Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1: Обзор использования вейвлет-преобразования в обработке дискретных сигналов 8
Введение 8
1.1. Основы теории вейвлет-преобразования 8
1.1.1. Непрерывное вейвлет-преобразование 9
1.2. Кратномасштабное представление функций 12
1.2.1. Представление функций при помощи вейвлетов 16
1.3. Вейвлет-ряды дискретного времени 19
1.4. Дискретное вейвлет-преобразование 21
1.4.1. Матричное описание DWT 22
1.4.2. Описание DWT посредством блоков фильтров 24
1.5. Гладкость базисных функций 26
1.6. Обзор использования вейвлет-преобразования в обработке дискретных сигналов 29
1.6.1. Применение вейвлет-преобразования для сжатия данных 30
1.6.2. Применение вейвлет-преобразования для кратномасштабных кривых 33
1.6.3. Применение вейвлет-преобразования для поверхности 34
1.6.4. Другие применения вейвлет-преобразования 37
1.7. Выводы 38
ГЛАВА 2: Параллельно-рекурсивные методы выполнения вейвлет-преобразования для одномерных и двумерных сигналов 39
Введение 39
2.1. Параллельно-рекурсивные методы выполнения вейвлет-преобразования для одномерных сигналов 39
2.1.1. Алгоритм параллельно-рекурсивных вейвлетов 42
2.1.1.1. Разбиение сигнала 44
2.1.1.2. Выполнение вейвлета в каждом разделении 45
2.1.2. Работа алгоритма параллельно-рекурсивных вейвлетов 46
а. Временные затраты на вычисления 47
б. Временные затраты на обмен данными между процессорами 47
в. Временные затраты для полного преобразования 47
2.1.3. Модифицирование алоритма параллельно-рекурсивных вейвлетов 48
2.1.4. Обратное вейвлет-преобразование 53
2.2. Параллельно-рекурсивные методы выполнения вейвлет-
преобразования для двумерных сигналов 55
2.2.1. Стандартные параллельно-рекурсивные методы выполнения вейвлет-преобразования 55
2.2.2. Нестандартные параллельно-рекурсивные методы выполнения вейвлет-преобразования 57
2.2.3. Анализ функций двумерного преобразования 60
2.3. Выводы 63
ГЛАВА 3: Применение 2D моментов лежандра в задачах обработки дискретных сигналов 64
Введение 64
3.1. Моментные инварианты как характеристики двумерных дискретных сигналов 64
3.1.1. Моментные инварианты функции двух аргументов 64
3.1.2. Метод построения моментных инвариантов произвольного порядка 66
3.1.3. Аффинные инварианты 68
3.2. 2D моменты Лежандра, математическая основа и применения 71
3.2.1. Математическая основа 72
а. Центр масс 74
б. Ориентация 75
в. Рабочий прямоугольник 75
3.2.2. Инварианты 2D моментов Лежандра относительно сдвига 76
а. Теоретическая основа 76
б. Экспериментальные результаты 78
3.2.3. Масштабные инварианты 2D моментов Лежандра 79
а. Теоретическая основа 79
б. Экспериментальные результаты 81
3.2.4. Инварианты 2D моментов Лежандра относительно преобразования
поворота 81
а. Теоретическая основа 81
б. Экспериментальные результаты 82
3.3. Практическое использование 2D Моментных характеристик Лежандра
при обработке двумерных дискретных сигналов 84
3.3.1. Задача анализа изображений 85
3.3.1.1. Формирование признаков по изображению 87
3.3.1.2. Основные требования к признакам, вычисляемым по изображениям 87
3.3.1.3. Нормализация изображений при вычислении признаков используется в работе (в программе) 90
а. Яркостная нормализация 90
б. Нормализация масштаба объекта 93
в. Нормализация положения объекта 94
г. Нормализация ориентации объекта 95
3.4. Выводы 97
ГЛАВА 4. Программная реализация параллельно-рекурсивного метода вейвлет-преобразования и ее применение для анализа сигналов 99
Введение 99
4.1. Критерии качества изображений и погрешности их дискретного представления 99
4.1.1. Критерии качества изображений 99
4.1.1.1. Критерий визуального восприятия 100
4.1.1.2. Среднеквадратичный критерий 101
4.1.1.3. Критерий максимальной ошибки (равномерного приближения) 102
4.1.2. Погрешности дискретного представления изображений 103
4.1.2.1. Оценка погрешностей квантования параметра по уровню 104
4.1.2.2. Общая погрешность цифрового представления изображений 106
4.2. Использование параллельно-рекурсивного вейвлет-преобразования в
задаче уменьшения шума на изображениях 108
4.2.1. Статистическое испытание значения 109
4.2.2. Методы фильтрации 110
