Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Конечномерные распределения монотонно невозрастающих случайных полей на частично упорядоченных множествах 22
1.1. Вычисление конечномерных распределений монотонно невозрастающих случайных полей на частично упорядоченных множествах по коррелятору 22
Глава 2. Распределения вероятностей на многогранных конусах 28
2.1. Разложение вероятностной меры на многогранном конусе в сумму мер на гранях 28
2.2. Определение граней, правильно рассекающих блоки 30
2.3. Вычисление распределений вероятности на гранях, правильно рассекающих блоки, по коррелятору 32
2.4. Примеры связи между следами распределений вероятностей на гранях конуса и корреляторами 35
2.5. Условия, обеспечивающие правильное рассечение блоков 41
2.6. Примеры многогранных конусов с гранями, правильно рассекающими блоки 46
2.7. Доказательство теорем 2.2 и 2.3 из 2.5 55
2.8. Доказательство теоремы 2.1 из 2.3 75
Глава 3. Свойства граней конуса монотонно невозрастающих функций. Доказательство теоремы 1.1 96
3.1. Описание свойств граней конуса монотонно невозрастающих функций 96
3.2. Доказательство теоремы 3.1 из 3.1 98
3.3. Доказательство теоремы 1.1 из 1.1 106
Глава 4. Непрерывные снизу меры на частично упорядоченных множествах 107
4.1. Продолжение мер, непрерывных снизу, на алгебру, порожденную идеалами частично упорядоченного множества 107
4.2. Пример меры, не продолжаемой по непрерывности снизу .113
4.3. Доказательство теоремы 4.1 117
Глава 5. Экспоненциально распределенные случайные поля начастично упорядоченных множествах 130
5.1. Построение экспоненциально распределенных случайных полей на частично упорядоченных множествах по мерам, непрерывным снизу 130
5.2. Конечномерные распределения экспоненциально распределенных случайных полей, построенных по мерам, непрерывным снизу 135
5.3. Экспоненциально распределенные случайные поля на полурешетке, построенные с помощью прямого произведения мер. 140
5.4. Доказательство теоремы 5.1 из 5.1 151
5.5. Доказательство теоремы 5.2 из 5.1 163
5.6. Доказательство теоремы 5.3 из 5.2 171
5.7. Доказательство теоремы 5.4 из 5.2 173
5.8. Доказательство теорем 5.5 и 5.6 из 5.3 180
5.9. Доказательство теоремы 5.7 из 5.3 184
Глава 6. Положительно определенные функции на частично упорядоченных множествах 207
6.1. Построение положительно определенных функций на частично упорядоченных множествах 207
6.2. Доказательство теоремы 6.1 209
6.3. Доказательство теоремы 6.2 211
6.4. Примеры положительно определенных функций на частично упорядоченных множествах 214
Заключение 222
Литература 224
- Определение граней, правильно рассекающих блоки
- Примеры многогранных конусов с гранями, правильно рассекающими блоки
- Пример меры, не продолжаемой по непрерывности снизу
- Конечномерные распределения экспоненциально распределенных случайных полей, построенных по мерам, непрерывным снизу
Введение к работе
Актуальность темы
За последние несколько десятилетий в математических работах неоднократно возникали задачи, которые можно описать в терминах вероятностных распределений на множестве идеалов некоторого частично упорядоченного множества.
Здесь, следуя за Д.-К. Рота, идеалом частично упорядоченного множества мы будем называть такое его подмножество, которое вместе с каждым элементом содержит все элементы меньшие данного (см [4] и [27]).
Как будет показано ниже, построение и исследование монотонно не возрастающих полей на частично упорядоченных множествах естественным образом связано с исследованием распределений вероятностей на множествах идеалов частично упорядоченных множеств.
Одним из интенсивно развивающихся направлений, связанных с идеалами частично упорядоченных множеств, является исследование вероятностных распределений на множестве диаграмм Юнга - ограниченных идеалов целочисленного квадранта N , трехмерных диаграмм Юнга - ограниченных идеалов целочисленного октанта N , а также Марковские процессы, принимающие значения на множестве диаграмм Юнга.
