Предельные теоремы для марковских цепей на однородных деревьях Беляев Михаил Юрьевич

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Марковские цепи и гиббсовские поля со взаимодействием соседей на деревьях 21

1.Случайные поля на деревьях 21

2. Марковские цепи в классе гиббсовских полей . 29

3.Крайние гиббсовские поля 40

4. Единственность в классе гиббсовских полей . 51

5. Гиббсовские поля со значениями в компактных группах 57

6.Ферромагнитная модель Изинга на деревьях . 64

Глава 2. Предельные теоремы для надкритических марковских процессов с ветвлением 67

7.Марковские процессы с ветвлением 67

8. Сходимость функционалов в среднем квадратичном и по распределению 74

9.Смешанная гауссовость для функционалов 81

10.Смешанная гауссовость для функционалов (продолжение) 91

11. Высокотемпературная гауссовость суммарного спина от гиббсовских полей 102

12.Поведение суммарного спина модели Изинга . НО

Литература

• Марковские цепи в классе гиббсовских полей
• Гиббсовские поля со значениями в компактных группах
• Сходимость функционалов в среднем квадратичном и по распределению
• Высокотемпературная гауссовость суммарного спина от гиббсовских полей

Введение к работе

В последнее время при изучении спиновых систем на решетках в теории фазовых переходов математической статистической физики и прилегающих к ней областях теории вероятностей, в первую очередь в теории марковских случайных полей, проявляется интерес к решеткам, имеющим иную топологическую структуру чем классические решетки Ж. (Григорчук [І] , Темпельман І24] , Лунд и др. (j6j ). Теоретический аспект этих исследований состоит в перенесении ряда строгих результатов математической статистической физики, в стиле, например, работ Рюэля 21] , Синая[23] , Добру-шина (9, io] , на случай систем с группой симметрии произвольного вида. Указанные исследования имеют и некоторый прикладной интерес, например, в теории полимеров, где в ряде случаев полимерные цепочки (Кучанов [ІЕ5] ) представляют графы со сложной топологической структурой. Особое место в этой области заняли однородные деревья, из всех вершин которых выходит равное конечное число ребер; в физической лиетратуре такие графы называют деревьями Кэли или деревьями Бете, в математической литературе - это частный случай деревьев Брюа-Титса. С точки зрения моделей статистической физики на группах (Григорчук [І] ) однородные деревья с четным числом ребер, выходящих из всех вершин, являются графами свободной группы с соответствующим числом образующих.

Для гиббсовских полей со взаимодействием соседей на однородных деревьях для двухточечного спинового пространства , то есть фактически в модели Изинга, была практически до конца решена задача единственности гиббсовского поля (Домб JboJ , Спитцер

|44] , Престон [If] ) и вычислена предельная удельная свободная энергия ( Мюллер-Хартман и др. ][39, 40J ). Марковская стрзжтура переходных вероятностей модели Изинга на деревьях

(Спитцер [44] ) позволила свести указанные задачи к изучению марковских цепей на деревьях; эти цепи определяются аналогично марковским цепям на решетке целых чисел, являющейся примером "вырожденного" однородного дерева. Уже после работ автора по теме диссертации [2,3j вышла статья Zacnazu [45J о марковских случайных полях на деревьях, нобязательно однородных, со счетным числом возможных значений спиновой переменной; в этой статье обобщены результаты Спитцера [44] и Престона [41] для однородных деревьях в направлении исследований для марковских случайных полей на решетке целых чисел, содержащихся в работах Кэлли J35J , Кестена [І37] , Спитцера Із] .

Марковские цепи на деревьях являются обобщением обычных марковских цепей с дискретным временем. Возможность соединить две вершины на дереве единственным несамопересекающимся путем по ребрам позволяет определять распределения цепей в виде отдельных переходов от спина к спину, находящемуся на одном ребре; для графов с циклами такая конструкция непосредственно неосуществима. Марковские цепи на деревьях являются с одной стороны марковскими случайными полями (ЗасКаЪц [аь] ), с другой стороны - это специфический класс гиббсовских полей со взаимодействием соседей. В отличие от работ Спитцера 44] , Престона f~4Xj и Ясигпохц f45j в диссертации марковские цепи на деревьях рассматриваются в плане их принадлежности к классу гиббсовских полей с заданными гамильтонианом и базовой мерой. В диссертации рассматриваются две задачи для таких марковских цепей: задача восстановления цепи по ее условным распределениям и задача исследования асимптотического поведения функционалов типов суммарного спина от этих процессов. Несмотря на постановку задач*з стиле статистической физики у них имеются точные аналоги в теории марковских процессов: для первой задачи - это построе-

