежутки между ними 20
1.1 Основные определения 20
1.2 Переход от независимых случайных величин к перестановочным 21
1.3 Цепь Маркова (Aj,T.) 22
1.4 Характеристики цепи (Aj,T.) для равномерно распределённых величин 24
1.4.1 Совместное распределение соседних максимумов 24
1.4.2 Переходная плотность цепи (Aj,T.) 30
1.4.3 Математическое ожидание локального максимума 31
1.4.4 Условное распределение длины промежутка 33
1.4.5 Формулы для совместного распределения длин соседних промежутков 34
1.4.6 Условное распределение пика 42
2 Структура последовательности с выделенными локальными максимумами 45
2.1 Структура длинного промежутка между локальными максимумами 45
2.1.1 Структура "оврага" 45
2.1.2 Асимптотический вид "оврага" 47
2.1.3 Асимптотический вид промежутка между локальными максимумами
2.2 Рекуррентные события {А = 3} 52
2.3 Количества расстояний заданных длин 60
2.3.1 Определение и моменты з
2.3.2 Асимптотическая нормальность количеств расстояний заданных длин 67
2.3.3 Статистический критерий 70
3 Локальные максимумы и промежутки между ними в неперестановочных последовательностях 72
3.1 Скользящие суммы 72
3.1.1 Распределение длины промежутка 72
3.1.2 Предельное распределение статистик, построенных по
3.2 Взвешенные суммы 85
3.3 Меняющееся распределение 90
Заключение 92
Список литературы
- Переход от независимых случайных величин к перестановочным
- Условное распределение длины промежутка
- Асимптотический вид "оврага"
- Распределение длины промежутка
Переход от независимых случайных величин к перестановочным
Теорема 1. Пусть случайные величины п,, п Є Z, независимы и имеют одно и то же непрерывное распределение. Тогда последовательность пар (\j,T.), j Є Z, образует однородную по времени цепь Маркова.
Доказательство. Стационарность в узком смысле последовательности { п} влечет стационарность в узком смысле последовательности {(Xii n)}i откуда следует стационарность в узком смысле последовательности {(Aj,T.)}. Покажем, что последовательность пар (Aj,T.) обладает марковским свойством. Без ограничения общности будем считать, что о является локальным максимумом и введём обозначения Так как случайные величины последовательности {,n}neZ независимы, то _ и + независимы, а также независимы события {_i ж}, {х і} для любого фиксированного х. Следовательно, для произвольных борелевских множеств В и С справедливы равенства
Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 1 (без потери общности) считаем, что Tj-\ = 2. Тогда событие {Xj = к} определяется случайными величинами i,... , &+з (при этом т._1 = т- = АЧ-З)- Заметим, что при условии {Xj = к} случайная величина тах = max{i,... , +з}, Т-е. max является (к + 3)-м членом вариационного ряда, построенного по случайным величинам i,... і к+з- При этом т[п может занимать в вариационном ряду места с 3-го (так как min является локальным максимумом) по (& + 2)-е. Поэтому по формуле полной вероятности плотность gk(x, у) можно представить в виде следующей суммы: к+2 9к(х,у) = ХЛ) ( +3)(ж 2/) рІСшш = C(t) I А, = к}, (1.11) t=3 где p&t)(k+3) (х, у) - плотность совместного распределения t-ro и (&+3)-го членов вариационного ряда, построенного по случайным величинам ц,..., к+з- Так как случайные величины независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0,1], то R(t) W 2/) = (к + 3)(fc + 2)С1+У-1(У - х)к+2 Ч{0 х у 1}. (1.12) Вероятности P{ min = (t)Aj = к} были найдены в процессе доказательства теоремы 1 в [36]. Для полноты изложения приведём
Доказательство. Хорошо известно, что если случайные величины i,...,n независимы и имеют одно и то же непрерывное распределение, то перестановка о" = (o"i,... , 7П) чисел 1,.. . ,п, в которой cjfc при каждом к равно порядковому номеру Л в вариационном ряду (1) (2) (п) (т.е. ак = \{j Є {1,... , п} : j 6г})? имеет равномерное распределение на множестве всехп! перестановок порядка п. Тогда {j j} = {О"І dj} при любых і, j Є {1,... , n}. Поэтому можно сводить вычисление вероятностей событий, определяемых неравенствами между величинами i,.. . , П) к подсчету количества перестановок, удовлетворяющих таким же условиям.
