Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка задачи 11
1.1 Исторический очерк проблемы 11
1.2 Математическая постановка задачи определения орбит 14
1.3 Модели спутниковых орбит 21
1..4 Модели измерений 23
1.5 Методы решения обратных задач 25
1.6 Краткие итоги главы 29
Глава 2 Методы исследования разрешимости задачи определения орбит 31
2.1 Теоремы разрешимости 31
2.2 Анализ разрешимости задачи определения околостационарных орбит в некоторых информационных ситуациях 37
2.3 Численный анализ наблюдаемости задачи определения орбит 40
2-4 Интерпретация и моделирование парадокса Лапласа 56
2.5 Краткие итоги главы 66
Глава 3. Вычислительные аспекты решения задачи определения околостационарных орбит 68
ЗЛ Оценки погрешностей решения задачи 09
3.2 Исследование устойчивости динамических алгоритмов определения орбит 76
3.3 Исследование обусловленности задачи определения околостациопарных орбит- 90
34 Сходимость в задаче определения орбит. 93
3.5 Краткие итоги главы 98
Глава 4. Регулярная модель задачи определения спутниковых орбит 100
4.1 Модельные представления 101
4.2 Некоторые теоремы разрешимости модифицированной задачи определения орбит 109
4.3 Численное исследование модифицированной
модели определения орбит ...111
4.4 Краткие итога главы 119
Заключение 121
Список литературы
- Математическая постановка задачи определения орбит
- Анализ разрешимости задачи определения околостационарных орбит в некоторых информационных ситуациях
- Исследование устойчивости динамических алгоритмов определения орбит
- Некоторые теоремы разрешимости модифицированной задачи определения орбит
Введение к работе
Актуальность работы. Роль искусственных спутников Земли (ИСЗ) в развитии человечества бесспорна. Современные средства связи, системы управления движением объектов в окололоземном пространстве, теле- и радиовещание, интернет, геодезия, метеорология - далеко не полный список прикладных областей, в которых широко используются ИСЗ. Велика значимость спутниковых систем и и научных (фундаментальных) аспектах. Высокая точность космических измерений в настоящее время позволяет выполнять астро- и геофизические исследования. Так, в рамках программы SRTM (Shuttle Radar Tbpography Mission) [127] получены, имеющие высокое разрешение карты высот земной поверхности; Германо-американский проект GRACE (Gravity Recovery and Climate Experiment) jll5 посвящен исследованиям ледового покрова Земли, уровня мирового Оксана, динамики материков и др.; в рамках американской программы LAGEOS (Laser Geodynamics Satellites) [129] проводятся исследования по анализу высокоточных позиционных наблюдений ИСЗ, уточнению параметров геопотенциала, формы Земли и др.
Отдельно следует ныделить класс геостационарных ИСЗ (ГИСЗ), являющихся объектом внимания диссертационной работы. Находящиеся на суточно-синхронных орбитах (ССО) объекты данного класса способны длительное время сохранять неизменное по отношению к земной поверхности положение обеспечивая возможность непрерывного своего наблюдения с Земли. Благодаря способности "зависать" над заданным сегментом земной поверхности ГИСЗ широко используются при телевещании, а также в коммуникационных целях [128, 124, 20, 116].
Фундаментальные основы методов решения задач определения орбит были заложены в бО-х-70-х годах в работах [1? 95, 8, 14] (и др.), и в последнее время этим задачам уделялось несколько меньшее внимание.
Внедрение цифровых вычислительных технологий при решении задач определения орбит привело к необходимости учета особенностей их представления п вычислительных средах [35], в отдельных случаях, являющихся решающими при получении высокоточных оденок параметров движения ИСЗ. Несмотря па многочисленные цитированные публикации, посвященные задачам определения орбит, взгляд на рассматриваемую проблему в контексте предстоящего погружения задачи в среду вычислений в настоящее время является развитым не в полной мерс. Восполнить данный недостаток и призвана настоящая работа.
