Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Вещественные нули случайных полиномов 7
1.1. Введение 7
1.2. Минимальное число вещественных нулей в среднем 10
1.3. Универсальная оценка сверху п.н 33
1.4. Корреляции вещественных нулей 43
1.5. Средняя площадь нулевой поверхности гауссовского поля 51
Глава 2. Комплексные нули случайных полиномов одной переменной 73
2.1. Введение 73
2.2. Критерий равномерной концентрации нулей около единичной окружности 77
2.3. Коэффициенты с экстремально тяжелыми хвостами 87
2.4. Коэффициенты с логарифмическими хвостами 94
2.5. О распределении нулей случайной аналитической функции 144
Глава 3. Распределение алгебраических чисел 178
3.1. Обозначения и необходимые сведения из теории алгебраических чисел 178
3.2. Введение 179
3.3. Распределение комплексных алгебраических чисел 187
3.4. Корреляция между вещественными сопряженными алгебраическими числами 195
3.5. Распределение дискриминанта полиномов с целочисленными коэффициентами 199
Глава 4. Выпуклые оболочки случайных процессов 204
4.1. Введение 204
4.2. Внутренние объемы Соболевских шаров с приложением к броуновским выпуклым оболочкам 211
4.3. Смешанные объемы эллипсоидов и нули гауссовских случайных полей 248
4.4. Средняя ширина правильных многогранников и средний максимум зависимых гауссовских величин 257
4.5. Конические аналоги результатов Судакова и Цирельсона 281
4.6. Выпуклая оболочка многомерного случайного блуждания 293
4.7. Многомерное обобщение результата Спарре Андерсена 311
4.8. Формула включений-исключений для выпуклых оболочек 355
Список литературы
- Универсальная оценка сверху п.н
- Коэффициенты с логарифмическими хвостами
- Корреляция между вещественными сопряженными алгебраическими числами
- Средняя ширина правильных многогранников и средний максимум зависимых гауссовских величин
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Диссертация относится к теории вероятностей, а именно к тем ее частям, в которых изучаются нули случайных полиномов, а также выпуклые оболочки случайных процессов, объединенных общей геометрической идеей, описанной во введении диссертации. Данный геометрический подход впервые изложен в работе Эдельмана и Костлана.
В диссертации решаются задачи асимптотического поведения вещественных и комплексных нулей случайных полиномов, а также случайных аналитических функций. Теория случайных полиномов и аналитических функций является бурно развивающимся разделом современной математики, связанным как с теорией вероятностей, так и с вещественным и комплексным анализом. Впервые данные задачи были рассмотрены такими известными математиками, как Блох, Пойа, Литтлвуд, Оффорд. Впоследствии, большой вклад в развитие теории внесли Ибрагимов, Маслова, Логан, Шепп и др. В частности, Шепп сформулировал гипотезу, которая была частична опровергнута автором диссертации.
Также большой интерес к данной тематике проявляют физики, так как, по их мнению, нули случайных полиномов близки по поведению к хаотическим квантовым системам. Так, Форрестер и Хоннер сформулировали гипотезу о том, что комплексные нули так называемых случайынх полиномов Вейля асимптотически подчиняются круговому закону, широко известному в теории случайных матриц. Данная гипотеза получена в диссертаци как следствие более общего результата о предельном поведении нулей случайных аналитических функций.
Другой объект, изучаемый в диссертации, - выпуклая оболочка случайного процесса. В пионерских работах Судакова, Шеве и Цирельсона была найдена важная взаимосвязь между средним объемом выпуклой оболочки гауссовско-го процесса и геометрическими свойствами соответствующего выпуклого тела
в гильбертовом пространстве. Данный подход был развит в диссертации для получения различных результатов как вероятностного, так и чисто геометрического характера. В частности, была найдена точная формула для среднего объема выпуклой оболочки многомерного броуновского моста, а также вычислены внутренние объемы различных бесконечномерных выпуклых компактов, включая единичные шары в полунормах Соболевского типа и эллипсоиды в гильбертовом пространстве.
Хорошо известен классический результат Спарре Андерсена о том, что вероятность оставаться положительным для невырожденного симметричного одномерного блуждания за п шагов не зависит от распределения шага блуждания. В диссертации данный результат обобщается на многомерный случай, в терминах непоглощения выпуклой оболочкой блуждания начала координат.
