Содержание к диссертации
Введение
1 Задачи маскировки для 2-D уравнения Гельмгольца в ограниченной области 24
1.1 Введение. Формулировка краевой задачи 24
1.2 Разрешимость краевой задачи 25
1.3 Формулировка и разрешимость задачи управления 28
1.4 Вывод системы оптимальности 31
1.5 Единственность и устойчивость решений задач управления 35
2 Задачи маскировки для 2-D модели рассеяния электромагнитных волн 41
2.1 Формулировка краевой задачи 41
2.2 Функциональные пространства. Предварительные результаты 42
2.3 Разрешимость исходной задачи сопряжения. Оценки решений 43
2.4 Постановка и разрешимость задачи управления. Система оптимальности 46
2.5 Единственность и устойчивость решения задачи управления 49
3 Смешанный метод маскировки для 3-D модели рассеяния акустических волн 53
3.1 Постановка задачи сопряжения. Предварительные результаты 53
3.2 Разрешимость задачи сопряжения. Оценки решения 55
3.3 Постановка и разрешимость обратных экстремальных задач 57
3.4 Единственность и устойчивость решений задач управления 59
4 Численный анализ задач маскировки для двумерного уравнения Гельмгольца 67
4.1 Численный анализ 2-D задачи маскировки в случае ТЕ - поляризованной волны 67
4.1.1 Постановка 2-D задачи маскировки 67
4.1.2 Разделение переменных в уравнении Гельмгольца в оболочке и вне оболочки. Применение метода Фурье 69
4.1.3 Применение метода Фурье для решения задачи рассеяния 70
4.1.4 Применение метода сингулярного разложения 74
4.1.5 Обсуждение результатов вычислительных экспериментов 75
4.2 Применение РЕМС-слоя в задаче о маскировке
4.2.1 Понятие РЕМС-слоя 87
4.2.2 Решение регулярной задачи рассеяния при наличии РЕМС-слоя методом Фурье 88
4.3 Оптимизационный алгоритм построения многослойной цилиндрической оболочки 112
4.3.1 Постановка задачи маскировки с помощью многослойной цилиндрической оболочки 112
4.3.2 Обсуждение результатов вычислительных экспериментов 119
Заключение 121
Список использованных источников
- Формулировка и разрешимость задачи управления
- Функциональные пространства. Предварительные результаты
- Разрешимость задачи сопряжения. Оценки решения
- Применение метода Фурье для решения задачи рассеяния
Введение к работе
Актуальность темы и степень её разработанности. В течение последних нескольких лет наблюдается возрастающий интерес в развитии эффективных методов и стратегий для достижения невидимости объектов к волнам различной природы (электромагнитным, акустическим и т.д.). Кроме сложнейших математических и физических аспектов создания основ теории, такой интерес мотивируется чрезвычайно важными технологическими приложениями к широкому множеству проблем от маскировки объектов специального назначения до медицинской диагностики.
Разработанные к настоящему времени методы и стратегии маскировки принято разбивать на два основных класса: классы пассивных и активных стратегий. Класс активных стратегий основан на использовании для подавления рассеяния маскируемого объекта активных источников способом, который напоминает разработанный в 70-е годы прошлого столетия метод подавления шума. Он берет свое начало от метода активного гашения звуковых полей, впервые предложенного российским ученым Г.Д. Малюжинцем в 60-х годах прошлого столетия и далее интенсивно развиваемого как за рубежом, так и у нас в стране. Обзор исследований в этой области, получившей за рубежом название "noise reduction" (шумоподавление), выполненных до 2006 г., можно найти в книге Г.В. Алексеева (2006). Вопросам обоснования и применения активных методов для маскировки материальных тел посвящены работы зарубежных авторов D. A. Miller (2006) и F. G. Vasquez (2009).
Самым известным и хорошо изученным среди пассивных методов маскировки является, по-видимому, подход, основанный на методе оптических преобразований (МОП). В физическом плане метод состоит в построении вокруг маскируемого тела такой пространственной структуры в виде объемной оболочки, которая "заставляет" падающие на маскируемый объект волны огибать тело и далее распространяться без проникновения в объект и без рассеяния. Считается, что основателями этого метода являются зарубежные исследователи J.B. Pendry, D. Schurig, D.R. Smith и U. Leonhardt, опубликовавшие в 2006 г. в одном и том же номере журнала "Science" две статьи. Однако идея покрытия материальных тел с целью их маскировки уже была сформулирована в 1961 г. в статье российского физика Л.С. Долина.
Пассивный метод маскировки, который в 2007 удалось распространить на акустические и другие волны, оказался весьма плодотворным и популярным среди зарубежных исследователей. Нужно однако отметить, что этот самый популярный метод обладает рядом недостатков.