1. Жесткий и мягкий порог 110
2. Пороговая обработка k-сигмы ПО
3. Повторяющееся фильтрование 110
4. Универсальный порог 111
5. САО пороговая обработка 111
4.2.3. Удаление шума с помощью вейвлет методов 112
4.2.4. Использование параллельно-рекурсивного вейвлет-преобразования в анализе изображений 112
4.3. Разработка пользовательского интерфейса 115
4.3.1. Общая структура программы моделирования 117
4.3.2. Программирование входных изображений 119
4.3.3. Программирование алгоритма параллельно-рекурсивного вейвлет-преобразования 119
4.3.4. Программирование удаления шума с помощью вейвлет методов 120
4.4. Разработка оконного графического интерфейса 120
4.5. Выводы 126
Заключение 127
Список литературы
- Непрерывное вейвлет-преобразование
- Алгоритм параллельно-рекурсивных вейвлетов
- Моментные инварианты функции двух аргументов
- Критерий максимальной ошибки (равномерного приближения)
Введение к работе
Вейвлет-преобразование (wavelet transformation) в настоящее время является одним из наиболее распространенных методов обработки сигналов. Первое упоминание о вейвлетах появилось в литературе по цифровой обработке и анализу сейсмических сигналов (работы А.Гроссмана и Ж.Морлета[8]). Так как интерес авторов заключался в анализе сигналов, набор базисных функций был избыточным. Далее, математик И.Мейер[49] показал существование вейвлетов, образующих ортонормальный базис в 1?(К). Дискретизация вейвлет-преобразования была описана в статье И.Добеши[16], которая перекинула мост между математиками и специалистами в области обработки сигналов. Добеши разработала семейство вейвлет-фильтров, имеющих максимальную гладкость для данной длины фильтра[ 16,21,29].
И И.Добеши, и С.Маллат[63] показали, что практическое выполнение вейвлет-преобразования осуществляется посредством двухполосного банка фильтров анализа-синтеза, известного ранее в теории субполосного кодирования. Эта теория может быть описана в терминах вейвлетов. Главное различие между этими двумя направлениями заключается в критериях построения фильтров, как это будет показано далее.
При анализе дискретных двумерных сигналов большую роль играет вычисление моментных инвариантов, не зависящих от сдвига, масштабирования и вращения. Моменты Лежандра (работы C.W. Chong, P. Raveen-dran[12]) с ядром в виде полиномов Лежандра, принадлежащие классу ортогональных моментов, используются для выявления независимых характеристик сигнала. Основываясь на существующем методе вычисление моментов Лежандра, в работе вводятся и используются новые инварианты моментов Лежандра, относительно сдвига, масштабирования и поворота.
В настоящее время перспективным направлением повышения эффективности вейвлет-преобразований является параллельно-рекурсивные мето-
7 ды вычисления вейвлетов[42,57,59]. Эти методы могут быть использованы на многопроцессорных системах.
Диссертация состоит из четырех глав. Первая глава посвящена теоретическому анализу общих свойств и разновидностей вейвлет-преобразования и обзора использования вейвлет-преобразования в обработке дискретных сигналов. В ней рассмотрены непрерывное и дискретное вейвлет-преобразования, ряды вейвлетов, быстрые алгоритмы вычислений. Также обсуждается свойство гладкости базисных вейвлет-функций.
Во второй главе представляются параллельно-рекурсивные методы выполнения вейвлет-преобразования для одномерных и двумерных сигналов. Методы выполнения вейвлет-преобразования, которые были представлены в первом разделе, являются последовательными и не позволяют реализовать преимущества распределенной обработки данных.
В третьей главе представляются моменты, основанные на полиномах Лежандра, и ряд теоретических и практических результатов в области статистического распознавания образов, ориентированных на особенности и характер анализируемой информации - сигналов.
В четвертой главе представлены варианты использования параллельно-рекурсивных методов выполнения вейвлет-преобразования для обработки сигналов и описана программная реализация параллельно-рекурсивного метода вейвлет-преобразования и обзор возможных практических применений метода.
