Предельные теоремы для бесконечноканальных систем с тяжелыми хвостами распределений времен обслуживания Чернавская Екатерина Александровна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Предельные теоремы для системы обслуживания с бесконечным числом приборов и дважды стохастическим пуассоновским входящим потоком 14

1.1 Описание системы 15

1.2 Вспомогательные результаты 16

1.3 Основные теоремы и их доказательства 19

1.4 Следствия полученных результатов

1.4.1 Регенерирующий дважды стохастический пуассоновский входящий поток 24

1.4.2 Входящий поток, управляемый полумарковским марковски модулированным процессом 25

Глава 2. Предельные теоремы для системы обслуживания с регенерирующим входящим потоком 31

2.1 Системы с групповым поступлением требований 32

2.1.1 Формулировка теорем для вложенного процесса 33

2.1.2 Вспомогательные результаты 34

2.1.3 Доказательство теорем для вложенного процесса 41

2.1.4 Случайная замена времени в предельных теоремах 43

2.1.5 Переход к неслучайной нормировке 57

2.2 Системы с регенерирующим входящим потоком 58

2.2.1 Описание модели 58

2.2.2 Формулировка результатов 59

2.2.3 Мажорирующие системы 60

Глава 3. Функциональные предельные теоремы 64

3.1 Описание системы 64

3.2 Сходимость конечномерных распределений 65

3.2.1 Частный случай: интенсивность входящего потока - постоянна 65

3.2.2 Доказательство в общем случае 72

3.3 Плотность 75

Заключение 83

Литература

• Вспомогательные результаты
• Регенерирующий дважды стохастический пуассоновский входящий поток
• Вспомогательные результаты
• Частный случай: интенсивность входящего потока - постоянна

Введение к работе

Актуальность. Изучение бесконечноканальных систем началось с работы Риордана 1951 года³ , где была рассмотрена телефонная станция, в которой ни один звонок не задерживался и не терялся терялся из-за отсутствия оборудования. Эта система является системой типа M/G/oo. В 60-70-е публикуются результаты, касающиеся распределения числа занятых приборов, а также доказательство того, что выходящий поток из системы M/G/oo является пуассоновским. В 1980-е годы выходят статьи, посвященные изучению бесконечноканальных систем в случае высокой нагрузки ("heavy traffic"). Доказаны предельные теоремы для систем, интенсивность входящего потока в которых стремится к бесконечности, в то время как распределение времен обслуживания фиксировано. Отметим, что подобные предельные теоремы носят характер, отличный от рассматриваемых нами.

¹М. Ya. Postan, "Flow of Serviced Requests in Infinite-Channel Queueing Systems in a Transient Mode". Probl. Inf., 5(3):213-220, 1977.

²Боровков А.А., "Вероятностные процессы в теории массового обслуживания", 1972. ³Riordan J., "Telephone traffic time averages". Bell Labs Technic. J., 30(4)4129-1144, 1951.

В нашем случае, распределение входящего потока не изменяется, но

t
/(1 - W -юо, t -> со, (1)

где В(х) - функция распределения времен обслуживания.

В связи с этим в предельных теоремах появляется не вполне традицион-ft ная нормировка <\//(1 ^— B(x))dx, а не л/t. Стоит отметить, что нетрадици-

онная нормировка возникает и в случаях высокой загрузки .

Условие (1) выполнено для некоторого подкласса распределений, имеющих тяжелый хвост. В этом случае длинные события, приходящиеся на хвост распределения, происходят не достаточно редко, чтобы ими можно было пренебречь. Такое распределение имеют, например, аварийные события, размер файла в сети интернет, длительность передачи файла в сети и т.д. Подобные распределения естественным образом возникают в страховании, так как распределение страховых требований часто имеет тяжелые хвосты, а также в приложениях финансовой математики⁵.

На рубеже 80-х и 90-х годов выходят работы, посвященные бесконечно-канальным системам с групповым поступлением требований. В этом случае число занятых приборов, может быть смоделировано как процесс дробового шума, который вызван наложением случайности величины скачков входящего процесса и случайности моментов этих скачков. Далее эти результаты обобщаются для систем с групповым поступлением требований и разными типами входящих групп, например, времена обслуживания для разных групп могут иметь разные распределения, а также быть зависимыми.