Поэтому искомая вероятность равна P(min = C(t) \ j = к) = h(t,k)/h(k), где h{k) - количество перестановок порядка к + 3, обладающих ровно двумя локальными максимумами: в точках 2 и к + 2, кроме того, так как глобальный максимум может находиться в одном из двух локальных максимумов и эти варианты симметричны, то для определенности будем считать, что для всех таких перестановок 7&+2 = & + 3; a h(t,k) - количество перестановок, для которых выполняются перечисленные условия и, кроме того, о"2 = t. Очевидно, что ОД = E?i2 ( , ) Заметим, что в рассматриваемых перестановках между двумя локальными максимумами элементы Gj сначала строго убывают, потом строго возрастают, образуя "овраг". Приведём полностью вспомогательную лемму из [36].
Лемма 3. Количество перестановок порядка п, последовательность элементов которых образует сначала один убывающий участок, а затем один возрастающий (возможно, один из них пуст), равно 2п 1.
Условное распределение длины промежутка
Найденные условные плотности позволяют вычислить условные математические ожидания пиков.
Лемма 4. Условные математические ожидания граничных пиков при условии, что расстояние между ними равно к} имеют вид
При ж Є [0,1] значение этого выражения так же, как и (1.19), возрастает, т.е. с ростом значения граничного пика возрастает и условное математическое ожидание длины промежутка между локальными максимумами.
В [36] формула для совместного распределения длин соседних промежутков была получена в виде двойной суммы. Используя условные распределения граничных пиков и расстояний между ними, можно получить явную формулу.
Теорема 3. Пусть случайные величины {п,п Є Z} независимы и имеют одно и то же непрерывное распределение. Тогда P{Ai = k,X2 = l} = P{Ai = /, Л2 = k}
Следствие 4. Ковариация Cov(Ai,A2) 0.01572. Пусть р - расстояние по вариации между совместным распределением Х\,Х2 и совместным распределением двух независимых случайных величин А, А . Тогда р « 0.0038.
Таким образом, распределение случайных величин Аі, А2 очень близко (в смысле расстояния по вариации) к распределению соответствующих независимых случайных величин.
Однако для отношения совместных вероятностей (1.22) к произведению соответствующих маргинальных вероятностей на хвостах справедлива следующая асимптотика (см. также таблицу 1.3):
Следовательно, условная вероятность P{Aj = к \ \j-i = /} асимптотически больше безусловной вероятности P{Aj = к} в к/12 раз. Это можно объяс 37 нить следующим образом. Обратим внимание на то, что вероятность появления длинного промежутка между пиками исчезающе мала. При этом длинный промежуток делает более вероятными большие значения граничных пиков. Из (1.19), (1.20) следует, что условная вероятность события {Xj = к} при фиксированном значении левого граничного пика, близком к 1, примерно в к/6 раз больше, чем безусловная. То есть длинные промежутки с большей вероятностью имеют большие граничные пики, и наоборот, вероятность наблюдать длинный промежуток после большого пика выше, чем после небольшого.
Отметим также, что при к, I —Р{Л3 = /Л1 = А;,Л2 = 2} Р{Л1 = А;,Л2 = 2,Л3 = /} . = « і — Р{Л3 = /} Р{А1 = к,Х2 = 2}Р{Л3 = /} к(к + /) т.е. промежуток длины 2 нивелирует влияние предыдущего длинного промежутка. Это не противоречит предыдущим рассуждениям, так как в этом случае левый граничный пик промежутка длины 2, являющийся одновременно правым граничным пиком длинного промежутка, с большой вероятностью будет иметь большое значение, и поэтому почти не повлияет на распределение следующего за ним элемента последовательности { п} (который должен быть меньше этого пика). Следовательно, правый граничный пик промежутка длины 2 будет устроен почти так же, как и произвольный локальный максимум.
Асимптотический вид "оврага"
Для того чтобы сформулировать аналог теоремы 4 для промежутка между локальными максимумами (т.е. "оврага", концы которого являются локальными максимумами), докажем сначала вспомогательную лемму.
