Содержание к диссертации
Введение
1 Анализ надежности информационно-вычислительных си стем в процессе эксплуатации 16
1.1. Структура взаимодействия и отказы в информационно-вычислительных системах 16
1.2 Отказы и надежность аппаратных средств 23
1.3 Отказы и надежность программных средств 26
1.4 Профилактические восстановления и стратегии восстановления при эксплуатации информационно-вычислительных систем 31
2 Процессы восстановления при отказах информационно-вычислительных систем 39
2.1 Процессы восстановления. Функция восстановления 40
2.2 Общий процесс восстановления порядка (к^к^) примени тельно к отказам информационно-вычислительных систем и ее элементов ' 45
2.3 Асимптотическое поведение функции восстановления процесса восстановления порядка (fci,^) 50
2.4 Представление n-кратиых сверток функций распределения в виде кратных рядов 55
2,4,1 Представление сверток функций распределения в ви де кратных рядов 55
2.5 Функция восстановления общего процесса восстановления к-го порядка, если наработки распределены по закону Вейбул-ла - Гнедснко 59
2.6 Функция восстановления периодического процесса восстановления k-го порядка, если наработки рас пределены по закону Вейбулла - Гнеденко GO
2.7 Функция восстановления общего процесса восстановления 2-го порядка, если наработки Х\}Х2 распределены по закону Вейбулла - Гнедеико 62
2.8 Функция восстановления общего процесса восстановления % го порядка, если наработка Х\ распределена по закону Вейбулла - Гнеденко, а наработка X
2-9 Функция восстановления простого процесса восстановления, если наработки распределены по закону Максвелла 64
2.10 Функции восстановления Щ(Ь) и Hi(t) альтернирующего процесса восстановления при экспоненциальном распределении 67
2.11 Функции восстановления Ho(t) и Hi(t) альтер и атирующего процесса восстановления, если время наработок и время восстановления распределены по законам Всйбулла - Гпедепко 70
Стратегии восстановления при эксплуатации и их оптимизация 75
3.1 Основные стратегии восстановления 76
3.2 Обобщенная стратегия Сс 81
3.2.1 Обобщенная стратегия Сс при экспоненциальном распределении наработок 85
3.3 Стратегия Сс при распределении Эрланга порядка 30
3.4 Стратегия Съ при общем процессе восстановления порядка (кик2) 94
3.4.1 Стратегия Съ процесса восстановления к—го порядка при экспоненциальном распределении наработок 95
3.4-2 Стратегия С& для общего процесса восстановления второго порядка при экспоненциальном распределе нии наработок 99
3.4.3 Стратегия CJ, для простого процесса восстановления при распределении Эрланга порядка 100
3.5 Коэффициент готовности у стратегии Сс при распределении Эрланга порядка п 103
3.6 Оптимизация порядка замен при общем процессе постановлении порядка (^1,) 107
Алгоритмы и программное обеспечение для нахождения функции восстановления и оптимизации стратегий восста новления 111
4.1 Представления функции восстановления и интегральные уравнения для функции восстановления 111
4.2 Квадратурные формулы для вычиследения сверток функций распределения любого порядка 114
4.3 Решение интегрального уравнения для функции восстановления общего процесса восстановления порядка {к\, &з) методом конечных сумм 117
4.4 Программный комплекс для нахождения функции восстановления процессов восстановления порядка (&ь Аъ) методом конечных сумм и оптимизации стратегий восстановления 118
4.5 Численные эксперименты по решению оптимизационных задач123
Заключение 132
Списков использованных источников
- Отказы и надежность программных средств
- Асимптотическое поведение функции восстановления процесса восстановления порядка (fci,^)
- Обобщенная стратегия Сс при экспоненциальном распределении наработок
- Квадратурные формулы для вычиследения сверток функций распределения любого порядка
Введение к работе
Актуальность исследования Современные информационно-вычислительные системы (ИБС) - отдельные, локальные, распределенные - представляют собой комплекс программных и аппаратных средств, предназначенных для решения задач, связанных со сбором, хранением, обработкой и передачей информации.
