Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Достаточные условия существования кратного стохастического интеграла 28
1. Достаточные условия существования 28
2. Представление кратного стохастического интеграла в виде кратного ряда со случайными коэффициентами 32
3. Доказательство основных результатов 33
3.1. Доказательство теоремы 1 33
3.2. Доказательство теоремы 2 40
3.3. Доказательство теоремы 3 42
3.4. Доказательство теоремы 4 44
3.5. Доказательство теоремы 5 46
ГЛАВА 2. Задание кратного стохастического интеграла в виде кратного ряда со случайными коэффициентами 55
1. Определение кратного стохастического интеграла 55
2. Экспоненциальное неравенство 60
3. Доказательство теоремы 6 62
ГЛАВА 3. Задание кратного стохастического интеграла в виде одномерного ряда со случайными коэффициентами . 65
1. Определение кратного стохастического интеграла 65
2. Сравнение различных конструкций кратных стохастических интегралов 69
3. Обобщенная конструкция стохастического интеграла 73
4. Разложение многопараметрического процесса с ковариационной функцией специального вида 74
5. Условия существования кратного винеровского стохастического интеграла 76
6. Сравнение кратных стохастических интегралов, построенных относительно различных разложений одного и того
же процесса 84
7. Экспоненциальное неравенство 87
8. Доказательство основных результатов 89
8.1. Доказательство теоремы 7 89
8.2. Доказательство теоремы 8 94
8.3. Доказательство теоремы 9 95
8.4. Доказательство теоремы 10 99
8.5. Доказательство теоремы 11 101
8.6. Доказательство теоремы 12 103
8.7. Доказательство теоремы 13 105
Заключение 107
Список литературы
- Представление кратного стохастического интеграла в виде кратного ряда со случайными коэффициентами
- Экспоненциальное неравенство
- Разложение многопараметрического процесса с ковариационной функцией специального вида
- Доказательство теоремы 9
Введение к работе
Актуальность темы. В математической статистике и некоторых других приложениях стохастического анализа важную роль играют кратные интегралы вида
/ f(xu...,xd)d{xi)...d{xd)
[а,Ь]*
от неслучайной измеримой функции f(xi,...,Xd), заданной на [a,&]d, где а < Ъ конечны, d — фиксированное натуральное число, а (ж) — случайный процесс, заданный на [а, Ь]. Реализации процесса (ж), вообще говоря, являются функциями неограниченной вариации, и интегралы указанного вида без каких-либо условий регулярности на ядра (скажем, лишь при условии их интегрируемости в смысле Лебега) нельзя понимать как интегралы Римана-Стилтьеса или Лебега-Стилтьеса, существующие для почти всех реализаций
Впервые стохастический интеграл от неслучайной функции по независимым приращениям винеровского процесса рассмотрел в 1923 году Н. Винер. Кратные стохастические интегралы по приращениям винеровского процесса рассматривали Н. Винер (1938) и К. Ито (1944, 1951) (классический кратный интеграл Винера-Ито). Известны и другие подходы при построении кратных винеровских интегралов, в этой связи отметим важные работы Ю. Хью, П. Мейера (1988) и Г. В. Джонсона, Г. Каллианпура (1993).
А. А. Филиппова (1962), А. Дасгупта и Г. Каллианпур (1999) определяли кратные стохастические интегралы для специальных гауссовских процессов, отличных от винеровских. С. Камбанисом и С. Т. Хуангом (1978) изучалась схема построения кратного стохастического интеграла по приращениям произвольного гауссовского процесса.
Классические кратные интегралы Винера-Ито используются, в частности, для описания предельного распределения ^7-статистик и У-статистик от независимых наблюдений1. Но конструкция кратных стохастических интегралов с интегрирующей стохастической винеровской продакт-мерой не подходит для указанных выше целей в случае слабо зависимых стационарно связанных наблюдений.
1Denker М., Grillenberg С, Keller G. Note on Invariance Principles for v. Mises' Statistics // Metrica. — 1985. - V. 32. - P. 197-214.