Цель работы. Пусть даны вещественные числа а <Ь. Кривая моментов в пространстве Mn+1, заданная на интервале [а, Ь], определяется параметрически следующим образом:
(у I *Xj J VI 1 1***1 / *
Пусть дана линейная функция / : WLn+l —> К. вида /(х) = (а, х), где а = (<2о5 > ап) Кп . Тогда значение функции / на кривой моментов д является полиномом степени п:
f(g(x)) = <20 + aixi Н + апхп.
Коническая оболочка кривой д
М := {с- д(х) : с > 0, х Є [а, Ь})
называется конусом моментов. Обозначим 7 сферическую проекцию кривой моментов г)\
7(ж) := и , ,,,
Кривая моментов и конус моментов обладают множеством интересных геометрических свойств. Также существует следующая взаимосвязь данных объектов
со случайными полиномами. Пусть даны стандартные гауссовские величины о?ъ ?п- Рассмотрим случайный полином одной переменной
Gn{x) := (о + Сіх + + Cn-ix"1'1 + ІпХп.
Пусть цсп([а,Ь]) обозначает среднее число вещественных нулей полинома Gn в интервале [а, Ь]. Эдельман и Костлан показали, что
E/iGn([a,6]) = -Аі(7(ж) : х Є [а, 6]),
7Г
где Аі обозначает длину кривой. Таким образом, среднее число вещественных нулей случайного полинома в фиксированном интервале совпадает с (нормированной) длиной соответствующего участка проекции кривой моментов на единичную сферу.
Далее, рассмотрим первый внутренний объем выпуклой оболочки кривой моментов
V\{conv{g{x) : х Є [a,b])),
который с точностью до нормировки совпадает со средней шириной. Из общего результата Судакова вытекает, что
Е sup Gn(x) = л//27г1/і(сопу(5'(ж) : х Є [a, b})).
хє[аф]
Тем самым, средний супремум случайного полинома Gn на фиксированном интервале совпадает (с точностью до нормировки) со средней шириной соответствующего участка кривой моментов.
Наконец, рассмотрим нулевой конический внутренний объем выпуклой оболочки кривой моментов Vo(conv(g([a, b])). В главе 4 диссертации получен конический аналог результата Судакова, из которого следует соотношение
Р[ inf Gn{x) > 0] = vo(conv(g([a,b})).
хє[а,Ь]
Из симметричности гауссовского распределения вытекает, что левая часть равна половине вероятности того, что у полинома Gn в интервале [а, Ь] нет нулей.
Таким образом, данная вероятность определяется нулевым коническим внутренним объемом выпуклой оболочки соответствующего участка кривой моментов.
Вышеизложенные примеры показывают о наличии определенной связи между поведением нулей случайных полиномов (которые изучаются в главах 1 и 2) с гауссовскими коэффициентами и характеристиками определенных геометрических объектов. Данная связь в расширенной постановке, где вместо полиномов с гауссовскими коэффициентами рассматриваются общие гауссовские процессы, изучается в главе 4. Глава 3 посвящена одному интересному приложению теории случайных полиномов: в ней изучается предельное распределение алгебраических чисел фиксированной степени при стремлении высоты к бесконечности (данная задача была поставлена Малером).
Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем списке.
Исследовано среднее число вещественных нулей случайных полиномов с независимыми одинаково распределенными коэффициентами без дополнительных ограничений на распределение коэффициентов. В частности, впервые получены универсальные оценки снизу и сверху.
Изучено асимптотическое поведение комплексных нулей случайных полиномов с независимыми одинаково распределенными коэффициентами: получен критерий их равномерной концентрации около единичной окружности.
Для широкого класса случайных аналитических функций найдено предельное распределение их нулей.
Найдена предельная плотность распределения алгебраических чисел произвольной фиксированной степени.
Вычислены первые внутренние объемы различных бесконечномерных выпуклых компактов, включая единичные шары в полунормах Соболевского
7 типа и эллипсоиды в гильбертовом пространстве.
Получено многомерное обобщение формулы Спарре Андерсена.
Найдено среднее число граней выпуклой оболочки многомерного случайного блуждания, зависящее только от размерности и числа шагов блуждания.
