Введение к работе
Актуальность темы. Асимптотический анализ распределения сумм іучайньїх величин является одним из центральных задач теории роятностей. Это объясняется тем , что многие случайные величины, ;пользуемые в приложениях представимы в виде сумм случайных :личин. В частности , некоторые классы статистик , используемые для ютроения критериев проверки статистических гипотез являются 'ммами функций от тех или иных характеристик выборки. В этих іучаях, как правило, слагаемые Fie являются независимыми случайными :личинами и не входят в класс так называемых слабо зависимых [учайных величин, которые к настоящему времени достаточно хорошо іученьї. Важным классом таких судім являются суммы функций от іейсингов (т.е. разностей соседних членов вариационного ряда іблюдений), исследованию асимптотического поведения распределения >торых посвящены работы ряда специалистов В.Диксон.Н. Гринвул, Дарлинг,Б.Кимбал ,Ле Кам, Р.Пайк, Р .Рао,Л.Холст , П. Янсен, М. гревербик , Д.М.Чибисов и др..
Статистики представимые в виде сумм функций от спейсингов пользуются, в частности, для построения критериев проверки гипотезы неизвестном распределении. Следует отметить, что при проверке тотезы о неизвестном распределении без ограничения общности эжно предположить, что основная проверяемая гипотеза предполагает івномерность (0,1) неизвестного распределения. Кроме того, в ряде дач исследование распределения статистик от произвольных іейсингов сводится к рассмотрению соответствующих статистик от тномерных спейсингов. Случайные величины являющиеся суммами от івномерньїх спейсингов применяются также в задачах о покрытии .
Обзору результатов и методов асимптотического анали: распределения статистик, представимых в виде сумм функций с спейсингов ( в том числе от равномерных спейсингов) посвящен работы Р.Пайка и П.Дехвелиса. Как следует из этих обзоров последующих публикаций имеющиеся результаты по предельны! теоремам для сумм функций от равномерных спейсингов либо относите к специальным случаям либо носят незаконченный характер. Например оптимальное условие асимптотической нормальности получено в 199 году в работе Ж. Бирлант „ П.Янсен и М.Веревербик только дл симметрических статистик, т.е. когда рассматриваются сумма одних і тех же функций от равномерных спейсингов (см. ниже точної определение симметрических статистик ), оценка остаточного члена і центральной предельной теореме имеет вид 0( л"1'2),где п объе\ выборки, вероятности больших уклонений оказались неизученными хотя необходимость в них несомненна в связи, например, с необходимостью анализа асимптотических относительных свойсте соответствующих статистических критериев.
Таким образом , для сумм произвольных измеримых функций от равномерных спейсингов являлось актуальным
выявление оптимальных условий асимптотической нормальности,
получение оценки и асимптотического разложения остаточного члена в центральной предельной теореме,
исследование вероятностей больших уклонений.
Цель работы. Исследовать выше перечисленные нерешенные задачи. В частности получить не улучшаемые оценки остаточного члена в центральной предельной теореме и исследовать вероятности больших уклонений в различных зонах.
Методика исследования. Используется различные вероятностные методы и методы анализа. В частности, методы характеристических функций, урезания, сопряженных случайных величин, метод перевала.
Научная новизна. Все основные результаты являются новыми. Наиболее существенными результатами являются
оптимальное условие типа условия Линдеберга асимптотической нормальности ,
не улучшаемые, с точностью до абсолютного постоянного, оценки остаточного члена в центральном предельной теореме,
теоремы о вероятностях больших уклонений в зоне нормальной сходимости и в зоне Крамера - Петрова.
Теоретическая и праістнческая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер. Они могут быть использованы в различных задачах математической статистики , в задачах о покрытии и др..
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференциях по теории вероятностей и математической статистике посвященной 75- летию ( г. Фергана , 1995 г.) и 80- летию 'г.Ташкент,2000 г.) академика С.Х. Сираждинова, 5 международной конференции « Компьютерный анализ данных и моделирование» , г. vIhhck, 1998 г., 22 -ой Европейской конференции статистиков и 7 -ой Зильнюской конференции по теории вероятностен и математической ггатистике ,г.Вильнюс, 1998 г. На семинарах по теории вероятностен и іатематической статистике в Национальном Университете Узбекистана і в.Институте Математики АН Р Уз.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в шботах [ 1 - 6 ].
Структура и объем работы. Диссертаця состоит из введения и пят параграфов. Список литературы содержит 44 наименования. Объс диссертации 83 машинописных страниц.
