Вычислительные схемы для анализа моделей низкоразмерных квантовых систем Лыонг Ле Хай

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Физические и математические модели 16

1.1. Физическая и математическая модель ридберговских состояний водородоподобного атома 19

1.2. Физическая и математическая модель туннелирования двух свя занных частиц 24

1.3. Физическая и математическая модель волноводного распространения электромагнитного излучения 28

1.4. Редукция краевой задачи к системам ОДУ второго порядка 31

Глава 2. Вычислительные схемы решения краевых задач для системы ОДУ второго порядка 36

2.1. Краевые задачи для системы ОДУ и симметричный квадратичный функционал 37

2.2. Вычислительные схемы МКЭ с ИПЭ 42

2.3. Тестовые примеры применения программы KANTBP 4М 61

Глава 3. Решение задачи на собственные значения для моделей волноводного типа и ридберговских состояний атома водорода 77

3.1. Решение задачи на собственные значения волноводного типа с кусочно-постоянными потенциалами 77

3.2. Схема расчета ридберговских состояний атома водорода и скоростей радиационных переходов в постоянном магнитном поле 82

Глава 4. Решение многоканальной задачи рассеяния волноводного типа и задачи квантового туннелирования двухчастичных

4.1. Кусочно-постоянные потенциалы волноводного типа 107

4.2. Модели тунелирования системы двух тождественных квантовых частиц через потенциальные барьеры 110

Заключение 126

Список публикаций по теме диссертации 128

Список литературы

• Физическая и математическая модель туннелирования двух свя занных частиц
• Вычислительные схемы МКЭ с ИПЭ
• Схема расчета ридберговских состояний атома водорода и скоростей радиационных переходов в постоянном магнитном поле
• Модели тунелирования системы двух тождественных квантовых частиц через потенциальные барьеры

Введение к работе

Актуальность работы. В настоящее время низкоразмерные квантовые и классические системы во внешних полях интенсивно исследуются из-за разнообразия их приложений в процессах фотоионизации, рекомбинации атомов и молекул, радиационных переходов ридберговских состояний атомов в магнетооптических ловушках, приповерхностной квантовой диффузии молекул, распространения света в нерегулярных интегрально-оптических волноводах ¹.

Объектами моделирования являются процессы тунелирования составных квантовых систем через многомерные барьеры, радиационных переходов в ридберговских состояниях атомов в магнетооптических ловушках и формирования поперечного распределения электромагнитного поля вол-новодных мод, распространяющихся в нерегулярных интегрально-оптических структурах. Математической моделью каждого из них является уравнение в частных производных второго порядка эллиптического типа в неограниченной области с различными потенциалами, не допускающими разделения переменных и с различными граничными условиями. Для решения, возникающих в этих моделях задач, мы применяем метод Канторовича - приведение исходной задачи к системам обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка с редуцированными граничными условиями в конечной области . Далее мы решаем возникающие при этом краевые задачи методом конечных элементов (МКЭ) с интерполяционными полиномами Эрмита (ИПЭ) и иллюстрируем применение разработанных нами вычислительных схем, алгоритмов и программ к анализу физически приемлемых или упрощенных моделей.

Степень разработанности темы исследования. В этом направлении в рамках вариационно-проекционных формулировок краевых задач и метода конечных элементов высокого порядка точности были разработаны и применены для решения ряда низкоразмерных квантовомеханиче-ских задач, т.е. систем с ограничением по одной или нескольким независи-

¹ Егоров А.А. Теоретический и численный анализ волноводного распространения
и рассеяния собственных и несобственных мод нерегулярного интегрально-оптического
волновода // Квант. Электр. 2012. Т. 42. № 4. С. 337-344; Егоров А.А., Севастьянов
Л.А. Структура мод плавно-нерегулярного интегрально-оптического четырехслойного
трехмерного волновода // Квантовая Электроника. 2009. Т. 39. №6. С. 566-574; Егоров
А.А., Ставцев А.В. Особенности разработки алгоритмов и программ для расчета основ
ных характеристик нерегулярных интегрально-оптических волноводов // Выч. мет. и
прогр. 2010. Т. 11. № 2. С. 31-39.; Малых М.Д., О распрямлении локально деформи
рованного волновода // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия:
Математика, информатика, физика. 2014. N 2. С. 126-132.

² Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа (М.
Физматгиз 1951).

³ Стренг Г., Фикс Г., Теория метода конечных элементов. (М. Мир 1977).

⁴ Березин И.С, Жидков Н.П., Методы вычислений, Том 1, (М. ФМЛ 1962).