Апробация. Результаты диссертации неоднократно докладывались на меж-дунарожных конференциях: «Analytical methods in number theory, probability theory and mathematical statistics» (Санкт-Петербург, 2005), «Workshop on conformal structures in Goettingen» (Геттинген, 2006), «8th German Open Conference on Probability and Statistics» (Аахен, 2008), «1st Northern Triangular Seminar» (Хельсинки, 2009), «Stochastic Analysis and Random Dynamical Systems» (Львов, 2009), «Free Probability and Related Random Structures» (Билефельд, 2010), «10th German Probability and Statistics Days» (Майнц, 2012), «Asymptotic Geometric Analysis II» (Санкт-Петербург, 2013), «Second International Conference Mathematics in Armenia. Advances and Perspectives» (Цахкадзор, 2013), «Stochastic Processes and High Dimensional Probability Distributions» (Санкт-Петербург, 2014), «11th International Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics» (Вильнюс, 2014), «Persistence Probabilities and Related Fields» (Дармштадт, 2014), «Asymptotic Geometric Analysis III» (Санкт-Петербург, 2016), «Modern Problems in Theoretical and Applied Probability» (Новосибирск, 2016), «XII Belarusian Mathematical Conference BMC-2016» (Минск, 2016), а также на ряде семинаров по теории вероятностей и по анализу и теории функций: на городском семинаре по теории вероятностей и математической статистике в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А Стеклова РАН (2005-2017), на семинаре по комплексному анализу в Математическом институте им. В. А Стек-лова РАН (2013), на большом семинаре кафедры теории вероятностей МГУ (2005, 2015), на заседании Санкт-Петербургского математического общества,
а также в университетах Геттингена, Ульма, Билефельда, Мюнстера, Бохума, Оснабрюка.
Публикации по теме диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в 17 работах, список которых приведен в конце автореферата. Из этих работ статьи [1-16] опубликованы в журналах из списка ВАК (11 статей в российских журналах и 5 в ведущих зарубежных журналах).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из 4 глав. Общий объем работы - 393 страницы, библиография включает 224 наименования.
Универсальная оценка сверху п.н
Для получения оценки сверху мы будем пользоваться результатами Леммы 4, поэтому нашей первой задачей является построение такого распределения коэффициентов, для которого с большой вероятностью полином Gn будет удовлетворять ее условиям.
Лемма 9. Если а Ь, то для произвольного 5 0 существует распределение коэффициентов 9$ Є Оа,ь, такое что при всех п случайный полином Gn обладает следующими двумя свойствами: fes[Rn\Gn 0} l--, (1.26) где событие Rn означает, что Gn удовлетворяет условиям Леммы 4; Pe,[KAJ l--, (1.27) где событие R n означает, что у Gn максимальный по модулю коэффициент положителен, а событие Ап - что у Gn есть по крайней мере один положительный коэффициент. Доказательство. Для построения в Є a мы модифицируем конструкцию из [7]. Рассмотрим вероятностное распределение с дискретным носителем:
Рассмотрим последовательность независимых одинаково распределенных св. ,... , ,... с распределением F[[ = qk] = Рк} к Є N, а также последовательность независимых одинаково распределенных св. ",... , ",... с распределением Р[" = г/г] = р/;, А; Є N. Пусть /І = fi(n) обозначает число положительных коэффициентов у Gn, аг/ = v(n) - число отрицательных. Легко видеть, что положительные коэффициенты распределены так же, как , а отрицательные - как (—f ) Так как для вычисления среднего числа нулей нам важны не сами значения коэффициентов, а их распределение, в дальнейшем мы будем считать, что i, ,!j суть положительные коэффициенты Gn, а (— "),. .. , (—") - отрицательные (их порядок нам будет не важен).