В работах А.М.Вершика и С.В.Керова [9], [10] и [12] была исследована монотонно возрастающая Марковская цепь на множестве диаграмм Юнга, у которой начальное состояние (в момент времени 0) — пустая диаграмма Юнга, каждое следующее состояние отличается от предыдущего на одну ячейку, а распределение вероятностей для значения цепи в момент времени п соответствует мере Планшереля симметрической группы степени п. В этих работах описано асимптотическое поведение для описанной в них Марковской цепи при больших временах; в частности, была найдена асимптотическая форма диаграмм Юнга, являющихся значениями этой Марковской цепи.
В работе Р. Кениона PI Р. Серфа [21] была исследована предельная форма случайного идеала, распределенного в соответствии с этой формулой, при
В работах А.Ю. Окунькова и соавторов [20, 24 -26] был описан аналитический подход к изучению распределений вероятностей на диаграммах Юнга. Так, например, в работе А. Бородина, А. Окунькова и Г. Ольшанского [20] этот подход использовался для исследования формы значений описанной выше марковской случайной цепи на множестве диаграмм Юнга (также см. [25]), а в работе [26] А. Окуньковым и Н. Решетихиным была изучена форма случайного идеала решетки N3 как в случае, когда распределение вероятностей задается формулой (1), так и в некоторых более общих случаях.
Мера рр: определяемая формулой (3), была названа в [2] геометрической мерой, поскольку ее конструкция является обобщением известного геометрического распределения вероятности на N, определяемого соотношением Р{х Є N : х п}=(1- р)п 1.
В работе [2] также исследовались безгранично делимые меры на решетке идеалов частично упорядоченного множества относительно теоретико-множественного пересечения и было показано, что геометрическая мера является безгранично делимой. Следует заметить, что безгранично делимые меры на различных решетках (в частности, решетках множеств) ранее изучались многими авторами. Так, в теории Г.Шоке рассматриваются безгранично делимые меры на решетке замкнутых множеств некоторого топологического пространства (см., например, [13]), а И. Молчановым в [23, §§3.1-3.2] рассматривались безгранично делимые меры на решетках, топология Скотта которых обладает счетной базой. Однако результаты, полученные М.А. Антонцом и И.А. Шерешевским, не могут быть выведены из результатов Г.Шоке и И.Молчанова, поскольку решетка идеалов частично упорядоченного множества, рассматривавшаяся в работах М.А.Антонца и И.А.Шерешевского не является частным случаем решеток, рассматриваемых Г.Шоке или И.Молчановым.
В работе [2] было также указано на существование связи между случайными полями на частично упорядоченном множестве Н и мерами на множестве С(Н х R) идеалов частично упорядоченного множества Н х R.
Множество YACC является обобщением диаграммы Юнга па случай частично упорядоченного множества Н х R.
Заметим, что действительная функция / на Н удовлетворяет системе неравенств f(a) х(а), а Є Л в том и только в том случае, когда идеал tif содержит идеал Y x.
Будем называть монотонно не возрастающее случайное поле г)р: удовлетворяющее данному условию для некоторой меры р, экспоненциально распределенным случайным полем. Цели и задачи диссертационной работы
Цели данной диссертационной работы:
• Построение по мере р, заданной на Н х R, экспоненциально распределенного случайного поля г)р на Н.
Описание множества мер, заданных на Н х R, по которым можно построить экспоненциально распределенное случайное поле на Н.
• Исследование структуры конечномерных распределений экспоненциально распределенного случайного поля т\р
Также заметим что конечномерные распределения экспоненциально распределенного случайного поля т]р однозначно определяются формулой (5). Тем не менее для проведения анализа структуры этих конечномерных распределений требуются дополнительные комбинаторно-геометрические построения.
В ходе исследования решались следующие задачи:
1. Описание мер, непрерывных снизу на частично упорядоченном множестве.
Построение по мере р, непрерывной снизу на Н х R, экспоненциально распределенного случайного поля г\р на Н. 2. Построение разложения конечномерного распределения монотонно невозрастающего случайного поля в сумму абсолютно непрерывной меры и сингулярных мер, сосредоточенных на подпространствах раз личной размерности.
Выражение сингулярных слагаемых этого разложения через односторонние частные производные коррелятора конечномерного распределения.
3. Выражение сингулярных составляющих конечномерного распределения экспоненциально распределенного случайного поля г\р через частные производные функции распределения меры р
4. Вычисление конечномерных распределений и вероятностных характеристик экспоненциально распределенного случайного поля rjp: в частном случае, когда мера р является прямым произведением некоторой меры 7 на Н и меры Л+, являющейся ограничением меры Лебега А на положительную полуось R+: р — у х Х+.