Основным его недостатком является сложность технической реализации полученных решений, которые описывают материалы, не существующие в природе, называемые метаматериалами, и которые пока нельзя создать на уровне технологического развития современного общества. Более детально познакомиться с проблемами, возникающими при создании метаматериалов, служащих для создания маскировочных устройств, можно по материалам статьи А.Н. Лагарькова и М.А. Погосяна (Вестник Российской академии наук, 2003) и доклада "Метаматериалы в электромагнетизме, оптике и акустике", сделанного академиком А.Н. Лагарьковым на 11-ом Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, состоявшемся в августе 2015 г. в г. Казани.
Существует несколько способов преодоления трудностей технической реализации. Один из способов состоит в замене полученных ранее точных решений задачи маскировки, описывающих сингулярные анизотропные параметры маскировочной оболочки, некоторыми приближенными решениями, описывающими несингулярные параметры, и построении маскировочных устройств именно на основе использования этих приближений. Данный подход развивался, начиная с 2006 г., в работах Н. Chen, В. Zang, J. Hong, Z. Ruan, M. Yan, B. Popa, S.A. Cummer, M. Qiu, A. Alu, S. Guenneau, A. Greenleaf, Y. Kurylev, M. Lassas, G. Uhlmann, R. Kohn, O. Onofrei, J. Li, H.Y. Liu, H. Sun, H. Nguen, M.S. Vogelius, H. Ammari, Ю.И. Бобровницкого, Г.В. Алексеева и других зарубежных и отечественных исследователей. Более подробно об этом можно прочитать в обзорной статье А.Е. Дубинова и Л.А. Мытаревой (2010).
Еще один подход к преодолению трудностей, связанных с практической реализацией, состоит в использовании альтернативного способа маскировки материальных объектов, основанного на покрытии их специальными материалами. Математически внесение такого покрытия моделируется введением так называемого импедансного граничного условия на границе маскируемого тела. В случае, когда объект имеет неизменную форму, задача его маскировки сводится к выбору поверхностного импеданса, исходя, например, из условия минимума рассеянного поля. Этот подход развивается, в основном, в трудах Ю.И. Бобровницкого и Г.В. Алексеева с учениками.
Чтобы упростить проблему технической реализации решений, полученных с помощью МОПа, в диссертации предлагается заменить обратную задачу построения точной маскировочной оболочки приближенной задачей построения слабо рассеивающей оболочки. Параметры среды, заполняющей оболочку, должны изменяться в некотором классе функций, допускающих относительно простую техническую реализацию. Далее остается выбрать эти параметры
из условия минимума некоторого функционала качества. Аналогичная идея используется и при исследовании задач маскировки материальных тел за счет выбора импедансного покрытия. Именно эта идея минимизации лежит в основе разработанного в диссертации оптимизационного метода исследования задач маскировки материальных тел. При разработке эффективных численных алгоритмов решения задач маскировки используются высокоточные методы решения систем линейных алгебраических уравнений с плохо обусловленными матрицами, основанные на методе сингулярного разложения матрицы коэффициентов. Об этом методе можно прочитать, например, в книге СИ. Кабанихина (2008).
Цель работы. Целью работы является теоретический и численный анализ задач маскировки материальных тел на основе методов оптимизации и численных методов решения обратных задач для моделей рассеяния волн.
Задачи исследования. Задачами исследования являются:
разработать схему исследования задач маскировки тел, основанную на оптимизационном методе решения обратных задач;
доказать разрешимость однопараметрических и двухпараметрических экстремальных задач маскировки, построить и проанализировать системы оптимальности, описывающие необходимые условия экстремума;
установить достаточные условия на исходные данные, обеспечивающие локальную единственность и устойчивость решений задач маскировки;
разработать и исследовать высокоточные численные алгоритмы решения двумерных задач маскировки, осуществить их программную реализацию в виде комплекса программ численного решения двумерных задач маскировки;
на основе разработанного комплекса программ выполнить вычислительные эксперименты по решению конкретных задач маскировки двумерных объектов и осуществить сравнительный анализ полученных результатов.
Методы исследования. В диссертациионной работе используются фундаментальные результаты и методы математической физики, методы численного анализа, методы теории некорректных и обратных задач, оптимального управления и сопряженных уравнений, методы математического моделирования и вычислительного эксперимента.
Достоверность и обоснованность результатов обеспечивается применением строгих математических доказательств и верификацией построенных алгоритмов на задачах с известными решениями.