В теоретико-методологическом плане актуальность работы заключается в развитии модельных представлений задачи определения орбит, а также адаптации условий корректности ее постановки в свете неизбежного погружения процедуры решения в сроду вычислений.
Перманентно возрастающие потребности в получении высокоточных эфемерид ИСЗ, надежных вычислительных процедурах обработки тра-скторных измерений, рост популярности околостационарных ИСЗ [132, 113] обосновывают прикладную актуальность разрабатываемой в рамках диссертации темы.
Целью работы является разработка и исследование проблемно-ориентированных моделей и вычислительно устойчивых алгоритмов решения задач определения околостационарных орбит ИСЗ.
Задачи исследования. В процессе достижения декларируемой цели решаются задачи:
- аналитической оценки наблюдаемости околостациопарных орбит;
- разработки технологии численно-аналитического анализа корректности математической постановки задач определения спутниковых орбит;
- оценки накапливаемых вычислительных погрешностей при погружении задачи в вычислительную среду;
- локализации спектров операторов;
- выработки условий практической разрешимости рассматриваемых задач в вычислительной среде;
- гарантированной численной оценки устойчивости динамических процедур обработки траекторной информации;
- построения альтернативных моделей задач определения орбит. Положения, выносимые на защиту:
- чи ел енно-аналитический метод исследования корректности математической постановки задач определения спутниковых орбит;
- метод численной оценки устойчивости процедур обработки траекторной информации, основанный на анализе псевдоспектров операторов;
- метод модификации модели задачи определения орбит ИСЗ;
- теоремы разрешимости задачи определения квазистациопарных спутниковых орбит.
Научная новизна работы, В работе развит численно-аналитический подход к оцениванию накапливаемых вычислительных погрешностей при решении задачи определения орбит. Ранее в [35] при исследовании разрешимости задач данного класса в вычислительных средах рассматривались исключительно аналитические оценки. Переход к численно-аналитической концепции оценивания позволил синтезировать строгую и практически реализуемую процедуру численного исследования локальной наблюдаемости задачи определения спутниковых орбит, построить проблемно-ориентированные оценки вычислительных погрешностей [27].
Внедрение концепции численно-аналитического оценивания в процедуру анализа устойчивости динамических методов обработки измерений стимулировало развитие теоремы о вложенности спектральных портретов операторов [30. позволяющей получить строгие оценки максимально допустимых возмущений, сохраняющих устойчивость используемых методов.
Впервые предложена и развивается в рамках работы проблемно-ориентированная (ориентированная на локальное описание околостационарных движений) устойчивая модель квазистационарных движений космических аппаратов (КА). В отличие от классической модели, используемой при решении задач сопровождения движений КА [84, 107], введенная модель позволяет существенно повысить точность решения задачи определения орбит. Фундаментом представлений при синтезе указанной модели явились работы [99, 101, 103], в которых рассматривалась задача численного моделирования гамильтоновых систем, интерпретируемая как решение дифференциально-алгебраической системы уравнений. Принципиально новым стал переход к обратным задачам в рамках представлений цитированных работ.
Аналитические исследования в свете единых представлений о регулярности постановки задач определения КА по измерениям [141, являющихся в свою очередь развитием понятия корректности математической постановки обратных задач по Ж-Адамару [91], позполили получить ряд утверждений в отношении одного из фундаментальных требований регулярности - наблюдаемости задачи определения околостациопариых орбит и указать ряд принципиально неразрешимых ситуаций при конкретных типах траскторной информации.
Проведено численное моделирование и дана современная интерпретация парадокса Лапласа [80]. В рамках модельных представлений [41] впервые (как обратная траєкторная задача) поставлена задача иденти фикации "скорости гравитационных взаимодейств ий", а также численно показана ее принципиальная разрешимость.
Практическая ценность работы- В последнее время существенно возрос интерес к запуску ИСЗ на околостационарные орбиты [ИЗ], что явилось причиной роста заселенности {включая космический мусор) окрестностей геостационарного кольца [109,104,125,132] и вызвало необходимость высокоточной навигации управляемых и наблюдения неуправляемых объектов [126, 109,120,121]. Указанные тенденции прежде всего обусловлены востребованностью геостационарных орбит в коммуникационных целях различного назначения [116, 124, 90, 128].
