Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Предварительные сведения и факторизационные представления для производящих функций 9
1.1. Предварительные сведения о факторизации и вспомогательные леммы 9
1.2 Достационарный случай 13
1.3 Доказательства теорем 1.1-1.5 17
1.4 Формулировки результатов в стационарном случае 26
1.5 Доказательства теорем 1.6-1.12 31
1.6 Пример 39
Глава 2. Асимптотика стационарного распределения 44
2.1 Основные результаты 44
2.2 Доказательства теорем 2.1, 2.2 46
Глава 3. Полные асимптотические разлозкения для распределения осциллирующего случайного блуждания 60
3.1 Асимптотический анализ производящих функций 60
3.2 Предварительные разложения 70
3.3 Асимптотические разложения в случае "нормальных" уклонений 76
Заключение 82
Литература 83
- Предварительные сведения о факторизации и вспомогательные леммы
- Формулировки результатов в стационарном случае
- Асимптотический анализ производящих функций
- Асимптотические разложения в случае "нормальных" уклонений
Введение к работе
Построение и изучение марковских моделей управляемых случайных блужданий является весьма важным разделом современной теории вероятностей. Как правило, подобные исследования имеют многочисленные применения в изучении систем массового обслуживания, в задачах теории хранения запасов, в финансовой математике и других областях. По данной тематике имеется большое количество публикаций, поэтому ниже приводятся ссылки только на те работы, которые имеют лишь непосредственное отношение к предмету проводимых исследований.
Пусть {fn }Ln і = О,1,2 - три независимые последовательности независимых случайных величин, одинаково распределенных внутри каждой последовательности; при этом предполагается, что Еп < 0, Efn > 0. Пусть а и b — произвольные числа, а < 0 < Ь, и Xq — случайная величина, независимая от {„ }%L\, г = 0,1,2. Определим цепь Маркова следующим образом: для п > 1 положим Xn-i + й\ если Хп_! Є [а, 6],
Хп={ Xn-i + п\ если Хп_! > Ъ, Хп-1 + $\ если Xn_i < а.
Случайные блуждания такого типа обычно называют осциллирующими. Основной задачей этой работы является исследование поведения распределения цепи Хп с ростом п. В ряде работ ( [3], [30], [34], [35]) изучались осциллирующие блуждания, с переключением (или управлением) в нуле. В частности, с помощью факторизацион-ных методов для таких блужданий в статье А.А.Боровкова [3] найдено преобразование Лапласа-Стилтьеса стационарного распределения. В остальных трех работах в основном изучались вопросы возвратности и эргодичности. Проблемы эргодичности и вероятности больших уклонений цепей более общего вида изучались в публикациях А.А.Боровкова и Д.А.Коршунова [7] - [10].
Можно рассматривать более общую схему, когда переключения между двумя последовательностями скачков происходят поочередно после достижения полуосей (6, со), (—оо,а). Простейшие случайные блуждания такого типа впервые рассматривались в статье Ю.В. Прохорова [26]. Некоторые модификации этой модели при различных предположениях на распределения скачков, а также подобные случайные процессы с независимыми приращениями изучались Д.В.Гусаком, Н.С.Братийчуком, О.И. Елей- ко (см. [12], [13], [15]- [18]). Позже В.И.Лотовым [24] для этой же схемы блуждания в весьма широких предположениях относительно исходных распределений были найдены преобразования Лапласа-Стилтьеса распределений цепи в стационарном и достационарном режимах. Аналогичные результаты для случайных процессов с независимыми приращениями были получены В.Р. Ходжибаевым (см. [33]).
В настоящей работе мы также имеем два уровня переключений (управлений), однако переключение здесь производится между тремя последовательностями скачков в зависимости от того, в какой из трех зон находится блуждающая частица. Отметим, что случайные блуждания с такой же схемой переключений рассматривались Е.В. Булинской в статье [14] для "трехточечных" случайных величин; при этом изучались вероятности, связанные с выходом рассматриваемого блуждания из полосы.