Научная новизна. Положения, выносимые на защиту. Основные результаты работы являются новыми, они обобщают и дополняют результаты отечественных и зарубежных исследований и состоят в следующем:
-
Разработан метод исследования задач маскировки, основанный на оптимизационном методе решения обратных задач для уравнения Гельмгольца;
-
Доказаны теоремы о корректностной разрешимости однопараметриче-ских и двухпараметрических задач маскировки материальных тел;
-
Получены системы оптимальности для рассматриваемых задач, доказаны теоремы единственности и устойчивости решений задач двумерной маскировки;
-
Разработаны и исследованы численные алгоритмы решения двумерных задач маскировки материальных тел на основе волнового обтекания;
-
Разработан комплекс программ, предназначенных для численного решения двумерных задач маскировки, осуществляющий программную реализацию разработанных численных алгоритмов;
-
На основе вычислительных экспериментов исследована зависимость полученных решений от основных параметров, входящих в рассматриваемую задачу и осуществлен сравнительный анализ полученных результатов.
Теоретическая и практическая значимость. Теоретическая значимость диссертационной работы состоит в развитии оптимизационного метода исследования рассматриваемых в работе задач маскировки материальных тел, а также в разработке и обосновании численных алгоритмов решения двумерных задач маскировки, основанных на использовании высокоточных численных методов и метода регуляризации. Разработанные в диссертации алгоритмы могут использоваться при решении как задач маскировки, так и близких обратных задач акустического и электромагнитного рассеяния.
Область исследования. Содержание диссертации соответствует паспорту специальности 05.13.18 "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" по следующим областям исследований: п. 1. Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений; п. 2. Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей; п. 3. Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий; п. 5. Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах Института прикладной математики ДВО РАН и на следующих научных конференциях: Дальневосточных математических школах-семинарах имени акад. Е.В. Зо-лотова (Владивосток (2012, 2013, 2014)); на 11-ой международной конфе-
ренции "Numerical analysis and applied mathematics" (Греция, Родос, 2013); на 5-ой и 6-ой Всероссийских научно-технических конференциях "Технические проблемы освоения Мирового океана (ТПОМО-5)" (Владивосток, 2013, 2015); на 7-ой Международной конференции "Inverse Problems: Modelling and Simulation" (Турция, Фетхие, 2014); на Всероссийской конференции "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение", приуроченной к 95-летию академика Л.В. Овсянникова (Новосибирск, 2014); на Международной конференции "Успехи механики сплошных сред", приуроченной к 75-летию академика В.А. Левина (Владивосток, 2014); на семинаре Института машиноведения и металлургии Дальневосточного отделения Российской академии наук под руководством чл.-корр. РАН Буренина А.А. (Комсомольск-на-Амуре, 2015).
Личный вклад автора. Публикации. Результаты, составляющие основное содержание диссертации, получены автором самостоятельно. Во всех совместных работах автор участвовал в формулировках задач, самостоятельно осуществлял теоретическое исследование рассматриваемых задач маскировки, разрабатывал численные алгоритмы решения задач маскировки, реализовал разработанные численные алгоритмы в виде комплекса программ, выполнял численные эксперименты и проводил их сравнительный анализ.
Результаты диссертационного исследования опубликованы в 20 работах, из них 2 ([1], [2]) - в ведущих рецензируемых журналах, включенных в перечень ВАК; 6 из опубликованных научных статей индексированы в международной базе научного цитирования Scopus [3-8]; получено одно свидетельство о регистрации программы для ЭВМ [9]; 11 работ в материалах и трудах конференций [10-20].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации составляет 136 стр, включая 31 рисунок и 30 таблиц. Список цитируемой литературы содержит 160 наименований.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 13-01-00313-а, пректа № 12-1-П17-03 ДВО РАН, тематика которого соответствует Программе 17 фундаментальных исследований Президиума РАН, гранта Министерства образования и науки РФ (контракт 14.Y26.31.0003) и гранта РНФ № 14-11-00079.
Формулировка и разрешимость задачи управления
Другой способ преодоления трудностей технической реализации состоит в замене полученных ранее точных решений задачи маскировки, описывающих сингулярные анизотропные параметры маскировочной оболочки, некоторыми приближенными (несингулярными) параметрами и построении маскировочных устройств именно на основе использования этих приближений. Данный подход особенно часто применялся в случае цилиндрических либо сферических маскировочных устройств и развивался, начиная с 2006 г., как основателями метода пассивной маскировки, так и рядом других ученых, в большинстве своем китайского происхождения. Отметим среди них работы Н. Chen, Bal-Ian Wi, В. Zang, J. Hong [78], Z. Ruan, M. Yan, C.W. Neff, M. Qiu [139], S.A. Cummer, B. Popa, D. Shurig [89], A. Nicolet, F. Zolla, S. Guenneau [160] и многих других.