5 ниє границы Мартина и близких к ней объектов ( границы вход-выход, эргодического разложения), для второй задачи -это исследование аддитивных функционалов, в частности, в направлении центральной предельной теоремы. Другой особенностью постановки задач от работ Престона f4lj , Спитцера 44] и ZctCnQZU J45J является рассмотрение спинового пространства общего вида. В заклнчении этого краткого введения отметим, что и результаты, полученные в указанных выше задачах , имеют некоторый характер результатов статистической физики в плане существования у них фазового перехода, понимаемого как существен ное изменение поведения гиббсовского поля или функционалов от него в зависимости от варьирования параметров задачи. Для задачи восстановления марковской цепи по гамильтониану фазовый переход состоит в единственности-неединственности решения; для изучения суммарного спина от поля - это гауссовость-негауссо-вость предельного распределения.

Пусть J - б -компактное метрическое пространство, *и -
о -алгебра борелевских подмножеств - однородное

дерево, из всех вершин которого выходит ҐУІ+І ребро (ҐП>). В первой главе диссертации рассматриваются гиббсовские поля со значениями в t , гамильтонианом взаимоднйствия

и базовой мерой % на

непрернвная ограниченная функция, \J^t_> (У) = XI\М_> 2CJ _f OCq^ -

, суммирование в , идет по всем парам соседей & и о , то есть вершинам PL и В соединенным ребром. Обозначим &(pif) множество гиббсовских мер на 3S соответствующих потенциалу взаимодей ствия 17 Cv/ и базовой ме-

ре Z ( точное определение см. 1 главы I). При помощи гамильтониана (I) и меры ft задаются лишь условные распределения поля (Престон [42J , Синай J23J ) и задача состоит в том, чтобы описать сами поля и в первую очередь их существование и единственность. Для частного случая Ж* ]"І\ указанная задача была решена в работах Престона J4l] и Спитцера J44J , с тем исключением, что в работе [44J условные распределения задавались не гамильтонианом, а условными распределениями марковской цепи.

В общем случае, также как в работах Спитцера [44] и ЕпСмОЛЦ J45J , удобно ввести класс марковских цепей; в 1 определяются некоторые марковские цепи, задаваемые набором одномерных плотностей ра(РО> &Д и набором плотностей переходных вероятностей от спина к соседнему спину tffd gi С^С-М)} (X Q. А , об Л ( плотности берутся по отношению к мерам

В 2 главы I описаны все марковские цепи, лежащие в t((4]t)
а именно, показано, что с каждой такой цепью связан набор функ
ций (Ф $а._}(>\ » & сосед о ), удовлетворяющих беско
нечной системе функциональных соотношений, определяемых мерой
% и потенциалом v/ . Наиболее просто этот результат
выглядит для марковской цепи, инвариантной относительно всех
изоморфизмов дерева гч _t с параметрами Ра^~р('Х & & t
Sr_Q 2? О > О - $ 0 j 0 » такая цепь лежит в 9ljUJ jO тогда и
только тогда, когда найдется положительная функция р' і*"* К
такая, что

О J f^m* Cx)^(cfx)<00 ; (2)

;^(e/oc)-почти всюду ^CX)*]e^fU^Jf^^p; (3)

р&о = і f^L(&, ЩУ^ЩЛ y&.

В 3 доказывается непустота класса \Г(Оі%) » а именно, в сделанных выше предположениях о мере JL и потенциале U классу 3(V_}^) всегда принадлежит некоторая марковская цепь, инвариантная относительно всех изоморфизмов дерева А . Полученный факт существования аналогичен результату Спитцера J44J для спинового пространства из двух точек. После того, как установлена непустота множества ^(у.>Х) » ^пР^шеним способ построения всего класса о^[Ф_}/) при помощи ]5выбора граничных условий (Престон [42] , Розанов [20J ). В следующей теореме 3 показано, что все крайние поля в 9>Ф>)) являются марковскими цепями, одномерные и переходные плотности которых непрерывны и равномерно отделены от нуля и бесконечности. Эта теорема показывает существенную значииость марковских цепей для класса

. Ранее близкие результаты были получены на решетке целых чисел в работах Кестена /~37j и Спитцера ^43j , а также в работе ІОХІШШ [45J на деревьях для спинового пространства из счетного числа точек.