В заключении приведены основные результаты диссертационной работы и намечены направления дальнейшего исследования.
Непрерывное вейвлет-преобразование
Важнейшим средством анализа стационарных непрерывных сигналов является преобразование Фурье непрерывного времени (CTFT - Continuousime Fourier Transform). При этом сигнал раскладывается в базис синусов и косинусов различных частот. Количество этих функций - бесконечно большое. Коэффициенты преобразования находятся путем вычисления скалярного произведения сигнала с комплексными экспонентами: +00 F(co)= \f(x)e4coxdx (1.1) -00 где f(x) означает сигнал, a F(a))- его преобразование Фурье. С практической точки зрения CTFT имеет ряд недостатков. Во-первых, для получения преобразования на одной частоте требуется вся временная информация. Это означает, что должно быть известно будущее поведение сигнала. Далее, на практике не все сигналы стационарны. Пик в сигнале во временной области распространится по всей частотной области его преобразования Фурье. Для преодоления этих недостатков CTFT вводится кратковременное, или оконное преобразование Фурье (STFT - Shortime Fourier Transform): +00 STFTf(co,b)= jf(x)e imw(x b)dx (1.2) -CO в котором применяется операция умножения сигнала на окно перед применением преобразования Фурье. Окном w(x-b) - является локальная функция, которая сдвигается вдоль временной оси для вычисления преобразования в нескольких позициях Ъ. Преобразование становится зависимым от времени, и в результате получается частотно-временное описание сигнала. В качестве V ч окна часто выбирается функция Гаусса, и в этом случае обратное преобразование тоже будет выполняться с использованием оконной функции Гаусса. Используются также многочисленные другие окна, в зависимости от конкретного приложения.
Недостаток STFT состоит в том, что при его вычислении используется фиксированное окно, которое не может быть адаптировано к локальным свойствам сигнала.
Вейвлет-преобразование, рассматриваемое далее, решает эту и некоторые другие проблемы. Непрерывное вейвлет-преобразование (CTWT - Continuousime Wavelet Transform) есть скалярное произведение f(x) и базисных функций ab(x) = a-il2J -\aeR+,beR, (1.3) У а ) так что CTmf(a,b) = a-l,2+]J )f(x)dx, (1.4)
Базисные функции у/аЬ eL2(R) являются вещественными и колеблются вокруг оси абсцисс. Они определены на некотором интервале. Данные функции называются вейвлетами (в переводе - короткие волны) и могут рассматриваться как масштабированные и сдвинутые версии функции-прототипа у/(х). Параметр Ъ показывает расположение во времени, а а - параметр масштаба. Большие значения а соответствуют низким частотам, малые - высоким. Операция умножения на окно как бы содержится в самой базисной функции, которая позволяет сужать и расширять это окно. Отсюда появляется возможность адаптивного к сигналу выбора параметров окна.
Для того чтобы было возможно обратное получение f{x) из результата CTWT, функция у/(х) должна удовлетворять следующему условию: 2 с,.да . (1.5) о где через ц/{со) обозначено преобразование Фурье ц/(х). Если ц/(х) - локальная функция, то из (1.5) следует, что ее среднее значение равно нулю: -к» к \w{x)dx = 0 (1.6) —00 й) Тогда формула реконструкции имеет вид nx) = ±YlCTWf(a,b)a J (L7) к Cr-Lo V а ) а2 Как видно из (1.7), f(x) может быть выражена через сумму базисных функций у/аЬ (х) с весами CTWTf {a, b).
Параметры а и b меняются непрерывно, и поэтому множество базис ных функций избыточно. Необходима дискретизация значений а и b при со хранении возможности восстановления сигнала из его преобразования. Мож ц но показать, [] что дискретизация должна осуществляться следующим обра зом: а = а; Ь = пЬ0а, m,neZ,a0 \,bQ Q. (1-8) Возможен произвольный выбор параметра 60. Без потери общности выберем Ь0=1. Из (1.8) видно, что параметр местоположения зависит от па раметра масштаба. С увеличением масштаба увеличивается размер шага . сдвига. Это интуитивно понятно, так как при анализе с большим масштабом детали не так важны.