В процессе исследования пришлось решать также следующие задачи:
5. Описание свойств многогранного конуса всех монотонно не возрастающих функций на конечном частично упорядоченном множестве
6. Выражение распределений вероятности на гранях многогранного конуса через односторонние частные производные коррелятора.
7. Определение условий, при которых меры, заданные на алгебре, порожденной главными идеалами частично упорядоченного множества, и непрерывные снизу, могут быть продолжены на алгебру, порожденную всеми идеалами этого частично упорядоченного множества, при сохранении условия непрерывности снизу Объект и предмет исследования
Объектом исследования данной диссертации являются монотонно не возрастающие случайные поля на частично упорядоченных множествах.
Предметом исследования данной диссертации являются экспоненциально распределенные случайные поля на частично упорядоченных множествах и структура их конечномерных распределений.
Заметим, однако, что, хотя предметом непосредственного исследования этой дріссєртации являются экспоненциально распределенные случайные поля, некоторые из полученных результатов относятся к монотонно не возрастающим случайным полям общего вида.
Методы исследования
В данной диссертационной работе используются методы теории вероятностей и теории меры (в частности, геометрической теории меры), теории частично упорядоченных множеств, теории решеток, а также теории многогранных конусов.
Научная новизна
Результаты данной диссертационной работы являются новыми.
Исследование структуры конечномерных распределений случайных полей экспоненциального типа на частично упорядоченных множествах произ-ВОДРІТСЯ впервые.
Теоретическая и практическая ценность
Результаты, полученные в данной диссертационной работе, имеют теоретический характер.
Результаты работы могут быть использованы в дальнейших исследованиях при изучении монотонно не возрастающих полей на частично упорядоченных множествах, а также при изучении моделей роста на произвольных частично упорядоченных множествах
Самостоятельный интерес представляет предложенный метод построения неотрицательно определенных и положительно определенных функций на частично упорядоченных множествах.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались на совместных научных семинарах кафедры теории вероятностей и математической статистики и кафедры математической логики и высшей алгебры факультета Вычислительной Математики и Кибернетики Нижегородского государственного университета им. Н.И.Лобачевского (сентябрь и октябрь 2006 года).
Также основные положения диссертации докладывались на семинаре в Добрушинской математической лаборатории Института проблем передачи информации им. А.А.Харкевича Российской академии наук (апрель 2006 года)
Также некоторые из результатов данной работы докладывались на четвертой молодежной научной школе по дискретной математике и ее приложениям, проходившей на механико-математическом факультете Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова (сентябрь 2000 года), и на VII Нижегородской сессии молодых ученых, проходившей в Сарове (май 2002 года).
Публикации
Результаты диссертации опубликованы в двух работах автора: [5, 6]. Перевод этих работ на английский язык см. в [18, 19]. Личный вклад автора
Все результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно.
Структура диссертации
Текст диссертации можно разделить на три части:
• в главах 1-3 методы геометрической теории меры и теории многогранных конусов используются, чтобы описать структуру конечномерного распределения монотонно иевозрастающего случайного поля;
• главы 4 и 5 посвящены построению экспоненциально распределенных случайных полей на частично упорядоченных множествах, исследованию конечномерных распределений этих полей, и вычислению их вероятностных характеристик;
• в главе 6 результаты главы 5 используются для построения неотрицательно определенных и положительно определенных функций на частично упорядоченных множествах.
Опишем план диссертации.
