Свойства относительных порядков и их роль при решении обратных задач управления Краев Андрей Владимирович

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Условия обратимости линейных стационарных дина мических систем 11

Глава 2. Алгоритмы обращения динамических систем в скалярном случае 19

2.1. Введение. Постановка задачи 19

2.2. Обращение по известному фазовому вектору 20

2.3. Обращение по скалярному выходу 25

Глава 3. Алгоритмы обращения векторных линейных дискрет ных систем 31

3.1. Постановка задачи 31

3.2. Обращение по фазовому вектору 32

3.3. Восстановление векторного входа по векторному выходу 39

Глава 4. Некоторые свойства относительного порядка линей ных стационарных динамических систем 56

4.1. Предварительные замечания об относительном порядке 56

4.2. Инвариантность второго свойства относительно невырожденного преобразования 61

4.3. О возможности подъёма компоненты НОП 65

4.4. О предельном значении компоненты относительного порядка 67

4.5. Алгоритм приведения системы к виду с относительным порядком

4.6. О приведения MIMO-системы третьего порядка к виду с относительным порядком 70

Глава 5. Об аналоге относительного порядка для случая обращения линейных дискретных динамических систем 74

5.1. Постановка задачи 74

5.2. Определение столбцового относительного порядка 78

5.3. Обращение систем с отсутствующей нулевой динамикой, обладающих столбцовым относительным порядком 80

5.4. Обращение систем с устойчивой нулевой динамикой 88

5.5. Выводы 92

Глава 6. К обобщению относительного порядка 96

6.1. Введение. Постановка задачи 96

6.2. Определение главного неполного относительного порядка 98

Глава 7. О приведении линейной векторной стационарной динамической системы к виду с относительным порядком по Исидори 107

Глава 8. Моделирование работы инвертора 118

Заключение 136

Литература

• Обращение по известному фазовому вектору
• Обращение по фазовому вектору
• О возможности подъёма компоненты НОП
• Обращение систем с отсутствующей нулевой динамикой, обладающих столбцовым относительным порядком

Введение к работе

Актуальность работы

Задача обращения динамических систем является одной из актуальных задач теории управления. Данная задача в различных постановках возникает во многих отраслях науки и техники, связанных с проектированием и эксплуатацией автоматических систем и устройств в условиях неопределённого внешнего воздействия, а также в ряде случаев может найти своё применение в задачах прогнозирования и предсказания. Если представлять динамическую систему в виде блока, преобразующего входное воздействие в выходной сигнал, который можно измерять (например, при помощи датчика), то задача обращения динамических систем заключается в нахождении неизвестного входного воздействия по известным параметрам блока (коэффициентам системы) и измеряемому выходу (показаниям датчика). Математическое описание динамической системы предполагает наличие у блока постоянных характеристик, задаваемых коэффициентами системы, а также внутренней памяти, характеризуемой переменным вектором состояний, значения которого вместе с входным воздействием участвуют в формировании выходного сигнала. Данная модель динамических объектов используется в описании различных технических объектов и устройств в различных областях, от авиапрома до горнодобывающей промышленности. Случай линейных систем является наиболее изученным в классе задач обратной динамики, как в непрерывной так и в дискретной постановке. Здесь уместно сообщить, что линейная стационарная дискретная динамическая система в общем случае задаётся следующей системой уравнений:

^t+l = ¹ +

(1) ^t = ^t + , = 0,1,2,...,

с переменными параметрами X^і Є Ш^п,у^г Є Ж. , * Є Ш^т и постоянными матрицами А, В, С, D соответствующих размерностей. Устоявшаяся терминология теории управления использует обозначения * для входа, у¹ для выхода и ж* для вектора состояний системы, имея в виду, что индекс t означает соответствующий момент времени.

Линейный случай для непрерывных систем в различных постановках исследовался многократно (например, ]), начиная со второй половины 20-го века. В качестве примера можно привести работы L.M.Silverman ], P.M. Van Dooren, P Dewilde, J Wandewalle ]. Например, в работе Силвермана исследована задача обращения, в которой неизвестный вход непосредственно может влиять на измеряемый выход, т.е. матрица!) в () может быть ненулевой, что является самой общей постановкой для случая стационарных линейных систем. Значительный вклад в исследование обратных задач управления внесли советские и российские математики Ю.С. Осипов и А.В. Кряжимский ([], [], []).