В диссертации проводятся исследования с помощью так называемого факториза-ционного метода, разработанного в статьях А.А. Боровкова [2], [4], [5], где им были найдены полные асимптотические разложения распределений граничных функционалов для случайных блужданий с одной прямолинейной границей, порожденных суммами независимых одинаково распределенных случайных величин. Как оказалось, этот метод применим для исследования граничных функционалов и в других ситуациях. На его основе впоследствии были найдены полные асимптотические разложения распределений в задаче с одной прямолинейной границей для однородных случайных процессов с независимыми приращениями (Б.А.Рогозин [28], [29]), для некоторых двумерных случайных блужданий (А.А.Боровков, Б.А.Рогозин [11]), а также для случайных блужданий, заданных на конечной цепи Маркова (Э.Л.Пресман [25]). В работах В.И. Лотова ([19] - [22]) использование факторизационного метода позволило найти полные асимптотические разложения распределений функционалов для случайных блужданий с дискретным временем в двуграничной задаче. Двуграничная задача для случайных процессов с непрерывным временем решалась В.Р.Ходжибаевым ([31], [32]) опять же при помощи факторизационной техники.
В своих общих чертах факторизационный метод состоит из нескольких этапов. На первом из них находятся факторизационные представления для двойных преобразований Лапласа - Стилтьеса над искомыми распределениями. Как правило, найденные представления являются слишком сложными для непосредственного обращения.
Обращение в явном виде возможно лишь для некоторых специальных типов блуждания (например, для скачков, распределенных по экспоненциальному закону). Поэтому на втором этапе изучаются аналитические свойства полученных представлений и проводится их.асимптотический анализ в условиях удаляющихся границ. В итоге удается выделить главные части, пригодные для дальнейшего обращения, и получить экспоненциальные оценки остатков. Эти результаты обычно получаются при весьма широких ограничениях крамеровского типа на исходные распределения. Обращение главных частей найденных асимптотических представлений по пространственной переменной не представляет трудностей. Гораздо более сложной является процедура обращения по переменной, связанной со временем. Для этих целей на третьем этапе применяются метод контурного интегрирования, модификации метода перевала, и в конечном счете находятся полные асимптотические разложения распределений изучаемых граничных функционалов.
В диссертационной работе указанная схема действий адаптирована для исследования введенных выше осциллирующих случайных блужданий.
О структуре работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, которые делятся на пункты (п. 1.1-1.6, п. 2.1-2.2, п. 3.1-3.3), заключения и списка литературы. Результаты первой главы полностью содержатся в работах [37], [45], результаты второй главы опубликованы в [38], и результаты третьей главы — в [39]. Список литературы составлен последовательно по двум алфавитам - русскому и английскому. Работы автора помещены в конце списка.
В п. 1.1 первой главы вводятся необходимые на протяжении всей работы сведения и несколько вспомогательных лемм.
В п. 1.2 -1.3 этой же главы рассматривается достационарный случай: здесь найдены представления (при разных условиях на Е[') для двойных преобразований Лапласа-Стилтьеса
И^.А) = f>" ГеХх-Р(ХпЄ(іх), W2(2,A) = fy / ex*P(XnEdx), n=0 Jb n=0 ^- W0(z,\) = V / eXxV{Xn Є dx), ReX = 0, \z\ < 1.. n=0 ^ (всюду в дальнейшем под интегралами $* t Ja и f понимаются соответственно J(-oo,a)> J[a,b] И J(b,oo) )'
Полученные представления задаются суммами рядов функций, каждая из которых находится итерациями некоторых вводимых ниже операторов. Вид этих представлений зависит от того, какую скорость сходимости функциональных рядов мы хотим иметь для значений z, близких к единице. Более простыми являются утверждения, в которых сходимость рядов не является равномерной по z (см. теорему 1.2); однако сходимость здесь ухудшается при мере приближения числа z к единице. Для получения теорем о равномерной по z сходимости в окрестности единицы дополнительно предполагается, что распределение & содержит абсолютно непрерывную компоненту и выполнено условие Крамера о существовании экспоненциальных моментов распределений скачков (теоремы 1.3 — 1.5). При этих ограничениях указанные ряды сходятся экспоненциально быстро.