Следующий 4 посвящен вопросу единственности гиббсовского поля. На базе результатов 3 выведен некоторый критерий единственности гиббсовского поля с заданными гамильтонианом (I) и мерой X .На основе этого критерия показано, что найдется

о > О такое, что для произвольного потенциала \J , удовлетворяющего неравенству 1^(0,^)1 , гиббсовское поле единственно. В статистической физике ( Синай [*23J , Рюэль [21J ) обычно рассматривается не один гамильтониан Н , а семейство гамильтонианов Н тр , параметризованное температурой Т , при этом потенциал имеет вид Тр 1 и с ростом г , очевидно, стремится к нулю. Поэтому приведенный результат о единственности поля естественно интерпретировать как высокотемпературную единственность, хорошо известную в статистической физике

8 для классических систем ( Рюэль [2Ї] , Синай [23} , Добрушин [э] I. В 4 доказан также полезный результат для исследования единственности гиббсовского поля: множество состоит более чем из одной точки тогда и только тогда, когда во множестве

v(P>JL/ лежит бесконечное число марковских цепей. Данный результат обобщает на случай общего фазового пространства исследования Спитцера [44] для двухточечного фазового пространства. В 5 главы I приводится пример одного класса гиббсовских полей на деревьях со значениями в компактных топологических группах с потенциалом U* , инвариантным относительно действия группы на себе сдвигами, и мерой Ъ , являющейся нормированной мерой Хаара. Показано, что система условных распределений Гиббса в связных объемах А при свободных граничных условиях согласована и, тем самым, определяет гиббсовскую меру из J\y>)C/ , эта мера может быть получена следующим образом: найдутся случайные элементы (^ _;ft А) со значениями в db , независимые между собой и такие, что для некоторой вершины olQ А величина

^ имеет распределение J , а ## , &*oL имеют одинаковое распределение, зависящее от U , при этом величины ь#,&Д для рассматриваемого поля получаются по правилу Su~ fa »

вершины дерева, последовательно проходимые на кратчайшем пути из <* в (Z . Такая структура гиббсовского поля была отмечена для модели Изинга без внешнего поля в работе ( Беляев з] ). В этом же параграфе приводятся два примера, показывающих, что в зависимости от модели в классе v (у^у может содержатся как конечное, так и бесконечное (континуум) марковских цепей, инвариантных относительно всех изоморфизмов дерева А .

В главы I результаты о единственности 4 применяются для исследования ферромагнитной модели Изинга, которая определяется спиновым пространством ct-{il( , мерой/м (-і) =""',

9 потенциалом UpCx^v-jb'Xy. , где -О0<^<со , J>±0 Показано, что имеется функция J> "-> S(j>) , /7їТ&>1 такая, что класс гиббсовских полей модели Изинга состоит из единственной меры в области

вне этой области при имеется два

крайних поля, инвариантных относительно всех изоморфизмов А ,
при полей указанного вида три. В

формулировке этого результата величина S(g>) находится как ко-рень квадратного уравнения относительно Ъг , коэффициенты которого зависят от ЇЇІ - числа ребер, выходящих из всех вершин А . Тем самым получено численное решение для проблемы фазового перехода в модели Изинга на дереве A (/⁷¹) . Ранее без численных значений этот результат был получен Спитцером [44) ; параметризация полей через (f>,U) в ферромагнитном случае позволила осуществить программу Престона J4l] и Спитцера [44] до конца - в этих работах J4I, 44J единственность гиббсовского поля была сведена к единственности положительного решения некоторого алгебраического уравнения.