Лемма 6. Пусть последовательности {Z ll} { } І5 {И/ } 1 событий, заданных на одном вероятностном пространстве, таковы что
Событие {Л = 3} является рекуррентным для последовательности пар {(гі5 г+і)} (локальный максимум и расстояние до следующего пика). Действительно, условное распределение граничного пика т. при условии, что {Xj = 3} имеет вид pr, ід = 31 = Р Ж -1 +Ь -4 -3 -2 1 J " Р{ -1 т,+1, -4 -3 -2} = Р{тд- Ж, T._i т. T.+i}P{T._4 Тд-3 -2} Р{ -1 Іт3 +l}P{ .-4 -3 -2} = Р{ . x\Cr0-i Cr0 Cr0+i} = Р{тах(ь2,з) 4, т.е. совпадает с распределением максимума из трёх независимых случайных величин. Таким образом, распределение "будущего" будет совпадать с распределением последовательности {( Ті5 г+і)}? стартующей с произвольного (не обусловленного) локального максимума.
Изучать расстояние между моментами осуществления событий удобнее в "абсолютном" времени, т.е. удобнее учитывать количество необходимых испытаний j, чем количество появившихся пиков.
Свойство Е определяет рекуррентное событие в последовательности повторных испытаний с возможными исходами Ej j 1, если 1) для того чтобы Е произошло при п-м и при (п + т)-м испытаниях в последовательности Ел.,..., Ел , необходимо и достаточно, чтобы Е на Л Jn-\-m ступило при последнем испытании в каждом из двух наборов Ej1,..., Ejn и Из определения следует, что для того чтобы событие {Л = 3} являлось рекуррентным для последовательности {п, п Є N}, его осуществление в момент п должно определяться первыми п членами последовательности. Поэтому будем говорить, что осуществление события {Л = 3} в момент п означает, что
Сп-5 Сп-4 п-3, Сп-2 п-1 п, Т.Є. ЧТО Хп-4 = Хп- Хп-1 = 1 Аккуратного определения требует ситуация, когда два соседних расстояния между локальными максимумами равны трём (Хп-4Хп-іХп+2 = 1). В этом случае будем считать, что событие {Л = 3} происходит в моменты п и п + 3. То есть будем рассматривать последовательность событий {Л = 3} как последовательность рекуррентных событий с запаздыванием (распределение последовательности { } до первого рекуррентного события не совпадает с распределением участков между моментами осуществления рекуррентных событий) и для "регулярной части" (промежутков между событиями {Л = 3}) будем считать, что осуществление события {Л = 3} в момент 3 (считая от предыдущего рекуррентного события) означает, что i 2 з (т-е. Х2 = !)
Свойство 2) выполняется в силу независимости случайных величин . Заметим, что осуществление события {Л = 3} в некоторый момент времени зависит не от конкретных значений случайных величин последовательности , а только от неравенств между этими величинами. То есть, достаточно знать только больше следующая случайная величина предыдущей или меньше.
Покажем, что событие {Л = 3} является рекуррентным и для последовательности {хііі 2}. Для этого по определению его осуществление в момент п должно определяться первыми п членами последовательности. Поэтому будем говорить, что осуществление события {Л = 3} в момент п означает, что Хп-з = Хп-зХп = 1- Так же, как и для последовательности , будем считать, что в "регулярной части" последовательности Xj осуществление события {Л = 3} в момент 3 (считая от начала участка) означает, что Хэ, = 1- (Заметим, что по сравнению с последовательностью происходит сдвиг "на единицу времени".)
