Введение к работе
Актуальность темы.
Применение математических методов в последние годы в естественно—научных и приладних исследованиях характеризуется тем фактом, что модели, основызахщиеся ;:а ростейших предположениях, заменяются моделями, имеющими более реальное прибли-сение.
Постольку любая реальная система не может рассматриваться как изолированная и одчиненная строго детерминированным законам, то-более адекватными становятся сто-астичесхие модели. Этот фахт отражается при моделировании реальных динамических истем ( физических, экономических, социальных, биологических и т.д.) при помощи ведения случайных воздействии. Эффективные методы для такого моделирования пре-оставдяет теория стохастических дифференциальных уравнений , основы которой были аложены Н.Н.Боголюбовым, И.И.Гнхманом и К.Ито. Уровень современной теории сто-астичесхих дифференциальных уравнений определяется вкладом многих авторов и с до-таточной полнотой, в контексте направлений исследований данной работы, отражен в ниге И.И.Гихмана и А.В.Скорохода "Стохастические дифференциальные уравнения и их гриложения" (Киев: Наук, думка, 1982).
Примерами областей применимости стохастического анализа могут служить теория юлимеров (де Жен П. " Идеи скейлинга в физике полимеров". - М.: Мир, 1982. , Воль-енштейн М.В." Конфигурационная статистика полимерных цепей". - М.: Изд-во АН 2ССР, 1959., Вольхенштейя М.В. Биофивиха. - М.: 1981. , Займай Дж. "Модели беспо->ядха". - М.: Мир, 1982. и др.) теория электромагнитных случайных полей (Кодачевсхий і.Н. "Магнитные шумы*. - М.: Наука, 1971), турбулентная флуктуация (Стратонович -".П. "Избранные вопросы теории флуктуации в радиотехнике". - М.: Сов. радио, 1961), юдели рептации (Альтшулер Б., Ли П. "Раоупорядоченные электронные системы" // Фишка за рубежом. - Сер. А. (Исследования). - М.: Мир, 1990), теории связи (Снайдер Д. Метод уравнения состояния для непрерывной оценки в применении к теории связи*. -Й.: Энергия, 1973) и др.
Одной из основных задач данного исследования является рассмотрение нового класса >адач, связанных с обобщением процесса вращательной диффузии в конечномерном про-ггранстве. Впервые задачи такого типа, как отмечено в работе Хида Т. "Броуновское щижение". - М.: Наука, 1987, были рассмотрены Иосида. Затем Г. Маххин в книге 'Стохастические интегралы*. -М.: Мир, 1972, построил броуновское движение на группе Ни.
Задачи такого типа тесно связаны с диффузией с постоянной скоростью. По-видимому, шервые проблемой диффузии с постоянной скоростью начал заниматься М. Кац ( " Не-полько вероятностных задач физики и математики". - М.: Наука, 1967).
Модели диффузии с постоянной скоростью можно свести к более широкому классу оа-цая - вращательной диффузии. Пусть имеется круг (сфера), на которой осуществляется случайное движение (частицы). Т.е. движехние происходит на сферическом многообразии. Ках выяснилось в исследовании, проведенном в работах Дубко В.А. (см., например, "Вопросы теории и применения стохастичесхих дифференциальных уравнений". -Владивосток: ДВО АН СССР, 1989), в которых было обосновано существование первых интегралов для стохастичесхих дифференциальных уравнений Ито и при исследовании их свойств, можно построить стохастические уравнения в R1 и R3, для которых круг и сфера, соответственно, будут устойчивыми многообразиями. Данный результат означает, что процесс, начавшийся либо внутри, либо вне этого многообразия, со временем попадая на него, остается там бесконечно долго.
При исследовании случайных процессов конечной целью считалось построение ура пения для определения плотности переходной вероятности отого процесса (а иногда нахождение его точного решения), построение корреляционной функции или нахождеш моментов (возможно н в аналитическом виде ). Однако теория стохастических дифф ренциадьных уравнений позволяет находить решения некоторых видов стохастически дифференциальных уравнений в аналитическом виде. Особенностью последних являете то, что в их решения входят функционалы от случайных возмущений.