Последнее обстоятельство побудило И. С. Борисова и А. А. Быстрова2 предложить конструкцию абстрактного стохастического интеграла от неслучайной функции без классического требования ортогональности интегрирующей стохастической меры, включающую в себя конструкции как одномерных, так и кратных стохастических интегралов по приращениям гильбертовых случайных процессов на прямой. Основное отличие этого подхода от методов предшественников состоит в возможности определения кратных стохастических интегралов в том числе и для негауссовских процессов (ж). Этот интеграл в дальнейшем будем обозначать символом Id{f,,) В силу указанных выше обстоятельств в диссертационной работе конструкция интеграла Id{f, 0 является базовой.
Отметим, что предельное распределение статистик Мизеса можно описывать как в виде кратных стохастических интегралов, так и в виде бесконечных полилинейных форм от последовательности центрированных гауссов-ских случайных величин с известной ковариационной матрицей3 4 5 6. В связи с этим приведем результаты Р. Мизеса и А. А. Филипповой , соответствующие конструкциям стохастических интегралов второго порядка (конструкции интегралов произвольного порядка см. в работах А. А. Филипповой и X. Рубина, Р. Виталя6).
Теорема А. (Р. Мизес, 1947) Пусть X,Xi,X2,... — независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие значения в произвольном измеримом пространстве {,Л}, f(t,s) — измеримая симметричная функция, заданная на X2 и удовлетворяющая условиям: Е/(Х, t) = О для всех t Є X, Ef2(XhX2) + \Ef(X,X)\ < ос. Тогда
П 00
К := п-1 J2 /№, Xj) 1 ЕМ7* - 1) +Е/(Х,Х), где Xk — собственные числа линейного интегрального оператора с ядром /()
2Борисов И. С, Быстрое А. А. Построение стохастического интеграла от неслучайной функции без условия ортогональности интегрирующей меры // Теория вероятн. и ее примен. — 2005. — Т. 50. — В. 1.
- С. 52-80.
3Denker М., Grillenberg С, Keller G. Note on Invariance Principles for v. Mises' Statistics // Metrica. — 1985. - V. 32. - P. 197-214.
4Филиппова А. А. Теорема Мизеса о предельном поведении функционалов от эмпирических функций распределения и ее статистические применения // Теория вероятн. и ее примен. — 1962. — Т. 7. — В. 1.
- С. 26-60.
5 Von Mises R. On the asymptotic distribution of differentiable statistical functions // Ann. Math. Statist.
- 1947. - V. 18. - P. 309-348.
6Rubin H., Vitale R. Asimptotic distribution of symmetric statistics // Ann. Statist. — 1980. — V. 8. — №1. - P. 165-170.
и распределением X в качестве интегрирующей меры, 7 — независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение.
Теорема В. (А. А. Филиппова, 1962) Пусть X,Xi,X2,... — независимые случайные величины, имеющие равномерное распределение на отрезке [0,1]; /(, s) — измеримая симметричная функция, заданная на [О, I]2 и удовлетворяющая условиям: Е/(Х, ) = 0 для всех t Є [0,1]; E/2(Xi,X2) + \Ef(X,X)\ <оо. Тогда
К Л J f(t,s)dWo(t)dWo(s),
[ОД]2
где Wo(t) — броуновский мост, а кратный стохастический интеграл определен по схеме А. А. Филипповой7.
Из этих результатов следует, что кратные стохастические интегралы, заданные по классической схеме в виде среднеквадратических пределов кратных интегральных сумм, допускают представление в виде рядов случайных величин. Значит, указанные кратные стохастические интегралы можно определять посредством таких рядов. Это наблюдение и стало побудительным мотивом настоящего исследования. При этом оказалось, что достаточные условия для существования таких рядов нередко проверять проще, чем для исходных классических конструкций кратных стохастических интегралов.
Цель работы:
-
Получение достаточных условий для существования стохастического интеграла Id{fi С) в случае, когда интегрирующий случайный процесс допускает представление в виде ряда ортогональных случайных величин.