мым переменным, например, фотоионизации атома водорода в магнитном поле, фотоабсорпции в ансамблях полупроводниковых квантовых точек, каналирования ионов и т.д., вычислительные схемы, численно-аналитические алгоритмы и проблемно-ориентированные комплексы программ для решения краевых задач динамики малочастичных квантовых систем ⁵.

В вычислительной схеме, алгоритмической и программной реализации МКЭ, в качестве локальных функций использовались интерполяционные полиномы Лагранжа, что позволяло получить только значения приближённого решения в узлах конечноэлементной сетки. Однако решение более широкого класса краевых задач, включает вычисление не только значений приближённого решения, но и их производных в узлах конечноэлементной сетки, например, вычисление плотности тока вероятности в квантовомеханических системах или тока носителей заряда в полупроводниковых квантоворазмерных системах . В этом случае требуется разработка схем МКЭ, в которых в качестве локальных функций, имеющих непрерывные производные на границах конечных элементов, применяются ИПЭ. В литературе известны примеры конечноэлементных схем с ИПЭ ³'⁶, однако отсутствует быстрый алгоритм генерации в аналитическом виде ИПЭ высокого порядка , необходимый для построения и численного анализа схем МКЭ высокого порядка точности для дифференциальных уравнений второго и более высоких порядков .

Другая нерешённая проблема в формулировке краевых задач, построения схем МКЭ и их алгоритмической реализации связана с отсутствием симметрии коэффициентных функций по независимой переменной, например, профиля показателя преломления или составных потенциалов квантовых систем, которые приводят к различному числу открытых каналов задачи рассеяния на оси в разных асимптотических областях .

Таким образом, разработка эффективных численных и аналитических методов, экономичных вычислительных схем, алгоритмов и создание

⁵ Виницкий СИ., Гусев А.А., Чулуунбаатар О. и др. Пакет программ для решения методом Канторовича (адиабатическим методом) двумерных и трехмерных краевых задач дискретного и непрерывного спектра

^е Ramdas Ram-Mohan, L.: Finite Element and Boundary Element Aplications in Quantum Mechanics. Oxford University Press, New York (2002)

⁷ Утеглев А. Ю-, Тамасян Г.Ш. К задаче полиномиального интерполирования с
кратными узлами // Вести. СПбГУ. 2010. Сер. 10. Вып. 3 С. 76-85.

⁸ Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высокого порядка точности. Л:
ЛГУ, 1977.

⁹ Любарский Г.Я., Повзнер А.Я. К теории распространения волн в нерегулярных
волноводах // ЖТФ 1959 т. 29, N 2, с. 170-179; Мальцев Н.Е., Некоторые модификации
метода поперечных сечений // Акустический журнал, 1970 т. 16, N 1, с. 102-109; Бре-
ховских Л. М., Волны в слоистых средах. М. Наука 1973; Gevorkyan М. N., Kulyabov D.
S., Lovetskiy К. P., Sevastyanov A. L. and Sevastyanov L. A. Waveguide modes of a planar
optical waveguide // Mathematical modeling and geometry, 2015, Vol. 3, N1, pp. 43-63.

проблемно-ориентированных комплексов программ для анализа математических моделей и решения эллиптических краевых задач, в зависимости от физических параметров и параметров вычислительных схем, является актуальной проблемой математического моделирования низкоразмерных квантовых и волноводных систем.

Цель диссертационной работы — Разработка эффективных численных и аналитических методов, экономичных вычислительных схем, алгоритмов и создание проблемно-ориентированных комплексов программ решения краевых задач для систем ОДУ второго порядка с вещественными коэффициентами и их применение для исследования математических моделей низкоразмерных квантовых систем.

Основные цели диссертации достигаются решением следующих задач:

1. Разработка эффективных численно-аналитических методов и вычислительных схем редукции математических моделей низкоразмерных квантовых систем - краевых задач в бесконечной области изменения независимых переменных к системам ОДУ второго порядка с однородными краевыми условиями первого, второго и третьего рода на конечном интервале.

2. Разработка алгоритмов дискретизации краевых задач на конечном интервале для систем ОДУ второго порядка с вещественными коэффициентами, применяя МКЭ с ИПЭ, и создание комплексов программ для анализа и численного решения краевых задач.

3. Численные исследования скорости сходимости разложения искомого решения краевых задач для систем ОДУ второго порядка по числу базисных функций МКЭ и точности вычисления приближенных решений с помощью разработанных алгоритмов и комплексов программ на точнорешаемых моделях и численных экспериментов на сгущающихся сетках.