После того, как построены марковские цепи и гиббсовские поля, естественно изучать предельное поведение функционалов от них. Наиболее просто выглядят функционалы типа суммарного спина от

этих полей, имеющие вид Ъ_л

aeVn $(>&) , где >о. -

случайный спин вершины - фиксирован-

ная функция, a Vft - некоторая последовательность объемов Vyi С А . Выбор последовательности Vyi и аналитических свойств вероятностной меры Іг будут вполне определять свойства последовательности Ьуі (зу . Глава 2 диссертации посвящена, в частности, изучению случая, когда объемы vyi состоят из вершин, удаленных от фиксированной на УЬ ребер, а мера х является марковской цепью, инвариантной относительно всех изо-

10 морфизмов дерева Л . Однако, основу главы 2 диссертации составляют предельные теоремы для аддитивных функционалов от надкритических марковских процессов с ветвлением; изучение функционалов #, (?) сводится в главе 2 к изучению функционалов именно от процессов, указанных выше.

Суть ситуации состоит в следующем: с точки зрения теории ветвящихся процессов (Севастьянов (] , Икеда и др. [34| ) марковские цепи, введенные в главе I, являются частным случаем ветвящихся процессов, в которых учитывается информация о генеалогической структуре развития процесса, причем полученные процессы оказываются, вообще говоря, неоднородными. При переходе к аддитивным функционалам оц ($) генеалогическая информация марковской цепи перестает играть существенную роль, главным становится суммарное число частиц разных типов в " Yb "-ом поколении процесса; при этом всегда можно подобрать такой марковский процесс с ветвлением в смысле определения работ Икеды и др. [34] и функционал от него, имеющий с ^(у) одинаковое распределение; для ситуации, инвариантной относительно всех изоморфизмов дерева А , эта процедура проведена в II. В полученном марковском процессе с ветвлением каждая частица при делении порождает ровно YYI потомков и потому процесс является надкритическим. Функционал, поставленный в соответствие «S^, \р") , имеет аддитивный вид и равняется сумме значений функции У от всех по-ложений частиц YI -го поколения процесса; такие функционалы являются более общими функционалами, чем число частиц, лежащих в фиксированной области, и отражают средние характеристики конфигураций расположения частиц в пространстве типов (в нашем случае это будет спиновое пространство & ). Первоначально функционалы такого вида в работах автора (Беляев [2,з] ) исследова-

лись именно методом моментов в ситуации с неслучайным числом потомков при делении у каждой из частиц, затем также методом моментов (Беляев, Берестова, Молчанов [р~} ) удалось перейти к процессам со случайными превращениями по числу потомков, однако это число было равномерно ограничено по пространству Jb . в диссертации приводится более развитая техника, позволяющая формулировать результаты фактически на уровне существования двух моментов (Беляев \4~\ ); эта техника также появилась из рассмотрения неслучайных превращений в числе частиц уже после работы ЦТ] Основу методики изучения аддитивных функционалов в диссертации составляет эффективное использование сходимости в среднем квадратичном.

Прежде, чем перейти к изложению результатов главы 2, остановимся на некоторых известных результатах теории надкритических марковских процессов с ветвлением. При общем подходе (Севастьянов [22] ) фазовым пространством таких процессов является множество целочисленных точечных мер на некотором измеримом пространстве. Аддитивные функционалы от этих процессов являются интегралами от неслучайных функций по случайным мерам - значениям процесса и отражают средние характеристики расположения частиц в фазовом пространстве. Для аддитивных функционалов типа числа частиц в надкритическом случае хорошо известны результаты о сходимости, связанные со старшей собственной функцией полугруппы средних марковского процесса с ветвлением, содержащиеся, например, в работах Геринга [27,SI,32J . В то же время, для класса фунїщионалов, построенных по функциям со средним 0 по "инвариантной" мере процесса, эти результаты неэффективны, так как дают в пределе 0 . Впервые этот вырожденный случай был рассмотрен для неразложимых процессов Гальтона-Ватсона с несколькими

12 типами частиц, обладающих двумя первыми моментами, в работах Кестена, Стигума [Зб] и Атрэ J28\ , в которых было показано, что имеется два типа;.-; ^сходимости функционалов указанного вида: сходимость в среднем квадратичном типа мартингальной и слабая сходимость к смеси гауссовских распределений со средним 0, дисперсия которых имеет распределение предельного нормированного числа частиц в процессе. Позже результаты о смешанной гауссовос-ти были доказаны для класса диффузионных ветвящихся процессов на компакте ( Беляев, Берестова, Молчанов [б])(при условии равномерной ограниченности числа потомков каждой из частиц при делении.