Определение граней, правильно рассекающих блоки
Для любого выпуклого множества М, элемента х из М и вектора v из R будем говорить что вектор v из точки х направлен вовнутрь М, если существует такое положительное h, что точка х -\- h v принадлежит М. Для любого многогранного конуса С и любой его грани Г определим множество 1пс(Г) всех тех индексов г из {1,..., d}, что вектор ег направлен вовнутрь конуса С из всех точек Гш . Как обычно, для любых элементов х = {х\,..., Xd) и у = (тд,... ,yd) из R будем говорить, что выполняется отношение х у (соответственно, х у), если для всех г от 1 до с? имеет место неравенство Х{ у% (соответственно, Х{ уі). Это несколько расходится с классическим определением, принятом в теории частично упорядоченных множеств, по которому отношение х у имеет место в том и только в том случае, когда х у и х у. Будем называть блоками в R cJ-мерные (возможно, незамкнутые) параллелепипеды с ребрами, параллельными осям координат в R . Для любых элементов х = (x"i,..., Xd) и у = (т/1,..., yd) из R таких, что х у обозначим В(х;у) открытый справа блок с наименьшей точкой х и наибольшей точкой у: Точки хну для блока В{х\у) будем называть экстремальными точками. Определим для любого подмножества / множества {1,.. ., d] множество Bj(x; у) как d-мерный блок, открытый справа и неограниченный по направлениям ег, г Є {1,..., d}\I: Очевидно, что множество B i_ (x;y) является ограниченным и совпадает с В(х;у). Определение 2.1. Будем говорить, что грань Г многогранного конуса С правильно рассекает блоки, если выполняются следующие условия 1. существует, хотя бы один открытый справа блок В(х\ у) такой, что его экстремальные вершины принадлежат Tint, 2. для любого такого блока множество ВіПс (х;у) П С содержится в блоке В{х\у) Будем по определению считать, что сам конус С всегда является своей гранью, правильно рассекающей блоки. Замечание 1: Для любой грани Г и любой точки х из Tl7lt мнооюество всех тех векторов v 0 из Rd, для которых у открытого справа блока В{х\ x + v) экстремальные вершины принадлежат Ггпі, является выпуклым конусом и совпадает с мноэюеством всех строго положительных векторов v из подпространства V(T) (см. теорему 2.2). Замечание 2:
Для того, чтобы грань Г правильно рассекала блоки, достаточно чтобы существовал хотя бы один открытый справа блок В{х\у) с экстремальными вершинами из Tmt, для которого мнооюество Віпс(г)(х;у) П С содержится в блоке В(х; у) (см. теорему 2.2).
Это условие существенно слабее того, которое используется в определении. Замечание 3: По определению, для любого подмножества I множества {1,..., d} блок Bj(x, у) содержит в себе блок В(х, у). Отсюда получаем, что если грань Г конуса С правильно рассекает блоки, то для любых х у из Tmt имеет место равенство Положим для любого подмножества W множества {1,..., а1} Аналогично, обозначим для любого подмножества W множества {1,..., cff где тр ; — односторонняя производная по направлению ё1. Для любого подпространства V евклидова пространства R обозначим pry оператор ортогональной проекции на V, pry : R — V. отображение, получающееся ограничением области опре Будем для любых подпространств V\ и Vi евклидова пространства R обозначать ргу2 деления проекции ргу2 до подпространства V\, В случае, когда подпространства V\ и V i имеют одинаковую размерность определим q(V\, V2) как модуль определителя Якоби отображения ргу.2 определение является корректным, поскольку отображение pry! сопоставляет друг-другу два евклидовых пространства одинаковой размер пости В случае трехмерного пространства число (Vi, V2) равно косинусу угла между плоскостями или прямыми Vi и V2. Геометрический смысл коэффициента q(Vi, V2) в пространствах более высокой размерности дает лемма 2.11. Определим для любого многогранного конуса С и любой его грани Г подпространство Ь(Г) евклидова пространства R , полагая Ь(Г) = у({е\ гІпс(Г)}) Определим для любого конуса С и любой его грани Г такой, что 11пс(Г) = сІітГ, вещественное число qc(T), полагая /с(Г) = qlV(T),L(T)j. Это определение также корректно, поскольку если Iric(Г) = dim Г, то подпространства Ь(Г) и V(T) имеют одинаковую размерность. Теперь мы можем сформулировать один из основных результатов диссертации Теорема 2.1. Пусть С — многогранный конус в R , v — вероятностная мера на С, ди(х) — ее коррелятор, a U — открытое подмножество множества R такое, что на множестве U Г) С функция gv непрерывна, а во всех внутренних точках множества U ПС существует непрерывная производная І g"Bpd(y), которая непрерывно продолжается вплоть до границ этого множества. Тогда для любой правильно рассекаюш,ей блоки грани Г конуса С огра ничение v меры v на множество U П Гші абсолютно непрерывно от unrint носительно меры Лебега \у(т) па линейном подпространстве V(r); причем имеют место следующие соотношения: то на множестве и П 1 существует, производная ри,С(Г) , непрерывная на U П Tmt, и для любого у из U Ґ1 Tint имеет место соотношение Замечание: По теореме 2.3, сформулированной ниже, для любой правильно рассекающей блоки грани Г конуса С имеет место неравенство (1пс(Г) сІітГ, поэтому в теореме 2.1 случай Іпс(Г) сІітГ не рассматривается. Следствие 2.1. Пусть выполняются условие теоремы 2.1. И пусть все грани конуса С правильно рассекают блоки. Тогда мера v на множестве U представима в виде Замечание: при U = R соотношение (2.6) является усилением соотношения (2.2).
