Введение к работе
-3-
Актуальность проблемы. Важность изучения и создания систем, связанных с проблемой приближения «-мерных функций, следует из необходимости исследования многих естественных явлений. Решение задач технического прогресса способствовало развитию теории приближения функций, берущей начало в работах П.Л. Чебышева. С появлением ЭВМ проблема исследования эффективных методов приближения функций стала одной из наиболее интенсивно разрабатываемых, поскольку ЭВМ и специфика исследуемых явлений предъявляют определенные требования к методам. Тесно взаимосвязаны приближения «-мерных функций с задачами математической физики, проектирования поверхностей с заданными геометрическими свойствами и некоторыми алгоритмами систем обработки информации в реальном времени. Поэтому помимо теоретического интереса исследование проблемы приближения функций актуально для решения практических задач.
Круг вопросов приближения «-мерных функций и автоматизации решения задач математической физики относится к одному из наи.менее изученных в алгоритмизации. Объективная причина - сложность самой проблемы. Большинство имеющихся программ решения задач математической физики, как правило, освещают достаточно узкую проблему, поэтому создание программных средств, настраивающихся на структуру оператора, например дифференциального, вполне закономерно.
В алгоритмах построения «-мерных приближений п является степенью числа операций, поэтому алгоритмические вопросы являются главными вместе с использованием все более мощных компьютеров для решения таких задач. Эффективные методы аппроксимаций многомерных функций можно построить с помощью кусочных приближений. Однако формальные результаты построения моделей многомерных приближений не отвечают на многие прикладные вопросы. Фактор размерности задачи является наиболее сложным препятствием решения многомерных задач, и становятся наиболее важными алгоритмические решения всех этапов численного моделирования. Разработка методов приближения функций в данной работе направлена на построение эффективных алгоритмов и программ решения многомерных задач.
Целью диссертационной работы является построение методов, алгоритмов и программ кусочных приближений многомерных функций с заданными свойствами, необходимыми для решения задач построения п-мерньгх поверхностей и создания систем математического моделирования (СММ).
Поставленная цель достигается решением следующих задач:
разработкой теории построения многомерных кусочных С-гладких приближений;
разработкой теории метода подвижного элемента - разновидностью метода конечного элемента;
разработкой алгоритмов и программ на основе разработанных методов приближения функций.
Методы исследования. Исследования выполнены на основе координатной системы Бернштейна, выделенной в результате длительных численных экспериментов и альтернативных сравнений, решения вариационных задач методом наименьших квадратов, алгоритмизации и программирования поставленных задач, проведения и анализа большого количества вычислительных проектов.
Задачами исследования являются:
исследование и создание методов С-гладких многомерных приближений на основе полиномов Бернштейна и связанных с этим алгоритмических процессов при решении задач на реальных вычислительных средствах;
разработка математических моделей, алгоритмов и программ автоматизации решения и-мерных задач математической физики как основы создания систем математического моделирования;
исследование и создание итерационных алгоритмов для решения задач построения многомерных функций на основе полиномов Бернштейна;
разработка математических моделей, алгоритмов и программ проектирования поверхностей с заданными свойствами;
разработка математических моделей, алгоритмов и программ для систем реального времени.
Научная новизна диссертации заключается в решении проблемы С-гладкого кусочного приближения многомерной функции на основе координатных функций Бернштейна, метода понижения размерности решаемых вариационных задач, разработке метода регуляризации и аппроксимации конечных элементов, алгоритмах многомерных приближений, в результате чего возможно решение ряда актуальных теоретических и практических задач в различных областях науки и техники. Принципиальный вклад в развитие теории состоит в следующем:
1. В результате исследования базисных функций с необходимыми
свойствами для алгоритмов многомерных аппроксимаций получены удоб
ные в алгоритмизации и-мерные построения на основе полиномов
Бернштейна и разрабатываются процедуры СММ.
2. Построен алгоритм вычисления уравнений, обеспечивающий для кусоч
ных приближений С-гладкие условия в многомерном пространстве. Дока-
-5-заны теоремы о Сг-гладкости полученных кусочных многомерных приближений.
3. Разработан метод аппроксимации конечного элемента с регуляризацией,
приводящей к устойчивым итерационным схемам решения задач на основе
вариационных методов.
4. Для произвольного «-мерного линейного дифференциального оператора
найдены в квадратурах формулы коэффициентов матрицы, получаемой в
результате решения вариационной задачи математической физики на основе координатной системы Бернштейна, - один из основных алгоритмов
смм.