Для произвольных независимых одинаково распределенных св. i, ,т с некоторым счетным положительным носителем {si, S2i і Ski } (0 Sl Sfc оо) введем в рассмотрение событие 5(ъ т)5 заключающееся в том, что среди них существует ровно одна максимальная, причем она равна некоторому s/ с / т. В [7] показано, что для любого є 0 точкам носителя можно приписать такие вероятности, что при всехш будет выполнено P[Q(6,...,y] 1-4 Следовательно, мы можем задать последовательность рк таким образом, что при всех т будет выполняться неравенство P[Q(, ,О] = РШГ, ,О] і - А- (1-28) Рассмотрим строго возрастающую последовательность 1{к) Є N и некоторое N Є N. Положим Nk = max{(; + l)2, TV} и зададим г , следующим образом: гк+і := [{Nk\)N rk) \ п:=1; (1.29) Як = ( (Nm\f rm 4ЛГЬ2 2ЛГ,(к) Покажем, что при подходящем выборе 1(к), N и є будут выполняться свойства (1.26), (1.27). Будем считать, что Ь 0 (случай 6 = 0 разбирается еще проще). Покажем, что существует N = N(a, 6, 5), такое что при п N выполнено Р[/х, і/ [ /й] + 1] 1 - —. (1.30) Имеем: 1 - Р[/І, z/ [Vn] + 1] Р[/І [Vn]] + P[z/ [Vn]] = a (ft + C) - ±1L + У (0 + c)n+i-J_(n±l)i. г!(п + 1-г)! !(n + l-7)! [-M / , їм 2V(1 - 6)n+1 /n + 1 2(N/d + 1)(1 - b)n+1(n + 1)[ . v y г!(п + 1-г)! Осталось заметить, что при n — оо выполнено (2([л/гг] + 1)(1 - Ъ)п+1(п + 1) ) п О. Зафиксируем такое N, что при п N выполнено (1.30). Сначала подберем такое є, при котором выполняется (1.26), а после этого так построим/(/с), чтобы выполнялось (1.27). Определим событие Л следующим образом: „„ ,Q(&---,&riQffl,...,0, если n TV; Q(}, , ф П Q(} О П {М, і/ [ ] + 1}, если n 7V, где в случае /і = 0 под 5(ъ u) мы подразумеваем достоверное событие (аналогично для z/). В силу (1.28), при п N имеем р[л; ап ф о] і - 2є, (і.зі) а при п N, учитывая также и (1.30), получаем РК С7П 0] = P[Q(,..., g П Q( ,..., С) I М, [ + 1] (1-32) х P[M,z/ [у/ЇЦ + 1 I Gn ф 0] (і - ([ +1)2)Р[/і, / [ ] + 1] 2є \ / д \ 2є г /п\ + 1)2) V 2п) 7г 2п Если взять є min{/(27V), /4}, то, учитывая (1.31) и (1.32), для выполнения (1.26) осталось доказать, что Д С Rn.
Пусть произошло событие R n. Будем считать, что /i, v 0 (случай, когда все коэффициенты либо неотрицательные, либо неположительные, разбирается еще проще). Тогда существует ровно один максимальный положительный коэффициент и ровно один минимальный отрицательный, равные некоторым qm/ и (—гто"), причем выполнено Nm ,Nm" п.
Применяя (1.29), нетрудно проверить, что в случает" 1(т ) + 1 условию (1.9) удовлетворяет коэффициент qm/, а в случае т" 1{т ) +1 - коэффициент (—гто"), следовательно, условие Леммы 4 выполнено.
Перейдем к заданию значений 1(h). При 6 = 0 выполнено ЩЯ п Ап] = 1, поэтому можно считать, что Ь 0. Если мы выберем настолько большое /(1), что будет выполнено P[max{ ,...,&} gi] l-e, то при п N получим ПК Ап] P[max{ff, , Ш Й] P[max{ff, , Ш qi] 1 - є. (1-33) Пусть теперь п N. Выберем последовательность 1{к) настолько быстро растущей, чтобы было выполнено P[max{ff, , &} fc] 1 - , /с Є N. (1.34) Тогда при і [д/п] + 1, j п будет верна оценка Р[тахК,...,Й} тахК/,...,0] Р[тах{Й,... , ]+1} max{ ,.. .,}] P[max{g,... ,[ +1} +і,тахй,... , g +J] P[QKi, , +1),max{ , ,4/з+і}2} ]+і] ! - Т которая при п N с учетом (1.30) дает [R n j An] [R n /i, i/ [у/Щ + l]P[/i, i/ [у/ії\ + 1 An] В силу малости выбранного выше є, соотношения (1.33) и (1.35) влекут (1.27), тем самым лемма доказана. Требуемая нам оценка сверху supE,[/iG„(K) Gn ф 0] 1 + 1 а &1 neN а + о в случае а Ь вытекает из следующей леммы. Если же а 6, то достаточно вместо Gn{x) рассмотреть полином (—Gn(x)).
Лемма 10. Для распределения 9s, удовлетворяющего (1.26) и (1.27), при всех п Є N справедливо следующее неравенство: l-(a-b) 5 а + Ъ а2 Е,Лмс„(К) Gn ф 0] 1 + Ц- + -у. (1.36) Доказательство. Обозначим г = т(п) номер максимального по модулю коэффициента из о?ъ п и воспользуемся введенными в формулировке предыдущей леммы обозначениями событий Rn,R n и Ап. Оценим сначала среднее число нулей Gn при условии оп ф 0; Е [MGn(M) о„ 7 0] = Е [/ (R) J , СоСп ф 0]Р[ &„ 7 0] (1.37) + Е [Мс„(М) Ап, &„ 7 0]Р[Лп &„ 7 0]. Здесь и далее для произвольного события А мы обозначаем Лс событие, противоположное А. Оценим отдельно первое и второе математические ожидания в правой части. Е [(ісп(Щ Асп,„„ ф 0] = Е [MGn(M) Rn, Асп,„„ ф 0]Р[Дп Асп, &„ ф 0] + Е \рьсп(Ж) i, Асп, Ып ф 0]РК І , „ 7 0].