Покажем, что при таком определении событие {Л = 3} действительно является рекуррентным для последовательности {ХІ}І т-е- чт0 выполняется свойство 2) определения 3. Напомним обозначение хк = {Хк = Хк+г = 1} = ХШ+з-Утверждение 2. Справедливо равенство Р{Хг = ,. = 1,...,п + тх1323 = хйт-з = 1} (2-8) = Р{Хг = ki,in хі-зхі+т-з = 1}Р{Х = ki,in + l xi323xl+m-3 = !} Доказательство. Заметим, что событие {x„i3Xn+m-3 = 1} определяет значения индикаторов Хп-4, , Xn+ъ Xn+m-4, , Xn+m+i, а именно {х!?»зС,-з = 1} = U,,-«,,W„-3W = 1, Хп—4 г /Сп—2 г Хп—1 г Хп+1 г Хп+т—4 г дп+т-2 г Хп+т—1 г Хп+т+1 Uj. Поэтому дальше будем считать, что kj = 1 при j = n — 3, n, n + m — З, n + m и &І = 0 при і = n — 4, n —2, n —1, n + 1, n + m —4, n + m —2, n + m —1, n + m + 1. (Если хотя бы одно из этих равенств нарушается, то и левая, и правая части выражения (2.8) равны нулю.) По определению условной вероятности Р{Хг = и», г = 1,..., n + m Хп-з = xi+m-з = !} _ Р{Хп-ЗХпХп+т-ЗХп+т = 1, Хг = К І = 1, . . . , П - 4, П + 2, . . . , П + ТП - 4} P{Xn-3 = Хп+го-3 = м _ Р{Хп-3 = 1, Хг = kj, І П - 4}P{XnXn+m-3Xn+m = 1, Хг = k, І П + 1} Piv(3) Y(3) = 11 ІЛп—ЗЛп+т—3 J так как последовательности Хъ. .. , Xn-з и Хп,. .. , хп+то независимы. Заметим, что события {\п = 1} и {хп+т = 1} несовместны при т = 1,2,4. тз о D (3) (3) (3) (3) Рассмотрим сначала случаи т = 3. В этом случае х«,-зХп+т-з = Хп-зХп = Хп-зХпХп+з- Индикаторы Xn-з, Хп, Xn+з независимы и одинаково распределены, поэтому Р{Хп-зХп = 1} = (Р{хп = I})3- Умножив числитель и знаменатель на эту вероятность и снова воспользовавшись независимостью последовательностей Xl, ... , Хп-З И Хп, , Хп+т, ПОЛуЧИМ
Замечание 6. Событие {A = 3} также является рекуррентным для последовательности {ХІ , і 2}. Для этой последовательности осуществление события {А = 3} в момент п означает, что Хп = 1 Следуя [5], для последовательности {п, п Є N} определим вероятности fki bk того, что рекуррентное событие произошло впервые при к-м испытании (в регулярной части и в начальном отрезке) и вероятность щ того, что рекуррентное событие произошло к-м испытании t/(s) = 4 = y. (2.12) Доказательство. Для того чтобы найти производящую функцию F(s), рассмотрим последовательность вероятностей Wk того, что рекуррентное событие произойдёт при к-м испытании после предыдущего осуществления,
Распределение длины промежутка
В этом параграфе изучаются распределение расстояния между соседними локальными максимумами и количества расстояний фиксированных длин между соседними локальными максимумами в последовательности скользящих сумм.
Теорема 9. Пусть { п Є Z} - последовательность независимых случайных величин, имеющих одно и то же непрерывное распределение, и случайные величины = n+n+i, п Є Z. Пусть А - длина промежутка между соседними локальными максимумами последовательности Доказательство. Проведём такие же рассуждения, как при нахождении вероятностей А(к, I). Итак, где Ь{1) равно количеству перестановок 7Г = {тії,... , 7Г/+з) порядка / + 3, удовлетворяющих Ми нимальное значение (т.е. 1) могут принимать только 7і і, ігь+і, 7Г/+з- Рассмотрим эти случаи. 1. 7Г&+1 = 1. В этом случае перестановка полностью определяется выбором сначала к чисел - значений 7і і,. .. , 7ik {Ск+2 способов), затем выбором из них значения для 7i i [к — 1 способ, т.к. 7і і не может быть максимумом) и выбором из оставшихся I + 2 — к чисел значения для 7Г/+з (I + 1 — к способов, т.к. 7Г/+з не может быть максимумом). Поэтому количество таких перестановок равно Cf+2{k — 1){1 + 1 — к). 2. 7Гі = 1. В этом случае условие 7Гі 7Г2 выполняется автоматически, и искомое число перестановок в точности равно a(l + 3-k,l + 2) = (l + 2)С\+1 к - С\Ц-к = (l + 2)Cf"1 - Cf 1. З- 7Г/+3 = 1. В этом случае условие тіі+2 7Г/+3 выполняется автоматически, и искомое число перестановок в точности равно
Теперь найдём, чему равно D(k + 1,/ + 2). Для этого нужно подсчитать количество перестановок а = ( 7i,... , 07+2) порядка / + 2, удовлетворяющих (7/-I-2- Каждая такая перестановка однозначно определяется выбором значений 7i,... , от?-і из чисел 2, 3,...,/ + 2 (так как о-/; = 1). Поэтому Вектор N s = (Щ(Т),Щ(Т),..., N (T)) так же, как и в случае независимых случайных величин (см. параграф 2.3), асимптотически нормален (индикаторы ХІ (к -\- 3)-зависимы, все их моменты конечны). Однако, вычисление матрицы ковариаций в общем виде (а именно, совместных распределений длин соседних промежутков) сопряжено с техническими трудностями - совместные вероятности, как и одномерные, можно представить в виде сумм, к сожалению, весьма громоздких и не дающих представления об итоговых значениях. Поэтому рассмотрим только вектор (Щ(Т),Щ(Т),Щ(Т)) и найдём для него параметры асимптотического распределения.