4. Применение разработанного комплекса программ для анализа динамических характеристик моделей низкоразмерных квантовых систем:

ридберговских состояний атома водорода и скоростей радиационных переходов при больших значениях магнитного квантового числа \т\ и лабораторных значениях постоянного магнитного поля;

квантового туннелирования двухатомной молекулы через барьеры.

Научная новизна диссертации состоит в следующем.

5. Построены новые эффективные вычислительные схемы МКЭ высокого порядка точности с применением ИПЭ и оригинальные экономичные алгоритмы, реализованные в виде проблемно-ориентированного комплекса программ численного решения краевых задач для системы ОДУ второго порядка с однородными краевыми условиями первого, второго или третьего рода.

6. С помощью разработанных численно-аналитических вычислительных схем и созданных проблемно-ориентированных комплексов программ выполнен анализ динамических характеристик:

— модели ридберговских состояний атома водорода и скоростей ради-

ационных переходов при больших значениях магнитного квантового числа \т\ при лабораторных значениях постоянного магнитного поля,

— модели квантового туннелирования двухатомной молекулы через отталкивающие барьеры. Выявлен эффект квантовой прозрачности барьеров при резонансном туннелировании двухатомных молекул.

Теоретическая значимость. Разработанные вычислительные схемы и алгоритмы на основе МКЭ и ИПЭ позволяют решать краевые задачи для систем ОДУ второго порядка с переменными вещественными коэффициентами, которые могут применяться при решении краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений методом Канторовича.

Практическая значимость. На основе разработанных вычислительных схем и алгоритмов созданы проблемно-ориентированные комплексы программ, которые могут применяться численного решения краевых задач моделей волноводных и низкоразмерных квантовых систем. В общей сложности в перечисленных выше комплексах программ задействовано около 5000 операторов фортранного кода и около 500 операторов мэпловского кода. Программа KANTBP 4М решения в системе Maple краевых задач для системы ОДУ второго порядка с полным описанием и тестовыми примерами представлена в библиотеке программ ОИЯИ [. Разработанные вычислительные схемы, алгоритмы и проблемно-ориентированные комплексы программ используются в ОИЯИ, Саратовском государственном университете (СГУ, г. Саратов, Россия), Институте ядерной физики (ИЯФ, г. Ал маты, Казахстан), Российско-Армянском (Славянском) университете (РАУ, г. Ереван, Армения) и университете им. Марии Кюри-Склодов-ска (UMCS, г. Люблин, Польша) для анализа моделей низкоразмерных квантовых систем. Исследования выполнялись автором в соответствии с научно-тематическими планами научно-исследовательских работ ОИЯИ и БелГУ и в рамках протоколов о выполнении совместной научно-исследовательской работы с СГУ, ИЯФ, РАУ и UMCS.

Методология и методы исследования. Метод Канторовича, метод конечных элементов (МКЭ), интерполяционные полиномы Эрмита (ИПЭ), схемы теории возмущений.

На защиту выносятся следующие основные результаты.

7. Новые вычислительные схемы высокого порядка точности и алгоритмы для численного решения краевых задач для систем ОДУ второго порядка с переменными вещественными коэффициентами и однородными краевыми условиями первого, второго и третьего рода на основе метода конечных элементов с интерполяционными полиномами Эрмита.

8. Проблемно-ориентированные комплексы программ для численного и аналитического исследования математических моделей низкоразмерных квантовых систем. Программа KANTBP 4М решения краевых задач для системы ОДУ второго порядка в библиотеке программ ОИЯИ.

9. Согласие зависимости погрешностей собственных значений и соб-

ственных функций от шага конечноэлементной сетки с их теоретическими оценками порядка точности разработанных вычислительных схем, полученное в численном эксперименте.

4. Физические результаты для математических моделей низкоразмерных квантовых систем во внешних полях, полученные с помощью разработанных численно-аналитических вычислительных схем, алгоритмов и созданных комплексов программ:

Собственные значения, собственные функции нижней части спектра и скорости радиационных переходов в модели ридберговских состояний атома водорода, при больших значениях магнитного квантового числа \т\ и лабораторных значениях постоянного магнитного поля.

Резонансная зависимость от энергии коэффициентов прохождения и отражения, демонстрирующая эффект квантовой прозрачности барьеров в модели квантового туннелирования двухатомной молекулы через отталкивающие барьеры и квантовой диффузии — понижение энергии активации барьеров при низких температурах.