Более тонкие методы были предложены математиками, развивающими математические методы решения задач маскировки материальных тел. Поскольку основные трудности практической реализации так же, как и теоретического анализа, связаны с сингулярностью и анизотропностью сред, заполняющих маскировочную оболочку, то основные их усилия также были направлены на замену материалов, описываемых сингулярными анизотропными параметрами, соответствующими материалами с несингулярными изотропными параметрами. Однако указанная замена должна была обеспечивать выполнение некоторых дополнительных условий и, в частности, возможность достижения эффекта маскировки с любой наперед заданной степенью точности. Это направление развивалось несколькими научными группами и, прежде всего, группой из четырех авторов A. Greenleaf, Y. Kurylev, М. Lassas и G. Uhlmann, опубликовавших, начиная с 2007 г., около десяти совместных статей как в математических, так и в физических журналах [97-104]. Среди работ других авторов отметим статьи R. Kohn, О. Onofrei, М. Vogelius, М. Weinstein [107], Н. Liu, Т. Zhou [114,115], Н. Liu [116], J. Li, H.Y. Liu, H. Sun [112], H.Y. Liu, H. Sun [117], H. Nguyen, M.S. Vogelius [131], J. Lu, H. Liu, L. Rondi, G. Uhlmann [113], посвященные применению различных методов регуляризации для решения задач маскировки в случае скалярных волн, описываемых уравнением Гельмгольца. В первой статье [107] из приведенного списка было показано, что полученная указанным образом регуляризо-ванная оболочка ведет себя неустойчиво к различного рода возмущениям, а для улучшения ее устойчивости было предложено добавлять в маскировочную оболочку специальный поглощающий слой. Поглощающие слои другого типа были введены также в [112] и в [117]. Дальнейшее развитие этот метод получил в работе [113], в которой также используется общий поглощающий слой, вводимый непосредственно между маскируемой областью и маскировочной оболочкой. В этой работе имеется еще ряд эксклюзивных приемов, улучшающих и обобщающих по мнению авторов полученные ранее результаты по приближенной маскировке. Отметим также статьи Н. Ammari et al. [65], Н. Ammari et al. [66], в которых авторы предлагают использовать в случае скалярных волн маскировочные устройства, основанные на предварительном использовании для целей грубой маскировки несколько жидких слоев со специально выбранными параметрами и последующем применении для усиления эффекта маскировки метода оптических преобразований.
Еще один подход к преодолению трудностей, связанных с практической реализацией, состоит в использовании альтернативного способа маскировки материальных объектов, основанного на покрытии их специальными материалами. В частности, объекты, представляющие собой идеальные проводники, покрывают тонким слоем высокопоглощающего вещества, тогда как диэлектрики, наоборот, покрывают тонким слоем высокопроводящего вещества. Математически внесение такого покрытия моделируется введением так называемого импедансного граничного условия, связывающего между собой электрическое и магнитное поля (либо звуковое давление и нормальную компоненту колебательной скорости в случае акустической локации) через граничный коэффициент, называемый поверхностным импедансом либо поверхностной проводимостью.
В случае, когда объект имеет неизменную форму, задача его маскировки сводится к выбору покрытия, обеспечивающего выполнение определенных свойств для рассеянных волн, возникающих при падении на объект первичных электромагнитных волн. В математическом плане эта задача сводится к решению обратной задачи нахождения поверхностного импеданса, входящего в импедансное граничное условие для рассматриваемой модели рассеяния электромагнитных или акустических волн. Этот подход развивается, в основном, в трудах Ю.И. Бобровницкого [24,71] применительно к маскировке от акустической локации, а также с использованием методов оптимизации в применении к маскировке от электромагнитной и акустической локации в статьях Г.В. Алексеева и его учеников и соавторов [10-18,51,52].
Напомним, что сущность применения метода оптимизации для решения обратных задач заключается во введении специального функционала качества, адекватно отвечающего рассматриваемой обратной задаче маскировки, и последующем сведении исходной обратной задачи к задаче нахождения условного минимума введенного функционала качества. В результате исходная обратная задача сводится к теоретическому исследованию и решению однопараметрической или многопараметрической задачи управления. В качестве управлений в данной задаче выбираются неизвестные физические параметры среды или границы, входящие коэффициентами в дифференциальные уравнения рассматриваемых моделей или в импедансное граничное условие. Роль указанного функционала качества может играть, например, средне-квадратичная норма рассеянного акустического поля, взятая по некоторой области пространства. Если, в частности, на решении экстремальной задачи указанный функционал обращается в нуль, то это эквивалентно равенству нулю рассеянного акустического поля. Последнее может означать, в свою очередь, что указанный объект невозможно обнаружить с помощью локации. Для решения так сформулированной задачи управления можно применять хорошо разработанные к настоящему времени методы решения экстремальных задач условной минимизации.