П. 1.4-1.5 посвящены вопросу о нахождении преобразования Лапласа-Стилтьеса стационарного распределения. При помощи известных результатов [7] показывается существование стационарного распределения в решетчатом случае и в случае существования числа по такого, что распределение ХПо содержит ненулевую абсолютно непрерывную компоненту (теорема 1.11). Если распределения скачков блуждания сосредоточены на решетке целых чисел, то удается решить эту задачу без дополнительных условий крамеровского типа (теорема 1.12); здесь применяется метод типа Винера-Хопфа, который позволяет свести задачу к решению системы линейных уравнений. Для случайных блужданий, не сосредоточенных на решетке, задача оказалась гораздо сложнее. Как и в достационарном случае, удается лишь представить искомое преобразование в виде суммы сходящегося ряда функций, вычисляемых с помощью итераций некоторых операторов, связанных с компонентами факторизации (теоремы 1.8 — 1.10). Здесь предполагается, что распределения скачков случайного блуждания имеют абсолютно непрерывные компоненты.
Сравнение полученных результатов (теоремы 1.3 — 1.5,1.8 —1.10) с аналогичными представлениями в задаче о моменте первого выхода блуждания из отрезка (см. [19], [20] [23]) показывают, что представления искомых преобразований Лапласа-Стилтьеса в виде сумм рядов функций, являющихся итерациями некоторых факторизационных операторов, типично для задач с двумя границами.
В качестве иллюстрации в п. 1.6 проведены вычисления преобразования Лапласа-
Стилтьеса стационарного распределения цепи в случае, когда скачки {} распределены по симметричному показательному закону с параметром ао, P(f{ < —х) = fce-*1*, Р(^2) > х) = Р2е-агх, х > О, 0 < pi < 1, і = 1,2.
Вторая глава посвящена изучению асимптотики стационарного распределения цепи при 6—а —> оо, когда скачки блуждания имеют ненулевые абсолютно непрерывные компоненты. Найденные ранее в первой главе факторизационные представления для преобразования Лапласа-Стилтьеса стационарного распределения (теоремы 1.8—1.10) служат основой для асимптотического анализа в ситуации, когда расстояние между регулирующими границами неограниченно увеличивается. В итоге выделяется главная часть и устанавливается порядок малости остатка в зависимости от количества моментов у случайных величин {n }J=n* = 0,1,2. Обнаруживается, что полученная главная часть асимптотики преобразования Лапласа-Стилтьеса весьма просто выражается через характеристические функции случайных величин, широко используемых в теории случайных блужданий, таких, как супремум траектории, величина перескока через бесконечно удаленный барьер, лестничные высоты. По этой причине процедура обращения не составляет труда. Поскольку в этой главе исследуется только стационарный случай, то обращения по времени (т.е. контурного интегрирования) не требуется. В п. 2.1 приведены формулировки результатов, а в п. 2.2 — их доказательства. Отметим, что результаты теоремы 2.1 и соотношения (48), (49) теоремы 2.2 удалось получить при моментных ограничениях, без условия Крамера на "хвосты" распределений.
Целью третьей главы является получение полных асимптотических разложений распределения Хп при п —* оо, где одновременно о = а(п) -* —оо, 6 = Ь(п) -+ оо. Как уже было сказано, исследование проводится в соответствии с общей схемой асимптотического анализа в граничных задачах для случайных блужданий, предложенной А.А. Боровковым (см. [2]). Первый этап этого метода — нахождение факторизационных представлений двойных преобразований Лапласа-Стилтьеса — выполнен в первой главе. Третья глава посвящена соответственно второму и третьему этапам. Второй этап состоит в изучении аналитических свойств имеющихся представлений и выделении у них главных частей асимптотики при 6-*ооиа—>—оо (теорема 3.1 и соотношения (103), (104), (105)). Это делается в п. 3.1. Главные части найденных асимптотических представлений для двойных преобразований легко обращаются по пространственной переменной. По другой переменной, связанной со временем, обращение происходит значительно труднее. Это составляет третий этап исследований и содержится в п. 3.2. Здесь используется контурное интегрирование и применяются модификации метода перевала, разработанные в [2], а также ряд технических приемов из [19], [20]. В результате находится некоторое предварительное разложение по степеням п (теорема 3.2), доказанное при весьма общих ограничениях на рост |а|, Ь и п. Оно не может служить окончательным результатом, поскольку коэффициенты разложения в нем также зависят от п. Если же конкретизировать зависимость чисел а и Ъ от п, то предварительное разложение дает возможность для нахождения полных асимптотических разложений вероятностей. В качестве следствия в п. 3.3 приводится теорема 3.3, где указан алгоритм нахождения полных асимптотических разложений распределения Хп в случае, когда числа |а| и Ъ растут пропорционально у/п, и выписываются в явном виде первые члены этих разложений.