Достоверность результатов. Корректность результатов подтверждена численными экспериментами на математических моделях низкоразмерных квантовых систем, допускающих точное решение, проверкой выполнения известных теоретических оценок погрешностей численных решений и сравнением с результатами других авторов.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на международных конференциях: International Workshop on Computer Algebra in Scientific Computing, (3-6 сентября 2012 г., Марибор, Словения; 9-13 сентября 2013 г., Берлин, Германия; 8-12 сентября 2014 г., Варшава, Польша; 14-18 сентября 2015 г., Аахен, Германия), Международное рабочее совещание по компьютерной алгебре (23-24 мая 2012 г., 21-22 мая 2014 г., 26-27 мая 2015 г., Дубна), Международная научная конференция Объединения молодых ученых и специалистов ОИЯИ (8-12 апреля 2013 г., 16-20 февраля 2015 г., Дубна) Лазерная физика и фото-ника, Симпозиум: Оптика и биофотоника, Saratov Fall Meeting, Саратов, (23-26 сентября 2013г.), и на научных семинарах Лаборатории информационных технологий (ЛИТ) Объединённого института ядерных исследований (г. Дубна), факультета математики и естественнонаучного образования Белгородского государственного национального исследовательского университета (НИУ БелГУ г. Белгород), кафедры прикладной информатики и теории вероятностей факультета физико-математических и естественных наук РУДН (г. Москва), Компьютерная алгебра на факультете ВМК МГУ и ВЦ РАН (г. Москва).

Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 10 публикациях [1-Ю] из которых 7 в виде статей в журналах, рекомендованных ВАК РФ [1-7], 2 в виде статей в трудах российских и международных конференций [, , программа KANTBP 4М решения краевых задач для

системы ОДУ второго порядка в библиотеке программ ОИЯИ [.

Личный вклад автора. Автор диссертации, работая в коллективе соавторов, самостоятельно разработал все вычислительные схемы, алгоритмы, программы и тесты, представленные в диссертации. Его вклад в формулировку представленных математических моделей, компьютерное моделирование и анализ физических задач является определяющим.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и заключения. Объём диссертации - 137 страниц, 36 рисунков, 7 таблиц. Список литературы включает 73 наименования.

Физическая и математическая модель туннелирования двух свя занных частиц

Ридберговские состояния - состояния атомов, ионов и молекул с большими значениями главного квантового числа N, т.е. это высоковозбуждённые состояния. Названы в честь И. Р. Ридберга (J. R. Rydberg), впервые экспериментально исследовавшего атомные спектры вблизи границы ионизации. Ридберговские состояния атомов и ионов характеризуются чрезвычайно малыми (по атомным масштабам) ионизационными потенциалами, большими временами жизни (т. к. вероятность излучательных квантовых переходов в них мала) и большими радиусами орбит высоковозбуждённого (ридберговского) электрона. Ридберговские состояния подобны состояниям атома водорода. Переходы между соседними ридберговскими состояниями лежат в радиодиапазоне. Большие размеры орбит и малые энергии связи ридберговского электрона обусловливают высокую чувствительность ридберговских состояний к воздействию электрического и магнитного полей. В отличие от обычных слабовозбуждённых состояний, для которых основную роль играет парамагнитное взаимодействие атома с магнитным полем [38, 39], для атомов в ридберговском состоянии важную роль играет диамагнитное взаимодействие, очень быстро растущее с увеличением поля. В слабых полях основную роль играет вклад, который даёт расщепление по т-компонентам, качественно такое же, как и для слабо возбуждённых состояний. С ростом напряжённости поля увеличивается вклад диамагнитного взаимодействия, которое связывает состояния с одинаковыми т, I и А/ = 0, ±2. Каждый уровень с квантовыми числами пит расщепляется на п — \т\ компонент. С дальнейшим увеличением напряжённости поля начинают перемешиваться уровни с разными п и спектр водорода в магнитном поле становится похожим на спектр атома в электрическом поле. В случае предельно сильных полей основную роль играет взаимодействие с магнитным полем и ридберговские состояния являются состояниями Ландау [39, 40]. Нас интересует исследова ние ридберговских атомов в сильных магнитных полях и именно они являются объектом моделирования.