Проблема обеспечения высокой надежности и эффективности работы информационно-вычислительных систем является одной из ключевых в развитии научно-технического, социально-экономического прогресса. Это обусловлено особой значимостью решаемых с помощью ИВС задач ( ошибка в единственном операторе программы на Фортране привела к неудаче при первом запуске американского исследовательского коробля на Венеру [1> 2]; ростом интенсивности режимов работы систем в условиях повышенных требований к качеству их функционирования; повышением ответственности функций выполняемых системами; автоматизацией процессов, исключающих непрерывное наблюдение и контроль функционирования системы.
В настоящее время эта проблема становится более значимой. Это связано с глобальным распространением ИВС, с большой скоростью изменения самих ИВС, значительным технологическим отрывом от уже устоявшихся технологий, эксплуатацией ИВС в системах с большим временем эксплуатации, а также с экономическими, человеческими и даже моральными
факторами. Проблемы информационной безопасности, которые возникают при эксплуатации ИВС у большинства развитых стран, в настоящее время сопоставимы с проблемами их экономической, военной и экологической безопасности. Особо негативную роль имеют отказы, связанные с потерей информации.
Надежность ИВС в первую очередь определяется отказами программных и аппаратных средств. Большие показатели надежности в работе ИВС достигаются применением высоконадежных аппаратных средств, многократной системой дублирования и резервирования, введением для программного обеспечения временной, программной и информационной избыточности.
Но и эти дорогостоящие методы и технологии не приводят к отсутствию отказов в работе ИВС.
Отказы ИВС в основном имеют случайный характер и могут произойти при эксплуатации в любой момент и в любом узле информационно-вычислительной системы- В связи с этим особую роль приобретают методы повышения показателей надежности и эффективности работы ИВС в период эксплуатации.
Учитывая специфику задач, решаемых информационно-вычислительными системами, важными показателями (критериями) являются:
интенсивность эксплуатационных затрат (с учетом затрат на возмещение ущерба при отказе ИВС);
коэффициент готовности, т. е. вероятность того, что элемент окажется в работоспособном состоянии в произвольно выбранный момент времени в установившемся (стационарном) процессе эксплуатации, или
как доля времени, в котором элемент находится в работоспособном состоянии;
математическое ожидание числа отказов в процессе восстановления.
Одной из возможностью повышения показателей надежности и эффективности является проведение оптимальных стратегий эксплуатации, в которых осповное значение принадлежит проведению профилактических работ (восстановлений) в оптимальные проомежутки времени.
Определение эксплуатационной надежности и эффективности при проведении аварийных и профилактических восстановлений требует совместного рассмотрения надежности аппаратных и программных средств с учетом их функциональных различий, внешних воздействий и человеческого фактора.
Это в первую очередь приводит к необходимости рассмотрения моделей процессов восстановления и стратегий эксплуатации с изменяющимися функциями распределения наработок на отказ.
Таким образом, проблема надежности и эффективности при эксплуатации ИВС приводит к актуальной задаче разработки математического и программного обеспечения для решения задач по выбору стратегии эксплуатации с оптимальным временем проведения профилактических работ.
Цель диссертационной работы - создание модулей математического и программного обеспечения, способствующих повышению коэффициента готовности, снижению среднего числа отказов и интенсивности эксплуатационных затрат.
Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:
разработка математического'и программного обеспечения для выбора
и проведения оптимальной стратегии эксплуатациии на основе модели
процесса восстановления программных и аппаратных средств, учитывающей изменение функций распределения их наработок;
разработка моделей стратегий проведения профилактических работ с получением формул, определяющих интенсивности эксплуатационных затрат в зависимости от времени проведения профилактических восстановлений;
определение условий применимости моделей стратегий эксплуатации программных и аппаратных средств с проведением профилактических восстановлений;
Основные научные результаты.