Именно оптимизационный метод лежит в основе предложенного в диссертации метода решения задач маскировки материальных тел. Он базируется на сведении рассматриваемых задач маскировки к экстремальным задачам условной минимизации определенных функционалов качества и применении для их решения хорошо разработанных к настоящему времени методов решения экстремальных задач. На основе данной идеи разрабатывается оптимизационный метод решения задач маскировки, причем этот метод развивается для решения задач, возникающих при использовании как пассивных средств маскировки, так и смешанного типа маскировки, основанного на совместном использовании активных и пассивных средств маскировки.
Применение разрабатываемого математического аппарата позволит изучить новые возможности как пассивных методов маскировки, так и развиваемого смешанного метода. Причем эти возможности развиваемых методов изучаются с современных позиций использования методов теории оптимизации, что позволит при нахождении искомых решений задачи маскировки учесть те дополнительные условия и ограничения, которые связаны с необходимыми условиями технической реализации отыскиваемых решений.
Функциональные пространства. Предварительные результаты
В этой главе мы рассмотрим задачу управления для двумерной модели рассеяния Е-поляризованных электромагнитных волн, возникающуя при создании средств маскировки материальных тел от обнаружения с помощью электромагнитной локации. Как и в главе 1, в качестве управления выбирается функция, входящая в импедансное граничное условие. Доказывается разрешимость задачи управления и выводятся системы оптимальности. Устанавливается единственность и устойчивость оптимальных решений относительно определенных возмущений функционала качества и падающей волны.
Пусть Q - ограниченная область в М2 со связным дополнением Qc = WL2\Q И липшицевой границей Г. Хорошо известно (см., например, [75]), что соответствующая прямая задача рассеяния сводится к нахождению функций v в Q и и = итс + иа в Qc, удовлетворяющих уравнениям Здесь итс - падающая волна, us - рассеянная волна, п - поверхностная проводимость границы Г, к - волновое число, (к2 = eoMokA где ш - угловая частота, Єо и /ІО - постоянные электрическая и магнитная проницаемости), 5{х) - индекс рефракции диэлектрического препятствия , і - мнимая единица, п - единичный вектор внешней по отношению к Q нормали к границе Г, dv/dn - нормальная производная функции v на Г. Отметим, что граничное условие на Г в (2.2) имеет смысл модифицированного условия Леонтовича для -поляризованных электромагнитных волн [30,35].
Формулировку задачи (2.1)—(2.3) и ее анализ можно найти в [75], там же рассмотрены обратные задачи рассеяния, связанные с восстановлением формы препятствия по измерениям в дальней зоне. Ниже мы рассмотрим обратную экстремальную задачу для модели (2.1)—(2.3), заключающуюся в восстановлении проводимости г] исходя из условия минимума определенного функционала качества. Мы докажем разрешимость указанной задачи и выведем систему оптимальности, описывающую необходимые условия экстремума. Далее на основе ее анализа будут установлены достаточные условия на исходные данные, обеспечивающие единственность и устойчивость оптимальных решений относительно малых возмущений как исходного функционала качества, так и падающей на объект волны.
Введем некоторые функциональные пространства, которые будем использовать при изучении разрешимости задачи (2.1)—(2.3). Пусть Яд - круг радиуса R, содержащий Q, Qe = Qc П Яд. ЯСНО, ЧТО fie - ограниченная область в Ж с границей dQe = Г U Гд, так что Г является границей области Q и частью границы dQe = Г U Гд области Qe. Будем использовать пространства Нг(П), 1 потребуется пространство X = H1(BR) С нормой і;вД и пространство Я(А, Пе) = {v Є Я1 (fie) : Av + k2v = 0в Пе}. Известно что пространство X компактно вкладывается в пространство L (Яд) и справедливы следующие оценки: где Фх = [Ф]і,вд- Здесь Сг и CR - константы, не зависящие от функции Ф Є X. Введем пространство Чтс = Wnc{tte) = {v Є Я1 ) : Av + k2v = О в D (}e)}, служащее для описания падающих волн. Ясно, что Яшс с Hl(A,Qe). Следовательно, для любой падающей волны итс Є Яшс существует след (нормальная компонента) дитс/дп\гп Є H 1 2(TR) (СМ., например, [19]), причем с некоторой константой C R, не зависящей от волны мшс, выполняется следующая оценка:
В этом разделе мы введем слабое решение задачи (2.1)—(2.3), докажем его существование и выведем априорную оценку решения. Сначала мы сведем задачу (2.1)—(2.3) к эквивалентной задаче, рассматриваемой в круге BR. С этой целью, как и в [13,51], введем оператор Дирихле-Неймана Т : Я (Гд) — Я (Гд), который ставит в соответствие каждой функции д Є Я (Гд) функцию дй/дп Є Я_1 2(Гд), где й - решение внешней задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца Ай + к2й = 0 в QC\BR С условием й\тн = д. Известно, что Т Є C(H1 2(TR), Я_1/2(ГД)), причем выполняются оценки (см., например, [123]). Здесь и ниже интеграл по Гд обозначает отношение двойственности (-,-)гд между H1 2(TR) И Я_1/2(ГД), СІ,С2,СЗ,... обозначают постоянные, зависящие от Г2, Л, волнового числа к и, быть может, от индекса рефракции 5, входящего в (2.1). Кроме того, существует оператор То Є С(Н I (Гд), Я / (Гд)) такой, что Т — То является компактным оператором из Я1/2(Гд) в Я"1/2(Гд), Го С2 и (Т0Ф,Ф)Гд 0 для всех Ф Є Я1/2(Гд). Отметим, что задача (2.1)—(2.3), рассматриваемая на всей плоскости К. , эквивалентна задаче (2.1), (2.2), рассматриваемой в круге BR при следующем граничном условии для рассеянного поля us на Гд: dus/dn = Tus наГд. (2.7)
Для краткости будем ссылаться на задачу (2.1), (2.2), (2.7) как на задачу 2. Пусть Ф Є X - произвольная тестовая функция, игпс Є 7imc. Умножив первое уравнение в (2.1) на сужение Фп, второе уравнение в (2.4) на Фпе, проинтегрируем по Q и Г2е, применим формулы Грина и сложим. Учитывая в силу граничных условий в (2.2) и (2.7), что
Решение U Є X задачи (2.9) назовем слабым решением задачи 2. Стандартным образом можно показать, что введенное слабое решение задачи 2 удовлетворяет уравнениям в (2.1) в смысле обобщенных функций и всем граничным условиям в (2) и в (2.7) в смысле следов.
Разрешимость задачи сопряжения. Оценки решения
В этой главе исследуются вычислительные аспекты решения задач маскировки для 2D уравнения Гельмгольца и обсуждаются результаты проведенных вычислительных экспериментов. В 4.1 проводится численное моделирование маскировочных свойств двумерной цилиндрической оболочки, имеющей вид кольца 0 а г 6, с параметрами, приведенными в статьях [135,139], обеспечивающими абсолютный маскировочный эффект. Напомним, что некоторые из этих параметров обращаются в бесконечность, что делает невозможной её техническую реализацию. Ввиду этого для изучения свойств указанной оболочки применяется численое моделирование, причем, как в [139], предварительно исходная идеальная сингулярная оболочка заменяется почти идеальной несингулярной оболочкой. Для этого в исходную оболочку вводится малый возмущающий параметр 5, имеющий смысл параметра регуляризации. В результате исходная сингулярная задача заменяется несингулярной задачей рассеяния, решение которой существует, единственно и может быть найдено методом Фурье в виде рядов по специальным (цилиндрическим) функциям. Коэффициенты этих рядов определяются путем решения системы четырех линейных алгебраических уравнений с ненулевым при каждом 5 0 определителем, но с плохо обусловленной при малых 5 матрицей. Основываясь на этом, в работе разрабатывается численный алгоритм решения рассматриваемой сингулярной задачи маскировки, использующий метод сингулярного разложения матрицы коэффициентов. Далее в разделе 4.2 развивается численный алгоритм задача маскировки на основе замены внутреннего слоя а г а+ 5 малым слоем, наполненным специальным материалом (РЕМС-материалом). Наконец, в разделе 4.3 развивается оптимизационный метод построения многослойной цилиндрической оболочки а г 6, состоящей из М концентрических однородных слоев.
Как уже указывалось во Введении, простое преобразование цилиндрических координат сжимает круг (цилиндр в пространстве М3) 0 г Ь в кольцо а г Ь, где а и Ь - внутренний и внешний радиусы искомой цилиндрической оболочки оболочки соответственно, а г, 9, z (либо г радиальная, угловая и вертикальная координаты в оригинальной (либо преобразованной) системе соответственно.
Полученное кольцо будет играть ниже роль маскировочной оболочки, служащей для маскировки произвольного тела, помещенного в её внутренность, т.е. в круг 0 г а. Из [135,139] следует, что для достижения абсолютного маскировочного эффекта рассматриваемую оболочку а г Ь следует заполнить анизотропной средой, для которой диагональные компоненты ег, #, sz и /ir, /i#, fiz диагональных тензоров диэлектрической и магнитной прони-цаемостей определяются формулами
Предполагается, что в окружающей среде и внутренней области находится воздух с постоянными параметрами (электрической и магнитной постоянными) о5 Мо и отвечающим им волновым числом ко = ои /ёоЩ. Маскировочную оболочку с параметрами (4.2) принято называть идеальной оболочкой, ибо согласно теории [135] она обеспечивает абсолютную (либо совершенную) маскировку от любой падающей волны, если, конечно, указанную оболочку можно технически реализовать.