Такая возможность появляется, как показано в главе 1, при наличии сохраняющих! функционалов на любой реализации случайного процесса - первых интегралов Дубхо.
Вопросы о существовании устойчивых многообразий для стохастических уравнен)! Ито исследовались в работах, например, Белопольской Я.И. "Устойчивые интегралы» многообразия стохастических дифференциальных уравнений" // IX Международная toi ференция по нелинейным колебаниям (тезисы докладов). — Киев : Ии-т математик] 1981, Денисовой 11.10. "О достижимости и устойчивости инвариантного множества а стены стохастических дифференциальных уравнений" // Укр. мат. жури. - 1992. - 4< N4. Теория первых интегралов Дубко В.А.( * Первый интеграл системы стохастически дифференциальных уравнений", 1978) позволила исследовать этот вопрос практически рамках теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Было установлено, что нр определенных условиях уравнение типа Ланжевена обладает первым интегралом.
Другой класс задач, рассмотренных нами в работе, связан с возможностью диффузі онной аппроксимации компонент решения исходной системы стохастических днффереї: циальных уравнений. Не существует универсальных методов исследования проблемы tu прохеимацик. Подтверждением этому слухікт обилие работ и монографий, посвящении данному вопросу . Кроме того, много работ посвопцены исследованию этой проблемы дл стохастических дифференциальных уравнений с применением различных методов пол\ чения аппроксимирующего, в каком-то смысле, решения. Подтверждением втому слух:а' и наши результаты.
Цель работы.
Исследование возможностей нахождения точных решений стохастических дифферси циальных уравнений Ито, описывающих явление броуновской диффузии в представлені! Ланжевена с ортогональным воздействием. Построение стохастических уравнений, опи сывающнх динамику цепи конечной длины с бесконечным числом звеньев, поворот К&ЖДОР из которых определяется только направлением предыдущего в смысле слабой сходимося процесса диффузии для систем с ортогональным случайными воздействиями в иростраи стве координат.
Научная новизна.
-
Для хлассанеллнейных стохастических дифференциальных уравнений, описываю щих динамику броуновского движения при ортогональных случайных воздействиях, по лучено аналитическое решение. Построен полный класс стохастических уравнений Лан жевела с ортогональными воздействиями в It". Показана возможность существование первых интегралов для стохастических систем со случайными коэффициентами.
-
На основе метода характеристических функций доказана предельная теорема о( аналитическом представлении медленной составляющей решения для одного класса сто хаотических дифференциальных уравнений Ланжевена с ортогональными воздействиями явлпошегосл диффузионной аппроксимацией для положения броуновской частицы юо ире
мени.
-
Построены явные аналитичесхие представления для моментов для явления поворотной диффузии с пуассоновсхини перехлючениямя и изменения по оахону распределения винеровсхого процесса угла поворота по отношению х исходному при этом переключении.
-
На основе метода характеристических фунхций построено уравнение для цепи конечной длины с бесюнечным числом звеньев, позволяющее перейти х нахождению плотности ансамбля таких цепей для любого момента времени.
Методика исследования.
-
Используется возможность перехода к различным представлениям описания стоха-стичесхой динамиїи.
-
Теория первых интегралов уравнений Ито.
-
Основным моментом при дохазательстве предельных теорем является установление слабой сходимости решения уравнения х нехоторому процессу, подчиненному собственной системе стохастичесхих дифференциальных уравнений.
-
Элементы алгебры.
Аппробация работы.
Основные результаты работы докладывались на семинарах по теории вероятностей и математической статистихе Института математики НАН Уіраиин (рух-ли: академик НАНУ Королюк B.C., проф. Турбин А.Ф., 1997 - 1998), на научном семинаре кафедры уравнений математической физики Киевского государственного университета им. Т.Г.Шевчеико (рук. проф. Гончаренко В.В., 1997), на научных конференциях аспирантов и преподавателей Биробиджанского госпединститута (1995, 1996), Амурского госуниверситета (1994), на Третьих Боголюбовсхих чтениях (Киев, 1997), на международной конференции "Современные проблемы математики и механики", посвященной 175-летию П.Л.Чебышева (МГУ, 1996), на международном симпозиуме "Циклические процессы в природе и обществе" (Ставрополь, 1994).
Объем и структура работы.