Принимая во внимание интерес к проблемам, обладающим осевой симметрией, таких как примесные состояния квантовых проволок или ридберговских и квазистационарных состояний, вложенных в континуум атома водорода в маг-нито-оптических ловушках [2, 41, 42], необходимо реализовать вычислительную схему метода Канторовича для нахождения решений краевых задач для продольной переменной на всей оси в цилиндрической системе координат [43, 44]. Это позволит нам не только выполнить расчёт скоростей радиационных переходов низколежащих связанных состояний с большими значениями магнитного квантового числа \т\, которая определяется дипольным моментом между состояниями и частотой испущенного фотона, и сравнить точность полученных результатов с известными [2, 41], но и получить эффективный инструмент для расчета основных характеристик многоканальной задачи рассеяния, такие как коэффициенты отражения и прохождения, скорости рекомбинации и ионизацию сечения ридберговских состояний [42]. Для уравнения Шредингера, описывающего состояния водородоподобного атома в сильном однородном магнитном поле, краевая задача в цилиндрической системе координат редуцируется к решению уравнений относительно продольной переменной в рамках метода Канторовича. Эффективные потенциалы этих уравнений даются интегралами по поперечной переменной. Подынтегральные выражения которых являются произведениями поперечных базисных функций, зависящих от продольной переменной как от параметра, и их первых производных по параметру. При больших значениях \т\ задача дискретного спектра описывается системой связанных осцилляторов: двумерного сор по поперечной переменной р и одномерного с частотой uoz по продольной переменной z. Для анализа ридберговских состояний такой системы при необходимо иметь решение не только численном, но ивв аналитическом виде, достаточном для оценки скорости радиационных переходов долгоживущих состояний и границы области значений магнитного квантового числа, которые определяют скорости ионизации и рекомбинации при лабораторных значениях магнитного поля [35].

Формулировка краевой задачи и редукция к системе ОДУ

В цилиндрической системе координат (р,2, р), компонента Ф(р,г) волновой функции Ф(р, z, ф) = Ф(р, z) ещ {ітф)/у/Ьк для водородоподобного атома в аксиально симметричном магнитном поле В = (О, О, В) удовлетворяет уравнению Шредингера в двумерной области Пс = {0 р = xf ос, -ос z = xs ос}: Здесь m = 0,±1,... — магнитное квантовое число, 7 Во = 2.35 х 105Тл - безразмерный параметр, определяющий напряжённость магнитного поля В, сос = еВ/{тес) = еВо /(тес) — циклотронная частота, U(p,z) — потенциальная энергия (см. рис. 3.2а), (3 — заряд ядра. Мы используем атомные единицы (а.е.) h = те = е = 1 и предполагаем, что масса ядра бесконечна. Здесь 8 = 2Е - энергия (в Ридбергах, 1 Ry = (1/2) а.е.) связанного состояния \та) при фиксированных значениях магнитного квантового числа т и z-чётности а = ±1 (Фт(р,г) = 4 m(J{p,z) = a4 m(J{p,-z)). Решения Фт(р, z) уравнения (1.1) подчиняются асимптотическим граничным условиям на границе области Пс

Вычислительные схемы МКЭ с ИПЭ

В данной главе определён объект моделирования набор физических моделей волноводных и низкоразмерных квантовых систем: ридберговские состояния водородоподобного атома и радиационные переходы при больших значениях магнитного квантового числа в магнитном поле (раздел 1.1), туннелирование через потенциальные барьеры пары связанных частиц (двухатомная молекула) (раздел 1.2), и формирование поперечного распределения электромагнитного поля волноводных мод в плавно нерегулярных интегрально-оптических структурах (раздел 1.3).

Математической моделью каждого из них является уравнение в частных производных второго порядка эллиптического типа в неограниченной области с различными потенциалами, не допускающими разделения переменных и с различными граничными условиями. Для решения, возникающих в этих моделях задач, мы применяем метод Канторовича - приведение исходной задачи к системам обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка с вещественными коэффициентными функциями и с редуцированными граничными условиями в конечной области (разделы 1.1 -- 1.3).

В разделе 1.4 для данного класса математических моделей представлена формулировка краевой задачи для эллиптического уравнения в двумерной области с редуцированными однородными краевыми условиями смешанного типа на её границе, и приведение к краевой задаче для системы ОДУ второго порядка на конечном интервале с однородными краевыми условиями первого, второго или третьего типа, используя подходящий набор решений параметрической краевой задачи, подчинённых исходным краевым условиям при каждом значении параметра из интервала изменения независимой переменной системы ОДУ. Для решения сформулированных краевых задач в главе 2 разработана новая эффективная схема метода конечных элементов высокого порядка точности с применением интерполяционных полиномов Эрмита.

В данной главе представлены конечноэлементные вычислительные схемы решения краевых задач для систем ОДУ второго порядка с непрерывными, кусочно-непрерывными вещественными функциями, использующие ИПЭ. Выведены рекуррентные соотношения для вычисления в аналитическом виде ИПЭ с узлами произвольной кратности. Матрицы жёсткости и масс строятся в виде сумм интегралов от заданных коэффициентных функций исходного самосопряженного дифференциального уравнения, вычисленных ИПЭ и их производных. Интегралы вычисляются с помощью гауссовых квадратур, а для кусочно-непрерывных полиномиальных коэффициентных и потенциальных функций в аналитическом виде. Для аппроксимации таблично-заданных коэффициентных функций применяются интерполяционные формулы.