В дальнейшем рассматривается поперечно-электрическое (ТЕ) поляризи-рованное поле (это означает, что электрическое поле существует только в z-направлении), однако, аналогичные рассуждения могут быть проведены для поперечно-магнитного поля. Предполагается, что зависимость от времени имеет вид ехр(—icut).
Как указано во Введении, поведение электрического поля Ez в оболочке а г Ь при указанных выше предположениях описывается 2-D уравнением Гельмгольца с переменными коэффициентами
Отметим также, что вне оболочки среда предполагается быть однородной и изотропной. Поэтому распространение электромагнитных волн в этой среде подчиняется уравнению Гельмгольца в полярных координатах, имеющему вид
Следуя методу Фурье [23], будем искать частные решения уравнения (4.5) в круге 0 г а либо вне круга г = Ъ в виде произведения и(г,6 ) = Ф(г)6(6 ), (4.6) где Ф(г) и 0(9) - функции одной переменной. Подставляя (4.6) в (4.5), и разделяя переменные, приходим к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям относительно функций Фив:
Здесь А - константа разделения. В силу однозначности решения и(г, 9) уравнения (4.5) функция 0(9) должна удовлетворять следующему условию 27Г-периодичности по 9: 6(0) = 6(2тг). (4.9) Равенства (4.8), (4.9) представляют собой спектральную задачу решение которой (т.е. собственные значения А/ и собственные функции О і) имеет вид \1 = /2, 6/(6») = exp(iW), I = 0, ±1, ±2,.... Заменим в (4.7) А на / . Получим уравнение Бесселя 1-го порядка дЧ(г) 9Ф(г) . 2/2 2. _ . , r ; + r - + (rlki - lz)4 (r) = 0, (4.10) or1 or решениями которого являются цилиндрические функции [23, с.246]: Ji(kor), Щког), H\l)(hr) = Mkor) + іЩког). (4.11) Напомним [23, с.260], что из введенных решений (4.11) уравнения Бесселя (4.10) только функции Бесселя J[(kor) ограничены при г —0 при каждом /, и более того, J/(0) = 0 при I j 0, тогда как остальные функции неограничены при г — 0. Отметим также, что функция Ханкеля 1-го порядка Щ (ког) удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда в К. , имеющему вид
Отсюда следует, что частные решения уравнения Гельмгольца (4.5), рассматриваемого в круге 0 г а либо вне круга г = Ь, имеют соответственно вид Ji(kor)exp(iW), Щ (kor)exp(iW) = Hi(kor)exp(iW), I = 0, ±1,.... Применим теперь метод Фурье для нахожденя частных решений уравнения Гельмгольца с переменными коэффициентами (4.4), описывающего поведения электрического поля Ez в области а г Ь. С этой целью подставим представление (4.6) в (4.4) и разделим переменные. Получим спектральную задачу (4.8), (4.9) для нахождения функции О и обыкновенное дифференциальное уравнение на интервале г Є (а, Ь)
Применение метода Фурье для решения задачи рассеяния
По аналогии со случаем идеального диэлектрика и идеального проводника РЕМС-материал действует как идеальный отражатель электромагнитных волн. Но, в отличие от идеального проводника или идеального диэлектрика, волна, отраженная от РЕМС-границы, имеет две компоненты: ко-поляризованную компоненту, совпадающую по поляризации с падающей волной, и так называемую кросс-поляризованную компоненту, поляризация которой противоположна поляризации падающей волны.
Использование указанной замены приводит как к некоторым упрощениям, так и к некоторым усложнениям в постановке рассматриваемой задачи рассеяния. Действительно, с одной стороны, вместо исходной задачи сопряжения, рассматриваемой на всей плоскости М2 при соответствующих условиях сопряжения г = Ь и г = а, теперь достаточно рассмотреть внешнюю краевую задачу для 21)-уравнения Гельмгольца в области г а+ 5 при соответствующих граничных условиях, отвечающих РЕМС-слою, при г = а + 5, стандартных условиях сопряжения при г = Ь и условиях излучения на бесконечности. С другой стороны, наличие РЕМС-слоя приведет к тому, что из-за его присутствия рассеянное поле (в случае //-поляризации) будет содержать, в дополнение к его //-поляризованной компоненте, / -поляризованную компоненту, называемую кросс-поляризованной компонентой рассеянного поля. Последнее увеличивает в определенном смысле сложность рассматриваемой задачи, поскольку, наряду с обычной ко-поляризованной компонентой рассеянного поля, приходится искать и кросс-поляризованную компоненту.