Всюду в третьей главе предполагается, что Щ[ — 0, функции распределения случайных величин {„,}%Llti = 0,1,2 имеют ненулевые абсолютно непрерывные компоненты и выполнено условие Крамера на существование двусторонних экспоненциальных моментов для распределений скачков блуждания.
В связи с тем, что в последней главе формулировки теорем об асимптотических разложениях вероятностей требуют большого числа новых обозначений, они приводятся в конце соответствующих параграфов после подробного описания всех шагов асимптотического анализа.
Основные результаты диссертации докладывались на заседаниях объединенного семинара по теории вероятностей и математической статистики кафедры теории вероятностей и математической статистики.НГУ и лаборатории того же названия Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН (Новосибирск), на XXVI конференции молодых ученых "Ломоносов 2004"(МГУ), на V Международной Ферганской конференции "Предельные теоремы теории вероятностей и их приложения"(2005).
Автор выражает глубокую признательность научному руководителю профессору Владимиру Ивановичу Лотову за помощь в работе и постоянное внимание.
Предварительные сведения о факторизации и вспомогательные леммы
Полученные представления задаются суммами рядов функций, каждая из которых находится итерациями некоторых вводимых ниже операторов. Вид этих представлений зависит от того, какую скорость сходимости функциональных рядов мы хотим иметь для значений z, близких к единице. Более простыми являются утверждения, в которых сходимость рядов не является равномерной по z (см. теорему 1.2); однако сходимость здесь ухудшается при мере приближения числа z к единице. Для получения теорем о равномерной по z сходимости в окрестности единицы дополнительно предполагается, что распределение & содержит абсолютно непрерывную компоненту и выполнено условие Крамера о существовании экспоненциальных моментов распределений скачков (теоремы 1.3 — 1.5). При этих ограничениях указанные ряды сходятся экспоненциально быстро.
П. 1.4-1.5 посвящены вопросу о нахождении преобразования Лапласа-Стилтьеса стационарного распределения. При помощи известных результатов [7] показывается существование стационарного распределения в решетчатом случае и в случае существования числа по такого, что распределение ХПо содержит ненулевую абсолютно непрерывную компоненту (теорема 1.11). Если распределения скачков блуждания сосредоточены на решетке целых чисел, то удается решить эту задачу без дополнительных условий крамеровского типа (теорема 1.12); здесь применяется метод типа Винера-Хопфа, который позволяет свести задачу к решению системы линейных уравнений. Для случайных блужданий, не сосредоточенных на решетке, задача оказалась гораздо сложнее. Как и в достационарном случае, удается лишь представить искомое преобразование в виде суммы сходящегося ряда функций, вычисляемых с помощью итераций некоторых операторов, связанных с компонентами факторизации (теоремы 1.8 — 1.10). Здесь предполагается, что распределения скачков случайного блуждания имеют абсолютно непрерывные компоненты.
Сравнение полученных результатов (теоремы 1.3 — 1.5,1.8 —1.10) с аналогичными представлениями в задаче о моменте первого выхода блуждания из отрезка (см. [19], [20] [23]) показывают, что представления искомых преобразований Лапласа-Стилтьеса в виде сумм рядов функций, являющихся итерациями некоторых факторизационных операторов, типично для задач с двумя границами.
В качестве иллюстрации в п. 1.6 проведены вычисления преобразования Лапласа Стилтьеса стационарного распределения цепи в случае, когда скачки {} распределены по симметричному показательному закону с параметром ао, P(f{ —х) = fce- 1 , Р( 2) х) = Р2е-агх, х О, 0 pi 1, і = 1,2.