Доказательство теоремы 2.1 дано ниже в параграфе 2.8. Опишем здесь идею доказательства теоремы 2.1. Как следует из принципа включения и исключения, для любой меры v на R , любых элементов х у из R и любого подмножества / множества {1,..., а1} мера открытого справа блока JB/(CC, у) вычисляется через значения коррелятора gv по формуле (см. лемму 2.7). Но в случае, когда Г — правильно рассекающая блоки грань некоторого конуса С, а элементы х и у принадлежат Гші, будет выполняться соотношение 2?1пс(Г)(ж,у) Г\С = В(х,у) ПС. Отсюда получаем, что если мера v сосредоточена на конусе С, то имеет место равенство а значит, мера u(B(x:y)j может быть вычислена через соотношение (2.7) как Тогда, исследуя порядок малости правой части равенства (2.8) при у —» х + 0, можем доказать, что такой порядок малости может быть только в случае, когда ограничение мера v меры v на множество Tmt является pint абсолютно непрерывным относительно меры Лебега Ар на грани Г (см. лемму 2.13). Отсюда и выводится теорема 2.1. 2.4. Примеры связи между следами распределений вероятностей на гранях конуса и корреляторами Теорема 2.1 устанавливает связь между следами распределения вероятностей на гранях конуса и коррелятором меры. В примере 2.4.1 эта связь демонстрируется в простом случае, не требующем применения теоремы 2.1. Примеры 2.4.2 и 2.4.3, данные ниже, демонстрируют, что никакие из условий теоремы 2.1 не могут быть отброшены.
Примеры многогранных конусов с гранями, правильно рассекающими блоки
Продемонстрируем применение теоремы 2.2 для выяснения условий при которых граница полупространства в R является гранью, правильно рассекающей блоки. Пусть п — ненулевой вектор из Rd, Рп — Cbne±(n) — полупространство с внутренней нормалью п. Полупространство Рп является частным случаем многогранного конуса. Этот конус имеет единственную грань, совпадающую с его границей Vn = У±(п), при этом очевидно имеют место равенства V(Vn) = Vn и V« = Vn. Используя условия А2 и ВЗ теоремы 2.2 докажем следующее предложение позволяющее определить, при каких условиях d — 1-мерная грань Vn конуса Рп правильно рассекает блоки. Предложение 2.6.1. Для того, чтобы грань Vn полупространства Рп правильно рассекала блоки, необходимо и достаточно, чтобы в точности одна координата вектора п была отрицательна и как минимум одна координата п положительна. Доказательство: 1. Положим N = (п) — матрица из R х , состоящая из одного столбца. Очевидно, что JN(Vn) = {1} и (N\JN(VrS) = N. Положим М = NT = (щ,..., rid) — матрица из Rlx , и Q+ = QM = Сопе(М+), Q = Q j = Сопе(М ) — одномерные конусы в R. Докажем сначала необходимость. Пусть грань Vn полупространства Нп правильно рассекает блоки. Тогда, по теореме 2.2, выполняются условия A3 и ВЗ. Так как, по условию A3, внутренние части конусов (—Q+) и Q в R содержат хотя бы один общий элемент, то эти конуса содержат хотя бы один ненулевой элемент, а это значит, что и матрица М+ и матрица М содержат ненулевые элементы. Отсюда получаем, что как минимум одна координата вектора п строго положительна и как минимум одна координата вектора п строго отрицательна. Но так как Vn — грань, правильно рассекающая блоки, то, по теореме 2.3, Но, в силу следствия леммы 2.2 множества 1М и 1пнп(Уп) совпадают, то у вектора п не может быть более одной отрицательной координаты.