В параграфе 3.1 рассмотрены скользящие суммы независимых одинаково распределённых случайных величин. Обобщим эту конструкцию, рассмотрев взвешенные суммы. Пусть {п, п Є Z} - последовательность независимых случайных величин, имеющих одно и то же непрерывное распределение, и = n + cn+i, п Є Z, с = const 7 0 (при с = 0 = п, и этот случай подробно изучен в первой главе).
При с = 1 получаем последовательность , рассмотренную в параграфе 3.1. По теореме 9 распределение расстояния между соседними локальными максимумами в этой последовательности не зависит от вида непрерывного распределения случайных величин п, то же справедливо и для вероятности наблюдать локальный максимум в фиксированный момент времени. Однако при с ф \ это не верно и Р{« о і } зависит от распределения случайных величин п.
Значения выражений (3.5), (3.6) при с = 0 равны 1/3 и при с = 1 равны 1/4, что соответствует результатам главы 1 и параграфа 3.1. Доказательство. Заметим, что последовательность { } стационарна в узком смысле, поэтому Р{ _! Сп Сп+Л = Р{ о i Ш Для любого п Є Z. Введём обозначение Р(с) = Р{ о i 2}-1. Пусть случайные величины п имеют равномерное распределение на отрезке [0,1]. Докажем вспомогательную лемму. Лемма 10. При с ф 0 справедливо равенство Р(с) = Р Q) . Доказательство. Если с О, то так как последовательность случайных величин {с п + n-i} устроена так же, как и {}. Если с О, то воспользуемся тем, что случайные величины 1 — п тоже независимы и имеют равномерное распределение на отрезке [0,1], поэтому
Для завершения доказательства достаточно подставить с = — t в полученную формулу и воспользоваться леммой 10. 2. Пусть теперь случайные величины п имеют стандартное нормальное распределение. Преобразуем искомую вероятность к виду Р(с) = Р{& + с& 6 + сЄз 6 + с4} = Р{Сі 0, С2 0}, где Сі = сз - 6 - (с - 1)6, С2 = 6 + (с - 1)6 + с&. Вектор (Сі, Сг) имеет двумерное нормальное распределение с нулевым средним и матрицей ковариаций 2(с2-с+1) (с-1)2 ;с-і)2 2(с2-с + г Собственные числа матрицы С суть Лі = Зс — 4с + З, Л2 = с + 1, им соответствуют собственные векторы г і = (1,1), " 2 = ( —1,1) Рассмотрим матрицу, составленную из ортонормированных собственных векторов, и вектор (ж, у) = V((i}(2)- Матрица ковариаций вектора (ж, у) имеет диагональный вид с числами Лі, Л2 на диагонали. При этом области {(д 0, 6 0} соответствует область {х + у 0, х — у 0}. Пусть х = х/л/Х\} у = у/л/Л тогда вектор (а/, у ) имеет стандартное двумерное нормальное распределение, следовательно Р(с) = P{Ci 0, (2 0} = Р{х + у 0, х - у 0} = Р{у/Х х + у/\ц/ 0,
Заметим, что математическое ожидание количества локальных максимумов на отрезке длины Т (M7Vo(T)) пропорционально вероятности наблюдать локальный максимум в фиксированной точке. Следовательно, так как эта вероятность для последовательности { } при с 0 отличается от 1/3, то рассмотренные в этом параграфе распределения можно отличить от основного (перестановочные случайные величины { п}5 такие что P{« i = 2} = 0) с помощью вектора