В навигационных целях геостационарные спутники используются для повышения надежности функционирования существующих систем позиционирования. Так, космические сегменты известных дифференциальных расширений системы GPS (NAVSTAR) - WAAS (Wide Area Augmentation System), EGNOS (European Geostationary Navigation Overlay Services), MSAS (Multi-Functional Satellite Augmentation System) содержат ГИСЗ, тем самым обеспечивая надежную передачу информации о целостности GPS-системы, дифференциальных поправках, что позволяет значительно повысить точность определения координат потребителя [90]. Непрерывное покрытие земной поверхности в междупародпой системе поиска и спасения COSPA3-SAR3AT [74] также достигается введением геостационарных спутников в ее космический сегмент.
Учитывая тенденции развития современных представлений организации наземного автоматизированного комплекса управления КА, в которых использование многопозиционных систем при наблюдении околостационарных орбит рассматривается как неоправданные излишества, особую значимость приобретают системы сепаратного визирования КА, состоящие из нескольких, или даже одного пункта наблюдения [42]. Внедрение таких систем в практику наблюдений околостационарных объек топ (характеризующихся, как правило, малой информационной базой в сравнении с многопозициоппыми системами) в свете необходимого погружения модели задачи определения орбит и вычислительную среду актуализируют проблему детальной проработки ее разрешимости как принципиальной, так и практической, - безаварийной реализации алгоритма решения в компьютерной среде, которые и являются приоритетными в настоящей работе.
Развитые в диссертации методы гарантированного численного анализа разрешимости и оценки устойчивости функционирования алгоритмов решения задач определения околостационарных орбит могут быть востребованы при создании реальных систем наблюдения, выборе оптимальных конфигураций измерительных пунктов, формировании условий проведения сеансов наблюдение что обосновывает практическую значимость работы.
Апробация работы.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [27, 33, 49, 55, 56, 57, 58, 59, 61, 118, 50, 51, 52; 119, 53, 54, 28, 29, 30, 31, 32, 60], а также прошли апробацию на международных, всероссийских и региональных конференциях: IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006); 13th International Conference On The Methods of Aerophysical Research (Novosibirsk, 2007); Дальневосточной математической школе-семинаре им. акад. Е.В. Золотова (Владивосток, Хаба-]ювск: 2002-2006гг); Вологдинских чтениях ДВГТУ {Владивосток, 2003, 2005); Sixth International Young Scholars Forum of the Asia-Pacific Region Countries (Vladivostok, 2005); Fifth International Young Scholars Forum of the Asia-Pacific-Region Countries (Vladivostok, 2003); Региональной научно-технической конференции молодежь и научно-технический прогресс (Владивосток, 2004); Дальневосточной конференции cryfleHTORj аспирантов и молодых ученых по математическому моделированию (Владивосток, 2002-2003гг); а также на семинарах лаборатории управления и навигации и межлабораторных семинарах "Физика и управление" в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН (2006-2007гт).
Математическая постановка задачи определения орбит
Проблема определения орбитальных параметров является по своей сути задачей обработки траекторных измерений в условиях некоторых априорных сведений о физике истинного движения объекта.
Исторически задача обработки измерений и первые методы се решения (например, метод усреднения) возникли из интуитивных соображений еще в глубокой древности [43].
Впоследствии с развитием механики, математических методов и философских представлений, задачи подобного рода приобретают статус обратных задач - задач идентификации причин {параметров движения), приведших к наблюдаемому следствию (наблюдениям).
Еще И. Ньютон в своем знаменитом труде "Математические начала натуральной философии" писал [76[: "...дело математиков найти такую силу, которая в точности удерживала бы заданное тело в движении по заданной орбите с заданною скоростью, и наоборот, найти тот криволинейный путь, на который заданною силою будет отклонено тело, вышедшее из заданного места с заданною скоростью...".