Алгоритм параллельно-рекурсивных вейвлетов
Алгоритм параллельно-рекурсивных вейвлетов[57] основан на принципе «разделяй и властвуй» (рис. 2.1). Полное разбиение получим на вейвлет-преобразованиях Хаара. С другим вейвлет-преобразованием нам нужно переносить size-2 элементы для каждой обрабатываемой части. Однако, время коммуникации на каждом шаге составляет 0(0).
Предполагаем, что обрабатываемая часть, имеет длину D = 2k,keZ+ и D N. Алгоритм обработки участка {с0,Ль о: . Элементы {сок}" 10 разделены наD частей, {сл}, \с10Л},..., {с 1}, если возможно. Эту операцию мы будем называть разделением (процедура Divide). Процедура выполнения вейвлетов рекурсивно вызывается для . В результате этой процедуры получим - {си} и {dlJc}. Повторяем процедуру разделения и процедуру выполнения вейв летов для {си}. Количество уровней рекурсии - log2 (N) - log2 (size) +1.
После этого сигнал {cQ k} обработан. 4. Return T где S - сигнал.
Выполнение процедуры waveone описывало по выражении (2.6). Однако длина сигнала зависит от N/D и size - N/D + (size-2).
Выполнение алгоритма зависит от того, как разбивается сигнал на каждом шаге. Очевидно, разбивание процедуры Divide не изменяет последовательность сигналов. Поэтому, алгоритм действительно достигает цели. Работа алгоритма показана на рис. 2.3.
Время работы алгоритма параллельно-рекурсивных вейвлетов зависит от архитектуры компьютера. Для параллельной системы время работы алго ритма зависит от D (в этом случае, время коммуникаций между процессорами системы является маленьким). Процедура waveone занимает время Т(п) (эффект алгоритма приведен на рис. 2.6, рис. 2.7 и рис. 2.8). На рис. 2.4 и рис. 2.5 приведено сравнение между параллельно-рекурсивными методами и линейным методам на параллельной системе SP2.
Пусть tstart - время, которое требуется, чтобы начать коммуникации. tom_comm время, которое требуется, чтобы послать элемент данных другому процессору. опе_сотР — время, которое требуется, чтобы вычислить одну операцию с плавающей запятой на данном компьютере.
а. Временные затраты на вычисления
Пусть в системе D процессоров, на каждом шаге каждый процессор работает на протяжении времени T(k)fD, где k: 0...1og2(W)-log20jze) + l. Время работы алгоритма составляет: 7(0)7-(1). T(L)_T(N) compute T\ Г\ Т\ Т\ one _сотр \ / г... т — D D D D где Z=log2(JV)-log2(s/ze) + l; T(N)- время выполнения вейвлет-преобразования на одном процессоре.
б. Временные затраты на обмен данными между процессорами Время коммуникаций между процессорами системы составляет: где С - константа. в. Временные затраты для полного преобразования
Время полного преобразования составляет: Пример, пусть вычислить Процедура Divide показана на разделе 2.1.1 работает за время 0(0) если мы используем индекс сигнала. Модифицируем процедуру Divide, чтобы уменьшать время, затрачиваемое на обмен данными между процессорами. Модифицированная процедура выглядит следующим образом: )z Wcfe(t,size,D,number) 1. отклонение -size-2 number D 2. T0 t „ , 1Ч number , . D 3. Tx r- (t +1) — 1 + отклонение 4. Return T где number - количество элементов сигнала для преобразования. Отличия между первой версией и второй версией - количество элементов в преобразовании. Сначала количество элементов - N, затем - N12 ...
Первое преобразование называется стандартным разложением\1 ,62]. Чтобы получить стандартное разложение изображения, сначала мы применим одномерное вейвлет-преобразование к каждой строке значений пиксе лей. Эта операция даст нам среднее значение и уточняющие коэффициенты для каждого строки. Затем мы рассмотрим эти преобразованные строки так, как если бы они сами являлись изображением, и применим одномерное преобразование к каждому столбцу. Полученные в результате значения окажутся уточняющими коэффициентами, за исключением единственного коэффициента, представляющего общее среднее значение. Ниже приведен алгоритм вычисления стандартного разложения. Каждый шаг входящей в него операции отображен на рис. 2.9.