В диссертации приводятся результаты, обобщающие результаты работ [36, 28, 5J на случай общих марковских процессов с ветвлением при ограничениях лишь на младшие моменты процесса деления. Основным отличием от работ [36, 28, 5J является функционально-анаяитическая техника, заменившая дискретный подход работ

Г37, 28J и метод моментов [р] , что позволило в общем случае практически подойти к формулировке результатов на уровне двух первых моментов процесса деления.

По своей сути вопросы, излагаемые вопросы лежат на пересечении круга проблем цетральной предельной теоремы для процессов Маркова ( Нагаев [l4J ) и теории суммирования случайного числа случайных слагаемых ( Блюм и др. [2dJ ), так как с одной стороны рассматриваемые процессы являются марковскими, а с другой стороны- аддитивные функционалы - это суммы случайного числа случайных слагаемых, только зависимых между собой. Эти факты предопределии как функционально-аналитический марковский подход, так и характер конечного результата: степень зависимости между собой типов потомков одной частицы определяет вид асимптотического поведения функционалов, выражающегося в наличии

ІЗ или отсутствии смешанной гауссовости предельного распределения. В этом смысле здесь имеется аналог фазового перехода задач статистической физики, что было отмечено для модели Изинга на однородных деревьях в работе автора ( Беляев 2] ) при изучении суммарного спина.

Пусть іJAyi'y ^** 0,,,.., j - марковский процесс

с ветвлением с однородным по времени механизмом деления, принимающий значения в пространстве целочисленных точечных мер на 3> ( точное определение см. 7 главы 2). Будем обозначать К^_}^/ интеграл от функции 3* по мере V . Аддитивные функционалы

<5_} МуСу от процесса Ыуь имеют ^ВИД интеграла ( в данном случае сводящегося просто к сумме) от неслучайной функции по случайной мере Ц^ь Функционал 5, Urt-/ является точным аналогом суммарного спина SyiC^J .

В главе 2 аддитивные функционалы K$,Uyw изучаются при некоторых ограничениях на суммарное число частиц Ц>п- в процессе Uyi в момент времени УЬ . Считается, что величина

SUp | -М.(эс) 1 ^: ЗС&З^І конечна ( &) - начальное состояние процесса, начавшегося с одной частицы, находившейся в точке

Х Ж). При выполнении этого условияьна пространстве /о ограниченных измеримых функций на <*Ь определена полугруппа

\ Ьдї средних марковского процесса с ветвлением, определен
ная по правилу Ец В том частном слу
чае, когда в процессе не происходит деления и уничтожения час
тиц, величины Myi образуют обычную марковскую цепь, а fc/г
является переходным оператором процесса за УЬ шагов. Как в тео
рии марковских процессов ( Нагаев [l9j ), так и в теории марков
ских процессов с ветвлением ( Харрис [26J , Геринг [ЗІ, 32Д ;
Иржина [j34j ) наиболее существенную роль играют условия, нало
женные на полугруппу Ед, . В главе 2 считается выполненным сле
дующее

14 Условие А2. Найдутся число #>0, неотрицательная функция 17"ё О и вероятностная мера V на «& такие, что

где Дз = Є и^Ь*-sjjvlT - оператор, спектральный радиус которого меньше I и ;V^=D для произвольной

Согласно условию А2 оператор в" Ец представляется в виде прямой суммы одномерного проектора & *- ;V^2T _и оператора, степени которого по норме экспоненциально стремятся к 0. Такого рода представления естественно возникали для полугрупп вполне непрерывных операторов ( Крейн, Рутман l4] ), а также в теории предельных теорем для марковских цепей ( Нагаев J19] ). Для марковских цепей ( Ибрагимов, Линник Jlf] ) условие А2 выполнено, если справедливо условие Деблина (Д) и существует только один эргодический класс, не содержащий подклассов. Условия, близкие к А2, встречались также в теории марковских процессов с.ветвлением ( Харрис [2б] , Иржина J33J , Геринг S2J ). В целом условие А2 моделирует в пространстве (Е> случай теоремы Перрона для конечномерных матриц с неотрицательными элементами.

