Введение к работе
Актуальность темы. Пусть X,Xi,X2,... — последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, Sn := Х^Г=і Хі- Введем основной объект исследования — время пребывания траектории случайного блуждания {Sn}n^i выше уровня Ь:
п
Tn(b):=J2hs,>b}, i=\
где Ід — индикатор события А. Число Ь может также зависеть от п.
Изучение распределения времени пребывания случайного блуждания на отрезке или на полуоси является весьма трудной задачей, и ей посвящено значительное число работ. Для простейших блужданий ряд результатов о времени пребывания может быть получен с помощью комбинаторных методов. Хорошо известен классический закон арксинуса 1, характеризующий предельное поведение распределения Тп(0). Известны также предельные теоремы о времени пребывания 2, основанные на использовании сходимости распределений функционалов от траекторий случайного блуждания к распределению соответствующих функционалов от предельных процессов.
Отметим, что изучение времени пребывания, несомненно, относится к граничным задачам для случайных блужданий. Для их решения весьма эффективным является факторизационный метод, разработанный в работах А.А. Боровкова, его учеников и последователей. В этой связи стоит отметить работу В.И. Лотова3, в которой с помощью факторизационного метода в крамеровском случае получены полные асимптотические разложения для
>{Тп(Ъп) = к}, 7WOC.
^^Спицер Ф., Принципы случайного блуждания //Мир, М., 1969.
2Бородин А.Н., Ибрагимов И.А., Предельные теоремы для функционалов от случайных блужданий //ТрМИАН, 195, Наука, СПб., 1994, 286 с.
3Лотов В.П., Асимптотические разложения распределения времени пребывания случайного блуждания на полуоси //Ветвящиеся процессы, случайные блуждания и смежные вопросы, Сборник статей. Посвящается памяти члена-корреспондента РАН Бориса Александровича Севастьянова, Тр. МИАН, 282, МАИК, М., 2013, 154-164.
Цель и задачи исследования. Объектом исследования является время пребывания Тп{Ъ) траектории случайного блуждания выше уровня Ь на отрезке времени 1, 2,. .. ,п. Основная цель диссертации — получение ряда теорем об асимптотических разложениях для ЖГп{Ь) при п —> оо, а также получение оценок в виде неравенств для моментов величины Тп{Ъ) более высокого порядка.
Научная новизна. Основные результаты диссертации заключаются в том, что получены главные члены асимптотики математического ожидания времени пребывания случайного блуждания на полуоси. Более того, в крамеровском случае были получены полные асимптотические разложения для ЖГп{Ьп). Кроме того предложен способ построения двусторонних оценок для Кд(Тп) для широкого класса функций д, и, как следствие, получен ряд моментных неравенств для времени пребывания случайного блуждания. Приведенные результаты являются новыми.
Методы исследований. В работе использованы общие методы теории вероятностей, известные результаты о поведении вероятностей больших уклонений, а также факторизационный метод получения полных асимптотических разложений, включающий использование модификации метода перевала на заключительном этапе.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на объединенном семинаре кафедры теории вероятностей и математической статистики НГУ и лаборатории теории вероятностей и математической статистики Института математики СО РАН под руководством академика А.А. Боровкова. Результаты работ также докладывались на XVI-th Iternational Summer Conference On Probability And Statistics, Pomorie, Bulgaria, 21-28 June 2014 и на Международной Студенческой Научной Конференции (НГУ, 2013 год).
Публикации. Основные результаты работы опубликованы в [1]-[3].
Личный вклад соискателя. Все результаты диссертации получены автором самостоятельно и опубликованы в 3 работах. Работа [1] написана в соавторстве с Лотовым В.И. В данной работе Лотову В.И. принадлежит постановка задачи и выбор метода исследования. Соискателю принадлежат доказательства основных результатов.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Нумерация теорем, следствий, замечаний и формул сквозная. Список литературы составлен последовательно по двум алфавитам — русскому и латинскому. Объем диссертации 82 страницы.