Построенные матрицы жёсткости и масс используются для формулировки обобщённой алгебраической задачи на собственные значения, соответствующей исходной задаче на связанные состояния, или неоднородной алгебраической задачи при фиксированном значении спектрального параметра, соответствующей исходной задаче рассеяния, которые при малых размерностях матрицы решаются, используя систему компьютерной алгебры. Для решения неоднородной алгебраической задачи разработан специальный алгоритм, который сводит обращение матрицы высокой размерности (для большого числа алгебраических уравнений) к обращению матриц небольшой размерности. Эффективность -порядок аппроксимации по шагу конечноэлементной сетки, требуемая точность и экономичность - ленточная структура матриц, время выполнения алгоритмов и программ, в системе Maple для ленточных матриц размерностью порядка 1000 и на языке Fortran при 1000 показана тестовыми расчетами точноре шаемых задачах с непрерывными или кусочно-непрерывными потенциальными функциями.

Основные результаты опубликованы в [Л1, Л2, Л10]. Краевые задачи для системы ОДУ и симметричный квадратичный функционал

Вычислительная схема и реализующая её программа предназначена для численного решения методом конечных элементов (МКЭ) [18] краевых задач для системы из N обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка относительно неизвестных функций Ф(г) = (Фі(я),... ,Фдг( ))Т независимой переменной z Є ft(zmin, zmax): непрерывные или кусочно-непрерывные положительные функции, I - единичная матрица, V(z) - симметричная V -(z) = Vji(z) и Q(z) - антисимметричная QtJ(z) = -Qji(z) матрицы эффективных потенциалов размерностью N х N, элементы которых непрерывные или кусочно-непрерывные вещественные функции, обеспечивающие существование нетривиальных решений, подчинённых граничным условиям первого (I), второго (II) или третьего (III) рода в граничных точках интервала z Є (zmm, max) при заданном значении элементов вещественной или комплексной матрицы n(zf) размерностью N х N

Для многоканальной задачи рассеяния [30, 49] на оси z Є (-ос, +оо) при фиксированном значении энергии Е = ШЕ вычисляется искомая матрица решений Ф(г) = {Ф(г)}?=1, ФІМ = (ф)М,---,ФІІІМ)Т, ф( ) Є WgHfiz) (индекс г принимает значения — или (— и обозначает начальное направление падающей волны слева направо или справа налево (см. рис 2.1)) краевой задачи для системы из N обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка (2.1) на интервале z Є (zmin,zmax), подчинённых граничным условиям третьего рода (2.4) в граничных точках интервала z Є {zmin, zmax}, с асимптотикой

Схема расчета ридберговских состояний атома водорода и скоростей радиационных переходов в постоянном магнитном поле

Построим дискретное представление решения Ф(г) задачи (2.1)–(2.4), редуцированной к симметричному квадратичному функционалу (2.5), (2.6) на ко-нечноэлементной сетке, с узлами zi = Zjp = zj1 = zx- [ на сетке W , ], определённой в (2.16), и узловыми точками z\ = z p+r, г = 0,... ,р подсеток Q- Щш\ zax], j = 1,... ,п, из уравнения (2.17). Решение &h{z) « $ {z) ищем в виде разложения по базисным функциям №(z) на интервале z Є А = [zmin,zmax]: где L = (рп + 1)ктах число базисных функций Nji(z) и искомых коэффициентов ФІ (матрицы-столбцы размерностью N х 1), которые при /І = /ктах + к есть значения производных к-го порядка функции &h{z) в каждом узле z = Zk сетки .(z)[zmin, zmax], включая значение самой функции $ hm(z) при к = 0.

Базисные функции Ng(z) это кусочно-непрерывные полиномы порядка ]У на интервале z Є А = [zmin,zmax]. Значения функции A (z) = AfKmax+K(z) и её производных до порядка ктах — 1 равны нулю во всех узлах сетки jz\, за исключением значения производной к-го порядка в узле z\ равного единице, т.е. , т.е. определяется как интерполяционный полином Эрмита NKm r+K[z) zm, zax) на элементе z Є Aj и равен нулю вне его. Поскольку точки zj1111 и zax есть нули кратности ктах, то такие кусочно-полиномиальные функции и их производные до порядка ктах — 1 являются непрерывными на всём интервале А. Для узлов zi сетки (2.27), совпадающих с одной из точек zax сетки (2.16), принадлежащей двум элементам Aj и AJ+h j = 1,... ,n - 1, т.е. при I = jp, кусочно-полиномиальная функция N Kmax-+K(z), производная которой порядка к, в узле zi = zax равна единице, имеет вид:

Другими словами, кусочно-полиномиальные функции строятся как сшивка двух полиномов, первый из которых NKmaXp+K(z,zfn,zJmx), определён в области А3 и значение его производной порядка к, в узле z\ = zax равно единице, а второй NK(z,2ffi,z] ) - определён в области Aj+i и значение его производной порядка к, в узле z\ = zax также равно единице. Эти кусочно-полиномиальные функции со всеми их производными до порядка ктах — 1 также непрерывны на интервале z Є Д.

В качестве примера на рис. 2.5, 2.6 и 2.7 представлены базисные функции Ng(z) - кусочно-непрерывные полиномы порядка р с ИПЭ при различных ктах и р на сетке (2.27) из трёх конечных элементов п = 3.

На рис. 2.5 показаны базисные функции с лагранжевыми элементами первого р = 1, второго р = 2и четвёртого р = 4 порядка: (ктах,р) = (1,1), (ктах,р) = (1,2), (ктах,р) = (1,4). Видно, что в граничных точках конечных элементов, отмеченных вертикальными линиями, базисные функции непрерывны, а изломы показывают, что их первые производные терпят разрывы. На рис. 2.6 показаны базисные функции третьего порядка р = 3 с лагранжевыми элементами (ктах,р) = (1,3), и с эрмитовыми элементами (ктах,р) = (2,1). На рис. 2.7 показаны базисные функции пятого порядка р = 5 с лагранжевыми элементами (ктах,р) = (1,5), и с эрмитовыми элементами (ктах,р) = (2,2) и (ктах,р) = (3,1). Видно, что эрмитовы элементы, в отличие лагранжевых, в граничных точках конечных элементов не имеют изломов, т.е. базисные функции и их первые производные непрерывны.

Остаток от деления номера базисной функции /І на ктах показывает, функция (если /І кратно ктах) или производная порядка к, (если остаток равен к) в одном из узлов принимают значение равное единице: для базисных функций с эрмитовы элементами с ктах = 2, первые производные которых в одном из узлов принимают значение равное единице, отмечены нечётными числами, а для базисных функций с эрмитовыми элементами с ктах = 3, первые и вторые производные которых в одном из узлов принимают значение равное единице, отмечены числами 1,4,7,10 и 2,5,8,11, соответственно.

Подстановка разложения (2.28) в симметричный квадратичный функционал (2.5), (2.6) сводит краевую задачу (2.1)-(2.4) к обобщённой алгебраической задаче относительно набора собственных значений Е собственных векторов ФН = {{$(yjLi} =o: (А-ЯЛВ)ФЛ = 0. (2.31) Здесь А = А(2) + AW + V + Mmin - Mmax и положительно определённая В симметричные матрицы жёсткости и масс размерностью NL х LN, где L = ктах(гф+1):

Структуры матриц BLlL2 и ALlL2 при V{z) = 0 и Q(z) = О для шести (п = 6) элементов на всём интервале (zmm, zmax) в зависимости от кратности узлов ктах и числа подынтервалов р для схем седьмого порядка точности р = 7. Черными клетками отмечены ненулевые элементы матриц Mmm и Mmax для граничных условий третьего рода. Слева направо: (ктах,р) = (1,7), (ктах,р) = (2,3), (ктах,р) = (4,1), матрицы размерностью L х L, L = ктах(пр+1), соответственно, равной 43 х 43, 38 х 38, 28 х 28, с общим числом элементов внутри блоков (п(р2 + 2р) + 1)(ктах)2 = 379,364,304 и шириной ленты 2(р + 1) - ктах = 15,14,12. При N 1 каждый блок представляет собой матрицу размерностью N х N, т.е. В и А есть матрицы размерностью NL х NL с общим числом элементов внутри блоков (п(р2 + 2р) + l)(/imax)2iV2 и шириной ленты (2(р + 1) - ктах)Ж

Замечания: 1. Если коэффициентные fB(z), fA(z) и/или потенциальная V(z) функции уравнения (2.1) заданы в табличной форме, то используя подходящую интерполяцию по ИПЭ, применяем интерполяционную квадратурную формулу например,

Модели тунелирования системы двух тождественных квантовых частиц через потенциальные барьеры

