Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ известных решений. их достоинства и недостатки 10
Глава 2. SVD анализ обратной динамической задачи в классической постановке 20
2.1 Оператор прямой задачи и его производные 20
2.1.1 Оператор прямой задачи 20
2.1.2 Первая формальная производная 21
2.1.3 Вторая формальная производная 22
2.1.4 Сопряженные операторы к формальным производным Фре-ше оператора прямой задачи F 24
2.1.5 Численная реализация оператора прямой задачи
2.2 Стандартная постановка задачи обращения полного волнового поля 27
2.3 Линеаризованная постановка и сингулярное разложение
2.3.1 Линеаризация оператора прямой задачи 29
2.3.2 О компактности первой производной Фреше оператора прямого моделирования 30
2.3.3 Регуляризация линейного обращения полных волновых полей путём усечения сингулярного разложения 31
2.4 Влияние свободной поверхности на качество решения обратной динамической задачи сейсмики 35
2.4.1 Постановка задачи
2.4.2 Программная реализация расчета SVD 37
2.4.3 Выбор параметра регуляризации 42
2.4.4 Численные эксперименты 43
Глава 3. Модификация целевого функционала и формулировка MBTT 48
3.1 Постановка MBTT 48
3.2 Линеаризация оператора прямой задачи 50
3.3 Численные эксперименты
3.3.1 Пример разложения модели на пропагатор и рефлектор 52
3.3.2 Анализ информативности и разрешающей способности реконструкции пропагатора 54
3.4 Нелинейный метод наименьших квадратов в постановке MBTT 61
3.4.1 Минимизация по переменной p 62
3.4.2 Численный пример минимизации по p 64
3.4.3 Минимизация по переменной s 68
3.4.4 Численный пример полного цикла минимизации в постановке MBTT 70
3.4.5 Численный пример MBTT 2D 83
Заключение 91
Литература
- Сопряженные операторы к формальным производным Фре-ше оператора прямой задачи
- О компактности первой производной Фреше оператора прямого моделирования
- Выбор параметра регуляризации
- Анализ информативности и разрешающей способности реконструкции пропагатора
Введение к работе
Актуальность
Решение обратной динамической задачи сейсмики нелинейным методом наименьших квадратов находится в центре внимания специалистов в области вычислительной геофизики начиная с середины 80-х годов прошлого столетия. Примерно в это же время возникает проблема реконструкции макроскоростной составляющей: при отсутствии в спектре зарегистрированного сигнала очень низких временных частот или чрезвычайно больших расстояний между источниками и приёмниками невозможно определение плавных вариаций скорости распространения сейсмических волн, поскольку именно эта составляющая гарантирует корректное отображение в пространстве структуры изучаемых геологических объектов.
Благодаря значительным успехам в области геофизического приборостроения, в последнее время стала возможной регистрация сейсмических сигналов на частотах до 5 Гц, однако и этого, оказывается, недостаточно для реконструкции макроскоростного строения среды.
Ответ на этот вопрос можно получить путём численного анализа сингулярного спектра производной Фреше оператора обратной задачи, переводящего текущее распределение скорости в наблюдаемые волновые поля. Для этого требуется модификация целевого функционала, обладающая заметно более высокой чувствительностью к изменчивости макроскоростной модели, известная как формулировка MBTT (аббревиатура от английского Migration Based Travel Times).
Цель исследования – оценить разрешающую способность операторов, возникающих при линеаризации нелинейных постановок в методе обращения полного волнового поля для реконструкции макроскоростного строения среды в рамках SVD анализа, и таким образом повысить качество сейсмических изображений структуры сложных сред.
Научные задачи
1. Разработать численный алгоритм построения SVD линеаризованного оператора прямой задачи для классической постановки обратной динамической задачи сейсмики и для постановки MBTT.
2. В рамках SVD анализа оценить разрешающую способность операторов, возникающих при линеаризации классической постановки задачи и постановки MBTT.
Фактический материал и методы исследования
Теоретической основой решения поставленной научной задачи являются:
– математический аппарат функционального анализа и численных методов для вывода формул формальных производных Фреше оператора прямого моделирования и конечно-разностной аппроксимации соответствующих линейных операторов (функция Грина, интегральное уравнение первого рода, краевые задачи для уравнения Гельмгольца в неограниченной области и в полупространстве);
– теория обратных условно-корректных задач (а именно регуляризуемость, квазирешение, построение аппроксимирующих отображений с помощью спектрального разложения);
– современные алгоритмы вычислительной линейной алгебры (итерационный метод построения старших сингулярных чисел и соответствующих им сингулярных векторов, не требующий явного задания матрицы);
– численные методы решения экстремальных задач (такие как метод наискорейшего спуска, метод сопряженных направлений и метод проекции градиента).