Разработано программное и математическое обеспечение для выбора и проведения оптимальной стратегии эксплуатации программных и аппаратных средств ИБО и обоснованы математические модели процессов востановления и стратегий эксплуатации, позволяющие определять интенсивность эксплуатационных затрат и математическое ожидание числа отказов в период эксплуатации.
Получены условия применимости стратегий эксплуатации с проведением профилактических работ для наработок, имеющих экспоненциальное и Эрланга распределения.
Получено представление функции восстановления в виде рядов для различных моделей процессов восстановления для экспоненциального, Эрланга, Вейбулла - Гпеденко, Максвелла распределений и разработаны численные методы решения интегрального уравнения для нахождения функции восстановления, которые позволили создать алгоритмы и программное обеспечение для выбора оптимальной страте-
гии эксплуатации.
Практическая значимость. Предложенные модели могут быть использованы для выбора оптимальных стратегий эксплуатации ИВС по критериям интенсивности эксплуатационных затрат, коэффиценту готовности и среднему числу отказов. Созданный программный комплекс позволяет решать задачи по нахождению оптимального времени проведения профилактических восстановлений и выбору оптимальной стратегии эксплуатации для экспоненциального расггределепия, распределения Эрланга любого порядка и распределения Вейбулла - Гнеденко.
Результаты диссертационной работы по оптимизации стратегий эксплуатации используются в работе ИВЦ КГТУ.
Достоверность и обоснованность результатов диссертации определены учетом особенности работы элементов ИВС, корректным применением математических методов при решении рассматриваемых задач, сравнением результатов расчетов с известными в литературе данными.
Методика исследования. В диссертационной работе использованы методы математической теории надежности, теория процессов восстановления, численные и аналитические методы решения интегральных уравнений Вольтерра, программирование в среде C++ Builder.
Положения, выносимые на защиту.
1. Разработаны алгоритмы и программное обеспечение для выбора и проведения стратегии эксплуатации программных и аппаратных средств при экспоненциальном распределении, распределении Эрлаггга и распределении Вейбулла - Гнеденко. Составлены таблицы, в которых представлено оптимальное время проведения профилактических восстановлений с значениями интенсивности эксплуатационных затрат для стратегии Сь процесса восстановления порядка (2,1) и обобщен-
ной стратегии Сс при экспоненциальном распределениии наработок.
Предложена математическая модель процесса восстановления аппаратных и программных средств ИВС, позволяющая рассматривать проведение восстановлений с различными функциями распределения наработок. Получено интегральное уравнение для функции восстановления и ее представление через функции восстановления более простых моделей. Получено асимптотическое поведение функции восстановления, позволяющее прогнозировать математическое ожидание числа отказов при большом времени эксплуатации, характерном для ИВС.
Построен ряд стратегий, позволяющих учитывать изменение функций распределения при проведении аварийных и профилактических восстановлений и получены условия применимости стратегий за счет оптимального времени проведения профилактических восстановлений по критериям интенсивности затрат, коэффициенту готовности и среднему числу отказов для экспоненциального распределения и распределения Эрланга. Для обобщенной стратегии Сс получены явные формулы оптимального времени проведения профилактических восстановлений и интенсивности эксплуатационных затрат.
Получены представления функции восстановления в виде рядов для различных процессов восстановления при экспоненциальном, Эрланга, Вейбулла - Гнеденко и Максвелла распределениях. Разработаны численные методы определения вероятности числа отказов и среднего числа отказов за время экспуатации от 0 до .
5- Проведенные численные эксперименты показали, что выбор оптимальной стратегии эксплуатации дает возможность увеличить показатели
надежности и эффективности ИВС.