В отечественную механику термин "обратная задача" был введен Г.К. Сусловым (1857-1935), согласно которому: "Под обратной задачей механики мы подразумеваем определение сил по заданным свойствам движения".
Современные представления о задаче определения орбит как об обратной задаче предполагают ее постановку в свете математической теории систем [14, 13, 44].
В условиях, не нарушающих физической общности задачи - предположений о гладкости траекторий по которым совершается движение и принципа детерминированности Ньютона [5, G8 (всякое последующие движение тела известно, если известны его текущее положение и скорость) - задача определения орбит может быть сформулирована как обобщенная краевая задача для некоторой системы дифференциальных уравнений второго порядка г = 0(г,г,), v h (1.2.1) г(0 = Ф(г1г,о + С. где т т - векторы положения и скорости объекта; G — вектор-функция сил, действующих на КА; /j - гравитационный параметр Земли; Z - вектор измерений; Ф - модель измеряемой вектор-функции; ( - вектор инструментальных погрешностей измерений. При сопровождении движения КА3 вообще говоря, правомерна постановка обратной задачи в двух се аспектах - как, собственно говоря, обратной траскторпой задачи {1.2.1), рассматриваемой п настоящей ра-ботет так и обратной задачи определения ориентации КА, Последняя хотя и не рассматривается в данной работе, но также имеет немаловажное прикладное значение [9, 45.
Если физически реализуемый класс траекторий определяется дифференциальным соотношением, входящим в систему (1.2.1), то задача определения орбиты по измерениям предполагает на основе их совокупности {Z(tf)}, реализованной на некотором ограниченном множестве времен Д = {ііт. ..,д }. определение траектории принадлежащей обозначенному классу. Структура множества А при этом может быть произвольной, состоящей в общем случае из объединения изолированных точек и интервалов. Если множество Д состоит только из изолированных точек, то говорят о дискретных наблюдениях объекта, а в случаях его интервальной структуры, имеют место, соответственно, непрерывные наблюдения.
При отсутствии ошибок измерений С — f задача (1,2.1), очевидно, обладает хотя бы одним решением. Но оно в зависимости от физических условий наблюдений и специфики измерительной информации может быть и не единственным [14]. В реальных условиях, однако, наличие инструментальных ошибок измерителей является неизбежным, поэтому н своей классической (обозначенной выше) постановке задача определения траектории по измерениям скорее всего (н силу случайности ) не будет иметь решения.
Обойти указанную трудность можно расширив из практических соображений понятие решения обратной задачи (1.2Л), а именно, из класса траекторий, порожденных системой модельных дифференциальных уравнений движения объекта выбирать ту, которая в некотором предопределенном смысле наилучшим образом удовлетворяет совокупности имеющихся измерений [85].
Анализ разрешимости задачи определения околостационарных орбит в некоторых информационных ситуациях
Исследуем случай далыюмсрпых измерение являющийся одним из наиболее распространенных в задачах сопровождения ИСЗ.
При однопозиционных дальномерных измерениях, как следует нз теоремы 2.1.1, задача является локально ненаблюдаемой не зависимо от положения пункта наблюдения (НП). Поэтому интерес представляет исследование возможных принципиально неразрешимых ситуаций при двух-позиционных наблюдениях, в ряде случаев допускающих разрешимость задачи.
В этом случае матрица наблюдения системы (2.1.1) примет вид т о о V )\P-R2\\ I где И\}ЇІ2 - географические координаты первого и второго пунктов наблюдения соответственно. (P-Rif (Р - -)7 Учитывая, что щ = -г. т—г- и n i = -г. т—гг суть направляющие \\p-R\W \\р-1Ч\ орты линий визирования объекта с НП, воспользовавшись критерием (2.L5), получим, что заведомо ненаблюдаемыми будут конфигурации, когда орты линий визирования НП коллинеарны. Далее, полагая, щ = {соя(аі)їсо5(а2)тсон(аз))7 ип2 (сов(р\),соз1в2) о (вг))ч\ получим, что ненаблюдаемыми будут также ситуации, когда cosfo )2 + cos(/?2)2 = 0, или cos{a )2-\-cos{0:y)2 = 0, Последнее, очевидно, возможно только то FT гда (с учетом выбора р = I /)/ 0,0) ), когда: 1) пункты наблюдения находятся в плоскости геостационарной орбиты (экватора); 2) пункты расположены в плоскости нулевого меридиана (меридиана подспутниковой точки). Других ненаблюдаемых ситуаций, как следует из теоремы 2.1.5. быть не может.