Вторая глава посвящена изучению асимптотики стационарного распределения цепи при 6—а — оо, когда скачки блуждания имеют ненулевые абсолютно непрерывные компоненты. Найденные ранее в первой главе факторизационные представления для преобразования Лапласа-Стилтьеса стационарного распределения (теоремы 1.8—1.10) служат основой для асимптотического анализа в ситуации, когда расстояние между регулирующими границами неограниченно увеличивается. В итоге выделяется главная часть и устанавливается порядок малости остатка в зависимости от количества моментов у случайных величин {n }J=n = 0,1,2. Обнаруживается, что полученная главная часть асимптотики преобразования Лапласа-Стилтьеса весьма просто выражается через характеристические функции случайных величин, широко используемых в теории случайных блужданий, таких, как супремум траектории, величина перескока через бесконечно удаленный барьер, лестничные высоты. По этой причине процедура обращения не составляет труда. Поскольку в этой главе исследуется только стационарный случай, то обращения по времени (т.е. контурного интегрирования) не требуется. В п. 2.1 приведены формулировки результатов, а в п. 2.2 — их доказательства. Отметим, что результаты теоремы 2.1 и соотношения (48), (49) теоремы 2.2 удалось получить при моментных ограничениях, без условия Крамера на "хвосты" распределений.
Целью третьей главы является получение полных асимптотических разложений распределения Хп при п — оо, где одновременно о = а(п) - —оо, 6 = Ь(п) -+ оо. Как уже было сказано, исследование проводится в соответствии с общей схемой асимптотического анализа в граничных задачах для случайных блужданий, предложенной А.А. Боровковым (см. [2]). Первый этап этого метода — нахождение факторизационных представлений двойных преобразований Лапласа-Стилтьеса — выполнен в первой главе. Третья глава посвящена соответственно второму и третьему этапам. Второй этап состоит в изучении аналитических свойств имеющихся представлений и выделении у них главных частей асимптотики при 6- ооиа (теорема 3.1 и соотношения (103), (104), (105)). Это делается в п. 3.1. Главные части найденных асимптотических представлений для двойных преобразований легко обращаются по пространственной переменной. По другой переменной, связанной со временем, обращение происходит значительно труднее. Это составляет третий этап исследований и содержится в п. 3.2. Здесь используется контурное интегрирование и применяются модификации метода перевала, разработанные в [2], а также ряд технических приемов из [19], [20]. В результате находится некоторое предварительное разложение по степеням п (теорема 3.2), доказанное при весьма общих ограничениях на рост а, Ь и п. Оно не может служить окончательным результатом, поскольку коэффициенты разложения в нем также зависят от п. Если же конкретизировать зависимость чисел а и Ъ от п, то предварительное разложение дает возможность для нахождения полных асимптотических разложений вероятностей. В качестве следствия в п. 3.3 приводится теорема 3.3, где указан алгоритм нахождения полных асимптотических разложений распределения Хп в случае, когда числа а и Ъ растут пропорционально у/п, и выписываются в явном виде первые члены этих разложений.
Всюду в третьей главе предполагается, что Щ[ — 0, функции распределения случайных величин имеют ненулевые абсолютно непрерывные компоненты и выполнено условие Крамера на существование двусторонних экспоненциальных моментов для распределений скачков блуждания.
В связи с тем, что в последней главе формулировки теорем об асимптотических разложениях вероятностей требуют большого числа новых обозначений, они приводятся в конце соответствующих параграфов после подробного описания всех шагов асимптотического анализа.
Основные результаты диссертации докладывались на заседаниях объединенного семинара по теории вероятностей и математической статистики кафедры теории вероятностей и математической статистики.НГУ и лаборатории того же названия Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН (Новосибирск), на XXVI конференции молодых ученых "Ломоносов 2004"(МГУ), на V Международной Ферганской конференции "Предельные теоремы теории вероятностей и их приложения"(2005).
Формулировки результатов в стационарном случае
При помощи известных результатов [7] показывается существование стационарного распределения в решетчатом случае и в случае существования числа по такого, что распределение ХПо содержит ненулевую абсолютно непрерывную компоненту (теорема 1.11). Если распределения скачков блуждания сосредоточены на решетке целых чисел, то удается решить эту задачу без дополнительных условий крамеровского типа (теорема 1.12); здесь применяется метод типа Винера-Хопфа, который позволяет свести задачу к решению системы линейных уравнений. Для случайных блужданий, не сосредоточенных на решетке, задача оказалась гораздо сложнее. Как и в достационарном случае, удается лишь представить искомое преобразование в виде суммы сходящегося ряда функций, вычисляемых с помощью итераций некоторых операторов, связанных с компонентами факторизации (теоремы 1.8 — 1.10). Здесь предполагается, что распределения скачков случайного блуждания имеют абсолютно непрерывные компоненты.