Апробация работы и публикации
Основные положения и результаты работы докладывались на межвузовских научных конференциях студентов, аспирантов и молодых ученых "Информатика и информационные технологии"(Красноярск, 2001 и 2002 г.г.), десятой юбилейной международной научно-технической конференции 1ГСовремеиная техника и технологияп(Томск, 2004 г\), Всероссийской конференции "Информационно-аналитические системы и технологии в здравоохранении и ОМС1Т(Красноярск, 2004 г.), Всероссийской конференции "'Проблемы информатизации регионам(Красноярск, 2005 г,)3 Всероссийской конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука. Технологии. Инновации11 (Новосибирск, 2005 г.), на научных семинарах кафедр "Прикладная математика", "Вычислительная техника" (КГТУ, 2005 г.).
Основные результаты диссертации опубликованы в 12 печатных работах, из них 6 статей (две статьи в центральной печати). Из работ [33 5, 11, 12], написанных в соавторстве, в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения,списка использованных источников и приложения. Основное содержание изложено на 145 страницах текста, содержит 20 рисунков, 5 таблиц. Список использованных источников включает 91 наименование.
Основное содержание работы
Во введении отмечается актуальность создания математического и программного обеспечения оптимизации проведения профилактических восстановлений при эксплуатации ИВС. Определены цели и задачи дис-
сертационной работы, раскрыта новизна полученных результатов, практическая значимость и апробированность представленных математических моделей и программного обеспечения. Также во введении сформулированы положения, выдвинутые на защиту, и определен непосредственный вклад автора в решаемые задачи.
В первой главе приводятся схема и анализ взаимодействия основных структур ИВС по их отказам и проведению профилактических восстановлений в процессе эксплуатации.
Дан обзор моделей по расчету надежности программных и аппаратных средств и стратегий их восстановления.
Рассмотрены специфика и связь между отказами аппаратных и программных средств. Обосновано создание новых моделей и стратегий процессов восстановления (с их оптимизацией) при эксплуатации ИВС для различных законов распределения случайных наработок до отказов (экспоненциального, Эрланга, Вейбулла - Гнеденко) с математическим и программным обеспечением для решения возникающих задач.
Во второй главе приводятся известные в теории надежности модели процессов восстановления; простой, общий (запаздывающий), общий к-го порядка и периодический процесс восстановления к-го порядка с соответствующими интегральными уравнениями для функции восстановления -математическому ожиданию числа отказов за время от нуля до і.
На основании анализа возникающих отказов в работе информационно-вычислительной системы предложена модель процесса воссановлепия, обобщающая указанные модели - процесс восстановления порядка (&13 fo)-
Для предложенной модели выведено интегральное уравнение для функции восстановления и получено ее асимптотическое поведение, зави-
сящее только от времени средних наработок на отказ элементов, задающих процесс восстановления, и их среднеквадратических" отклонений.
Получено представление в виде рядов п—кратных сверток функций распределения, позволяющее определять исроятиость числа отказов на промежутке от нуля до і. Для различных моделей процессов восстановления получены в ввиде рядов функции восстановления, если время наработок элементов на отказ распределено по экспоненциальному, Вейбулла -Гнеденко, Максвелла, Гамма-распределению.
В третьей главе рассмотрены стратегии восстановления, учитывающие специфику аппаратных и программных средств ИВС, в которых основным моментом является проведение, наряду с обязательными аварийными, профилактических восстановлений. Это обобщение стратегии восстановления блоками Сь в случае модели процесса восстановления порядка (&i, к2) и обобщение периодической стратегии восстановления Сс для простого процесса восстановления к\ = 1, к2 = 1г когда функции распределения времени наработок элементов до отказа после аварийных и профилактических восстановлений не обязательно совпадают.
Для этих стратегий получены формулы интенсивности эксплуатационных затрат и рассмотрены оптимизационные задачи по определению времени проведения профилактических восстановлений, при котором достигается минимум эксплуатационных затрат.