Таким образом доказали, что если Vn — грань полупространства Нп: правильно рассекающая блоки, то ровно одна координата вектора п отрицательна и как минимум одна координата п положительна. 2. Обратно, пусть теперь вектор п такой, что ровно одна координата вектора п отрицательна и как минимум одна координата п положительна. Тогда матрица М+ содержит хоть один строго положительный элемент, а матрица М содержит единственный строго отрицательный элемент, а значит, конус Q+ совпадает с множеством {х Є R : х 0}, а конус Q совпадает с множеством {х Є R : х 0}. Отсюда получаем, что внутренние части конусов (—Q+) и Q содержат хотя бы один общий элемент, то есть выполняется условие A3 теоремы 2.2. И так как V(M ) = R: и по определению множества Км имеет место равенство Км = {х Є R : х 0}, то конус Q содержит множество V(M ) П Км-, то есть выполняется условие ВЗ теоремы 2.2. Отсюда по теореме 2.2 получаем, что Vn — грань полупространства Нп: правильно рассекающая блоки. Таким образом доказали, что если ровно одна координата вектора п отрицательна и как минимум одна координата п положительна, то подпростран ство Vn будет гранью полупространства Нп, правильно рассекающей блоки. Предложение 2.6.1 доказано. Пример 2.6.2. Продемонстрируем применение теоремы 2.2 для нахождения граней трехмерного конуса, правильно рассекающих блоки.
Пусть и = (щ,гі2,щ), w = {w\,W2)Wz) и v = ( 1, 2,1) — неотрицательные линейно независимые вектора из R такие, что щ = w% — 0 (то есть вектора и и го лежат в плоскости V(e1, е2)), a v 0. Рассмотрим выпуклый конус С, порожденный этими векторами, С — Сопе(и, го, v). Из геометрических соображений очевидно, что конус С является трехгранным конусом, расположенным в неотрицательном октанте пространства R3, причем, в силу линейной независимости векторов и, w и V, конус С имеет три одномерных грани-ребра, равных Ги = Сопе(и), Fw = Cone(w), Fv = Cone(v): и три двумерных грани Vuw — Cone(u,w): Fvu = Cone(v,u), Fvw — Cone(v, го), при этом грань Tuw лежит в плоскости V(e1, е2). Используя условия А2 и ВЗ теоремы 2.2 можно доказать следующее предложение, позволяющее определить, при каких условиях одномерная грань Г правильно рассекает блоки. Предложение 2.6.2. Грань Tv правильно рассекает блоки, в том и только в том случае, когда выполняется одно из двух условий: 1. один из векторов и uw сонаправлен с базисным вектором є1, а второй — с базисным вектором е2 2. ровно один из векторов и и w сонаправлен с каким-либо из базисных векторов е1 и е2, а проекция вектора v на плоскость V(e1, е2) не лежит во внутренней части конуса Cone(u,w).
Пример меры, не продолжаемой по непрерывности снизу
В формулировке теоремы 4.1 условие на регулярность снизу меры р на V(S) в общем случае не может быть ослаблено, поскольку от меры /3 требуется, чтобы она совпадала с мерой р на V(S), но при этом для любого J из C(S) должно выполняться условие /э( /) = p(Jmt). Предложение 4.1, доказанное ниже, демонстрирует, что в формулировке теоремы 4.1 условие на непрерывность снизу меры р на C\(S) в общем случае также нельзя ослабить. Предложение 4.1. Существуют частично упорядоченное мноэюество S, топология на этом множестве S, и конечно-аддитивная мера р на AQ(S) такие, что выполняются следующие условия: 1. мера р является регулярной снизу на V{S) 2. мера р не является непрерывной снизу на C\(S) 3. не существует неограниченной конечно-аддитивной меры р на A(S), которая была бы непрерывна снизу на C(S) и совпадала с мерой р на V(S) Доказательство: 1. Построим частично упорядоченное множество S: топологию на нем, и конечно-аддитивную меру р на AQ(S). Определим подмножества S\, . и 5з множества R , полагая