-
Создание для случайных процессов, допускающих представление в виде рядов ортогональных случайных величин, иной конструкции кратного стохастического интеграла, в некотором смысле обобщающей конструкцию интеграла ld(f,0-
-
Получение экспоненциальных оценок для хвостов распределений стохастических интегралов, построенных по предложенным схемам.
Научная новизна. В диссертации получены легко проверяемые достаточные условия для существования стохастических интегралов Id{f, 0 в случае, когда интегрирующие случайные процессы допускают представление в виде рядов со случайными коэффициентами. Для указанных процессов предложены конструкции стохастических интегралов, которые подходят в том числе
7Филиппова А. А. Теорема Мизеса о предельном поведении функционалов от эмпирических функций распределения и ее статистические применения // Теория вероятн. и ее примен. — 1962. — Т. 7. — В. 1. - С. 26-60.
и для негауссовых случайных интегрирующих процессов. Кроме того, получены экспоненциальные оценки для хвостов распределений стохастических интегралов, построенных по предложенным схемам.
Методы исследований. В работе использованы разнообразные методы стохастического анализа и теории ортогональных рядов.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на объединенном семинаре кафедры теории вероятностей и математической статистики НГУ и лаборатории теории вероятностей и математической статистики Института математики СО РАН под руководством академика А. А. Боровкова. Результаты работы также докладывались на 47-ой Международной Научной Студенческой Конференции (г. Новосибирск, 2009 г.), на 5-ой международной конференции «Предельные теоремы теории вероятностей и их приложения» (г. Новосибирск, 2011 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах
[1] - [4].
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объём диссертации составляет 111 страниц. Список литературы содержит 38 наименований.
Представление кратного стохастического интеграла в виде кратного ряда со случайными коэффициентами
В работе Г. В. Джонсона и Г. Каллианпура [28] было получено представление стохастического интеграла, построенного относительно винеровского интегрирующего процесса, в виде ряда (6). Но в этой работе интеграл определяется не относительно разложения случайного процесса W(x), а относительно разложения в виде ряда Фурье неслучайной функции / по полной ортонормпрованной системе {ЄІ1(Х\) ... eid(xd)} в - 2([0, l]d). При этом предполагается, что функция / симметрична, и существуют пределы при N — оо в пространстве - ([0, l]d 2 ) последовательностей частичных сумм
При выполнении введенных выше условий стохастический интеграл относительно разложения J{Xi, . . . Xd) = / J Ji1,...,id(ii1{Xi) . . . eid[Xd) 4, ---,4=0 являются независимыми и имеют стандартное нормальное распределение, а отсюда следует, что если существует стохастический интеграл 5(f), то существует интеграл (6), и они равны с вероятностью 1. Более того, если существует стохастический интеграл 8(f), то, как следует из работы А. Будхираджи и Г. Каллианпура [17], для всякой непрерывной и симметричной функции / существуют и равны с вероятностью 1 стохастические интегралы Id(f,W), Js(f) и 8(f).
Мы также отметим работы Д. Росински [34] и Д. Нуаларта, М. Закая [33] по так называемым кратным стохастическим интегралам Огавы с винеровским интегрирующим процессом. Напомним, что для измеримого случайного процесса г)(х) с f0 K\r](x)\dx оо и всякой полной ортонормированной системы {вк\ интеграл Огавы fQ г)(х) dW(x) определяется как среднеквадратический предел при N — оо частичных сумм вида ( / ek(x)r](x)dx\ I / ek(x)dW(x) J , если, конечно, этот предел существует и не зависит от выбора системы функций
R} В работе А. Будхираджи и Г. Каллианпура [18] разбираются условия существования и равенства конструкций интеграла 8(f) и интеграла Огавы. Там же рассмотрены некоторые другие конструкции стохастических интегралов, например, интегралов Фиска-Стратоновича.