-
Исследованы алгоритмические процессы в вариациоітьгх задачах построения /7-мерных приближений и найдены эффективные алгоритмы их решения.
-
Для решения вариационной задачи проектирования поверхности земли построены алгоритмы на основе полученных кусочных аппроксимаций и эвристик, приводящих к вычислению наилучшего плана целевой функции.
-
На основе исследуемых многомерных аппроксимаций построены алгоритмы решения задач математической физики для произвольного линейного дифференциального оператора, что формулируется как направление автоматизации решения таких задач и создания систем математического моделирования.
Получены также решения следующих задач:
-
Построен алгоритм решения обратной задачи - вычисление коэффициентов линейного оператора на основе кусочных многомерных аппроксимаций.
-
Построен алгоритм вычисления в квадратурах многомерных интегралов кусочных аппроксимаций решения вариационной задачи.
-
Разработана методика решения системы линейных уравнений, получаемой при решении вариационной задачи.
-
Предложена методика распознавания (классификации) образов на основе разработанных методов построения многомерных функций.
-
Для решения вариационных задач предложена методика "развития" целевой функции - многоэтапная оптимизация, приводящая к вычислению глобального экстремума.
-
Построен алгоритм решения обратной задачи - вычисление поверхности концентратора лучистой энергии на основе полученных кусочных аппроксимаций.
-
Разработаны алгоритмы преобразования и хранения информации для систем реального времени - контроля производственных процессов.
8. Разработан способ организации программного обеспечения системы
реального времени, позволяющий использовать немультипрограммную си-
стему с непрерывным обслуживанием каналов обмена информации и связанных с ними технологических задач. 9. Построены алгоритмы аппроксимаций для систем реального времени.
Практическая ценность работы следует из решения теоретических и прикладных задач на основе разработанных методов аппроксимации функций. Построенные в работе технологии решения многомерных задач разрабатывались прежде всего как элементы решения практических задач. Разработанные математические модели и алгоритмы построения С-гладких приближений многомерных функций позволили решать многие прикладные задачи.
Наибольшее распространение получила разработанная автором система проектирования поверхности земли (вертикальная планировка), начало развития которой положено в 1975 году в проектном и научно-исследовательском институте Узгипроводхоз г. Ташкент. В последующие годы эта задача развивалась на многих вычислительных системах и получила распрастронение во многих республиках. Последние версии этой системы были разработаны и внедрены в начале 90-х годов в системе проектных институтов "Гипроводхоз" в городах Владивосток, Улан-Удэ, Йошкар-Ола, Воронеж, Махачкала, Кишинев, Ташкент, Чимкент, Фергана, Ашхабад и других.
Разработанные алгоритмы построения гладких приближений на основе координатной системы Бернштейна были использованы при проектировании концентраторов лучистой энергии в ЦПКТБ научного приборостроения АН Узбекистана.
Система сбора и обработки информации технологических процессов разрабатывалась автором в рамках хозяйственного договора с горнометаллургическим комбинатом г. Балхаш (Казахстан). Начало развития этой системы было положено хозяйственным договором с ТашГРЭС г. Ташкент. В этой системе реального времени используются эффективные алгоритмы аппроксимаций в задачах масштабирования параметров и распознавания образов.
Разрабатываемая в [2],[4] система автоматизации решения многомерных задач математической физики "Кварк-3" рассматривается автором как пробная версия системы математического моделирования. Система находит применение во многих прикладных задачах. Автором на кафедре ЭП РГРТА с помощью системы решались задачи электростатики и электродинамики. Эта система находит развитие в разработке метода "сшивания" я-мерных конечных элементов, который назван методом подвижного элемента, и позволяет решать задачи методом наименьших квадратов на основе схем с регуляризацией.
В приложении к работе помещены три программных комплекса:
система автоматизации решения задач математической физики "Кварк-3" - пробная версия СММ;
система проектирования поверхности земли "Шостье 2.90-диалог";
- система сбора и обработки информации для промышленных предприя
тий.
Достоверность полученных в диссертации теоретических выводов подтверждена:
корректным использованием математического аппарата;
апробацией разработанных методик в алгоритмах и программах;
сравнением с альтернативными методиками;
результатами эксплуатации внедренных в промышленность разработок.