В настоящей работе делается попытка исследования одного специального случая обращения линейной дискретной системы. Особенностью предлагаемой работы является то, что рассматривается постановка задачи обращения для систем с нулевой матрицей D, что является также весьма распространённым и актуальным случаем в моделировании физических процессов и автоматических систем. Задача при нулевой матрице D представляет собой значительно более сложный частный случай, так как в этом случае обратный оператор физически не реализуем. Основным моментом является тот факт, что полученные необходимые и достаточные условия корректности постановки задачи обращения динамических систем формируют т.н. класс 'обратимых' систем. Эти условия изначально не совпадают с условиями применимости полученных на первом этапе алгоритмов обращения, которые формируют класс т.н. 'обращаемых' систем. Указанные алгоритмы обращения

применимы лишь для тех обратимых систем, для которых дополнительно выполнено определение относительного порядка по Исидори. Именно системы, составляющие разность этих классов, т.е. обратимые системы без относительного порядка, представляют интерес для дополнительного исследования с точки зрения их обращения, и этому посвящена значительная часть настоящей работы. Существенным результатом настоящего исследования является рассмотрение свойств относительного порядка, его аналогов, и методов сведения задачи с невыполненными свойствами относительного порядка к задаче для системы, обладающей свойством относительного порядка, необходимым для применимости алгоритмов обращения. Хотя все рассуждения проводятся для случая дискретных линейных систем, во многих случаях полученные результаты могут быть обобщены и на непрерывный случай.

Цель диссертационной работы

В проведённом в диссертации исследовании ставятся следующие цели:

1. Определить условия, при которых рассматриваемая постановка задачи обращения корректна, т.е. задача имеет единственное решение или все её решения являются асимптотически сходящимися друг к другу.

2. Используя свойства классического определения относительного порядка (которое выполняется не для всех систем), предложить алгоритмы решения задачи обращения в рассматриваемой постановке для случая SISO и MIMO систем с выполненным определением относительного порядка. Определить условия применимости предложенных алгоритмов.

3. Исследовать свойства относительного порядка квадратных МІМО-систем и предложить алгоритмы сведения произвольной исходной задачи к задаче обращения для системы с относительным порядком.

4. Ввести в рассмотрение аналоги относительного порядка и исследовать их свойства и роль в решении задачи обращения. Предложить алгоритм решения задачи обращения для систем со столбцовым относительным порядком.

5. Рассмотреть свойства систем с неполным относительным порядком. Обобщить понятие относительного порядка на случай таких систем.

6. В конечном итоге на основе полученных результатов предложить общий алгоритм обращения дискретных линейных стационарных систем.

Методы исследования

Основные результаты получены методами теории устойчивости, разностных уравнений, Z-преобразований, матричными методами линейной алгебры и методами функционального анализа.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1. Определены условия существования и единственности (с точностью до асимптотически исчезающих слагаемых) решения задачи обращения.

2. Установлен ряд свойств относительного порядка векторных систем по Исидори. Введено в рассмотрение определение столбцового относительного порядка. Исследованы его свойства.

3. Предложены алгоритмы решения задачи обращения для скалярных и векторных систем с относительным порядком по Исидори или столбцовым относительным порядком. Условия их применимости при наличии относительного порядка совпадают с условиями существования и единственности (с точностью до асимптотически исчезающих слагаемых) решения задачи обращения в рассматриваемой постановке.

4. Исследован вопрос приводимости системы без относительного порядка к виду с относительным порядком невырожденным преобразованием выходов, либо сдвигом компоненты выхода по времени. Предложены алгоритмы такого преобразования.

5. Разработана теория неполных относительных порядков, в рамках которой введено понятие обобщённого относительного порядка и получен крите-

рий приводимости линейным невырожденным преобразованием выходов системы к виду с относительным порядком.

6) Предложен общий алгоритм обращения дискретных линейных стационарных систем.