Сравнение полученных результатов (теоремы 1.3 — 1.5,1.8 —1.10) с аналогичными представлениями в задаче о моменте первого выхода блуждания из отрезка (см. [19], [20] [23]) показывают, что представления искомых преобразований Лапласа-Стилтьеса в виде сумм рядов функций, являющихся итерациями некоторых факторизационных операторов, типично для задач с двумя границами.
В качестве иллюстрации в п. 1.6 проведены вычисления преобразования Лапласа-Стилтьеса стационарного распределения цепи в случае, когда скачки {} распределены по симметричному показательному закону с параметром ао, P(f{ —х) = fce- 1 , Р( 2) х) = Р2е-агх, х О, 0 pi 1, і = 1,2.
Вторая глава посвящена изучению асимптотики стационарного распределения цепи при 6—а — оо, когда скачки блуждания имеют ненулевые абсолютно непрерывные компоненты. Найденные ранее в первой главе факторизационные представления для преобразования Лапласа-Стилтьеса стационарного распределения (теоремы 1.8—1.10) служат основой для асимптотического анализа в ситуации, когда расстояние между регулирующими границами неограниченно увеличивается. В итоге выделяется главная часть и устанавливается порядок малости остатка в зависимости от количества моментов у случайных величин {n }J=n = 0,1,2. Обнаруживается, что полученная главная часть асимптотики преобразования Лапласа-Стилтьеса весьма просто выражается через характеристические функции случайных величин, широко используемых в теории случайных блужданий, таких, как супремум траектории, величина перескока через бесконечно удаленный барьер, лестничные высоты. По этой причине процедура обращения не составляет труда. Поскольку в этой главе исследуется только стационарный случай, то обращения по времени (т.е. контурного интегрирования) не требуется. В п. 2.1 приведены формулировки результатов, а в п. 2.2 — их доказательства. Отметим, что результаты теоремы 2.1 и соотношения (48), (49) теоремы 2.2 удалось получить при моментных ограничениях, без условия Крамера на "хвосты" распределений.
Целью третьей главы является получение полных асимптотических разложений распределения Хп при п — оо, где одновременно о = а(п) - —оо, 6 = Ь(п) -+ оо. Как уже было сказано, исследование проводится в соответствии с общей схемой асимптотического анализа в граничных задачах для случайных блужданий, предложенной А.А. Боровковым (см. [2]). Первый этап этого метода — нахождение факторизационных представлений двойных преобразований Лапласа-Стилтьеса — выполнен в первой главе. Третья глава посвящена соответственно второму и третьему этапам. Второй этап состоит в изучении аналитических свойств имеющихся представлений и выделении у них главных частей асимптотики при 6- ооиа— (теорема 3.1 и соотношения (103), (104), (105)). Это делается в п. 3.1. Главные части найденных асимптотических представлений для двойных преобразований легко обращаются по пространственной переменной. По другой переменной, связанной со временем, обращение происходит значительно труднее. Это составляет третий этап исследований и содержится в п. 3.2. Здесь используется контурное интегрирование и применяются модификации метода перевала, разработанные в [2], а также ряд технических приемов из [19], [20]. В результате находится некоторое предварительное разложение по степеням п (теорема 3.2), доказанное при весьма общих ограничениях на рост а, Ь и п. Оно не может служить окончательным результатом, поскольку коэффициенты разложения в нем также зависят от п. Если же конкретизировать зависимость чисел а и Ъ от п, то предварительное разложение дает возможность для нахождения полных асимптотических разложений вероятностей. В качестве следствия в п. 3.3 приводится теорема 3.3, где указан алгоритм нахождения полных асимптотических разложений распределения Хп в случае, когда числа а и Ъ растут пропорционально у/п, и выписываются в явном виде первые члены этих разложений.
Всюду в третьей главе предполагается, что Щ[ — 0, функции распределения случайных величин {„,}%Llti = 0,1,2 имеют ненулевые абсолютно непрерывные компоненты и выполнено условие Крамера на существование двусторонних экспоненциальных моментов для распределений скачков блуждания.
В связи с тем, что в последней главе формулировки теорем об асимптотических разложениях вероятностей требуют большого числа новых обозначений, они приводятся в конце соответствующих параграфов после подробного описания всех шагов асимптотического анализа.