Интересным также является случай однопарамстрического визирования околостационарных объектов с "нестационарного пункта наблюдения. Под "нестационарностъто" здесь понимается изменение во времени условий наблюдения объекта такое, что матрица наблюдения системы становится зависящей от времени Я = H(i) (в то время дифференциальные уравнения, описывающие динамику системы сохраняют свою стационарность (A = const)}. При дальномерных наземных измерениях "нестационарность" может быть обусловлена движением пункта наблюдения. В этих условиях утверждения п.2.1 теряют свою силу. Тем не менее, некоторые необходимые условия наблюдаемости могут быть унаследованы здесь от стационарного случая. Д = {ti,..., LJSJ} - произвольное множество времен дискретных наблюдений.
Очевидно, что вырожденность оператора , а следовательно и ненаблюдаемость пары (А: /7(f)) (поскольку вырожденность имеет место для произвольного множества времен Д [34]) имеет место при 1щ = 0. В действительности, этот результат можно обобщить на случай многопараметрических измерений и получить аналог теоремы 2,1.3 для модельной функции Ф. не удовлетворяющей предположению -г- = 0. Структура блоков ІЇ(ІІ)Ф(ТІ) позволяет указать еще одну неразрешимую ситуацию, когда Л = Нщ = 0. 13 этом случае ненаблюдаемыми будут проекции радиус-векторов положении и скорости объекта на ось вращения Земли (Sx 5х$). Тем не менее, благодаря структуре оператора L, идентификация орбитального движения в проекциях на экваториальную плоскость остается возможной. Например, если рассматривать однопозиционные дальномерные измерения, реализуемые с подвижного НП, совершающего некоторое произвольное блуждание в плоскости экватора, или, в частном случае, сохраняющего свое начальное положение, то квазистационарное орбитальное движение будет однозначно идентифицируемо только в проекциях на экваториальную плоскость Земли.
Проведем аналогичное исследование для случая, когда измеряются угловые положения околостационарного объекта на небесной сфере. В этом случае матрица наблюдения системы // при однопозиционных измерениях имеет вид (полагается, что доступными для наблюдений являются компоненты орта линии визирования НПН-КА): Я=11л-В n(J3x3-ninf), II" г1 где R\ - географические координаты НПН; щ = -гг——тгъ \\Р - Лі ІІ Заведомо ненаблюдаемыми, согласно теореме 2.1.3, будут случаи, когда Пі = (0,1,0)г и п\ = {0,0,1)71, что соответствует физически не рса лизуемым измерительным ситуациям (фактически, наблюдение должно выполняться с неподвижного в географической системе координат пункта наблюдения, расположенного па расстоянии от Земли, что и гсосин-хронная орбита!). Других ненаблюдаемых конфигураций НП, по-видимому, в рассматриваемом информационном случае быть пе может. Этот факт обосновывает теоретическую перспективность использования угловой од-нопозиционной информации при определении околостационарных орбит. Завершая аналитические исследования локальной разрешимости задачи определения околостационарных орбит перейдем к проблеме гарантированного численного ее анализа,
Исследование устойчивости динамических алгоритмов определения орбит
Анализ и решение мпогих прикладных задач связан с проблемой локализации спектров линейных операторов. При этом в зависимости от конкретной решаемой задачи в качестве интересующей области локализации могут выступать различные подмножества поля комплексных чисел, В современных вычислительных средах, обладающих динамической точностью выполнения математических операций, решение такой задачи для конкретного оператора (не высокой размерности) не представляет существенных затруднений. Однако, в случаях, когда этот оператор известен лишь приближенно, а именно такие являются объектом последующего исследования, решение задачи локализации спектра неизвестного оператора на основе анализа известного его приближения необходимо должно быть выполнено с учетом степени близости рассматриваемых операторов.