Практическая значимость

Работа носит теоретический характер. Разработанные алгоритмы допускают программную реализацию, которая может быть непосредственно использована для решения задачи в тех областях автоматического управления, где она возникает.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

6. Условия обратимости линейных дискретных систем.

7. Свойства относительного порядка квадратных МІМО-систем по Иси-дори.

8. Определение и свойства столбцового относительного порядка.

9. Алгоритмы обращения скалярных и векторных квадратных систем с относительным порядком по Исидори.

10. Алгоритмы обращения векторных квадратных систем со столбцовым относительным порядком.

11. Алгоритмы приведения квадратной системы к виду с относительным порядком невырожденным преобразованием выходов.

12. Обобщения понятия относительного порядка.

13. Алгоритм приведения квадратной системы к виду с относительным порядком преобразованием выходов общего вида.

14. Общий алгоритм обращения линейных стационарных дискретных систем.

10) Программная реализация алгоритма обращения.
Апробация работы

Результаты работы докладывались на научном семинаре «Проблемы нелинейной динамики: качественный анализ и управление», а также на следующих конференциях:

международной конференции "Системный анализ и информационные технологии"(Переславль-Залесский, 2005 г., 2006 г.);

международной конференции "Системный анализ и информационные технологии "(Обнинск, 10-14 сентября 2007 г.);

научной конференции "Тихоновские чтения"(Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 25-29 октября 2010 года);

научной конференции "Ломоносовские чтения"(Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 16-25 апреля 2012 года);

научной конференции "Тихоновские чтения"(Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 29 октября - 2 ноября 2012 года);

научной конференции "Тихоновские чтения"(Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 28 октября - 1 ноября 2013 года);

научной конференции "Тихоновские чтения"(Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 27 октября - 31 октября 2014 года).

Публикации.

Основные результаты исследования опубликованы в 8 работах (], ], [], [], [], [], [], []), первые 7 статей из этого списка опубликованы в журналах из списка ВАК.

Личный вклад автора

Постановка задачи, исследовавшейся в диссертации, принадлежит академику С.К. Коровину. Методы исследования и достигнутые с их помощью результаты, включённые в главы 1,3,4,5 диссертации, разработаны и получены автором лично. Результаты главы 2 получены в соавторстве с профессорами ВМК МГУ В.В. Фомичевым и С.К. Коровиным, при этом Краев А.В. выполнил техническую работу по получению оценок результатов работы ал-

горитмов. Результаты глав 6 и 7 получены в соавторстве со студентом ВМК МГУ Роговским А.И. (под научным руководством Краева А.В.), при этом Краеву А.В. принадлежит постановка задачи, фомулировка итоговых результатов в виде утверждений, которые должны были быть доказаны, а также указание методов исследований с примерами их применения. В частности, идеи доказательств результатов главы 6 впервые были опробованы и использованы Краевым А.В. при получении результатов главы 4. Профессор ВМК МГУ В.В. Фомичев участвовал в обсуждении результатов.

Структура и объем диссертации

Обращение по известному фазовому вектору

Здесь В\, ...,Bm - столбцы матрицы В, которые умножаются на скалярные компоненты входа. Если I т, топ — / + m п и (считая Ахг известным) получается система из п уравнений с большим, чем п числом неизвестных «і,..., an-i,\, іСт т-е- числ0 уравнений п меньше числа неизвестных п — I + т. Такая система заведомо не может иметь единственного решения. Таким образом, однородная задача в этом случае либо вообще не имеет решений, либо её решение неединственно, и, следовательно, условие т I -первое необходимое условие обратимости.

Вернёмся к исследованию задачи обратимости для случая т I. Этот случай с точки зрения решения задачи обращения сводится к случаю обращения квадратной (т = Ї) системы, наиболее сложному в рассматриваемом классе, путём отброса избыточной информации, даваемой дополнительными выходами системы (заметим, что предложенные ниже в данной работе алгоритмы обращения работают именно для квадратных систем). Покажем, что достаточным условием обратимости квадратной системы в смысле полного совпадения входов (т.е. для первой подзадачи) является отсутствие у системы (1.11) нетривиальных решений, что имеет место, когда для матрицы Розенброка ([35]) инвариантные нули (нетривиальные значения z, понижающие ранг матрицы Розенброка, т.е. при которых RgR(z) п + т ([36, 37])) отсутствуют.