Пусть S = Si U S2 U S3. Будем считать множества Si, S2, S3 и S частично упорядоченными отно-сительно стандартного порядка в R . Очевидно, множества Si, S2 и , являются линейно упорядоченными, и для любых элементов аі РІЗ SI, а2 из S2 и а$ из S3 имеют место неравенства 2i аз и а2 аз, пррі этом элементы аі и а2 будут несравнимы. Отсюда вытекает, что для любых элементов аі из Si PI а2 из S2 имеют место равенства XS{OLI) = Sii i) U S3 и Xs(a2) = Xs2{a2) U S3. Тогда мы имеем следующее выражение для V(S): V(S) = [lUS3, /P(Si)}u{/US3) /e?(52)}uP(53) Из определения следует, что не существует такого элемента а из S , для которого Ts(a) = S3. С другой стороны, для любых элементов ai из Si PI а2 из S2 имеет место равенство Xs{a{) П Xs(a2) = S3. А поскольку частично упорядоченные множества Si, S2 и S3 линейно упорядочены, то отсюда получаем, что C\{S ) будет отличаться от V(S) только идеалом S3, то есть Ci(S) = V(S)U{S3}. Зададим на множествах Si, S2 и S3 топологию совпадающую с их внутренней ТОПОЛОГРІЄЙ в .R3, то есть для любого г o j 1 до 3 подмножество U множ;е-ства S( будет открытым в Si тогда и только тогда, когда существует открытое подмножество U действительной ocpi R такое, что U = { ег, t Є U }. Зададим на S ТОПОЛОГРІЮ, порожденную объединением топологий множеств Si, S2 и S3, то есть подмножество А множества S будет открытым в том и только в том случае, когда для всех г от 1 до 3 множество А П Si открыто в топологии Si. Тогда для любого элемента а из S имеет место равенство Определим для любого є 0 множество О (є), полагая О (є) И определим функцию /? на алгебре AQ(S), полагая для любого А из Ao(S) Из этого определения вытекает, что если А и В некоторые множества из AQ(S) И АПВ = 0, то соотношения р(А) = 1и р(В) = 1 не могут выполняться одновременно. Тогда, поскольку функция р принимает только значения 0 и 1, то для любых непересекающихся множеств А и В из AQ(S) выполняется равенство p(A) + P(B) = p(AuB). Отсюда получаем, что функция р будет конечно-аддитивной мерой на AQ(S). 2. Докажем, что мера р будет регулярной снизу на V(S) и не будет непрерывной снизу на Ci (S).
Как очевидно, для любого є 0 выполняется соотношение Xs{О(є)) = S3. Отсюда получаем, что произвольный идеал / из C(S) содержит некоторое множество О (є) в том и только в том случае, когда I содержит множество 5 з, а значит, имеет место равенство Из определения порядка на S следует, что конечнопорожденный идеал / из V(S) будет содержать в себе S3 в том и только в том случае, если он содержит в себе хоть один элемент из Si или 2, а значит для любого конеч-нопорожденного идеала / из V{S) имеет место соотношение И, так как значение функции р определяется значением меры р на конеч-нопорожденных идеалах, то для любого идеала / из C(S) значение функции р(1) может быть вычислено как В частности, p{S?) = 0, хотя при этом p{Sz) = 1. И, поскольку для любого главного идеала в S имеет место соотношение 4.2, а частично упорядоченные множества S\ и S не имеют минимальных элементов, то для любого конечнопорожденного идеала / из V(S) если / не содержится в 5з, то и Iті не будет содержаться в S%. Отсюда получаем, что для любого конечнопорожденного идеала / из V(S) имеет место равенство p{Iint) = р(1) = р{1), а значит, мера р будет регулярна снизу на V(S). С другой стороны, так как S3 принадлежит C\{S), и имеют место равенства p(Ss) = 1 и /?(5з) = 0, то мера р не будет непрерывной снизу на C\(S). 3. Докажем теперь, что не существует конечно-аддитивной меры р на A(S), непрерывной снизу на C(S) и совпадающей с мерой р на V(S). Действительно, предположим, что такая мера р существует. Тогда, так как значения меры р на конечнопорожденных идеалах из V(S) совпадают со значениями меры р, то из непрерывности меры р снизу на C{S) получаем, что для любого идеала J из (S) будет выполняться следующее соотношение няться соотношение /2 = »52 U $з- Тогда имеют место равенства Отсюда получаем, что имеет место соотношение Таким образом, предположив, что такая мера jo существует, пришли к противоречию. Предложение доказано. Будем называть функцию / : С — R U {+оо} неограниченной неотрицательной оценкой, если выполняются следующие условия: функция / неотрицательна, для любых множеств А С В из С имеет место неравенство f(A) f(B) и для любых множеств А и В из С выполняется равенство
Конечномерные распределения экспоненциально распределенных случайных полей, построенных по мерам, непрерывным снизу