Далее появляются работы с еще более сложной структурой обслуживания и входищим потоком. Например, системы с несколькими входящими потоками и разной процедурой обслуживания для разных потоков⁶.

В литературе рассматриваются различные модели бесконечноканальных систем, например, системы с ограничениями, системы в случайной среде, сети бесконечноканальных систем, бесконечноканальные системы с прерыванием обслуживания и другие. Это обусловлено как широким кругом практических вопросов, в которых эти модели оказываются полезными, так и целым рядом возникающих здесь интересных математических задач. Для бес-

⁴Glynn P. W., Whitt W., "A new view of the heavy-traffic limit theorem for infinite-server queues". Advances in Applied Probability, 188-209(1991).

⁵Asmussen S. et al., "Rare events simulation for heavy-tailed distributions". Bernoulli, 6(2):303-322, 2000.

^eMasuyama H., Takine Т., "Analysis of an infinite-server queue with batch Markovian arrival streams". Queueing Systems, 42(3):269-296, 2002.

конечноканальных систем изучается поведение разных процессов, например, период занятости (время в течение которого будет занят хоть один прибор в системе), число занятых приборов, длина С-перегруженного периода (length of the C-congested episode), высота С-перегруженного периода (height of the C-congested episode) и т.д.

Основная трудность при доказательстве предельных теорем для числа требований q(t) в момент времени t состоит в определении условий на характеристики системы, описывающие входящий поток и процедуру обслуживания, при которых будет иметь место предел

Ііш Щ = 1.

t-к» Eq\t)

Доказательству этой сходимости для каждого из рассматриваемых нами входящих потоков и посвящена основная часть диссертации.

Естественным развитием теории массового обслуживания для бесконеч-ноканальных систем является исследование систем с входными потоками все более общего вида. В настоящей работе приводятся результаты для систем с дважды стохастическим пуассоновским (ДСП) и регенерирующим входными потоками. Потоки переменной интенсивности интересны, поскольку могут быть использованы при построении моделей многих реальных объектов. В этом случае интенсивность может зависеть от времени, более того, быть случайным процессом.

ДСП потоки являются естественным обобщением пуассоновского потока, поскольку в данном случае интенсивность является случайным процессом. Регенерирующие потоки представляют интерес для анализа, поскольку такими являются большинство потоков, обычно используемых в теории очередей в качестве входных потоков (например, марковский поток, полумарковский поток и др.). Сразу отметим, что ДСП поток является регенерирующим только в том случае, когда его случайная интенсивность - регенерирующий процесс. Системы с таким входящим потоком сложны для анализа, поскольку здесь в общем случае не удается выписать явные формулы для характеристик системы.

В диссертации рассмотрены задачи, связанные с доказательством предельных теорем для одномерных распределений числа требований, находящихся на обслуживании в системе. А также более общая задача - доказательство функциональных теорем для этого процесса. Доказательство слабой сходимости в функциональном пространстве проводится в два этапа. Во-первых, доказывается слабая сходимость конечномерных распределений рассматриваемого процесса, во-вторых, проверяется условие плотности для

этого процесса .

Цель и задачи исследования. Целью диссертации является получение новых результатов, касающихся предельного поведения процесса, равного числу требований q(t) в системе, когда t —> оо.

Среди задач исследования выделяются следующие.

Доказательство предельных теорем для q(t) в бесконечноканальных системах с ДСП и регенерирующим входными потоками при/: —> оо.

Нахождение условий для слабой сходимости распределения последовательности процессов q(tT) к распределению гауссовского процесса при Т^ос, te (0,/г), /г>0.

Научная новизна. Представленные в диссертации результаты являются новыми, получены автором самостоятельно. Основные результаты диссертации следующие.

Для бесконечноканальной системы обслуживания с ДСП входящим потоком найдено выражение для характеристической функции процесса q(t), приведены выражения для среднего и дисперсии этого процесса. Для случая бесконечного среднего времени обслуживания доказаны предельные теоремы (аналоги закона больших чисел и центальной предельной теоремы) для процесса q(t) при t —> оо. В качестве следствий рассмотрены частные случаи систем с входящим ДСП потоком, когда интенсивность входящего ДСП является регенерирующим или полумарковским марковски модулированным процессом.