В случае марковских цепей условие А2 обеспечивает ( Ибрагимов, Линник JjEIj , Нагаев [1 ) экспоненциально быстртэе убывание коэффициента равномерно сильного перемешивания, что наряду с существованием соответствующих моментов уже гарантирует асимптотическую нормальность величины _п ~ 2І*_К ^CJAk) . По своей природе функционал ^ близок к ^k₌₀n^>Mc/, а вместе с ним и к ч>JWa/ , поэтому следовало бы ожидать применимость к сумме <ч, /Wpi/ из с^ yi случайных слагаемых центральной предельной теоремы только со случайной нормировкой ===. .

15 Однако этого не происходит: в некоторых случаях для ^^Myi) имеет место такая теорема, но не с нормировкой "ген , а в некоторых случаях ^))1уС} имеет существенно иной характер сходимости , более похожий на сходимость нормированного числа в процессе с ветвлением. Данный эффект, полученный при случайных превращениях частиц вполне объясним: в зависимости от характера превращений при делении отдельные слагаемые в сумме <(, №_пУ либо можно считать слабо зависимыми и тогда применима центральная предельная теорема со случайной нормировкой, либо в К$>№уі) много сильно зависимых слагаемых , которые являются значениями функции І от близких "родственников" в смысле расстояния по генеалогическому дереву. Тем самым, память процесса jW^. и вид функции 7 оказывают существенное влияние на формирование асимптотического поведения функционала <^_; М_п/. Результаты, аналогичные результатам диссертации о jtyiX можно было бы также получить для функционала 2-»к-₀ <С^ Uk? » ^что однако из соображений объема не делается.

В 8 главы 2 доказываются теоремы о сходимости в среднем квадратичном и по распределению аддитивных функционалов, построенных по собственным и почти собственным функциям полугруппы Eft с большими по модулю собственными значениями; эти теоремы существенно используют мартингальныи характер сходимости полученных ф ункционалов. Примером результатов 8 является следующий факт: если Щох>, E_±&*t4 ,2Щ>а , то последовательность Є Q <С; Ufa) является мартингалом, сходящимся в среднем квадратичном к случайной величине ~W(5j . Наиболее существенную роль в последующих рассуждениях играет величина W- W ( определяющая предельное нормированное число частиц в процессе , В этом же параграфе доказана теорема об устойчивости, утверждающая, чтоЙехр{і^аП<1Т+_п>уіиУ] сходится к JiexpfeWl при Гі-ьОО _t если выполнены некоторые дополнительные условия

малости в среднем функции $гъ . Этот результат играет наиболее существенную роль при доказательстве теорем о смешанной гауссовости. Теоремы 8 за исключением указанной теоремы об устойчивости обобщают на случай фазового пространства общего вида результаты работ Кестена и Стигума [Зб| , Атрэ [28J о функционалах с мартингальным характером сходимости для процессов Гальтона-Ватсона.

Параграфы 9 и 10 диссертации посвящены результатам о смешанной гауссовости для аддитивных функционалов. При некоторых ограничениях на поведение функционала <5_> Мд^ и его двух первых моментов доказано, что для \Q К_} Z R.

Ме_Кр{іЛ^^Є^а"Г_л^Яе^{ТГ(іг-^ (4)

при tb-ЬСО _f где (ІЇ)=*М- (^НпУ * в котором математическое ожидание М. берется для процесса, начавшегося с одной частицы, имевшей распределение V в пространстве & . Правая часть соотношения (4) определяет характеристическую функцию пары случайных величин (J^_> ? VWy , где $ - независящая от гауссовская величина со средним 0 и дисперсией I; поэтому (4) является утверждением о сходимости к смешанному гауссовскому распределению для jyyD? ^>ft»V. Случай, рассматриваемый в 8-9 обладает тем свойством, что С$г)а6 6) удовлетворяет эквивалентности C(fl+l)n>C(f) при ҐІ->оо _и величина j-===?r« ^5^ U/іУ сходится по распределению при Я->00 _{к Га}у_С. совскому распределению со средним 0 и дисперсией I, асимптотически независящему от величины »v (точная формулировка содержится в теореме 9.1).