Коэффициенты с логарифмическими хвостами
В данной главе нас будет интересовать поведение нулей случайных полиномов на всей комплексной плоскости. Пусть дан полиномg{z) одной комплексной переменной. Обозначим цд меру на С, считающую нули д с учетом их кратности: zeC:g(z)=0 Здесь rig{z) обозначает кратность нуля полинома в точке z, и 5(z) обозначает единичную массу в точке z.
Пусть дана последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин о? ъ п? 5 принимающих значения в С. Рассмотрим случайный полином одной комплексной переменной Gn(z) := Со + & + + in-izn-1 + inzn. (2.1) Как ведет себя случайная мера Цсп при п — оо? Для описания ее поведения нам понадобится понятие сходимости случайных вероятностных мер.
Борелевская мера /І на польском пространстве X называется локально конечной, если ц(А) оо для любого компактного подмножества А С X. Последовательность цп локально конечных мер на X грубо сходится к локально конечной мере /і, если для любой непрерывной функции (/? : X — К с компактным носителем выполнено lim Lp(z)nn(dz) = П—7 00 X X ФЫ )- (2-2) Если fin и /І вероятностные меры, грубая сходимость эквивалентна слабой сходимости, для которой (2.2) должно выполняться для всех непрерывных ограниченных ір. В дальнейшем под сходимостью локально конечных мер мы будем всегда понимать грубую (слабую для вероятностных мер) сходимость.
Последовательность случайных мер цп сходится к случайной мере /і по вероятности (соответственно, п.и., по распределению), если (2.2) выполняется по вероятности (соответственно, п.и., по распределению) для всех непрерывных if с компактным носителем.
Задача о распределении комплексных нулей случайного полинома возникла в работе Хаммерсли (см. [126]). Первый результат об асимптотическом поведении комплексных нулей Gn получили Шпаро и Шур (см. [37]). Для є 0,m Є Z+ рассмотрим функцию -і 1+є /( ) := log+ log+ ... log+1 [I log+ log+ ... log+1 m+1 k=l к где log+ s := max(0,logs). Пусть T обозначает единичную окружность в С: Т :={ze С: z = 1}. В [37] было показано, что если для некоторых є 0,m Є Z+ E/(o) oo, то последовательность мер -/ic„ слабо сходится по вероятности к равномерному вероятностному распределению на Т при п — оо.
Данный результат будет усилен в 2.2 (также см. [132]). Будет показана эквивалентность следующих утверждений: (1) Последовательность мер -Цсп слабо сходится п.и. к равномерному вероятностному распределению на Т при п — оо. (2)Elog(l + 0) oo. Более того, будет показано, что для любого невырожденного распределения о аргументы нулей распределены асимптотически равномерно с вероятностью единица. Шепп и Вандербей (см. [195]) рассмотрели случай вещественнозначных гауссовских стандартных коэффициентов и показали, что для любого 5 О lim -EfiGn (LeC:l-- \z\ l + -))= \± \ Ибрагимов и Зейтуни (см. [133]) обобщили данный результат на случай произвольного распределения из области притяжения «-устойчивого закона: lim -Efic ([z Є С : 1 - - \z\ 1 + -X) = 1 + Є - Л- (2-3) Интересно рассмотреть, что происходит при а — 0. Тогда -аб lim (: - -HF і = Л + е а5 2 и естественным ограничением на распределение коэффициентов будет условие того, что хвост является медленно меняющейся функцией. В этом случае (2.3) принимает вид lim -Еде ( \ z Є С : 1 - - \z\ 1 + - 1 ) = 0. п оо П\[ П П ) ) Данный результат (в несколько более сильной форме) доказан в Теореме 11 из 2.3 (также см. [223]).