Основной метод исследования – SVD анализ разрешающей способности оператора применительно к решению обратной динамической задачи сейсмики. При разработке численного алгоритма использовалась математическая библиотека SlepC для расчета SVD оператора, не требующего задания линейного оператора в явном виде, а требующего его описания в виде функции действия этого оператора на произвольный вектор. Для разработки научно-исследовательской версии программного обеспечения использовался язык программирования C++.
Защищаемые научные результаты:
1. Постановка задачи MBTT в области временных частот, вывод
формальных производных Фреше модифицированного оператора прямого
моделирования.
2. Численный алгоритм расчета SVD формальных производных Фреше
операторов прямого моделирования в классической постановке и в
постановке MBTT.
3. Научно-исследовательский вариант программного обеспечения.
Научная новизна. Личный вклад
Предложен оригинальный подход к решению обратной динамической задачи сейсмики для скалярного волнового уравнения и сделана оценка
разрешающей способности этого подхода со стандартной постановкой задачи обращения полных волновых полей:
– основываясь на формулировке MBTT во временной области, выполнена постановка задачи обращения волновых фронтов в области временных частот путем модификации целевого функционала с разделением пространства моделей на два подпространства - гладких, плавно изменяющихся пропагаторов, и резких, быстро изменяющихся рефлекторов;
– линеаризованы классическая постановка задачи обращения волновых фронтов и постановка MBTT;
– разработан и реализован численный алгоритм для построения SVD первых формальных производных Фреше операторов прямого моделирования для стандартной постановки и для формулировки MBTT;
– с использованием SVD анализа оценено влияние кратных волн, связанных со свободной поверхностью, на результаты восстановления скоростной модели верхней части разреза;
– используя научно-исследовательский вариант проблемно ориентированного программного обеспечения, предназначенного для численного построения SVD, выполнен анализ разрешающей способности первых производных Фреше для классической постановки и для постановки MBTT;
– опираясь на результаты анализа разрешающей способности, разработан и реализован в виде научно-исследовательского программного обеспечения нелинейный алгоритм обращения волновых фронтов в формулировке MBTT.
Теоретическая и практическая значимость
Различные сценарии обращения полных волновых полей на предмет оценки разрешающей способности и устойчивости к помехам во входных данных показывают, что присутствие в данных кратных волн, связанных со свободной поверхностью, уменьшает разрешающую способность и увеличивает устойчивость результатов обращения волновых фронтов в присутствии некоррелированных помех. Аналогичным образом математический аппарат SVD анализа может быть применен для исследования влияния минимальной частоты, максимального выноса, геометрии системы наблюдения и других важных параметров на результаты волнового обращения.
Сравнительный анализ разрешающей способности метода обращения полного волнового поля в стандартной постановке и в формулировке MBTT показывает выгодное отличие последней применительно к задаче реконструкции макроскоростного строения среды. Численными исследованиями установлено, что модифицированная постановка метода обращения полных волновых полей обладает устойчивым подпространством,
позволяющим восстанавливать в линейном приближении макроскоростную составляющую при разумных требованиях на доминирующую частоту зондирующего сигнала (15 Гц), точность измерений (первые проценты) и использование выносов источник - приёмник порядка глубины целевых объектов.
Разработанный и реализованный алгоритм нелинейного обращения волновых фронтов по методу наименьших квадратов в постановке MBTT подтверждает результаты сравнительного SVD анализа: проведенная серия численных экспериментов демонстрирует заметную чувствительность модифицированного целевого функционала к гладким вариациям скоростной модели в отличие от стандартного среднеквадратичного функционала невязки. Модифицированный алгоритм позволяет восстанавливать макроскоростное строение среды даже в отсутствие в спектре зарегистрированного сигнала частот ниже 7 Гц.