Для линейных стационарных алгоритмов оценивания (например, ви-неровская интерпретация фильтра Калмана [11, 12]), используемых при определении параметров движения околостационарпых КА, возникает задача оценки степени их устойчивости к возмущениям. Фактически, задача состоит в отыскании максимально допустимых возмущений исходного оператора оценивающего алгоритма, не выводящих его спектр из области устойчивости (левой комплексной полуплоскости - в случае непрерывных систем, и комплексного единичного круга - при рассмотрении дискретных).
Решение данной задачи в свете гарантированных представлений может быть осуществлено двумя способами: посредством анализа матричных уравнений Ляпунова-Сильвестра [72] и на основе исследований поведения спектральных портретов оператора задачи [23]. Последний под ход (который и рассматривается ниже) к решению обозначенной задачи является более общим, так как позволяет решать задачи локализации спектров в условиях их возмущений для областей произвольной формы. Практическое применение данного подхода встречает, однако, формальную сложность, состоящую в том, что подлежащий исследованию исходный оператор (неизвестный), при анализе подменяется своим образом в среде вычислений. Фактически, исследование спектрального портрета проводится для некоторого приближения исходного оператора в вычислительной среде, в то время как качественные заключения формулируются в отношении исходного [23]. В приводимом ниже исследовании [30] излагается свободная от указанного недостатка схема решения обозначенной задачи.
Помимо задачи наблюдения за околостационарными объектами примерами ситуаций, гв которых требуется решение подобного рода задач являются - проблема численного исследования устойчивости непрерывных и дискретных линейных динамических систем (или анализ устойчивости нелинейных по первому приближению); численное решение задачи проверки достаточных условий локального максимума (минимума) для экстремальных точек функций многих переменных; анализ разрешимости систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) и др.
Далее в изложении будем придерживаться следующих обозначений. Под оператором F будем понимать невозмущенный (неизвестный) оператор, в отношении псевдоспсктра (спектрального портрета) которого предстоит строить гарантирующие заключения; F - доступное для анализа приближение Р; Q - область локализации псевдоспектра для которой требуется установить содержится ли в ней данный спектральный портрет J1, или указать условия при которых это возможно.
В отечествеиную науку понятие спектрального портрета было введено в начало 80-х годов прошлого столетия С.К. Годуновым, и впоследствии нашло самый разнообразный спектр своих приложений. В настоящее время концепция спектрального портрета оператора (в иностранной литературе - pscudospectra 130) с успехом используется в самых различных областях теоретических и прикладных научных исследований по всему миру, о чем свидетельствует впечатляющий библиографический обзор по данной тематике (см,, например, электронный ресурс [123)),
Напомним [23, 72], что под спектральным портретом (см. рис. 3.2.1) произвольного линейного оператора F понимается объединение всех множеств собственных значений оператора F + ДГ, при AFjj е\\ Р\\7 где ( - ниже полагается спектральной операторной нормой (в связи с этим распространенным является также термин -спектр оператора).
Некоторые теоремы разрешимости модифицированной задачи определения орбит
Обращая внимание на структуру матрицы Копій Ф(), заметим, что отдельные ее элементы при А 0 и I 0 могут неограниченно возрастать, например, Фц(). Данный аспект является существенным при вычислении оператора связи "состояние-измерение соответствующего задаче фильтрации (т.е. оцениванию параметров состояния в текущий момент времени). Очевидно, что непосредственно Ф(і) нс может быть использована в этом случае, однако, учитывая известную связь между задачами фильтрации и сглаживания [73J, далее в вычислительных экспериментах будем рассматривать последнюю, полагая при этом, что оценивание производится в некоторый начальный момент времени /-о = О, а с течением времени идет лишь накопление измерений {такая ситуация (і 0) свободна от указанного недостатка). При необходимости текущая оценка может быть получена воздействием соответствующего преобразования Ф.