В отличие от концентрации вблизи единичной окружности, существуют случайные полиномы с совершенно иным асимптотическим поведением комплексных нулей. В [7] был приведен пример случайного полинома с независимыми одинаково распределенными коэффициентами, у которого в среднем п/2+о(1) комплексных нулей концентрируется около начала координат и столько же нулей уходят на бесконечность при п — оо. Теорема 12 из 2.3 (также см. [223]) обобщает данный результат: показано, что если распределение случайной величины log(l + log(l + о)) имеет медленно меняющийся хвост, то нули Gn асимптотически равномерно концентрируются около двух окружно стей с центрами в начале координат. Окружности имеют радиусы о/т и 1т/п ) гДе т обозначает максимальный по модулю коэффициент. Как ведут себя нули, когда хвост о находится между двумя описанными выше случаями? В 2.4 (также см. [136]) будет рассмотрен класс распределений, который в определенном смысле непрерывно соединяет эти два случая. Мы изучим переход от концентрации к деконцентрации нулей путем рассмотрения коэффициентов с хвостами вида L(log )(log ) а, где а 0 и L является медленно меняющейся функцией. Асимптотическая структура комплексных и вещественных нулей Gn будет описана в терминах наименьшей вогнутой мажоранты пуассоновского точечного процесса на [0,1] х (0, оо) с интенсивностью av (a+1 dudv.
В 2.5 рассматривается случайная аналитическая функция вида Gn(z) := 2_ ,kfk,nZ , k=0 гДе fk,n являются неслучайными комплексными коэффициентами. Предполагая, грубо говоря, что lim log f[tnln = u(t), где u(t) - некоторая функция, мы покажем, что мера -Цсп слабо сходится к некоторой неслучайной мере /і, описание которой будет дано в терминах преобразования Лежандра-Фенхеля функции и. Предельная мера универсальна, т.е. не зависит от распределения о- Данный результат будет применен к нескольким ансамблям случайных аналитических функций, включая ансамбли, соответствующие трем двумерным геометрическим моделям постоянной кривизны. Также мы выведем аналог матричного кругового закона для случайных полиномов.
Корреляция между вещественными сопряженными алгебраическими числами
Для того, чтобы применить Предложение 4, нам потребуется доказать п.и.-сходимость рассматриваемых функционалов. Это является целью данного раздела.
Введем некоторые обозначения. Пусть 9JT обозначает множество всех локально конечных считающих мер /і на [0,1] х (0, оо], таких что /І([0, 1] х {оо}) = 0. Оснастим 9JT топологией грубой сходимости. Каждая мера /і Є 9JT может быть представлена в форме /і = Хл К, ) гДе 1 пробегает некоторое не более чем счетное множество индексов и Ui Є [0,1], Vi Є (0,оо). Число атомов /І в множестве [0,1] х [є, оо) конечно для любого є 0, но атомы /І могут иметь предельные точки в множестве [0, 1] X {0}.
Наименьшая вогнутая мажоранта меры /І Є 9JT - это функция (м : [0,1] — [0, оо), определенная как м() := inf/ f(t), где инфимум берется по всем вогнутым функциям / : [0,1] — [0,оо), таким что f(ui) Vi для всех і. Запишем кусочно линейную функцию (м в виде p(t) = sk-rkt, te[xk,xk+i], (2.32) где к пробегает конечный или бесконечный подынтервал Z. Положим ук := /л(%к)- Интервалы [ж&,ж&__і] (называемые линейными интервалами мажоранты) выбираются таким образом, чтобы точки (ж ш) и (%к+ііУк+і) являлись атомами И чтобы на отрезке, соединяющем эти две точки, не было других атомов. Зафиксируем некоторое маленькое Є (0,1/2). Для считающей меры Є 9JT определим индексы = K() и " = "() с помощью условий qi q +1 И qii-i 1 — q». Обозначим ШТі множество всех считающих мер Є 9JT со следующими свойствами: 1. 0 и 1 являются предельными точками для линейных интервалов (м; 2. () 2 для любой прямой et2; 3. ни один из атомов не имеет первую координату, равную или 1 — . Заметим, что любая мера Є 9JTi имеет только простые атомы. Обозначим УХ пространство всех конечных мер на Ш, оснащенное топологией грубой сходимости. Пусть 4() является подмножеством [0,1] х [0, оо), СОСТОЯЩИМ ИЗ [0, 1] X {0} вместе со всеми атомами , за исключением (к,к) и (к+і,к+і) Лемма 29. Следующие отображения непрерывны наШ\:
Доказательство. Пусть последовательность мер {n} из 9JT сходится к Є 9Лі в грубой топологии на [0,1] х (0, оо]. Рассмотрим 0, такое что 2 min(?/ (? {A;, k — k}. Из определения 9JTi следует, что минимум строго положителен. Обозначим (/,/), где 1 , все атомы (исключая вершины (м), такие что / . Так как n — , МЫ можем найти (см. [182, Предложение 3.13]) атомы П, которые обозначим (кп,кп) (где ") и (in,in) 112 [где 1 / m), такие что Ііт(хкп,Укп) = {хк,Ук), q k q", (2.33) l—7 00 lim {uin,vin) = {ui,vi), 1 I m. (2.34) П—7 00 Далее, из грубой сходимости на [0,1] х (0, оо] следует, что для всех достаточно больших п у меры цп не существует других атомов, у которых вторая координата превышает 2є. Следовательно, при п — оо и для всех q к q" выполнено ._ У(к+1)п Укп , ч /гп /г? "Э/гп . у/гп г kn%kn 5/j. yZ.oo) В частности, для всех достаточно больших п, всех q к q" и всех 1 I т выполнено 5ы - fb«k ЭДп, inf (ЙЫ - гьм) 2є. мє[0,1] Следовательно, для всех достаточно больших п отрезок, соединящий точки (хктУкп) и (Ж(АЧ-І)П,2/(АЧ-І)П), принадлежит мажоранте fin для всех q к q". Также выполнено xqin к Ж(у+і)п и Ж(д//_і)п 1 — к xq»n.