В главе 2 получены экспоненциальные оценки для хвостов распределения стохастических интегралов в смысле определения 3. В связи с этим приведем результат П. Майора [30] для классических интегралов Винера-Ито и стохастических интегралов, построенных по ортогональным гауссовским мерам. Указанные интегралы будем обозначать J(f). Напомним, что в схеме построения стохастических интегралов J(f) не учитывается поведение функции / на диагональных подпространствах множества [a, b]d, что существенно отличает их от стохастических интегралов, построенных по схеме, предложенной в настоящей работе.
Здесь в качестве K i можно взять Cd(E J(f)2)l d с константой Cd, зависящей только от порядка d стохастического интеграла. То есть при фиксированном d константа К2 зависит только от дисперсии случайной величины J(f). Но с другой стороны, не так просто охарактеризовать константу К\.
Отметим также работу П. Майора [31] по экспоненциальным неравенствам для интегралов Винера-Ито, где получены в некотором смысле оптимальные оценки для хвостов распределения.
Так как интегралы Винера-Ито возникают как слабые пределы последовательностей нормированных канонических статистик Мизеса (У-статистик) в случае независимых наблюдений, а интегралы Id{f, 0 — в случае зависимых наблюдений, то отметим работы П. Майора [32], И. С. Борисова и Н. В. Володько [3], в которых были получены экспоненциальные неравенства для хвостов распределений У-статистик.
В работе А. А. Быстрова [6] получены экспоненциальные оценки для хвостов распределений кратных стохастических интегралов Id{f, 0 от ограниченных функций / в случае, когда / непрерывна на всех диагональных подпространствах куба [0; l]d. В качестве интегрирующих рассматривались гауссовские процессы с зависимыми приращениями из некоторого достаточно широкого класса. Полученная оценка имеет вид
Условие (Е2) в теореме 6 более ограничительное, чем в теореме Е. Но здесь стоит отметить, что в отличие от теоремы Е теорема 6 применима и для негауссовых процессов, что обеспечивает ее широкое применение.
В главе 3 рассматривается принципиально иная схема построения кратных стохастических интегралов, основанная на представлении произведения случайных процессов где ряд в правой части равенства понимается как среднеквадратический предел соответствующих частичных сумм при каждом фиксированном (xi,... ,Xd) Є [a, b]d. При этом предполагается, что случайные коэффициенты {&} удовлетворяют условию ортонормированности, т. е. E&m = &,т- Применяя к представлению (7) последовательно d раз различные координатные разностные операторы (подробнее см. гл. 3), мы получим представление для продакт-дифференциала соответствующего стохастического интеграла.
Экспоненциальное неравенство
Мы видели, что в построении стохастического интеграла / (/, ) имеются два существенных этапа. Первый — непосредственное определение интеграла (как суммы ряда) для некоторого класса функций (простых функций), достаточно простого и в то же время достаточно обширного, второй — распространение определения интеграла на существенно более широкий класс функций с помощью предельного перехода. Сейчас мы определим кратный стохастический интеграл, используя несколько иной подход.
В этой главе мы будем предполагать, что случайный процесс (ж), х Є [а, &], как и прежде, имеет разложение (1). Функции {(fi} из этого разложения имеют ограниченную вариацию, а значит, как уже отмечалось выше, индуцируют соответствующий заряд, который мы обозначим как dcpi(x).
В этой ситуации предельную случайную величину будем обозначать / (/, ) и называть кратным стохастическим интегралом от функции f относительно разложения (1). Записывать это будем так
Замечание 3. Кратный стохастический интеграл от функции / относительно разложения (1) существует тогда и только тогда, когда существует предел последовательности частичных сумм вида
Теорема 5. Пусть {/м} — последовательность простых функций, равномерно приближающих функцию /. И пусть разложение процесса (ж) в виде ряда (1) удовлетворяет условию (її) и хотя бы одному из условий: (І2) или (1 ) Тогда существуют стохастический интеграл / (/, ) и стохастический интеграл / (/, ). Более того, эти интегралы совпадают с вероятностью 1, т. е.