РЕМС-материал, введенный в Lindell и Shilova [109], привлек внимание многих исследователей. Краткий обзор выполненных в этой области исследований можно найти в статье [144].
Рассмотрим задачу рассеяния //-поляризованной волны, падающей из внешней области г Ь на модифицированную указанным выше способом маскировочную оболочку, занимающую кольцо а г Ь. Внутренняя часть этой оболочки а г а + 5 состоит из РЕМС-слоя, тогда как внешняя часть а + 5 г Ь являются частью идеальной маскировочной оболочки с параметрами (4.30). Напомним, что //-поляризованное электромагнитное поле удовлетворяет 21)-уравнениям Максвелла, имеющим в области, занятой маскировочной оболочкой, вид
В силу уравнений Максвелла (4.34) _Щ"с-компоненте падающей электромагнитной волны соответствует -компонента падающего электрического поля Е с(г,в) = -гщ J2 4(Ъ г)еав, щ = vW , (4.37) где Г]о - импеданс свободного пространства. Откликом в Qe и Q\ на падающую волну Щ)г являются рассеянное поле HQZ В области Qe и поле трансмиссии H[z в области Q\. Рассеянное магнитное поле HQZ может быть представлено в виде следующего ряда: щ:(г,о)= j2aiHi(kor)e где щ - неизвестные пока коэффициенты рассеяния. Отвечающая полю (4.38) -компонента рассеянного электрического поля Е й имеет в силу уравнений Максвелла (4.34) вид Е$(г,в) = -ігю J2 ачНІіу(ког)еав. (4.39)
В свою очередь, поле Hfz трансмиссии внутри области Q\ может быть записано в виде ряда НІг(г,Є)= J2bMkof(r))eue} (4.40) где Ь\ - неизвестные коэффициенты трансмиссии. Представление (4.40) может быть получено с помощью стандартного метода разделения переменных, примененного для нахождения частных решений уравнения Гельмгольца (4.35). Отвечающее полю (4.40) -компонента электрического поля Е\е может быть записана в силу уравнений Максвелла (4.33) в виде Щв(г, в) = -imf(r) J2 biJl(kof(r))eiW. (4.41)
Наряду с полями (4.40)-(4.41), в области Q\ будет присутствовать ко-поляризованная компонента H(z магнитного поля, рассеянного в оболочке Г і, и отвечающая ему в силу уравнений (4.33) компонента Е в рассеянного электрического поля. Они определяются соответственно формулами Щсг(г,в) = Е ciH ikofir)) 16, (4.42)
Здесь с/ - неизвестные коэффициенты рассеяния в оболочке Q\. Кроме того, поскольку внутренняя граница г = а + 5 является идеально электромагнитно проводящей, граничащей с РЕМС-слоем, то в оболочке f i, наряду с ко-поляризованными компонентами (4.42)-(4.43) рассеянного в Q\ поля, будут также присутствовать кросс-поляризованные компоненты рассеянного поля. Они определяются следующими формулами: ЕЦ{г,в) = -гщ J2 diH ikofir)) , (4.44) /= — 00 Ще(г, 0) = f (г) Е №,(1) ( b/W)eiW, (4.45) /=—00 где d\ - неизвестные коэффициенты. Подчеркнем, что приведенные выше формулы всех полей (4.38)-(4.45) в оболочке Г і и во внешней области Qe содержат неизвестные коэффициенты а/, &/, С/ и rf/, которые следуют определять из выполнения условий сопряжения на поверхности раздела г = Ь и из граничных условий на границе г = а + 5 оболочки Г і с РЕМС-слоем.
Граничные условия на поверхности раздела г = Ь являются следствиями фундаментального свойства непрерывности тангенциальных компонент полного магнитного и электрического полей на поверхности раздела г = Ь и, следовательно, имеют вид
Решив эту систему, если, конечно, ее определитель отличен от нуля, и подставив найденные коэффициенты а/, 6/, с/ и rf/ в формулы (4.38)-(4.45) для полей во всех областях, мы определим тем самым поле на всей плоскости. Определив, в том числе, коэффициенты рассеяния щ, мы найдем рассеянное поле HQI ПО формуле (4.38), а далее мы можем определить важную характеристику (7(в) рассеяного поля, называемую шириной рассеяния. Она определяется формулой а (в) = lim 2тгЛ р - . (4.54) В рассматриваемом нами случае ТМг-поляризации справедлива следующая формула (см. [140]), позволяющая находить сг((р) по найденным коэффициентам рассеяния: а(в) « — (-l) a/Cos(/ 9)2. (4.55)