Для стратегий Сь и Сс при распределении Эрланга с полными восстановлениями, для обобщенных стратегий Сь и Сс при экспоненциальных распределениях получены условия, при выполнении которых существует оптимальное время проведения профилактических восстановлений по критерию минимума интенсивности затрат. Для обобщенной стратегии Сс получена явная формула для времени проведения профилактических
восстановлений. Для стратегии Сс при распределении Эрланга получено условие оптимальности времени проведения профилактических восстановлений для достижения максимального коэффициента готовности.
Рассмотрена задача определения порядка замен элементов процесса восстановления порядка (fci, fo)* при котором на заданном промежутке времени произойдет наименьшее среднее число отказов - функция восстановления принимает наименьшее значение. Приводится решение этой задачи для экспоненциальных распределений.
В четвертой главе получены квадратурные формулы для вычисления сверток функций распределения, решение интегрального уравнения для функции восстановления процесса восстановления порядка (Ai,^), описание созданного программного комплекса для нахождения функции восстановления и решения оптимизационных задач, рассматриваемых в работе. Приводятся численные эксперименты по решению конкретных оптимиза-цонных задач.
В приложении приведены таблицы оптимального времени проведения профилактических восстановлений и интенсивности затрат в зависимости от основных параметров, задающих стратегию восстановления, для:
обобщенной стратегии Сс при экспоненциальном распределении;
стратегий Сь процесса восстановления порядка" (2,1) при экпоненци-алыюм распределении.
і Глава 1
Отказы и надежность программных средств
Программное обеспечение, в связи с отсутствием времени физического старения, которое могло бы приводить к отказам, не является технической системой. Это требует некоторой корректировки основных понятий классической теории надежности и новых подходов к построению теории надежности программного обеспечения. Поэтому при построении теории надежности программных средств учитываются их особенности и отличия от традиционных технических средств [1, 2], [37-48]. К таким особенностям можно отнести следующие [1]:
не для всех видов программ применимы понятия и методы теории надежности технических систем, их можно использовать только к программным средствам, функционирующим в реальном времени и непосредственно взаимодействующим с внешней средой;
при разработке и оценке качества программных компонентов не применимы понятия надежности функционирования, если при обработке информации они не используют значения реального времени и не вза имодействуют с внешней средой;
доминирующими факторами, определяющими надежность программ, являются дефекты и ошибки проектирования и разработки (сюда сле дует добавить этап тестирования), и второстепенное значение имеет физическое разрушение при внешних воздействиях (коммунальные аварии).
Сюда следует отнести (в соответствии со схемой взаимодействия, (рис, 1Л)) также: отказы программного обеспечения существенно зависят от исходных данных (входящей информации) и от содержащейся в ней или во всей информационно-вычислительной системе накопленной информации; надежность программного обеспечения зависит от надежности связанных с ним аппаратных средств, от соответствия проверенных при испытаниях или сертификации и отраженных в документации состава и конфигурации аппаратных средств; надежность программного обеспечения зависит от человеческого фактора в большей степени, чем аппаратные средства.
Имеется ряд определений и объяснений понятия надежности программных средств. В международном стандарте качества программных средств ISO 9126:1991 надежность программных средств рекомендуется характеризовать уровнем завершенности {отсутствием ошибок) устойчивостью к ошибкам и перезапускаемостыо. В стандарте ГОСТ 28806-90 формализуются общие понятия программы, программного средства, программного продукта. Так, надежная программа должна обеспечивать достаточно низкую вероятность отказа в процессе функционирования в реальном времени.
Как аппаратные средства следует рассматривать вместе с их программным обеспечением, так и программное обеспечение в соответствии со схемой взаимодействия (рис. 1.1) следует рассматривать совместно с аппаратными средствами, входящей информацией и человеческими воздействиями, обеспечивающими работу программ и, тем самым, работу всей информационной системы. При таком подходе к программному обеспечению надежность программного обеспечения хорошо согласуется с определением [37].