Полученная система тринадцати нелинейных уравнений относи тельно 13 неизвестных (спектрального параметра Е, и 12 параметров (А(1); АН(6) 0(1), ..., _С(6)) решается численно с помощью встроенной про цедуры fsolve. Поскольку сравниваются значения искомого спектрального па раметра Е, на экран выводится только значение искомого спектрального пара метра Е. Чтобы итерационный процесс решения нелинейной задачи сходился к различным значениям спектрального параметра Е, начальные условия для неизвестных коэффициентов в системе нелинейных уравнений генерируются случайным образом с помощью встроенной процедуры rand, при этом процеду ра решения fsolve запускается 2 numberf раз. В процессе тестирования выяснилось, что для вычисления собственных значений Е\х Е 2 ... Е , которые выводятся на экран для сравнения с собственными значениям Е\ Е\ ... Е, вычисленными методом конечных элементов, иногда количества повторений 2 numberf недостаточно, т.е. решение слишком часто сходится к одному из собственных значений. В этом случае команду «read "examplelOtest.txt";» следует повторить ещё раз.

Задание случайных начальных условий для решения системы нелинейных уравнений было выбрано исходя из предположения, что заранее они не известны и можно указать только границы интервала изменения спектрального параметра [29].

Погрешность 5Ет = \Ehm - Е%\ набора собственных значений Е% задачи на оси (программа SEGV) и Ehm на вышеуказанной конечноэлементной сетке (программа KANTBP 4М) даёт погрешность вычисления собственных значений не хуже 10-9 при вычислениях с Digits=12 значащими цифрами.

Таким образом, с помощью программы KANTBP 4М можно вычислить набор собственных значений Еьт и собственных функций Фкт на конечноэлементной сетке, а затем получить параметры (А(1), ... и _С(1), ... . Полученные собственные значения и соответствующие значения параметров можно использовать в качестве начальных приближений для вычисления Е и Ф на всей оси из системы трансцендентных уравнений. В результате имеем оценку погрешности приближённой редукции задачи из бесконечной области в конечную, что позволяет уточнить границы интервала конечноэлементной сетки.

Для уравнения Шредингера, описывающего состояния водородоподобного атома в сильном однородном магнитном поле, краевая задача в цилиндрической системе координат редуцируется к решению ОДУ (1.13) относительно продольной переменной в рамках метода Канторовича. Эффективные потенциалы (1.14) этих уравнений даются интегралами по поперечной переменной, подынтегральные выражения которых являются произведениями поперечных базисных функций, зависящих от продольной переменной как от параметра, и их первых производных по параметру. При больших значениях \т\ задача дискретного спектра описывается системой связанных осцилляторов: двумерного сор по поперечной переменной р и одномерного с частотой uoz по продольной переменной z. В силу аргументации, приведенной в главе 1, для анализа ридберговских состояний такой системы необходимо получить решение не только в численном, но и в в аналитическом виде.

При решении задачи дискретного спектра (1.10) по поперечной перемен ной р при больших \т\ 1, кулоновский потенциал можно рассматривать как возмущение по сравнению с поперечным центробежным потенциалом и потенциалом осциллятора с частотой шр = 7/2 (см. рис. 3.2a). Для лабораторного магнитного поля В = о7 6Т, то есть 7 2.35 х 10-5, это верно при зна чениях параметра т 5.89, где т определяется как т = (UJP/UJZ)4 3 = ш71/3. При условии \т\ б7"1/3, кулоновский потенциал приближался с помощью разложения Тейлора по степеням поперечной переменной р относительно специально выбранной точки ps = y/2\m\/j с заданной точностью в области его сходимости. Приближенные поперечные собственные значения и собственные функции, зависящие параметрически от продольной переменной z вычислялись в рамках теории возмущения, используя в качестве базиса невозмущённой задачи собственные значения и собственные функции двумерного гармонического осциллятора с частотой иор. Для вычисления поперечных базисных функций и собственных значений в аналитическом виде, и соответствующих эффективных потенциалов (1.14) и элементов матрицы дипольных моментов, был разработан символьно-численный алгоритм, реализованый в системе Maple. Также представлена схема теории возмущений, решения задачи на собственные значения для ОДУ (1.13) в диагональном приближении (1.18) по продольной переменной z при больших ш, используя в качестве базиса невозмущённой задачи собственные функции одномерного гармонического осциллятора с частотой UJZ по продольной переменной z. Эффективность вычислительной схемы и алгоритма подтверждена вычислением собственных энергий и собственных функций, дипольных моментов и скоростей радиационных переходов низковозбуждённых ридберговских состояний при больших значениях магнитного квантового числа \т\ в лабораторном однородном магнитном поле, и сравнением результатов, полученных другими авторами.