Предположим, что система не имеет инвариантных нулей. Покажем, что из у = 0 следует х = 0. Предположим, это не так. Пусть тогда в какой-то момент времени состояние из ненулевого становится нулевым. Это означает, что для ненулевого вектора Xі из ядра С выполнено при z = 0, а это говорит о том, что система имеет инвариантный ноль, равный нулю. Итак, состояние не может из ненулевого стать нулевым, если система не имеет инвариантных нулей. По той же самой причине состояние не может переходить в коллинеарное себе, так как это также говорит о наличии инвариантного нуля. Исключив тривиальные случаи, мы получаем, что система имеет нетривиальную нулевую динамику (движение по траекториям у = 0), что невозможно, если у системы нет инвариантных нулей ([36]), которые для квадратной системы являются корнями характеристического полинома нулевой динамики. Наличие нулевой динамики говорит о наличии инвариантных нулей, поэтому если их нет, то начальное состояние может быть только нулевым.

Рассмотрим следующую систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных и для системы (1.4), полученную методом Z-преобразований (при нулевом начальном состоянии):

Здесь через и обозначены соответственно Z-преобразования вектора состояния однородной системы и её неизвестного входа . Если инвариантных нулей нет, эта система может иметь только нулевое решение, что свидетельствует о корректности задачи обращения.

Итак, достаточным условием обратимости в смысле полного совпадения входов (т.е. для первой подзадачи) является отсутствие у системы (1.11) нетривиальных решений, что имеет место, когда для матрицы Розенброка инвариантные нули отсутствуют. Это означает отсутствие нулевой динамики.

Ещё одно доказательство однозначной обратимости в случае отсутствия нулевой динамики вытекает из результативности и однозначности алгоритмов обращения, описанных в главах 3 и 5 для систем с относительными порядками и обобщёнными в главах 6 и 7 для класса слабоприводимых систем, в который включаются управляемые (наблюдаемые) системы, каковыми и являются системы с отсутствием инвариантных нулей. Вернёмся ко второй подзадаче. Если существуют инвариантные нули Z\, Z2,..., Zk, понижающие ранг матрицы Розенброка (можно показать, что при этом к п — т), то общее решение системы после обратных Z-преобра-зований будет выглядеть так:

Оно стремится к нулю, если значения инвариантных нулей Z{, і = 1,..., к, устойчивы, то есть их модули меньше 1. Это даёт нам достаточное условие обратимости для второй подзадачи, т.е. в смысле асимптотической сходимости входов.

Ещё одно объяснение этого факта можно дать следующим образом. Пусть инвариантные нули матрицы Розенброка существуют, но устойчивы. Поскольку инвариантные нули устойчивы, это означает устойчивость нулевой динамики. Это, в свою очередь, означает, что при движении по траекториям С х1 = 0 имеет место сходимость х1 — 0 при t — оо. Стремление к нулю х с учётом первого уравнения системы (1.4) означает и стремление к нулю , так как матрица В по предположению имеет полный ранг. Это означает возможность обращения дискретной системы с асимптотической точностью. Таким образом, справедливо следующее

Утверждение 1.1. Задача обращения дискретной системы (1.1) поставлена корректно, если т I, а инвариантные нули системы (значения z, понижающие ранг матрицы Розенброка) отсутствуют или устойчивы. В случае отсутствия инвариантных нулей гарантируется единственность решения задачи обращения; в случае наличия устойчивых инвариантных нулей гарантируется сходимость всех возможных решений задачи обращения друг к другу при t — оо.

Заметим, что если для какого-то неустойчивого значения ZQ существу ет решение системы (1.10) в виде вектора [ДХо,До], причём Д!Е!о 0, то частное решение исходной задачи обращения, даваемое одним из слагаемых в формуле (1.12): не сходится к нулю ни асимптотически, ни финитно, что свидетельствует о некорректности постановки задачи обращения для этого случая.