Надежность программного обеспечения — вероятность того, что отказ программного обеспечения, вызывающий отклонение получаемого выхода от требуемого за допустимые пределы, не произойдет при определенных условиях внешней среды в течение заданного периода наблюдения.
Следует отметить, что вопросы надежности программных средств в основном рассматриваются в технологиях создания программных средств — на этапах проектирования, программирования и тестирования.
Математические модели надежности программного обеспечения, рассмотрены в [1, 39]. Это модели Шумана [49], Джелинского - Моранды [50, 51], Шика - Волвертона [52], Вейса [53], Коркорена [54], Нельсона [55] и др. Данные модели позволяют получать оценки надежности программного обеспечения и функцию распределения наработок на отказ (как правило, экспоненциальную) сложных программ в основном на этапах разработки и тестирования.
Асимптотическое поведение функции восстановления процесса восстановления порядка (fci,^)
Оценивать и прогнозировать среднее возможное число отказов в моделях процессов восстановления при большом времени эксплуатации, что характерно для программных и аппаратных средств, можно с помощью асимптотического поведения функции восстановления.
Запишем представление (2.9),(2.10),(2.12) для функции восстановления Я (i) : H{t) = yF n\t)+ f H3 k2(t-x)dF -l\x), Яф(0ф( 2) = ф(0 )+ І НФ{к2){і-х)(ІФ{і\х). Jo Теперь последовательно имеем H(t) = J2 FW(i) + / ф(0( - x)dF 1\x)+ n=l i=l -( rt-x Jo Jo Меняем порядок интегрирования в последнем интеграле: H{i) = J2 (П)( ) + / Ф(0( - x)dF 1\x)+ і— &2 л( уі — Е/ "-2 / ( / — / + V / (/ ЯФ -я-у) 1-1 )) ). -=1Уо Уо
Еще раз применяем соотношение (2.9): Здесь ЯфЮ Ь-иф ф функция восстановления процесса восстановления 3-го порядка, образованного первой функцией распределения Ф ()} второй функцией распределения і 1"1 ), третьей и последующими функциями распределения Ф 2 (і)
Формула обобщает известную теорему об асимптотическом поведении функции восстановления для случая (2Д)[13, 20] и интересна тем, что в нее входят лишь математические ожидания (средние наработки) и среднеквадратические отклонения случайных величин, задающих процесс восставновления. I Функцию восстановления рассматриваемых моделей можно находить либо по определению через сумму ряда (2.2), либо решить соответствующие им интегральные уравнения (2.7),(2,8),(2.11), либо использовать представления (2.9), (2.10),(212).
Но во всех случаях требуется вычислять свертки функций распределения. Через свертки выражается вероятность числа отказов в процессах восстановления. Если N(t) — количество отказов за время t: то P(N(t) = к) = FW(t) - i +1)(). Представление сверток функций распределения в виде кратных рядов Рассмотрим представление сверток любого порядка в виде кратных рядов, используя разложения в ряды функций распределения, входящих в свертки [68, 69].
Будем предполагать, что ряды (2Л8) сходятся равномерно на любом промежутке [0,Т]. Ряды (2.19) сходятся равномерно на [е,Т] для любого е 0, а в нуле могут иметь интегрируемую особенность.