Пусть Н - частично упорядоченное множество, р — неограниченная конечно-аддитивная мера на алгебре множеств AQ(H), непрерывная снизу на i(H), регулярная снизу на V(H), и такая, что для любого а из Н выполняется соотношение Тогда, по теореме 5.1, существует экспоненциально распределенное случайное поле г)р на Н такое, что для любого конечного подмножества Л множества Н и для любой функции х из R имеет место равенство (5.1): Для любого конечного подмножества Л множества Н обозначим / л(р) конечномерное распределение случайного поля г\р на Л. Из соотношения (5.1) вытекает, что функция др является коррелятором меры ЦА(Р) Будем говорить, что подмножество Л частично упорядоченного множества Н замкнуто относительно решеточных пересечений, если для любых элементов а и Ь из Л существует их решеточное пересечение с = а Л Ь, PI ЭТО пересечение также принадлежит Л (при этом не обязательно, чтобы решеточное пересечение существовало для всех пар элементов из Н). Напомним, что для любого подмножества А произвольного частично упорядоченного множества S мы обозначаем sup vl множество всех максимальных элементов множества А
Определим для любого частично упорядоченного множества S и любого элемента а из S множество B(S; а), полагая Множество B(S;a) назовем базой элемента а в множестве S. Как очевидно, если а принадлежит inf S (то есть, не существует элементов из S, меньших а), то множество B(S; а) будет пустым. Пусть Л — подмножество частично упорядоченного множества Н, замкнутое относительно решеточных пересечений. Определим для любого элемента а из Л и любого действительного у под-множество D\(a) множества Н и подмножество DA(a,y) множества Н, полагая Определим функцию Qp,a,h R — R, полагая для любого действительного у Как очевидно, если не существует элементов из Л, меньших элемента а, то множество DA(a, у) будет совпадать с идеалом Х (а, у), а значит, функция QP,a,A будет совпадать с QPA. Из принципа включения и исключения вытекает следующая теорема Теорема 5.3. Пусть Н — частично упорядоченное множество, р— неотрицательная конечно-аддитивная мера на алгебре множеств AQ(H). Тогда для любого конечного подмножества Л множества Н, замкнутого относительно решеточных пересечений, и для любого х из Лчл выполняется соотношение При этом для любого а из К и любого действительного у будет иметь место равенство где f\A = Ла єА a решеточное пересечение всех элементов из А, а сумму по пустому множеству считаем равной нулю Доказательство теоремы 5.3 дано пиже в параграфе 5.6. Для любого о из Н определим подмножество WP:a множества R как множество всех точек из R, в которых производная Q а действительной функции Qp,a существует и непрерывна. Для любого конечного подмножества Л множества Н определим открытое подмножество t/ л евклидова пространства R , полагая где WVf — внутренность множества Wpj, Теорема 5.4. Пусть Н — частично упорядоченное множество, р — неограниченная конечно-аддитивная мера на алгебре множеств Ло(Н), непрерывная снизу на С\{Н), регулярная снизу на V(H) , и такая, что для любого а из Н выполняется соотношение
Тогда для любого конечного подмножества Л множества Н, замкнутого относительно решеточных пересечений, имеют место следующие соотношения: 1) для любой грани Г конуса Л4\ не принадлежащей К,\, имеет место эюество Тгпі Ґ1 UPi\ является абсолютно непрерывным на Tmt П UP:A относительно меры Лебега Ху(т) на евклидовом пространстве \ (Г); причем для любого х из Гш П /Р)л имеет место соотношение dpA(p) d\ up,Anrmt V(T) (x) = qA{T)gpA{x) П Q p,aA(x(a)) (5.4) aGlnf(kr) При этом для любой функции х из UPiA и любого элемента а из А производная Q natA{y) будет существовать в точке у = х(а) и вычисляться по формуле а значит, выраснсение в правой части соотношения (5.4) будет иметь смысл. Доказательство теоремы 5.4 дано ниже в параграфе 5.7. Хотя теорема 5.4 дает полное описание конечномерных распределений экспоненциально распределенного случайного поля г)р, в общем случае мы не можем вычислить характеристики случайного поля г)р — такие как математическое ожидание значения поля в точке или корреляционную функцию случайного поля. В следующем параграфе эти характеристики случайного поля г]р вычислены при некоторых дополнительных ограничениях на частично упорядоченное множество Н и меру р.