Случай, когда для всех неустойчивых значений ZQ В соответствующем векторе решения [ДХо,Д!Е!о] компонента ASo нулевая, относится к классу ненаблюдаемых и необнаруживаемых систем. Это вытекает из равенства (1.14) ДХп = о, ZQI-A С что свидетельствует о потере полноты ранга матрицей наблюдаемости Розен-брока на неустойчивом значении Zo, что говорит об отсутствии наблюдаемости и обнаруживаемое системы.

Этот случай не рассматривается в данном контексте, хотя существуют примеры, когда в этом случае решение задачи обращения существует и единственно. Например, можно рассмотреть следующую систему:

Система имеет неустойчивый инвариантный ноль, равный 2, в то же время вход системы однозначно определяется её выходом, т.е. задача обращения для данной системы корректна. Это объясняется тем, что необнаруживае-мая копонента состояния не участвует в формировании зависимости между входом и выходом.

Вынося данный случай за скобки, в дальнейших рассмотрениях будет решаться задача обращения для систем с устойчивой или отсутствующей нулевой динамикой. Устойчивость или отсутствие нулевой динамики попутно свидетельствует об обнаруживаемое (наблюдаемости) и стабилизируемо-сти (управляемости) системы, соответственно в дальнейшем рассматриваются только такие системы.

Обращение по фазовому вектору

Алгоритм обращения из пункта 3.2 может быть использован только для нахождения , начиная с некоторого момента времени, в который нам становятся известны v предыдущих значений , вычисляемых, например, по алгоритму из пункта 2.1. То есть существует некоторый участок разгона , значения в котором не удаётся найти ни точно, ни даже приближённо. Этот недостаток можно преодолеть, если воспользоваться теорией наблюдателей. И хотя наблюдатель также требует определённого времени для подстройки , тем не менее приближения выдаются с самого первого такта, что позволяет сформировать на их основе траекторию, по которой можно двигаться с самого первого такта, и которая впоследствии сольется (точно или асимптотически) с искомой траекторией, что немаловажно в задачах преследования. qw где матрица L определяется выбором желаемого спектра (из соображений устойчивости) матрицы Qi = Q — Lq (это всегда можно сделать, если пара {q,Q} наблюдаема). В частности, выбором спектра, состоящего из нулей, строится финитный наблюдатель, который будет давать значения без дополнительной погрешности начиная с момента s. До этого момента времени значения, получаемые при помощи (даже финитного) наблюдателя, вообще говоря, являются приближёнными, что определяется неоднозначностью выбора стартового значения начального состояния (w ) для рекуррентной формулы (3.21). Однако эти значения асимптотически или финитно сходится к точным, если матрица Qi устойчива.

Заметим, что если вместо t_1 известна оценка t_1, определяемая подстановкой в (3.5) приближённо измеренных значений фазового вектора, то вместо точного значения выхода в (3.20) известна его оценка, которую и используем для построения наблюдателя, поэтому вместо (3.21) имеем: wf = Qw1-1 - Liqw1-1 - I "1)

Усложним постановку задачи. Будем теперь предполагать, что состояние системы (3.1)-(3.2) нам неизвестно, а известен только её выход (3.2), измеряемый в текущий момент времени. Если размерность входа больше размерности выхода, или иными словами, rankC rank В, то в общем случае не существует способа решить эту задачу, и можно построить тривиальные примеры, демонстрирующие, что при сколь угодно различающихся значениях входа система будет иметь одинаковые значения выхода. Поэтому содержательный интерес представляет задача обращения в том случае, когда размерность входа не превосходит размерности выхода.

Рассмотрим подробно случай квадратной системы, т.е. случай, когда размерности входа и выхода совпадают, или, более точно,

Такое ограничение разумно, т.к. это самый сложный случай из всех корректно поставленных случаев, где требуется = = . Будем предполагать, что для системы (3.1)-(3.2) помимо условия (3.26) выполнено определение относительного порядка векторной системы по Исидори, ([39]).

Это определение в дальнейшем будет повторно даваться в последующих главах, там, где это требуется для целостности изложения, поскольку оно играет ключевую роль в приводимых рассмотрениях. Заметим, что определение относительного порядка, вообще говоря, формулируется для нелинейных систем и имеет более сложную формулировку, но в нашем случае линейных систем формулировка упрощается, и мы приводим её в упрощённом виде. Заметим также, что это определение инвариантно относительно перехода к другому базису пространства состояний.