Моментные инварианты функции двух аргументов
Кратко рассмотрим метод построения моментных инвариантов с использованием комплексных моментов [71,73]: со со Мы = \ Г(дг, +/х2) (х, -ix2J f(xi,x2)dxldx2, k,l = 0,1,2... (3.5) —СО—СО Комплексные моменты являются линейной комбинацией обычных моментов: Ми =Yuau a + ЕЬ«М при-і + у = + /- (3.6) .7 J где atJ, by -некоторые целочисленные коэффициенты. В полярных координатах комплексные моменты могут быть представлены в виде 2я-оо Ми = J \pk+Mei{h-l)vx{pcosv,psinv)dpdv, к,! = 0,1,2... (3.7) О -оо
С другой стороны MkI =Мие,т, где \Мк1\, % - модуль и аргумент комплексного числа. Путем несложных преобразований выражения (3.7) можно показать, что при повороте изображения на угол Av значение комплексного момента примет вид МкМ=\Мы\е"е" (3.8) Из (3.8), при повороте изображения не меняются значения Mtt(Av)=MttH Mw(Av)Mft(Av) = Mw2. Обобщая эти результаты, введем в рассмотрение произведение х е (3 9) -/AvQ( l-/1)rl+(i2-/I)r2+...+(A,-/, ,D V Оно является инвариантным к повороту, если выполняется условие: ( і- і ,=0 (ЗЛО) 1=0
При этом условии в качестве инвариантов можно использовать модуль произведения комплексных моментов \Mr Mrk\h..Mrk4, , вещественную {мкмЧг-мч,)и мнимую ы{мг М г...Мг ) часть произведения.
Можно показать, что набор моментных инвариантов (3.4) для центрированного изображения выражается через комплексные моменты следующим образом: Фг=Мп, Ф2=М20М02 , Ф3=М21М]2 , Ф4=М30М03 , Ф5=Ке(м231М03), Ф6=Ке(м231М02), Ф7=-1т(м23,М03). (3.11)
Отметим, что данный набор является избыточным, так как инварианты Ф3, Ф4, Ф5, Ф7 связаны соотношением Ф +Ф =Фф4.
Очевидно, что по заданному набору комплексных моментов можно построить любое число инвариантов, так как любая функциональная комбина- ция инвариантов также является инвариантом. Однако количество функционально независимых инвариантов ограничено и зависит от числа комплексных моментов, используемых при построении.
Алгоритм синтеза набора функционально независимых инвариантов на основе множества Q комплексных моментов МкЛ, MkJi,..., My состоит в сле дующем[11,25,52]: . из множества Q берутся моменты МкЛ при к, = /,, которые явля ются инвариантами; . задается базовый элемент Мкв1д {к0=10) множества Q и для ос тальных моментов Мад при kt Ф lt строятся инвариантные комби нации, удовлетворяющие требованию (3.10): Ф,=мм , при &«/„) ( ,=/,) (ЗЛ2)
Очевидно, что любое другое инвариантное произведение вида (3.9), при условии (ЗЛО), построенное из моментов множества Q, представляется через инварианты (3.12).
Таким образом, число функционально независимых инвариантов, которое можно построить из q комплексных моментов, составляет: { q если kt = lt при \ i q q-\ в противном случае
Так, например, из треугольной матрицы комплексных моментов (3.5) при \ к + 1 К, включающей (к + і)(к + 2)12 элементов, можно сформировать (неединственным образом) (к+\)(к+2)/2-1 независимых инвариантов вида (3.5) при условии (3.6).
Для центрированного изображения комплексные моменты М01, Мт равны нулю, вследствие чего при построении инвариантов они не используются (например, в (3.4) и (3.11)).
Критерий максимальной ошибки (равномерного приближения)
Реальное «физическое» изображение является функцией непрерывных І, пространственных координат - f(x{,x2). В компьютере обрабатывается его дискретный аналог, матрица f(nltn2) - цифровое изображение. Оно лишь приближенно соответствует непрерывному. Несоответствие обусловлено погрешностями, которые вносятся в данные в процессе преобразования в цифровую форму.
Все результаты цифровой обработки относятся именно к цифровому изображению. Понятно, что такая обработка имеет смысл лишь в том случае, если цифровые изображения достаточно точно описывают первичные, то есть погрешность цифрового представления мала. Надо уметь оценивать эту погрешность.
Такая оценка важна еще и потому, что позволяет определить потенциальные возможности процедур цифровой обработки (фильтрации, кодирования и т.п.) с точки зрения точности.