Для бесконечноканальной системы, в которую требования поступают группами случайного объема через независимые одинаково распределенные промежутки времени, найдено выражение для характеристической функции процесса q{t), доказаны аналоги закона больших чисел и центральной предельной теоремы в случае бесконечного среднего времен обслуживания. С использованием этих результатов, доказаны предельные теоремы для q(t) в бесконечноканальной системе с регенерирующим входящим потоком и бесконечным средним времен обслуживания.

Для бесконечноканальной системы массового обслуживания с пуассо-новским входящим потоком и бесконечным средним времен обслуживания получены условия С-сходимости процесса q(tT) при Т —> оо к гауссовскому процессу, t Є (0, h), h > 0.

Методика исследования. В диссертации используются различные методы и результаты математического анализа, теории вероятностей и теории случайных процессов: метод характеристических функций, результат об асимптотике свертки функций⁸, теорема о неявной функции, теорема о слу-

⁷Billingsley P., "Convergence of probability measures", 2013.

⁸Яровая E. Б., "Модели ветвящихся блужданий и их применение в теории надежности", Автоматика

чайной замене времени в предельных теоремах , максимальные неравенства теории демимартингалов¹⁰, критерий сходимости в пространстве непрерывных функций¹¹.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Её результаты могут найти применение в теории очередей, теории ветвящихся процессов.

Апробация работы.

По теме диссертации были сделаны доклады на следующих семинарах механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.

Большом семинаре кафедры теории вероятностей под руководством действительного члена РАН, профессора А. Н. Ширяева (2016 г.),

Спецсеминаре кафедры теории вероятностей под руководством д.ф.-м.н., профессора Л. Г. Афанасьевой (2013-2016 гг., неоднократно).

Результаты диссертации докладывались следующих конференциях:

Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2014", г. Москва, Россия, 2014.

XXXII International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models, Trondheim, Norway, 2014.

Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2015", г. Москва, Россия, 2015.

16th Applied Stochastic Models and Data Analysis International Conference (ASMDA2015), Piraeus, Greece, 2015.

Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2016", г. Москва, Россия, 2016.

Международной конференции по стохастическим методам, Новороссийск, Россия, 2016.

VIII Moscow International Conference on Operations Research (ORM 2016), Moscow, Russia, 2016.

и телемеханика, 7:29-46, 2010.

⁹Durrett, Richard Т., and Sidney I. Resnick., "Weak convergence with random indices". Stochastic Processes and their Applications, 5(3):213-220, 1977.

¹⁰Christofides T. C, Hadjikyriakou M.,"Conditional demimartingales and related results". Journal of Mathematical Analysis and Applications, 398(1) :380-391, 2013.

^пБоровков, А.А., "Вероятностные процессы в теории массового обслуживания", 1972).

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 12 работах, из которых три — в журналах из перечня ВАК. Список работ приведён в конце автореферата fill].

Структура и объём работы.

Диссертация изложена на 92 страницах и состоит из введения, трёх глав и списка литературы, включающего 102 наименования.

Вспомогательные результаты

В качестве примеров рассмотрим следующие частные случаи.

Пример 1. Пусть { j}=1 и {TJ}=1 - две независимые последовательности одинаково распределенных внутри каждой последовательности независимых случайных величин и F(t) = Р(т\ ), Ет\ = /І оо, Е і = а, D(i = сг оо. Случайные величины и то - независимы и не зависят от последовательностей {%,} =1 и {TJ} =1, причем Р(то ) = І /ї%)ф. М «У о п Введем случайное блуждание Sn = Tj И считающий процесс N(t) = min{; 0 : Sk t}, n 0. Заметим, что в данном случае процесс N(t) имеет стационарные приращения [6](Боровков А.А., 1986), то есть по распределению при и 0 N(t + и)- N(t) = N{u) - N(0) = N{u). (1.17) Зададим интенсивность входящего ДСП потока следующим соотношением x(t) = j2QHN(t)=j)} 3=0 где 1(A) - индикаторная функция события А. Заметим, что X(t) является стационарным процессом и ЕА() = а. Для определения условий, при которых будут выполнены предельные теоремы 1 и 2, найдем оценку для cov(\(t),\(t + и)). Учитывая (1.17), имеем при и 0 00 00 EX(t)X(t + и) = J2 Е Е&&Ш W ) = ? + и) = к) = j=0 k=j 00 00 = ЕЕ Е&&ш (N=э N&+и) = к) + 3=0 k=j+l + E I(A )=J,A + M)=J) = = a2P{N{t + u)- N{t) 0) + ( rf + a2)P{N{t + u)- N{t) = 0) = = a2(l - P(r0 w)) + (ст + а2)Р(т0 и). 2 00 Таким образом, cov(A(), X(t + и)) = — J F(y)dy. и Используя это равенство, получаем, что если F(y) су и с 0, то теорема 1 будет выполнена при [5 2А и 0 А 1, а теорема 2 - при /3 тах(А + 1,2- А) и 0 А 1.