Напомним ещё два определения, необходимые для дальнейшего изложения, которые уже использовались в первой главе. Определение 3.3 ([36]). Инвариантными нулями системы (3.1) называются все значения z, при которых матрица Розенброка (3.27) системы имеет неполный ранг. Замечание 1. Невырожденная замена координат пространства состояний не меняет относительный порядок и инвариантные нули системы. Невырожденная замена выходов (входов) может изменить относительный порядок, но не меняет инвариантные нули системы для рассматриваемой задачи.

Заметим, что существуют системы, для которых определение относительного порядка по Исидори не выполняется, т.е. условия определения несовместны. В качестве примера можно рассмотреть систему со следующими матрицами, которая удовлетворяет условиям коррекности постановки задачи обращения:

При переходе к базису с выделением нулевой динамики задача обращения векторной системы решается достаточно просто. Покажем это. Рассмотрим задачу обращения для системы порядка псі входами и / выходами (предполагая и входы и выходы линейно независимыми). Предположим, для этой системы выполнено определение относительного порядка по Исидори для вектора г = (г1, ...,Г/). Тогда имеет место следующее утверждение.

О возможности подъёма компоненты НОП

Не ограничивая общности, считаем, что строки в матрицах Са и О упорядочены по неубыванию значений га и г , соответственно. Предположим, для системы а не существует преобразования к системе/3, удовлетворяющего условиям утверждения. Рассмотрим в качестве искомого значения і максимальное из возможных в условиях утверждения, т.е. такое, что г = (га)І при і і . Пусть не существует элементарного преобразования строк матрицы Са, увеличивающего компоненту НОП для строк с номерами не больше г , до значения г или большего. По условию утверждения матрицы Т\ и Т являются квадратными матрицами перехода и они невырождены. Рассмотрим равенство С = Ті(Т ) Са. Для строки г этого матричного равенства справедливо соотношение С = ТСа, где Т{ - г-ая строка матрицы Т = Ti(Tz) . Умножение строки Т на матрицу Са равносильно взятию линейной комбинации её строк с коэффициентами, равными элементам строки ТІ, которые одновременно в ноль не обращаются в силу невырожденности матрицы Т. Данная линейная комбинация может быть представлена последовательностью элементарных преобразований строки (Ca)j, если Ту- = 0. Если матрица Т невырождена, то среди её элементов Ту-,г i ,j і найдётся хотя бы один ненулевой. Пусть это элементTi0j0. Справедливо равенство С = Т0Са, которое можно применить для невырожденного преобразования строки с номером jo- Тем самым в матрице Са невырожденным преобразованием строка с номером jo может быть приведена к виду, совпадающему со строкой io матрицы С , причём іо і і jo 5 что таким образом приводит к увеличению Jo-ой компоненты НОП (как того требует утверждение) и делает возможным переход от системы а к системе (3. Полученное противоречие доказывает утверждение. При этом в процессе доказательства явно указывается, какую именно компоненту вектора НОП удаётся увеличить.

При разработке пошаговых или итерационных методов актуальным является вопрос о том, в какой момент необходимо остановить итерационный процесс. Если предположить, что некий алгоритм ведёт поиск базиса, в котором матрица С удовлетворяла бы определению относительного порядка по Исидори, и при этом на каждом шаге при переходе к очередному представлению происходило бы повышение какой-то компоненты вектора НОП, то нужно иметь условие, при котором становится понятно, что дальше процесс повышения компонент НОП продолжать не имеет смысла. Ответ на этот вопрос даёт следующее утверждение о максимально возможном значении компоненты относительного порядка. Утверждение 4.3. Если для системы порядка п выполнено определение относительного порядка по Исидори, то никакая компонента вектора относительного порядка не может быть больше п.