Используя (2.33), (2.34), (2.35) и устремляя є .J, 0, получаем limn .oo Н\(рп) = Н\(р) и limn .oo Ь\(рп) = L\(p). Это доказывает непрерывность Н\ и L\ на 9JTi. Чтобы доказать непрерывность Фі, заметим, что для любой непрерывной ограниченной функции / : К. — К. выполнено g"-i 9"-i /(іФі(дп) = V4a +i)n - xkn)f(rkn) — УЧа +і - xk)f(rk). ;= / ;= / Таким образом, ФІ(/ІП) — ФІ(/І) слабо, что доказывает непрерывность Фі. Следующая лемма потребуется для доказательства нашего главного результата при а Є (0,1). Пусть ШТо обозначает множество всех ненулевых считающих мер /і Є 9JT со следующими свойствами: 1. число линейных интервалов („ конечно, и С«(0) = Ct(l) = 0; 113 2. p,(L) 2 для любой прямой L С М2, где ji := ц + (0, 0) + 6(1, 0); 3. у всех атомов /І первая координата не совпадает с к и с 1 — к. Лемма 30. Следующие отображения непрерывны наШо: 1. Фо : 9Я — У1, задаваемое как Фо(м) := Х (ж н-1 хк)8Гк, где сумма берется по всем линейным интервалам [xk,Xk+i] мажоранты (м; 2. Щ : 9JT — [0, оо], задаваемое как Щ(р) := minis/;—г и—-и}, где минимум берется по q к q" — 1 и (и, v) Є 14 (м); 5. Lo : 9Л — [0, oo]; задаваемое как Lo(p) := тіп(?/ /г (г//_і(жу!г+і — Xk). Замечание 10. На самом деле, Фо непрерывно на всем 9JT, но нам это не потребуется. Минимум по пустому множеству равен +оо.
Доказательство. Пусть последовательность мер {/in} из 9JT сходится грубо к /І Є ШТо- Мажоранта (м является кусочно линейной функцией. Ее график есть ломаная, вершины которой мы обозначим (хк,Ук)- гДе р к р" и (хр ,ур ) = (0,0), (хр»,ур») = (1,0). При р к р" точка (хк,Ук) является атомом /І. Обозначим (ui,Vi), где 1 / т, все атомы /І (исключая те, которые являются вершинами мажоранты), обладающие свойством v\ є, где є 0 такое число, что 2є тіпр/ к р"-і{зк, Sk — Т к}- Минимум берется по множеству линейных интервалов мажоранты, исключая первый и последний интервалы. Если мажоранта состоит всего из двух интервалов, то минимум равен +оо.
Средняя ширина правильных многогранников и средний максимум зависимых гауссовских величин
Обозначим V(Q) класс всех полиномов с целочисленными коэффициентами степени не более п и высоты не более Q. Мощность данного класса равна (2Q + l)n+1.
Полином с целочисленными коэффициентами называется простым, если он неприводим над Q, примитивен (т.е. наибольший общий делитель коэффициентов равен единице) и его старший коэффициент положителен. Пусть V (Q) обозначает класс всех простых полиномов из V(Q).
Минимальным полиномом алгебраического числа а называется простой полином, нулем которого является а. При этом степень deg(a) и высота Н(а) числа а определяются как степень и высота этого минимального полинома.
Различные алгебраические числа называются сопряженными, если у них совпадает минимальный полином.