Параграф 10 посвящен случаю функционалов, построенных по
функции и поати собственным

функциям Ед, с собственными значениями по модулю равными . Результаты 10, примененные к процессам Гальтона-Ватсона, позволяют получить результаты работ Кестена, Стигума [Зб] и Атрэ [28] о смешанной гауссовости, при этом константы С СЮ имеют вид VI , у к О

В 11-12 результаты, полученные в8-10 применяются к изучению поведения суммарного спина Ь_лСз)от марковских цепей, инвариантных относительно всех изоморфизмов дерева А . В 11 доказана возможность сведения *>_л(?) к аддитивному функционалу *\h№yi/ ^от некоторого марковского процесса с ветвлением, для которого предельное нормированное число частиц W неслучайно. Таким образом, для такого процесса fiyi результат о смешанной гауссовости приводит просто к асимптотической гауссовости суммарного спина при некоторых ограничениях на функцию $" и марковскую цепь. В 11 показано, что величина S_n \р) асиптотически гауссовская при стандартной нормировке на среднее и корень из дисперсии для гиббсовских полей в высокотемпературной области, что ранее известно было для модели Изинга на и- из работы Малышева \р\ .

В последнем 12 доказываются теоремы о поведении суммарного спина в ферромагнитной модели Изинга на однородных деревьях без внешнего поля для гиббсовского поля со свободными граничными условиями. Показано, что суммарный спин асимптотически гауссов-ский щщіїі1*><і. и асимптотически негауссовский при/⁷?^кб>і, при этом хвост предельного распределений убывает быстрее чем у гауссовского. В сравнении с результатом 6 это показывает, что в модели Изинга на деревьях имеются по крайней мере две точки фазового перехода l№$>± - і , /МТк^= 1 . При переходе через $> нарушается единственность гиббсовского поля, при переходе через

&2 теряется асимптотическая гауссовость суммарного спина. Этот своеобразный эффект на физическом уровне строгости ранее обнару-

18 жен ранее был у поведения второго момента суммарного спина Матоудой [Зв] и у удельной свободной энергии Мюллером-Харт-маном и Зитаром в работе Г39] .

19 Список основных обозначений и сокращений.

А- AQTv ~ однородное дерево, ЇЇІ>± &- вершины дерева (Лжи соединены ребром - множество ориентированных ребер 1 ,(Х*>о ' - класс конечных поддеревьев А

ft^Pj-C - вершина о лвжит на кратчайшем пути из й. в С и ё*>С dc> - ь -компактное метрическое пространство о&>- - 6-алгебра борелевских мншеств /k ~ мера на оЭ-39 - ]ЭС-у-^г (³^^ А)) - пространство нонфигураций

спинов в объеме Тс А %- - 6* -алгебра в

^(flfOC_v)« П_аєдг ^%) - мера на <&^V f(^^f) -п.в. - для почти всех ЭС-у по мере п.в. - почти всюду

U"Cy) - симметричная функция из ^кЭь в К , называемая потен
циалом - _у V

м.ц. - марковская цепь

- класс марковских цепей

МП, \ Pa > & Л) 5Гг₀ g?, jfyojeA j- марковская цепь с указанными параметрами

- класс гиббсовских мер

з - (^/ ${ ) T^As^A)- набор функций, удовлетворяющих ряду

свойств ^т ^:= i\?{ - множество всех наборов \Р

класс гиббсовских мер, являющихся марковскими цепями

К (.) - множество вещественных чисел (неотрицательных чисел) (L - множество комплексных чисел *? - множество изоморфизмов дерева А

Ш<$> ш У ехр{- u(x^)J ЩЩ%)

и~> - множество ограниченных измеримых функций на 3b
Р || = Sup j|(x)| Х 39. \ _ норма в Е

S(X) - мера, сосредоточенная в точке ХєЗЕ о)\л - множество целочисленных точечных мер на уЛ-М -6 -алгебра в *М , порожденная аддитивными функционалами №*Ze($jfl(y)- точечная мера, Ь(ц) - целые положительные числа

WCw) - значение марковского процесса с ветвлением при #=0,4,... * ГП - марковский процесс, начавшийся из Yft Є сЖ >W - суммарное число частиц в процессе в момент Л=<9,і,... 1.7»^ - производящий оператор процесса 1/^ за время YI Efft^-M.?/,дл^ІЧ^))- действие полугруппы средних

c(Vt)= ё&и>а

1> - конец доказательства

И - функция, тождественно равная Ї