Основные результаты диссертации докладывались на заседаниях объединенного семинара по теории вероятностей и математической статистики кафедры теории вероятностей и математической статистики.НГУ и лаборатории того же названия Института математики им. С.Л.Соболева СО РАН (Новосибирск), на XXVI конференции молодых ученых "Ломоносов 2004"(МГУ), на V Международной Ферганской конференции "Предельные теоремы теории вероятностей и их приложения"(2005).
Асимптотический анализ производящих функций
Производя рекуррентные подстановки в (26), можно получить выражение, аналогичное (18). Далее, возможность представления (1—zfx(X))W\{z, А) и (1—zJ2{X))W2{z, А) в виде рядов, сходящихся равномерно по z Є Zj, и справедливость утверждения теоремы 1.1 в некоторой полосе —д ReX Єд обосновываются так же, как и в доказательстве теоремы 1.3, лишь с заменой функции WQ(Z, А) на г (г, А) и оператора В на D. Неизвестный коэффициент WQ(Z, Х+) МОЖНО найти, подставив A = А+(z) в (9), где (1 - zAiX iz W X iz)) и (1 - zf2(Xi)(z)))W2(z,Xi)(z)) находятся из представлений, о которых сказано выше. Теорема 1.4 доказана.
Доказательство теоремы 1.5 аналогично приведенному выше. 1.4 Формулировки результатов в стационарном случае. Обозначим Wn(A) = J еХхТ?(Хп 6 dx). Для нашей схемы блужданий имеет место следующее утверждение. Теорема 1.6. Пусть существует число щ такое, что функция распределения Хпо содержит ненулевую абсолютно непрерывную компоненту. Тогда существует стационарное распределение F{А) = 1іт„_юо Р(ХП Є А), и для любого начального распределения XQ Если дополнительно выполнено условие (Лг), то имеет место геометрическая скорость сходимости где с оо,0 р 1- некоторые константы. Замечание 1. Функция распределения ХПо содержит при некотором щ ненулевую абсолютно непрерывную компоненту, если такая компонента существует у функции распределения хотя бы одной из последовательностей Sn , і = 0,1,2, и вероятность попадания цепи Хп в интервал, где суммируются элементы этой последовательности, больше нуля. Пусть при ReX = О Заметим, что в случае существования стационарного распределения теоремы 1.3-1.5 позволяют находить определенные выше функции с помощью известной тауберо-вой теоремы: В силу сложности нахождения функций Wi(z, А) мы приведем также явные представления для Wi(X), і = 0,1,2, вывод которых основан на аналогичных рассуждениях, что и для достационарного случая, но является более простым в связи с отсутствием переменной z и требования крамеровского условия (А2). Теорема 1.7. Имеет место следующее тождество Далее мы будем решать это уравнение относительно неизвестных функций И -(А). Пусть if(A)-=rf(l, A), j = 0,1,2.. Факторизационные компоненты г"(Л), г А) равны нулю при А = 0; это дает возможность ввести в рассмотрение функции при ReX = 0 и произвольном 7 0- В том случае, когда А = 0 является нулем для гй(Х) или Гц"(А) (напомним, что это верно для обеих функций при Щ[ — 0 и только для одной из них при Ех 5 0), введем дополнительно при ReX = 0 и произвольном 7 0 функции Из [1] известно, что функции (и +(\)) , г = 0,2, представимы в виде ПЛС функций ограниченной вариации (для этого достаточно выполнения (Ах) ъ условия Щ[ 2 оо, если Щх = 0, и Ef! \ со, если Ef{ ф 0), все изменение которых сосредоточено на неотрицательной полуоси. Если помимо прочего выполнено условие (А2), то существует Єхо 0 такое, что эти функции аналитичны в области ReX Єхо и непрерывны на границе. Аналогичными свойствами обладают функции (wf(A)) , і = 0,1, с той лишь разницей, что они являются ПЛС функций ограниченной вариации с изменением на неположительной полуоси и при выполнении условия (Лг) аналитичны в области ReX -ею- Каждый раз, когда мы говорим о функциях (Ц (А)) , то негласно предполагаем их существование.