Заметим, что в рассмотренной системе процесс X(t) является регенерирующим, точки регенерации - моменты скачков процесса N(t). Мы рассмотрели систему, в которой случайные величины { j}l0 и і7":/ }0 ) на к0 торых строится процесс X(t), являются независимыми. Случай, когда эти величины могут быть зависимыми, будет рассмотрен в следующем пункте.

В этом пункте мы рассмотрим бесконечноканальные системы, для которых выполнено условие (1.2), а интенсивность входящего ДСП потока является стационарным регенерирующим процессом. Сформулируем и докажем следствия теорем 1 и 2 для этих систем, а также для частного случая, когда интенсивность входящего ДСП потока - полумарковский марковски модулированный процесс. Результаты, приведенные в этой части диссертации, опубликованы в [91].

ДСП поток A(t) является регенерирующим, если его случайная интенсивность X(t) является регенерирующим случайным процессом [1]( Афанасьева, Булинская, 1980). Определение, свойства и ряд примеров таких потоков, можно найти в статье [20] ( Афанасьева, Баштова, 2014). Обозначим 6j момент j -й регенерации процесса X(t), (j 0) и Tj = 9j — 0j_i, (j 0), 6Li = 0. Последовательность {TJ}=1 СОСТОИТ ИЗ н.о.р.с.в. с функцией распределения F{t) = Р(ті t), Ет\ = ц оо. Поскольку мы рассматриваем стационарный регенерирующий процесс, того не зависит от t последовательности {TJ}=1 И Fo(t) = Р(то t) = - J F(y)dy. м о Теорема 3. Если X(t) стационарный регенерирующий процесс и supt \(t,ui) Хм оо с вероятностью 1, то \r(t)\ = cov(A(0),A()) 4A P(r0 t) = АХ2мЩг) nput 0. (1.18) Доказательство. По определению при t 0 имеем r(t) = cov(A(0), X(t)) = EX(0)X(t) - EA(0)EA() = = E(A(0)A(t) (I(r0 t) + I(r0 ))) -E(A(0) (I(r0 t) + І(то t)))E(X(t) (I(r0 t) + I(r0 ))). Заметим, что поскольку X(t) регенерирующий процесс, то А(0) и X(t) условно независимы при условии {то t\. Поэтому Е(А(0)АЙго t) = Е(А(0)ть )Е(А( )то t). Используя последнее равенство, находим г( ) = Е(А(0)А( )т0 )Р(то )+ +Е(Л(0)го t)E(X(t)\T0 t) P(r0 t) P(r0 t) -Е(Л(0)го )Е(ЛЙ)Р(го ) -Е(Л(0)го )Е(А( )то t) P(r0 t) P(r0 t) = = P(r0 )(E(A(0)A( )TO t) + E(A(0)r0 t)E(X(t)\r0 t) P(r0 t) -E(A(0)r0 t)E(\(t)) - E(A(0)TO )Е(А( )то t) P(r0 )).

Поскольку X(t) AM С вероятностью 1, то из последнего неравенства оче видным образом следует (1.18). Следствие 2. В условиях теоремы 3, если Fit) ct d, d 1, то теорема 1 верна при d 2А, 0 А 1. теорема 2 верна при d max(A + 1,2 — А); 0 А 1, Возвращаясь к примеру 1, отметим, что процесс \(t) является регене 3 рирующим, с точками регенерации 6j = Х г«; 3 — О- Заметим, что здесь не г=0 предполагается независимость %, и Tj при каждом j 0, и для нахождения оценки для корреляционной функции процесса \(t) достаточным является требование P(j AM) = 1 1.4.2. Входящий поток, управляемый полумарковским марковски модулированным процессом