Заменяя в свертках функции распределения соответствующими рядами (2.18) и (2.19) и почленно интегрируя, приходим к выражению fc—кратной свертки через А:—кратный ряд:
Для нахождения функции восстановления будем пользоваться представлением (2.10): к Я(г) = ДТ(п)і (і). Для этого требуется знать функции восстановления HF F (t). Их будем находить, используя представление (2.9): HF(-n)Fik)(t) = F(n\t)+ [ HF(k)(t-x)dF{n)(x). (2.30) Jo
Задача сводится к нахождению функции восстановления простого процесса востановления, задаваемого функцией распределения F (t). Для её нахождения имеем интегральное уравнение (2.3):
Обобщенная стратегия Сс при экспоненциальном распределении наработок
Если А 1 и д 1 или А 1, /І 1 у уравнения (3.12) нет действительных корней, и стратегия только аварийных восстановлений оптимал-нее рассматриваемой стратегии. Это соответствует случаю, когда затраты на профилактические восстановления меньше, чем на аварийные, а средняя наработка восстановленного элемента после аварийного отказа больше, чем после его профилактики. Или затраты на профилактические восстановления больше, чем на аварийные, а средняя наработка восстановленного элемента после аварийного отказа меньше, чем после его профилактики. Рассмотрим статегию Сь для процесса восстановления порядка (fci, /:2)-Будем предполагать, что аварийные восстановления образуют процесс восстановления порядка (&i, /)) а после каждого профилактического восстановления заново начинается рассматриваемый процесс восстановления. То есть в результате каждой профилактики независимо от того, сколько произошло перед этим аварийных восстановлений, элемент восстанавливается с функцией распределения Fx(t)t а далее продолжается процесс восстановления порядка (fci, ) Таким образом, процесс эксплуатации разбивается на стохастически эквивалентные циклы пт (п + 1)т, п = 0,1,...
Тогда интенсивность эксплуатационных затрат будет выражаться формулой (3.2) как и для простого процесса востаиовления, где уже H(t) — функция восстановления рассмариваемого процесса восстановления порядка (khk2) [20]: Rb = ±ММ (3.30) т Перепишем (3.30) в виде = ±Щ b = h (З.ЗЦ
Используя асимптотическое поведение функции восстановления, перейдем в (3.31) к пределу при г — со, что соответствует проведению только аварийных восстановлений. Тем самым имеем стратегию Са.
Для нахождения оптимального времени г проведения профилактических восстановлений, при котором достигается наименьшее значение интенсивности эксплуатационных затрат, приравняем к нулю производную 4 = ШУг-ну-ъ) = 0 (3 зз, Таким образом, задача сводится к исследованию функции Y(r) = тН\т) - Н(т) - Ь. (3,34)
Рассмотрим стратегию Сь для процесса восстановления к—го порядка при экспоненциальном распределении наработок: Fn(t) = 1 — e nt, ап = аь при п к} о { ф щ при і ф jy i,j к. В этом случае [28, 29] г=1 \з=\,{іфз) 3 J + Е( П )(1-вхр- ). (3.35) Получим другое представление функции ff(i), удобное для исследования функции У (г).
Воспользуемся представлением (2.9) с учетом того, что в рассматриваемом случае HFkit) = &кі- К обеим частям (2.9) применим преобразование Лапласа - Стилтьеса:
От лреобразования Лапласа - Стилтьеса перейдем к преобразованию Лапласа (2,47); п=\ j=l J j=l J
Вычисляя по формуле (2.48) обратное преобразование Лапласа с учетом того, что в первом слагаемом в (3.36) 5 — 0, s — — ay полюсы первого порядка, а во втором слагаемом 5 = 0 полюс второго порядка И5- — ay полюсы первого порядка, получаем представлИсследуем ее на экстремум. Из формулы (3.34) для функции Y(T), учитывая непрерывность производной H (t) при t 0 и что #(0) = 0, след гет Y(0) = -b 0. Переходя к пределу в (3.38) при т - +оо, учитывая, что lim те-аіТ = 0, Г-Ц-00 получаем fc-i y(+cx)) = V -fc + l-6..
Таким образом, fc-i Г(0) = -Ь 0, У(+со) = -А; + 1-Ь. ,-=1 Если потребовать выполнение условия fc-i Oik V—-& + !-& 0, (3.39) то из неравенств У(0) 0, У(+оо) 0 следует, что функция У (г) пересекает ось т и уравнение (3.34) имеет хотя бы один корень.