Без ограничения общности будем предполагать, что функция /(жі,... , Xd) симметрична. Если же это не так, и функция / не является симметричной, то проведем ее симметризацию: где сумма берется по всем перестановкам 7Г элементов множества {1,.. .d}. Тогда для симметризованной функции / будет выполняться
Заметим, что для симметричной функции / коэффициенты /i1;...;id также будут симметричны относительно любых перестановок индексов іі,...,г . А значит, для нахождения моментов первого и второго порядка для кратных стохастических интегралов вида построенных относительно разложений гауссовских процессов, можно использовать утверждение теоремы F, доказанное в [28].
Как уже отмечалось, случайные величины &, участвующие в разложении (1) центрированного гауссовского процесса (ж), имеют стандартное нормальное распределение. Момент порядка 2dm такой случайной величины оценивается следующим образом: Щ{Лт = (2dm - 1)!! = (2dm - l)(2dm - 3)... 1 (2dm)dm. Тогда условие (12) выполняется для постоянных а\ = 2d и a i = 1- Воспользовавшись теоремой 6, мы получим следующий результат. Следствие 2. Пусть разложение (1) процесса (х) таково, что случайные величины & имеют стандартное нормальное распределение. П пусть к := Yl 1/»1-.,ч1 l,---, 2d=0 Тогда для всех х К (2de)2 справедливо следующее неравенство: АеК Требования (12) и (13) в теореме 6 более жесткие, чем в теореме Е. Но теорема 6, в отличии от теоремы Е1, применима, в том числе, и для негауссовых процессов. Следствие 3. Пусть 1 почти наверное для всех г 0 и выполнено условие (13). Тогда при всех х К вероятность в (14) равна нулю. где ряд в правой части равенства понимается как среднеквадратическии предел соответствующих частичных сумм при каждом фиксированном (#1,... ,Xd) Є [a, b]d. В дальнейшем все подобные (16) представления по умолчанию будут определяться именно по вышеприведенной схеме. Будем считать, что для последовательности случайных величин {&} выполнено условие орто-нормированности, т. е. E&m = &,т Тогда ряд в (16) сходится в среднеквадратичном тогда и только тогда, когда неслучайные "базисные" функции {(fik(xi, , xrj)} удовлетворяют соотношению У РІ{хі, ...,xd) oo для всех (жь ..., xd) Є [a, b]d.
Существование разложений вида (16) гарантируется теоремой D, если в качестве процесса 9(хОтметим, что если функция (/?() представима в виде произведения d функций одного переменного, то суперпозиция координатных разностных операторов в (17) переводит указанное произведение функций в произведение их приращений. Иными словами, формальное применение линейного преобразования в (17) к обеим частям (16) дает представление для продакт-дифференциала интегрирующего процесса. Будем говорить, что (р(х\,... ,xd) имеет ограниченную вариацию на [a,b]d, если существует такая постоянная С, что для всякого конечного разбиения {Д- Є 9Jl}j.L0 множества [а, Ъ] (j = 1,... , d). Всюду далее будем предполагать, что функции {(fk} имеют ограниченную вариацию. Каждая функция cpk будет индуцировать элементарную знакопеременную меру на Ж1 по формуле (17). В силу того, что функция имеет ограниченную вариацию, то указанную меру можно продолжить на (т{УЛ3). Полученный в результате этого заряд мы будем обозначать
Можно заметить, что если случайный процесс (ж) представим в виде ряда (1), и выполнено условие (/і), то, как следует из доказательства леммы 1, справедливо разложение Полученное разложение качественно отличается от разложения (16) тем, что последовательность случайных величин { ...id} не обязательно удовлетворяет условию ортонормированности, которое является ключевым требованием при доказательстве основных результатов настоящей главы. Свойства кратного стохастического интеграла.
Разложение многопараметрического процесса с ковариационной функцией специального вида
Отметим, что в работе [1] кратные винеровские интегралы существуют, если указанные детерминированные интегралы из теоремы 10 существуют при всех перестановках аргументов у функции gP. Понятно, что из этих условий следует справедливость предположений теоремы 10.