Эти потоки образуют важный подкласс ДСП потоков. Случайная интенсивность такого потока представляется в следующем виде +00 \(t) = Y, k4U(t) = k), (1.19) к=0 где {U(t),t Є (—оо,+оо)} - стационарный полумарковский процесс, принимающий значения {0,1,2,...}, а {А&, А& С оо, к 0} - совокупность неотрицательных чисел. В таком случае интенсивность A it) также является стационарным процессом. Как известно(см. например, [9]), распределение U(t) определяется двумя матрицами P = (pij) и G = (Gij(x)). Первая состоит из вероятностей перехода из (і) в (j), а вторая - из функций распределения времен нахождения U(t) в состояниях і = О,1, 2,... при условии, что следующим состоянием будет j. Пусть {tn}n=i моменты скачков U{t) и Un = U{tn + 0). Тогда P является матрицей переходных вероятностей для вложенной цепи Маркова Un. Заметим, что процесс \{t) является регенерирующим и в качестве его точек регенерации {#І} О МОЖНО ВЗЯТЬ моменты попадания цепи Un в некоторое фиксированное состояние, например, в нулевое. Положим в0 = inf {t 0 : U(t) = 0} , в{ = inf {tn 0i_! : Un = 0} , і = 1, 2,..., n l r0 = во, т1 = в1- Oi-i, і = 1,2 Наша цель - выяснить условия, при которых для бесконечноканальной системы с полумарковским входящим потоком будут справедливы утверждения теорем 1 и 2. Для этого, как следует из теоремы 3, необходимо выяснить асимптотическое поведение при t — оо вероятности P(ro t) = -Jp(r1 y)dy. t

Заметим, что период регенерацииTj, j 1, состоит из времени, которое процесс U{t) проводит в нулевом состоянии после попадания в него, и времени возвращения в нулевое состояние после выхода из него. Определим Vjk = min {п 0 : Un = к, при условии Щ = j} .

Регенерирующий дважды стохастический пуассоновский входящий поток

Рассматривается бесконечноканальная система S с регенерирующим входящим потоком X(t), заданным на фильтрованном вероятностном пространстве [Q, J7-, {J t\t o , Р), фильтрация {J t\t o согласована с процессом X(t). Приведем определение такого потока [20] ( Афанасьева, Баштова, 2014).

Определение 3. Случайный процесс {X(t),t 0} с неубывающими непрерывными слева траекториями называется регенерирующим потоком, если существует неубывающая последовательность {9,пг 0}, 9$ = 0 марковских моментов, относительно фильтрации {Ft\t Q таких, что последовательность состоит из н.о.р. случайных элементов. Величины, в{ и ТІ = 6І — Qi-\(і 1) называются і-м моментом регенерации и і-м периодом регенерации, соответственно.

Считаем, что X(t) - число требований поступивших в систему обслуживания к моменту времени , Х(0) = 0. Обозначим = X (вІ) — X (ОІ-І) - число требований, пришедших за і—й период регенерации, і 1.

В соответствии с определением 5, \j i=l - последовательность и.о.р.с.в. Из определения 3 следует, что и Tj независимы при і ф j. Обозначим Еті Времена обслуживания заявок {7 } образуют последовательность н.о.р.с.в. с функцией распределения B(t), не зависящую от входящего потока X(t). Хвост распределения B(t) обозначаем через B(t) = 1 — B(t).

Основное внимание в данной главе направлено на изучение процесса q(t), равного числу заявок, находящихся на обслуживании в системе S в момент времени t.

Заметим, что в класс распределений, удовлетворяющих (2.45), входят, например, регулярно меняющиеся функции с индексом 0 а 1 29( Боровков, Боровков, 2008).

Для изучения асимптотического поведения очереди в 5, вводим две вспомогательные системы S\ и S . В S\ требования поступают в момент ві-і группой объема , г 1. Вторая система S2 аналогична первой, только группа объема поступает не в начале периода, а в его конце( т.е. в момент