Асимптотические разложения в случае "нормальных" уклонений
Значения И О) и И (0) находятся из (35) и аналогичного соотношения для (1 — /г(А))И (А); эти соотношения нужно сначала поделить на А, а затем подставить А = 0. Тем самым получаем уравнение, связывающее числа Wo(7) и 0(-7)- Вторым необходимым уравнением является условие нормировки
В этом соотношении учавствует величина 1 (0). Ее можно найти из тождества которое остается верным и при А = 0 в силу (36). Теорема 1.3 доказана. Доказательства теорем 1.9, 1.10 проводятся аналогично. Доказательство теоремы 1.11. Для доказательства будем использовать теорему 1.13 из [6], [7], приведенную в доказательстве теоремы 1.6. Условие 1 этой теоремы выполняется при тех же N и V, что и в теореме 1.6. Так как при любом начальном положении х вероятность попадания нашей цепи в множество V равна единице, то в силу [7] можно выбросить множество состояний В0 такое, что мррШ(адеВо)] =о. Эргодическая проблема после выбрасывания такого множества Во по сути остается неизменной, то есть можно без ограничения общности заменить все множество целых чисел на него же само без Во. Пусть XQ Є V. Введем меру и следующим образом: для любого В Є В. В силу апериодичности и сделанных выше замечаний для любого х Є V существует по : Т?(ХПо(х) = х0) 0. Условие 2 из теоремы 1.13 будет выполнено, если положить р = minxgv Р( п0(ж) = хо)- Теорема 1.11 доказана. Доказательство замечания 2. Зафиксируем некоторые состояния b + h% е\ Ъ + h и a + h е2 о4-Л2 из множества целых чисел Z после выбрасывания множества Во, где Во определено выше в доказательстве теоремы 1.11. Существование целых решений а; и у уравнения х о + У hi = 0 обеспечивает возвращение цепи Х„(еі) в выбранное состояние е\ за х + у шагов с ненулевой вероятностью, т.е. Р(Хх+у(еі) = Єї) 0. Одним из решений является х = —Лі, у — h , то есть возможно возвращение за fifr. — h\ число шагов. Возможность попадания цепи Хп(ег) в состояние е2 за — / +Л2 число шагов устанавливается аналогично. Остается добавить, что у всех состояний нашей цепи период один и тот же. Замечание 2 доказано. Доказательство теоремы 1.12. После замены t = еА, ReX = 0 имеем: Из сходимости к стационарному распределению по теореме 1.11 имеем Заметим, что A(t)Wi(t) как произведение рядов тоже представимо в виде степенного ряда, у которого показатель степени переменной t меняется от Ь+1 до +оо. Аналогично функция C(t)W2(t) представима в виде ряда по степеням t от —со до а. Введенное ранее обозначение оператора "проектирования" в дискретном случае бует пониматься в следующем смысле: a0 + a2 1-у. ) Доказательство третьего и первого утверждений для к = 1 можно найти в [27], для остальных значений к оно выводится по индукции. Справедливость второго утверждения очевидна. Лемма 2.10. Если Щ( \к оо для некоторого целого к 2 и для і = 0,1,2, то ЦХ\к 1 оо. Доказательство. Пусть Yn - возвратная по Харрису (она будет таковой, если выполнены условия теоремы 1.13 (см. [7])) цепь Маркова в R с единственной стационарной мерой 7r(dx); t(x) — некоторая неотрицательная измеримая функция и Р(ж, Л) = P(Y"i Є A\YQ = х). Мы воспользуемся следующим результатом ( [36]). Теорема 2.3. ( [36]) Для того, чтобы выполнялось /R t(x)ir(dx) со, достаточно существования множества А такого, что п(А) 0, fA t(x)7c(dx) оо и некоторой измеримой функции д(у) t(y), у Є Ас, такой, что Дальнейшие наши действия будут состоять в следующем. Мы покажем, что последние слагаемые в правых частях (51) соответствуют остаточным членам в асимптотических представлениях для вероятностей (46), (47). Таким образом, главные члены искомой асимптотики будут определяться первыми слагаемыми в правых частях (51). Как функции переменной А эти выражения легко обращаются, но в них присутствуют константы К+ и К— Алгоритм их нахождения предложен в доказательстве теоремы 1.8, однако он сложен и не приводит к компактным выражениям. С другой стороны, для наших целей достаточно будет ограничиться нахождением асимптотических представлений для величин К± при b — а -» со, что и будет сделано ниже.