Научные положения, выносимые на защиту:
-
Координатные функции Бернштейна дают возможность построения метода кусочного С-гладкого приближения многомерных функций. В отличие от существующих подходов построения кусочных приближений, кроме общих алгоритмов достижения Сг-гладкости и-мерной функции, разработан метод понижения размерности вариационной задачи на число линейно независимых урпвнеттй, обеспечивающих "сшивание" кусочной функции.
-
На основе разработанного метода подвижного элемента аппроксимируются «-мерные конечные элементы, получаются простые условия регуляризации решения и строится итерационный алгоритм решения задач математической физики. В отлігше от традиционного метода согласования-"сшивания" конечных элементов, когда систему уравнений, получаемую при решении вариационной задачи, дополняют уравнения "сшивания", в методе подвижного элемента на основе системы Бернштейна используется замечательное свойство Еершины л-мерного параллелепипеда для достижения гладкого решения.
-
На основе координатных функций Бернштейна возможно построение алгоритмов С'-гладких кусочных многомерных приближений. Таким образом, находит решение алгоритмическая проблема построения n-мерных гладких приближений (например, л-мерных сплайнов).
-
Полученные кусочные функции позволяют построить методику автоматизации решения задач математической физики с линейным оператором.
-
Решение вариационных задач значительно упрощается, если построенные многомерные функции интегрируются в квадратурах. Вычисление коэффициентов системы линейных уравнений, получаемой при решении вариационной задачи, приближенными методами существенно затрудняет решение задачи.
-
С помощью метода подвижного элемента получается решение отимиза-ционной задачи проектирования поверхности земли. В отличие от других существующих методов решения применение метода подвижного элемен-
-8-та приводит к проектированию поверхности, построение которой обходится дешевле.
7. Методика решения обратной задачи для концентратора лучистой
энергии - вычисление поверхности концентратора - получается на основе
построенной кусочной аппроксимации, решения вариационной задачи на
уменьшенном множестве варьируемых параметров.
8. Разработанная методика организации программного обеспечения в си
стемах реального времени позволяет строить экономичные системы обра
ботки информации для "медленных" технологических процессов.
Реализация и внедрение результатов.
Предложенные в диссертационной работе методы, методики, алгоритмы и программы разрабатывались в течение 20 лет в ряде научно-исследовательских и проектных организаций в Ташкенте, а также на кафедре электронных приборов РГРТА.
Результаты, полученные в диссертационной работе, внедрены на следующих предприятиях:
в горно-металлургическом комбинате "Балхашмедь", г. Балхаш;
в проектном и научно-исследовательском институте "Узгипроводхоз";
в Центральном проектно-конструкторском и технологическом бюро научного приборостроения АН Узбекистана, г. Ташкент.
Использование результатов диссертации по названным выше организациям подтверждено соответствующими актами внедрения.
Личный вклад автора в диссертацию.
Все теоретические результаты получены лично автором. Все программные разработки проделаны также лично автором, за исключением переложения разработанной автором ПЗУ-программы на однокристальную микроЭВМ, что отражено в опубликованной монографии.
Апробация работы. Результаты исследований, составляющие основное содержание работы, докладывались:
- на республиканской научно-практической конференции. ТашИНХ. Таш
кент. 1980;
-1-й Всесоюзной школе-семинаре по вычислительной томографии. КАИ. Куйбышев. 1987;
всероссийской научно-технической конференции "Электроника и ин-форматика-95". Москва. 1995;
всероссийской научно-технической конференции "Компьютерные технологии и связь в современном обществе. Таганрог. 1995;
всесоюзном симпозиуме по эмиссионной электронике. Рязань. 1996;
научной сессии, посвященной Дню радио. Москва. 1996;
- международной конференции "Информационные технологии в науке,
образовании и бизнесе" IT+SE"96. КрымДлта-Гурзуф. 1996;
международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы электронного приборостроения "АПЭП-96". Саратов. 1996;
международной конференции "Проблемы и прикладные вопросы физики". Саранск. 1997;
IX научно-технической конференции "Датчики и преобразователи информации систем измерения, контроля и управления". Гурзуф. 1997;
второй международной конференции "Автоматизация проектирования дискретных систем" CADDD'97. Минск. 12-14 ноября 1997.
По теме диссертации опубликовано 4 монографии, 12 статей, II тезисов докладов на международных и республиканских конференциях, семинарах и симпозиумах.
Объем и структура диссертации: введение, 6 глав, заключение и приложение. Общий объем работы составляет 199 страниц основного текста, 5 страниц списка литературы и 326 страниц приложения.