В теореме 10 сформулированы довольно простые достаточные условия существования винеровских стохастических интегралов. В следующей теореме будут сформулированы не только достаточные, но и необходимые условия, где будем предполагать, что функция f(x\}... }xd) симметрична относительно любых перестановок 7Г элементов множества {1,... d}, т. е. выполняется
В следующей теореме мы предполагаем, что для всякого j = 0,..., [d/2] определены коэффициенты Фурье Т/ к , и при этом будем считать, что I5(9,W):=g. Теорема 11. Кратный стохастический интеграл I (f,W) определен тогда и только тогда, когда для всякого j = 0,..., [d/2] сходятся в среднеквадратичном (в пространстве 1 і) ряды, составленные из коэффициентов Фурье как следует из теоремы Фишера-Рисса, необходимо и достаточно будет требовать квадратичную интегрируемость функции ТІ на множестве [0, l]d 2i для всякого j = 0,..., [d/2]. Отсюда следует, что для симметричной функций / необходимые и достаточные условия существования интеграла Id{f, W) (см. [1]) равносильны необходимым и достаточным условиям существования интеграла Pd{f,W) из теоремы 11.
Стоит добавить, что еще в 1951 году К. Ито (см. [27]) обнаружил тесную связь между полиномами Эрмита от стандартных нормальных случайных величин и кратными винеровскими стохастическими интегралами. 6. Сравнение кратных стохастических интегралов, построенных относительно различных разложений одного и того же процесса.
В связи с тем, что многопараметрические процессы (#i).. -{xd) можно раскладывать в ряды со случайными коэффициентами не единственным образом, то необходимо коснуться вопроса равенства стохастических интегралов, построенных относительно разных разложений одного и того же процесса
Следствие 5. Пусть случайный процесс (#i)... {xd) с многомерным временем имеет два различных представления в виде рядов (20). Причем будем предполагать, что для всякого і = в каждом таком представлении (20) последовательность случайных величин ( } удовлетворяет условию ортонор-мированности, а также выполнено условие (18) для каукдого разложения. Через Сі и (2 обозначим кратные стохастические интегралы относительно первого и второго разложений процесса (жі)...(ж ). Пусть существует среднеквадра-тический предел ( последовательности случайных величин / (/м? )
Тогда в пространстве Li справедливо Замечание 7. В работе [1] подробно изучено для каких функций / существует среднеквадратический предел ( последовательности случайных величин {- (/MJOI- В таком случае предельную случайную величину ( в работе [1] называют кратным стохастическим интегралом. Отсюда делаем вывод, что если существует кратный стохастический интеграл, построенный согласно схеме, изложенной в [1], то для каких бы то ни было разложений типа (20) при выполненном условии ортонормированности для случайных коэффициентов этих разложений, а также выполненном условии (18), существуют стохастические интегралы типа а, во-вторых, аналогичные интегралы при всех перестановках аргументов у функции qf(x\, Х\}..., Xd, Xd). Отсюда следует справедливость условий теоремы 10. А значит будет корректно определен и стохастический интеграл I (f,W). Более того, согласно замечанию 7 получаем, что при этих же условиях существуют и совпадают с вероятностью 1 стохастические интегралы типа / j(/, W) относительно любых разложений вида (20) при выполненном условии (18). Отметим также, что для симметричных ядер / (в известном смысле, это не есть ограничение общности) условия теоремы 10 и упомянутые условия из [1] будут эквивалентными.
Теперь рассмотрим стохастические интегралы, построенные по разным разложениям, в случае, когда не будет выполнено условие ортонормированности для случайных коэффициентов разложения. поскольку диагональные элементы разложения функции двух переменных в кратный ортогональный ряд не несут в себе никакой информации о поведе 87 ний этой функции на диагонали области определения. Понятно, что и обратное утверждение тоже неверно. Отсюда следует, что стохастические интегралы, корректно определенные относительно какого-то разложения, могут не существовать относительно другого.