Предполагаем, что системы 5, S\ и S2 заданы на одном вероятностном пространстве. Будем обозначать qi(t) - число требований в системе 5 , і = 1,2. Лемма 2.8. Почти наверное выполнено следующее двойное неравенство Qi {0N(t)+i) 6v(t)+i q(t) q2 {ON) + &v( )+i, t 0, (2.46) где N(t) =max{n :вп і]. Доказательство. 1. Из определения сиетем 5 2 и S еледует, что при п 1 q{0n) q2{0n) п.и. Поэтому при t О q(0N{t)) q2{0N{t)) п.н. Далее q(t) q(0N{t)) + N(t)+i q2(0N(t)) + b(t)+i, t 0. 2. Поскольку при n 1 имеет место неравенство Я(0п) l( n) П.Н, то при t 0 q{0N(t)+i) qi{0N(t)+i) п.н. Так как q{0N(t)+i) q{t) + лг( )+ь то при 0 q(t) q(9N(t)+i) - лг( )+і #i№v( )+i) ЛГ(І)+І п.н. Лемма 2.8 доказана. П Для дальнейшего изложения удобно ввести вспомогательные процессы. Пусть и = {_Ui\i=l, v = {_Vi\i=l, а = {сц}і=і - последовательности независимых одинаково распределенных, внутри каждой последовательности, случайных величин такие, что а не зависит от и, V. Случайные величины в и принимают целочисленные значения. Предполагаем, чтоР(а t) = B(t).

Определим для каждого набора таких последовательностей следующую последовательность сумм Из лемм 2.7 и 2.8 следует, что по распределению выполнено следующее неравенство I fa 9N(t)+i) b(t)+i + SW( )+I( ,T ,77 ) - &v( )+i 4(0 $\Г(І)«,Т,Т7)+6\Г(І)+І, 0, (2.50) где N(t) = max{n : 9n t]. Далее, поскольку величина /v(t)+i имеет собственное предельное распределение, то применяя результаты пунктов 2.3.1-2.3.6 для S]\r(t)(,T,ri) и 5 ДГ(І)__І( /, т , г] ), получаем результаты теорем 7 и 8. Глава 3. Функциональные предельные теоремы

В первой части этой главы изучается сходимость конечномерных распределений процесса q(t), равного числу требований в бесконечноканальной системе в момент времени t, с пуассоновским входящим потоком и интенсивностью зависящей от времени. Показано, что конечномерные распределения нормированного и центрированного процесса q(tT) сходятся к конечномерным распределениям гауссовского процесса при Т — оо, t Є (0, h).

Во второй части показывается, что процесс q(t) является условным отрицательным демимартингалом в непрерывном времени. Благодаря этому удается проверить условие плотности для процесса q(t), в предположении, что интенсивность входящего пуассоновского потока - постоянна. Поэтому в этом частном случае имеет место С-сходимость нормированного процесса q(tT) к гауссовскому процессу при Т — оо, t Є (0, h).

Мы рассматриваем систему обслуживания с бесконечным числом приборов. Моменты поступления требований образуют пуассоновский процесс X(t) с интенсивностью X(t). Предполагаем, что для интенсивности A(t) входящего потока выполнено следующее условие. t Условие 1. Обозначим A(t) = J X(y)dy. Найдется конечное число т О, о А 0 и последовательность {Sk} =0 такие, что Sk — оо при к — оо и OKSk-Sk-гйти A(Sk) = XSk, k l,S0 = 0. Следует отметить, что из Условия 1 следует, что предел jA(t) существует при t — оо и равен А. Мы предполагаем, что времена обслуживания {Т]І} І - н.о.р.с.в. с функцией распределения В(х), В(х) = 1 — В(х). Будем считать, что эта функция удовлетворяет следующему условию.

Вспомогательные результаты

Используя это равенство, получаем, что если F(y) су и с 0, то теорема 1 будет выполнена при [5 2А и 0 А 1, а теорема 2 - при /3 тах(А + 1,2- А) и 0 А 1. Заметим, что в рассмотренной системе процесс X(t) является регенерирующим, точки регенерации - моменты скачков процесса N(t). Мы рассмотрели систему, в которой случайные величины { j}l0 и і7":/ }0 ) на к0 торых строится процесс X(t), являются независимыми. Случай, когда эти величины могут быть зависимыми, будет рассмотрен в следующем пункте.

В этом пункте мы рассмотрим бесконечноканальные системы, для которых выполнено условие (1.2), а интенсивность входящего ДСП потока является стационарным регенерирующим процессом. Сформулируем и докажем следствия теорем 1 и 2 для этих систем, а также для частного случая, когда интенсивность входящего ДСП потока - полумарковский марковски модулированный процесс. Результаты, приведенные в этой части диссертации, опубликованы в [91].