В данной главе мы всегда будем полагать степень п фиксированной, поэтому часто в обозначениях различных объектов мы не будем явно указывать зависимость от п (как, например, у классов V (Q),V (Q)). При этом нас будут интересовать различные асимптотические соотношения при Q — оо. Участву 179 ющие в них константы могут зависеть от . Мы будем использовать следующие обозначения: для неотрицательных функций , мы пишем С , если существует неотрицательная константа п (зависящая только от ), такая что п. Также мы обозначаем х , если С и . Пусть является подмножеством Жк или Ск, где Є {1,. .. ,}. Обозначим &k( , ) число упорядоченных наборов (і, 2, . . . , k) различных чисел, таких что для некоторого Є V () выполнено (i) = (к) = 0.
Таким образом, &k( i ) обозначает число лежащих в упорядоченных наборов сопряженных алгебраических чисел степени не более и высоты не более . В частности, &\(\) обозначает количество алгебраических чисел Є степени не более и высоты не более .
Также обозначим () число точек в с целочисленными координатами, а () - число точек в с целочисленными взаимнопростыми координатами. Напомним, что функция Мебиуса определена на множестве натуральных чисел следующим образом: 1, если свободно от квадратов и является произведением четного числа простых сомножителей; если свободно от квадратов и является произведением нечетного числа простых сомножителей; 0, если несвободно от квадратов.
Одной из центральных задач теории диофантовых приближений является вопрос о том, насколько хорошо вещественное число может быть приближе 180 но рациональными числами p/q. Так как Q всюду плотно в Ш, точность аппроксимации должна соотноситься со "сложностью" p/q, которая определяется как \р\ + \q\. Первый общий результат в этой области принадлежит Дирихле (см. [93]): для любого иррационального х существует бесконечно много рациональных чисел p/q, таких что
С другой стороны, если х = а/Ь рационально, то, как нетрудно видеть, для любого другого рационального числа p/q х выполнено (Здесь и далее мы для определенности полагаем, что знаменатель рационального числа всегда положителен.) Таким образом, мы получили полезный критерий иррациональности: вещественное число, у которого бесконечно много хороших приближений рациональными числами, должно быть иррациональным. Это нас приводит к важному понятию: мы говорим, что положительное число М является мерой иррациональности вещественного числа х, если существует положительная постоянная с{х, М), такая что для любого рационального числа p/q ф х выполнено
Таким образом, рациональными числами являются в точности те числа, для которых 1 является мерой иррациональности, а мера иррациональности любого иррационального числа больше либо равна 2.
Лиувилль (см. [156, 157]) обобщил (3.2), показав, что п является мерой иррациональности любого алгебраического числа степени п. Применив данный результат, он впервые доказал существование трансцендентных чисел (путем явного построения числа, у которого не существует конечной меры иррациональности).
Впоследствии было получено несколько улучшений теоремы Лиувилля (см. 95, 199]). Окончательный результат в данном направлении принадлежит Роту (см. [186]), который показал, что любое число, большее 2, является мерой иррациональности любого алгебраического числа степени п 2.
Диофантовы приближения обобщаются следующим естественным образом. Рациональные числа являются алгебраическими числами степени 1. Зафиксируем некоторое п и рассмотрим задачу приближения вещественных чисел алгебраическими числами степени не более п. При этом опять аппроксимация должна соотноситься со "сложностью" алгебраического числа, которую мы будем измерять его высотой Н{а).
Следуя Коксма (см. [148]), для данного вещественного числа ж обозначим х (ж) супремум множества вещественных чисел х , для которых существует бесконечно много вещественных алгебраических чисел а степени не больше п, таких что \х — а\
Спринджук (см. [30, 31]) доказал, что почти все вещественные числа ж (относительно меры Лебега) удовлетворяют ио п{х) = п для любого натурального п. Бейкер и Шмидт (см. [50], а также [61]) в некотором смысле уточнили данный результат, показав, что алгебраические числа степени не более п образуют регулярную систему: существует постоянная сп, зависящая только от п, такая что для любого интервала / для всех достаточно больших Q Є N существует не менее in Qn+l {lnQfn2 алгебраических чисел а\,... , о степени не более п и высоты не более Q, таких что , (lnQ)3n2 , К - OLJ\ г , 1 г j к.
Заметим, что количество алгебраических чисел степени не более п и высоты не более Q имеет порядок Qn+ при Q — оо. Поэтому данный результат пока Cn\I\ зывает, что для любого фиксированного алгебраические числа распределены достаточно регулярно при большой высоте. Однако он описывает поведение только малой части из них. В связи с этим, Малер в своем письме к Сприн-джуку в 1985 году задал следующий вопрос: как распределены алгебраические числа фиксированной степени 2?