Доказательство. Докажем от противного. Предположим, что какая-то компонента относительного порядка системы больше, чем п. Это значит, что для соответствующей строки матрицы выходов выполняются равенства СгВ = 0, СгАВ = 0, СгА2В = 0, ...СгАп-гВ = 0. В силу теоремы Гамильтона-Кэли матрица Ап линейно выражается через предыдущие степени матрицы А, то есть через 1,А,А2, ...,Ап 1. Таким образом, СІАПВ = СІ(СІОІ + а\А + a2A2 + ...+an-iAn-l)B = a0ClB+aiClAB+a2ClA2B + ...+an.iClAn-lB = 0. Учитывая, что аналогичным образом и более высокие, чем п, степени матрицы А линейно выражаются через предыдущие, можно сделать вывод, что равенство С {А В = 0 справедливо для любого номера к, а это означает, что первое условие определения относительного порядка не выполнено в данном случае. Полученное противоречие доказывает утверждение.

На основе доказанных свойств относительного порядка можно предложить следующий алгоритм приведения MIMO-системы невырожденным преобразованием выходов к виду с относительным порядком. Если для текущего базиса определение относительного порядка не выполняется, будем переходить от одного базиса матрицы С к другому на основе утверждения 4.2 с целью увеличить какую-либо компоненту относительного порядка. Будем рассматривать все варианты такого увеличения с целью обойти граф, вершинам которого приписаны все возможные векторы из / компонент, от (1,1,..., 1) до п,п,..., п. Рёбра графа соединяют соседние его вершины (т.е. которым припи саны векторы, различающиеся в первой норме на единицу), между которыми возможен переход через преобразование выходов. Согласно утверждению 4.1 при попадании в вершину, которой приписан вектор, совпадающий с реальным значением относительного порядка, в текущем базисе будут выполнены оба условия определения. В этом случае успех алгоритма выявляется успешной проверкой второго условия определения Исидори в текущей вершине. Согласно утверждению 4.2 можно заключить, что путь в такую вершину (если она есть) из исходной существует и может быть найден перебором всех путей. Утверждение 4.3 позволяет остановить перебор путей в том случае, когда матрица выходов неприводима к виду с относительным порядком. Это выясняется после перебора всех путей (посещения всех достижимых вершин) и проверки второго условия определения Исидори в каждой из этих вершин графа. Количество вершин, которое необходимо посетить, ограничивается величиной (п + / — 1)!/(/!(п — 1)!). При этом алгоритм допускает распараллеливание и ускоренный расчёт на мультипроцессорных системах и GPU.

Данный алгоритм возможно оптимизировать следующим образом: для приведения системы к требуемому виду достаточно увеличивать произвольные компоненты вектора НОП, до тех пор, пока это возможно, в произвольном порядке, а второе условие определения проверять лишь в финальной вершине пути. Обоснование этого факта лежит в рамках теории обобщённого относительного порядка, в рамках которой доказана приводимость любой из рассматриваемых здесь систем невырожденным преобразованием выходов к виду с обобщённым ОП, который совпадает с ОП Исидори в тех случаях, когда он достижим таким преобразованием. В остальных случаях данный вид называется видом с главным неполным относительным порядком (ГНОИ). Данная теория разработана в соавторстве со студентом ВМК МГУ Рогов-ским А.И. в процессе совместной работы под научным руководством автора. Её описание приводится в главе 7.

Обращение систем с отсутствующей нулевой динамикой, обладающих столбцовым относительным порядком

Из способа построения матрицы перехода следует, что размер блока соответствует величине соответствующей компоненты вектора г. Из того факта, что правая часть последнего уравнения блока образована осевым состоянием, а терминальным является первое уравнение блока следует утверждение

Утверждение 5.4. Если в условиях рассуждений (то есть для корректно поставленной задачи обращения с квадратной системой, удовлетворяющей определению столбцового относительного порядка, прип = \г\) правая часть терминального уравнения образована осевой переменной состояния, то соответствующий блок имеет единичный размер, а соответствующая компонента вектора столбцового ОП равна 1.

Следствие 1. Любая переменная состояния, являющаяся правой частью k-го уравнения г-го блока, находится с задержкой Г{ — к.