Апробация работы и публикации. Результаты диссертационной работы докладывались, обсуждались и были одобрены специалистами на пяти международных конференциях в России и за рубежом:
Международной конференции по обратным задачам и смежным проблемам (Китай, Нанкин, октябрь 2012 г.);
– 10-й Международной конференции «Математические и численные аспекты теории распространения волн» (Тунис, Тунис, июнь 2013 г.);
– Французско-немецкой школе-конференции по обратным задачам и уравнениям в частных производных (Германия, Бремен, октябрь 2013 г.);
– 6-й Международной геолого-геофизической конференции и выставке «Санкт-Петербург 2014. Геонауки -- инвестиции в будущее» (Россия, Санкт-Петербург, апрель 2014 г.);
– 11-м Международном конгрессе по вычислительной механике (Испания, Барселона, июль 2014 г.).
Основные результаты, полученные автором, изложены в 7 опубликованных работах, в том числе 2 статьи - в ведущих научных рецензируемых журналах из перечня ВАК и 5 материалах международных и российских конференций и симпозиумов. Один из материалов входит в международную реферативную базу данных и систему цитирования Scopus.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и списка литературы из 110 наименований. Общий объём диссертации составляет 106 страниц, включая 51 рисунок.
Благодарности. Автор глубоко признателен научному руководителю д.ф.-м.н., профессору Владимиру Альбертовичу Чеверде, который оказал неоценимую помощь в реализации результатов исследования, к.ф.-м.н. Д.А. Неклюдову, к.ф.-м.н. И.Ю. Сильвестрову, к.ф.-м.н. В.В. Лисице и к.ф.-
м.н. М.И. Протасову за всестороннюю поддержку и плодотворные обсуждения по теме диссертации.
Автор благодарен В.И. Самойловой за методические рекомендации и продуктивные консультации при подготовке диссертации.
Сопряженные операторы к формальным производным Фре-ше оператора прямой задачи
Сейсмические поля, индуцированные во внешних оболочках Земли и измеренные на её поверхности, содержат важную в прикладных целях информацию о физических свойствах земных недр. Важные открытия в этой области уже сделаны с использованием времен пробега волн (Oldham, 1906; Gutenberg, 1914; Lehman, 1936). Попыток интерпретировать амплитуды сейсмических волн не предпринимается вплоть до 80-х годов, когда качество сейсмических данных глобальной сейсмической сети стало значительно выше и стало возможным применять реальные сейсмограммы в рамках метода суммирования нормальных мод. Для подбора длиннопериодных сейсмограмм в томографической инверсии используется оценка производных Фреше сейсмограмм в приближении Борна с целью получения высокоразрешенной скоростной модели верхней мантии (Gilbert, 1975; Woodhouse, 1984). Матрица чувствительности, или матрица первых производных Фреше, т.е. матрица, составленная из частных производных сейсмических данных по параметрам модели, явно оценивается перед переходом к обращению линеаризованной системы. Метод суммирования нормальных мод позволяет обращать ограниченное количество параметров (несколько сотен), что делает возможной оптимизацию с построением матрицы чувствительности в явном виде, несмотря на большое количество сейсмограмм.
Тем временем сейсморазведка берет на себя решение задачи построения изображений земных недр высокого разрешения путем использования многокомпонентных систем наблюдения. Построение матрицы разрешающей способности в этом случае становится очень затратным, так как количество параметров превосходит десятки тысяч. Вместо этого прибегают к другим способам построения изображений - с использованием модели взрывающихся отражающих границ и некоторых кинематических поправок. Суммирование амплитуд позволяет построить детализированное изображение геологического разреза для определения и характеризации резервуаров (Claerbout, 1971; Claerbout, 1976). Сумма времен пробега от конкретной точки границы раздела до источника и приемника должна совпадать со временем вступления отраженной волны. Отражательная способность же как свойство амплитуды соответствующей сейсмической трассы в выбранной точке рефлектора представляет мигрирован-ное изображение, необходимое для стратиграфической интерпретации. Поэтому миграция - это концепция для конвертации сейсмических данных, записанных в пространстве и времени, в изображение физических параметров, что часто называют геометрическим описанием коротких длин волн приповерхностной зоны. При этом скоростная макромодель, или фоновая модель, предоставляет кинематическую информацию, необходимую для фокусировки волн внутри пространства.