ДСП поток A(t) является регенерирующим, если его случайная интенсивность X(t) является регенерирующим случайным процессом [1]( Афанасьева, Булинская, 1980). Определение, свойства и ряд примеров таких потоков, можно найти в статье [20] ( Афанасьева, Баштова, 2014).

Обозначим 6j момент j -й регенерации процесса X(t), (j 0) и Tj = 9j — 0j_i, (j 0), 6Li = 0. Последовательность {TJ}=1 СОСТОИТ ИЗ н.о.р.с.в. с функцией распределения F{t) = Р(ті t), Ет\ = ц оо. Поскольку мы рассматриваем стационарный регенерирующий процесс, того не зависит от t последовательности {TJ}=1 И Fo(t) = Р(то t) = - J F(y)dy. м о Теорема 3. Если X(t) стационарный регенерирующий процесс и supt \(t,ui) Хм оо с вероятностью 1, то \r(t)\ = cov(A(0),A()) 4A P(r0 t) = АХ2мЩг) nput 0. (1.18) Доказательство. По определению при t 0 имеем r(t) = cov(A(0), X(t)) = EX(0)X(t) - EA(0)EA() = = E(A(0)A(t) (I(r0 t) + I(r0 ))) -E(A(0) (I(r0 t) + І(то t)))E(X(t) (I(r0 t) + I(r0 ))). Заметим, что поскольку X(t) регенерирующий процесс, то А(0) и X(t) условно независимы при условии {то t\. Поэтому Е(А(0)АЙго t) = Е(А(0)ть )Е(А( )то t). Используя последнее равенство, находим г( ) = Е(А(0)А( )т0 )Р(то )+ +Е(Л(0)го t)E(X(t)\T0 t) P(r0 t) P(r0 t) -Е(Л(0)го )Е(ЛЙ)Р(го ) -Е(Л(0)го )Е(А( )то t) P(r0 t) P(r0 t) = = P(r0 )(E(A(0)A( )TO t) + E(A(0)r0 t)E(X(t)\r0 t) P(r0 t) -E(A(0)r0 t)E(\(t)) - E(A(0)TO )Е(А( )то t) P(r0 )). Поскольку X(t) AM С вероятностью 1, то из последнего неравенства оче видным образом следует (1.18). Следствие 2. В условиях теоремы 3, если Fit) ct d, d 1, то теорема 1 верна при d 2А, 0 А 1. теорема 2 верна при d max(A + 1,2 — А); 0 А 1, Возвращаясь к примеру 1, отметим, что процесс \(t) является регене 3 рирующим, с точками регенерации 6j = Х г«; 3 — О- Заметим, что здесь не г=0 предполагается независимость %, и Tj при каждом j 0, и для нахождения оценки для корреляционной функции процесса \(t) достаточным является требование P(j AM) = 1 1.4.2. Входящий поток, управляемый полумарковским марковски модулированным процессом

Эти потоки образуют важный подкласс ДСП потоков. Случайная интенсивность такого потока представляется в следующем виде \(t) = Y, k4U(t) = k), (1.19) к=0 где {U(t),t Є (—оо,+оо)} - стационарный полумарковский процесс, принимающий значения {0,1,2,...}, а {А&, А& С оо, к 0} - совокупность неотрицательных чисел. В таком случае интенсивность A it) также является стационарным процессом. Как известно(см. например, [9]), распределение U(t) определяется двумя матрицами P = (pij) и G = (Gij(x)). Первая состоит из вероятностей перехода из (і) в (j), а вторая - из функций распределения времен нахождения U(t) в состояниях і = О,1, 2,... при условии, что следующим состоянием будет j. Пусть {tn}n=i моменты скачков U{t) и Un = U{tn + 0). Тогда P является матрицей переходных вероятностей для вложенной цепи Маркова Un. Заметим, что процесс \{t) является регенерирующим и в качестве его точек регенерации {#І} О МОЖНО ВЗЯТЬ моменты попадания цепи Un в некоторое фиксированное состояние, например, в нулевое. Положим в0 = inf {t 0 : U(t) = 0} , в{ = inf {tn 0i_! : Un = 0} , і = 1, 2,..., n l r0 = во, т1 = в1- Oi-i, і = 1,2 Наша цель - выяснить условия, при которых для бесконечноканальной системы с полумарковским входящим потоком будут справедливы утверждения теорем 1 и 2. Для этого, как следует из теоремы 3, необходимо выяснить асимптотическое поведение при t — вероятности P(ro t) = -Jp(r1 y)dy.