Определим погрешность двух основных процедур преобразования изо бражений в цифровую форму - дискретизации (по пространственным коор динатам) и квантования по уровню (яркости). При решении этих задач при мем описание изображения моделью стационарного случайного поля. Начнем с квантования.
Пусть преобразуемая величина (параметр) / может принимать любые значения из диапазона [/min,/max], который называется шкалой параметра.
При представлении параметра в цифровой форме в пределах шкалы фиксируется (назначается) Q квантовых уровней: /0, /,, ,.., /(Q_,). Текущее (фактическое) значение параметра отождествляется с одним из квантовых уровней и далее вместо значения параметра используется просто номер выбранного уровня, кодируемый двоичным кодом. Если используется Ъ - разрядный код, то имеется возможность пронумеровать Q = 2b квантованных уровней.
Расположение квантовых уровней на шкале параметров может быть различным. На практике интервалы между квантовыми уровнями обычно берутся одинаковыми. При этом шаг квантования по уровню: Af = fq - f4_x, для любых 1 q Q -1 есть величина постоянная.
Равномерное расположение Q уровней на шкале параметра показано на рис. 4.1. Здесь шаг квантования д _ J max J min J max J min f Q 2b В данном случае текущее значение параметра отождествляется с ближайшим квантовым уровнем. Будем рассматривать именно такой вариант квантования.
Для каждого конкретного значения параметра/выбирается свой квантовый уровень - fq при этом ошибка цифрового представления параметра (ошибка квантования по уровню)
Поскольку/- случайная величина, то и ef тоже случайна. Но можно определить максимальное и среднеквадратичное значения ошибки. Максимальная ошибка квантования по уровню (для нашего варианта квантования): (4.5) і і А, S/max = таХК/ =
Обычно шаг квантования Af значительно меньше шкалы параметра (то есть Ъ 1, Q »1, А/ « /тах - /min). Учтем далее следующее. Если параметр/имеет нормальное (или близкое к нормальному) распределение с дисперсией а) и математическим ожиданием juf, то обычно стремятся выбрать шкалу так, чтобы она совпадала с «доверительным интервалом» [juf -3crf,/if + 3af](BCQ значения/лежат в этом интервале с вероятностью «0,997). Тогда 6crf /max /min = "7 5 "/ = Ь и получаем, что 3af т л/Зоу /
Мы рассмотрели отдельно погрешность квантования отсчетов по уровню и погрешность дискретизации изображения по пространственным координатам. Обе они входят как составляющие в общую погрешность цифрового представления изображений[75].
Если изображение квантовано по уровню, то его восстановление (интерполяция) производится не по истинным значениям отсчетов поля яркости, а по искаженным на случайную величину sf.
Возьмем ступенчатую (прямоугольную) интерполяцию и оценим среднеквадратичную погрешность интерполяции (теперь это будет полная погрешность, так как в ней учтем и квантование по уровню).
Дисперсия ошибки в каждой точке интервала интерполяции имеет вид а?(г„ 2) = El\f(xlfx2)-(f(0,0)+ef)}} + 2E{f(0,0)sf}+E\2f}
Если уровней квантования много (шаг квантования намного меньше шкалы параметра), то можно считать, что ошибки квантования sf и само изображение статистически независимы. Тогда в полученном выражении останутся только первое и последнее слагаемые, которые с учетом приведенных ранее выкладок запишутся более компактно: аЕ (ХРХ2/= 7х\Х1 Хг)+Є/КВ После усреднения по интервалу интерполяции получим, что КВ = хКВ + /КВ К? )
То есть квадрат полной среднеквадратичной ошибки определяется суммированием квадратов составляющих ошибок.
Такую же формулу можно использовать (и обычно используют) и для билинейной интерполяции, однако здесь она уже будет приближенной и даст для среднеквадратичной погрешности оценку сверху. (Более детальный анализ, который мы опускаем, в этом случае показывает, что хкв + Z/KB - кв — єхка +Укв \ і") причем при ff/кв - 0 значение полной погрешности смещается к нижней границе.)
При оценке максимальной погрешности обычно ориентируются на самый «неблагоприятный» случай, то есть считают, что ошибки суммируются: max =rjcmax " " fmax \ т ) эта формула справедлива для всех способов интерполяции, которые мы рассматривали.
Похожие диссертации на Параллельно-рекурсивные методы выполнения вейвлет-преобразования в задачах обработки дискретных сигналов