Учитывая, что при экспоненциальном распределении М(ХА = —, неравенство (3.39) перепишем в виде ение функции восстановления
Квадратурные формулы для вычиследения сверток функций распределения любого порядка
Следуя [29], рассмотрим один из методов приближенного вычисления сверток [87]: t (F1 F2){t) = J Fl{t-x)F {x)dx. о
Пусть 0 і 7\ Разделим отрезок [0,Т] точками tj на п промежутков длины k = —, ti — ihj і — 1,2,...,п. Для приближенного вычисления интегралов берем квадратурную формулу с равноотстоящими узлами, например, прямоугольников [88]: ff(i)dt = J№)dt « A /ife), (4.1) о о J=1 { 0, і и Тогда Fm(U) = / Fi(U - x)F 2{x)dx и Н НК -з№Ш 4-2) о i=l
Суммирование производится до г — 1, так как і і(0) — 0 (i i() - функция распределения). Применяя (4.2), получаем приближенные формулы для последовательного вычисления сверток п-го порядка:
Рассмотрим решение интегрального уравнения (2.11) методом конечных сумм [86]. Применяя квадратурную формулу (4.1)3 с учетом Я(0) = О, интегральное уравнение (??) запишем в виде 1-і Н(и) = G{ti) + Л H(U - У)Ф№) Й). 4.7) Свертки, входящие в G{ti)i вычисляем по формуле (4.4), Учитывая, что Ф 2"(;-) = 0 при j &2 "- 1, соотношение (4.7) перепишем в виде г-1 H(ti) = G{U) + h Y, Щи-%)$ №&), при i fca-l, (4.8) H(ti) = G(U)} при і k% - 1.
Пусть зафиксирована ) число Т. Чтобы учесть слагаемые, входящие в сумму формулы (4.8), количество интервалов щ на которые разбивается отрезок [О, Т], должно удовлетворять условию п &2 — 1.
Численную реализацию решения интегрального уравнения проводим по следующей схеме. Задаем є - требуемую точность и п, удовлетворяющее условию п
По формуле (4.8) вычисляем функцию восстановления в точках t{. Удваеваем число п и опять по формуле (4.8) вычисляем функцию восстановления в полученных точках t{ Пусть Нп(і{), Н2П{І2І) соответствую-щие значения.
Вычисляем el = max\ffn(ti) — І?2«( 2І)І Ї = 1,"2,. , ,rt Процесс вычисления продолжаем до тех пор пока, последнее полученное el будет удовлетворять неравенству el .
Программный комплекс для нахождения функции восстановления процессов восстановления порядка (/:1,) методом конечных сумм и оптимизации стратегий восстановления
Разработан программный комплекс для решения следующих задач:. нахождение функции восстановления для процесса восстановления порядка (&i,&2) с наработками, имеющими экспоненциальное распределение, распределение Эрланга и распределение Вейбулла - Гнеденнко при /3 1; оптимизация стратегии С& по минимуму интенсивности эксплуатационных при процессе восстановления порядка ( 1,) с наработкамии, имеющими экспоненциальное распределение, распределение Эрланга и распределение Вейбулла - Гнеденко при /3 1; оптимизация стратегии Сс по минимуму интенсивности эксплуатаци ш онных затрат при простом процессе восстановления с наработками, имеющими экспоненциальное распределение, распределение Эрланга и распределение Вейбулла - Гнеденко при /3 1.
В оптимизационных задачах рассчитывается оптимальное время проведения профилактических восстановлений с соответствующим оптимальным значением интенсивности эксплуатационных затрат.
Программный комплекс можно использовать также для решения сле j дующих задач: ОІІТИУИ:Ш.ПДШ порядка ; шпп процесса аоестащжлоиия для шишкиза-ЦШЙ среднего писла отказов; оптимизации порідка ; ш.мен проплат восстановления для шгшмина цим выбранной сратегняи восстановления; выбор оптимальной стратегии из возможных стратегий.