Доказательство теоремы 9
В связи с этим равенством введем в рассмотрение следующее пространство о"(ШТ )-измеримых функций: Тогда для последовательности случайных величин { (/м?0} существует среднеквадратический предел, который не зависит от выбора последовательности {/м}- Более того, в пространстве С2 имеет место следующая сходимость:
Доказательство. Ввиду полноты пространства Li-, нам достаточно проверить критерий Коши, т. е. фундаментальность последовательности случайных величин {- (/MJOI В н0Рме пространстваТаким образом, фундаментальность последовательности {/м} в пространстве W влечет за собой фундаментальность в Li последовательности {- (/MJOI- В силу полноты пространства Li последовательность { (/м?0} сходится в среднеквадратическом к некоторой случайной величине, которую мы обозначим (. Независимость этого предела от последовательности {/м} докажем от противного. Пусть {/к}і{/ь} - последовательности простых функций, сходящихся к / в норме \\w- И пусть {/Й(/К-,0} №(Л,0} — последовательности случайных величин, сходящиеся в норме пространства Li к ,77 соответственно. Пусть {/м} последовательность простых функций, приближающая функцию / в норме пространства W. Покажем, что для такой последовательности будет верна сходимость в среднеквадратическом последовательности стохастических интегралов {С(/м) = (/мі )} к случайной величине
В силу существования среднеквадратического предела последовательности стохастических интегралов Для любого є 0 и для всех достаточно больших М, L будет выполнено: Доказательство теоремы 8. Прежде всего заметим, что по теореме С для всякой функции / Є L2 корректно определен стохастический интеграл Id{f,)- Более того, существует последовательность простых функций {/м} таких, что
Рассматривается процесс 9(х\,... ,xd) = u((xi).. .(xd)), где и — заданная неслучайная функция, а процесс (ж) допускает разложение Карунена-Лоэва (3). Легко проверить, что будет справедлива следующая
Тогда получаем, что случайные величины #&,...,& в терминах полиномов Эрмита задаются следующим образом: Ok,...,k = —F=#d(6;) Аналогично выводится общий вид случайных величин Далее, выражая процесс (#i)... (#d) через #(жі,..., xd) и соответствующее ему разложение Карунена - Лоэва, получим утверждение теоремы. Теорема доказана.
Сперва покажем, что это верно для всякого четного d. Доказательство проведем по индукции. Для d = 2, как уже было показано выше, утверждение выполнено. Теперь предположим, что теорема верна для всякого четного числа не превосходящего d — 2.
Анализируя третью сумму из представления (29), приходим к тем же выводам, но только для. Повторяя рассуждения для еще не рассмотренных рядов из представления (29), убеждаемся в верности утверждения для всех четных d.
Пусть d четно. Напомним, что в представлении (29) суммирование ведется по всевозможным наборам попарно несовместных двухэлементных подмножеств конечной совокупности {1,..., d}. Если сумма в представлении (29) определяется набором из j штук двухэлементных подмножеств, то число слагаемых
Из (26) вытекает, что кратный стохастический винеровский интеграл / (/, W) определен тогда и только тогда, когда когда, во-первых, сходится в среднеквад-ратическом смысле ряд а, во-вторых, определен стохастический интеграл 1%_2 (Tj,W) . Ряд (31) сходится в среднеквадратическом тогда и только тогда, когда Е PL..,J2 k1,...,kd=0
В свою очередь, из представления (26), построенного для I d_2 (ТІ, W), будет следовать, что стохастический интеграл Id_2 (ТІ, W j определен тогда и только тогда, когда, во-первых, сходится в среднеквадратическом смысле ряд Основные результаты диссертации заключаются в том, что получены легко проверяемые достаточные условия для существования стохастических интегралов Id(fiC) в случае, когда интегрирующие случайные процессы допускают представление в виде рядов со случайными коэффициентами. Более того, для указанных процессов разработаны новые конструкции стохастических интегралов, которые подходят в том числе и для негауссовых интегрирующих случайных процессов. Кроме того, получены экспоненциальные оценки для хвостов распределений стохастических интегралов, построенных по предложенным схемам.