Для нахождения неизвестного входа требуется знать состояния при ненулевых коэффициентах и правую часть в терминальных уравнениях в два последовательных момента времени. Терминальное уравнение является первым уравнением в блоке. Как видно из блочной структуры матриц , , , ненулевые коэффициенты в матрице в терминальных уравнениях стоят только при осевых состояниях, которые находятся непосредственно обращением выходов. Правая часть является компонентой вектора состояния, которая, согласно следствию 1, может быть найдена с задержкой г І — 1. Следовательно, сама г-ая компонента входа находится с задержкой Г{. Отсюда следует

Утверждение 5.5. В условиях проводимых рассуждений (то есть для корректно поставленной задачи обращения с квадратной системой, удовлетворяющей определению столбцового относительного порядка, прип = \г\) система разрешима относительно неизвестных входов, причёмг-ая компонента входа вычисляется с задержкой г І.

Заметим, что рассмотренный случай п = \г\ соответствует системам, у которых нулевая динамика отсутствует. Рассмотрим пример такой системы. Рассмотрим систему, заданную следующими матрицами:

Два последних состояния являются осевыми и находятся из уравнений выхода, зная третье и четвёртое состояние из третьего уравнения находится второе состояние, зная второе состояние с запаздыванием из второго уравнения находится первое состояние. Неизвестные входы находятся из первого и четвёртого уравнений, зная все состояния. Второй вход находится из четвёртого уравнения с задержкой 1, а первый — из первого уравнения с задержкой 3.

Рассмотрим теперь случай, когда п \г\. В этом случае часть столбцов матрицы М выбирается дополнительно из ядра С. Эти векторы расположим в последних п — \г\ столбцах матрицы М.

Определение 5.4. Указанные столбцы матрицы М, а также соответствующие столбцы матриц А и С будем здесь называть добавочными. Последние п — \г\ уравнений системы с матрицей А также будем называть добавочными. Остальные (не добавочные) уравнения будем называть основными, также как и недобавочные столбцы матриц М, А и С. Аналогично, первые \г\ состояний будем называть основными, а остальные -добавочными.

Здесь gi,..., qn-\r\ — добавочные столбцы матрицы М. Заметим, что до множение слева на А приводит к тому, что в матрице М основные нетерминальные столбцы меняют место, сдвигаясь влево. С учётом этого и равенства ММ = I можно сделать вывод, что в произведении М AM на новых позициях сдвинувшихся столбцов стоят столбцы единичной матрицы с единицами в строках, соответствующих старым (до сдвига) позициям столбцов. Это основные нетерминальные строки матрицы А. Таким образом, на пересечении основных нетерминальных строк матрицы Л и её основных неосевых столбцов стоит единичная подматрица. В добавочных уравнениях, которые являются нетерминальными, ненулевые коэффициенты матрицы А могут стоять только в осевых или добавочных столбцах. Попутно заметим, что осевые и добавочные столбцы во всех уравнениях могут содержать ненулевые коэффициенты. Вышесказанное означает, что добавочные уравнения можно записать в виде подсистемы следующего вида: (/) +! = A(z )k + Bzk = A(z )k + ВЯ-у, (5.26) где z - добавочные состояния, матрица А Є К(П_И)Х(П_И) - подматрица, лежащая в добавочных строках и добавочных столбцах матрицы А, В подматрица, лежащая в осевых столбцах и добавочных строках матрицы A, a z -подвектор известных осевых состояний (см. замечание 2).

Невырожденная замена переменных не меняет инвариантные нули системы, поэтому запишем матрицу Розенброка в новых координатах. Раскладывая определитель Розенброка сначала по последним / строкам (вычёркиваются осевые стобцы), потом по последним / столбцам (вычёркиваются терминальные строки), потом по добавочным строкам (вычёркиваются добавочные столбцы), с точностью до знака получаем равенство \R(z)

Таким образом, если система обратима и инвариантные нули устойчивы, то матрица А будет устойчива, подвектор состояний z будет асимптотически или финитно наблюдаем (формула (5.26) будет давать сходящуюся оценку), и его можно оценить в асимптотике или финитно. В этом случае оценка всех остальных основных неосевых состояний также может быть получена в соответствии с рассуждениями, проведёнными ранее для случая п = \г\ (имея в виду, что известны осевые состояния, а также оценка добавочных состояний), а с ней и оценка неизвестных входов, что решает задачу обращения.