Заметим, что период регенерацииTj, j 1, состоит из времени, которое процесс U{t) проводит в нулевом состоянии после попадания в него, и времени возвращения в нулевое состояние после выхода из него.

Частный случай: интенсивность входящего потока - постоянна

В диссертации найдены условия для сходимости нормированного и центрированного процесса равного числу требований в системе в фиксированный момент времени t, при t — оо. Рассмотрены случай различных входящих потоков. Это дважды стохастический пуассоновский и регенерирующий потоки. Основные результаты работы заключаются в следующем. 1. Доказательство предельных теорем для процесса q(t) равного числу требований в системе в момент времени/:, в бесконечноканальных системах с дважды стохастическим пуассоновским входящим потоком, при t — 2. Доказательство предельных теорем для процесса q(t) равного числу требований в системе в момент времени , в бесконечноканальных системах с регенерирующим входящим потоком, при t — 3. Нахождение условий функциональной сходимости процессов q(tT) к гауссовскому процессу при Т — t Є (0, h), h 0. Кратко приведем результаты каждой из глав.

В первой главе была рассмотрена бесконечноканальная система обслуживания с дважды стохастический пуассоновским входящим потоком и бесконечным средним времени обслуживания требования. Для процессад() были доказаны аналоги закона больших чисел и центральной предельной теоремы. В качестве следствий были рассмотрены системы с регенерирующим входящим ДСП потоком, а также системы с входящим ДСП потоком, управляемым полу марковским марковски модулированным процессом. Известно, что если входящий поток - пуассоновский с интенсивностью А, то q(t)-XP(t) процесс і имеет предельное стандартное нормальное распределение, при условии, что /3(t) = / B(y)dy — оо, t — оо. Таким образом, результаты главы 1 обобщают этот факт, на случай дважды стохастического пуассоновского входящего потока со стационарной интенсивностью, которая имеет корреляционную функцию достаточно быстро сходящуюся к нулю.

Во второй главе рассмотрена бесконечноканальная система массового обслуживания с регенерирующим входящим потоком. Для процесса q(t) доказаны аналоги закона больших чисел и центральной предельной теоремы. Заметим, что в первой главе была рассмотрена система с регенерирующим дважды стохастическим пуассоновским входящим потоком и показано, что предельные теоремы для q(t) имеют место при некотором более слабом условии на ковариацию интенсивности входящего ДСП потока, чем то, что получено в этой главе( в случае ДСП въодящего потока может требоваться менее одного момента у периодов регенерации). Но это и понятно, ведь дважды стохастический пуассоновский поток имеет более определенный вид, чем регенерирующий и поэтому проще для анализа.

В третьей главе была рассмотрена бесконечноканальная система обслуживания с пуассоновским входящим потоком, с интенсивностью зависящей от времени, и временами обслуживания хвост распределения которых является регулярно меняющейся функцией. Как и в первых двух главах изучается асимптотическое поведение процесса q(t) - число требований в системе в момент времени t. В первой части этой главы показана сходимость конечномерных распределений нормированного и центрированного процесса q{t) к гауссовскому процессу, явно выписана ковариационная функция этого процесса. Во второй части этой главы делается попытка проверить условие плотности для нормированного и центрированного q{t). Для этого доказывается, что q(t) является отрицательным условным демимартингалом в непрерывном времени. Благодаря этому можно использовать максимальные неравенства, известные для демимартингалов. Однако, при проверке плотности возникают некоторые сложности в оценках и до конца довести проверку этого условия, удается лишь в случае постоянной интенсивности. Что касается развития и обобщения, полученных результатов, стоит сказать о функциональных предельных теоремах для систем с дважды стохастическим и регенерирующим входящими потоками. Доказательства таких теорем состоят из двух частей. Первая - доказательство сходимости конечномерных распределений, является обобщением сходимости одномерных распределений, которая и была доказана в диссертации. Вторая часть - проверка условия плотности распределений процесса. Его доказательство достаточно просто будет получаться, если использовать наблюдения о том, что исследуемый процесс обладает свойствами отрицательного демимартин-гала.