Дг. км Уравнения в вариациях с one I I I Г І І І і I ратором А в сравнении с классическими уравнениями (с оператором Л) обладают лучшими аппроксимирующими свойствами при описании околостационарных движений, что с уче J0 0.6 1.2 1-7 2,3 2.9 3,5 4.1 4.6 5.2 t,cyr. р 4 i 2 том устойчивости создает бла гоприятные предпосылки их использования в задачах определения околокруговых орбит.
Для иллюстрации сказанного приведем результаты численного срав 2тг нения моделей на примере околостационарной орбиты ( U& = —, Т = 86164 с). Нарис. 4.1.2 (на временном интервале 5.8 звездных суток) представлены: І - эволюция модуля вектора разности радиус-вектора ССО (г), имеющей наклонение - г = 1, эксцентриситет - с = 0.0001 и (р) радиус-вектора стационарной орбиты; 2 - ошибка приближения траектории г(1.) (т.е. \\r{L)—p — 8х\\) посредством классической модели (2Л.1); 3 - та же ошибка (т.е. \\r(t) — р — 8у\\), только с использованием модифицированной модели, с оператором Л (см, выражение (4.L6)).
Аналогичные ситуации имеют место и в нестационарных случаях, когда сравниваются модифицированные и классические модели движения в малом для произвольных эллиптических орбит.
Продолжая теоретические исследования введенной модели, в свете представлений о регулярности постановки обратных задач обратимся к анализу основополагающего ее условия - наблюдаемости задачи. 4.2 Некоторые теоремы разрешимости модифицированной задачи определения орбит Как и в главе 2 ограничимся рассмотрением стационарного случая (А, II) = const
Естественным вопросом, возникающим в отношении введенной модифицированной модели, является то, каким образом се наблюдаемость связана с наблюдаемостью классической задачи (2.1Л). Здесь, однако, важно обозначить ограничения на регул яр изирующий параметр А при которых проводятся исследования, В случаях, когда этот параметр может быть выбран произвольно малым, ответ на поставленный вопрос даст теорема об устойчивости сингулярных чисел к возмущениям [72, 22].
Действительно, обозначив О матрицу наблюдаемости (второго рода [12]) классической задачи (2ЛЛ), и, соответственно,-Од-модифицированной, учитывая вид оператора А: и тот факт, что О и Од построены для одной и той же матрицы Иі получим, что разность О — Ох может быть сделана сколь угодно малой (здесь несущественно в какой норме понимается малость), а; следовательно, и количество ненулевых сингу лярных чисел, отождествляемое с рангом матрицы, подходящим выбором параметра А также может быть сделано одинаковым у матриц О и Од. Таким образом, доказано следующее предложение.
Предложение 4.2,1 Если задача (2.1.1) является наблюдаемой, то существует такое значение рсгуляризирующсго параметра А 0 что соответствующая модифицированная модель (4.1,6) также является наблюдаемой и обратно, - существует такое значение параметра Л 0, что из наблюдаемости модифицированной модели (4.1.6) следует наблюдаемость задачи (2.1Л),
Сформулированное предложение имеет скорее теоретическую значимость, чем практическую, поскольку является справедливым для некоторых малых Л, Поэтому перейдем к дальнейшим исследованиям и попытаемся сформулировать утверждение, сохраняющие свою справедливость для произвольных значений параметра А,
Вычисляя yls, s 0, можно убедиться, что данная матрица имеет нулевой второй столбец- Аналогичный факт был использован при доказательстве теоремы 2Л.З. Следовательно, указанная теорема остается справедливой и в случае модифицированной модели (4.1.6) ври любых значениях параметра Л, Теорема 4.2.1 Пусть s размерность модельной векторной функции измерений Ф, а II I hij — - -1 соответствующая матрица наблюдения. Тогда для наблюдаемости модифицированной системы вида (4.L6) необходимо, чтобы