Ограниченные выносы системы наблюдения и ограниченный частотный диапазон сейсмических источников делают построение сейсмических изображений слабочувствительным к промежуточным длинам волн (Jannane et al., 1989). Это служит мотивацией к следующему шагу в решении задачи – построению скоростной макромодели с использованием кинематической информации и с последующим использованием амплитуды для разработки алгоритмов миграции (Claerbout and Doherty, 1972; Gazdag, 1978; Stolt, 1978; Baysal, 1983; Yilmaz, 2001; Biondi and Symes, 2004). Эта процедура эффективна для относительно простых геологических моделей, однако большие трудности возникают при построении изображений сложных структур, таких как соляные интрузии, изображения под солью и др. В сложных геологических средах построение качественной макро-скоростной модели для миграции является непростой задачей. Для итерационного уточнения макроскоростной модели предлагаются различные подходы (Snieder et al., 1989; Docherty et al., 2003), но они имеют ряд ограничений ввиду слабой чувствительности отраженных данных к большим и средним длинам волн в приповерхностной зоне. Одновременно с этой схемой обращения Лайи (Lailly, 1983) и Тарантола (Tarantola, 1984) переформулировали принцип построения изображений Клербаута (Claerbout, 1971; Claerbout, 1976) в локальную задачу оптимизации, целью которой является минимизация среднеквадратичной невязки между наблюдаемыми и моделируемыми данными. Ученые показали, что градиент целевой функции, вдоль которого отыскивается возмущение модели, может быть построен как кросс-корреляция падающей волны, исходящей из источника с распространяющимися в обратном времени временными невязками. Возмущенная таким образом модель после первой итерации локальной оптимизации выглядит как изображение, полученное путем миграции в обратном времени. Одна лишь разница заключается в том, что в миграции обратно во времени продолжается сейсмическое волновое поле, записанное в позиции приёмника, в то время как в волновом обращении Лайи и Тарантолы обратно во времени продолжается невязка между наблюдаемыми и моделируемыми данными. Возмущения скоростей, прибавленные к стартовой модели, приводят к обновленной модели, которая используется как стартовая на следующей итерации процесса минимизации. Впечатляющее количество данных, содержащихся в сейсмограммах, вовлечено в вычисление градиента. Это вычисление выполняется с помощью суммирования по всем источникам, приёмникам и временным отсчетам.
О компактности первой производной Фреше оператора прямого моделирования
Остановимся подробнее на выборе параметра регуляризации г. При решении практических задач выбор оптимального параметра регуляризации весьма нетривиален. Эта проблема хорошо изучена, ей посвящено множество публикаций (обзор может быть найден, например, в монографии (Vogel, 2002)). В итоге предложен ряд подходов, которые могут оказаться приемлемыми в тех или иных ситуациях. Однако сам факт их многообразия говорит о том, что не существует эффективного способа, годного «на все случаи жизни».
В рассматриваемой постановке ситуация значительно упрощается, так как подразумевается, что правильное решение известно, а основной целью является сравнение эффективности различных сценариев решения обратной задачи. Разные сценарии сравниваются с точки зрения получения «наилучшего» результата, достижимого при помехе заданного уровня (Silvestrov et al, 2012). Определить, что есть «наилучший» результат, можно сравнивая получаемое решение с известной правильной моделью по некоторому критерию.
Для каждого сценария обращения полного волнового поля при заданном уровне помехи существует оптимальное значение параметра регуляризации (число обусловленности усеченной системы (2.27)), при котором достигается минимум среднеквадратичной ошибки (mean-squared error, MSE) между восстановленными параметрами модели и их правильными значениями. Критерий оценки результатов обращения для различных сценариев основан на этой величине. Модели, построенные при оптимальном значении, можно назвать «наилучшими достижимыми моделями». Среднеквадратичная ошибка представляется как сумма двух слагаемых:
MSE = trace [cov(5mr)} + \\mtrue - Rmtrue\\2 = Vі + В1. (2.29) Первое слагаемое - след матрицы ковариации модели - описывает дисперсию параметров модели, т.е. устойчивость их определения: cov{6mr) = L;1 [cav{5dr)\ (L;1) , (2.30) где cov{8dr) обозначает матрицу ковариации данных, которая определяет статистические свойства помехи (см. Menke, 1994). Второе слагаемое - разре-шённость восстановленных параметров, здесь R - означает матрицу разрешающей способности, которая строится как:
Для иллюстрации эффективности восстановления целевого объекта при различных сценариях наблюдений используется величина, называемая относительной среднеквадратичной ошибкой (relative mean-squared error, RMSE):
На рис. 2.5 приведено поведение нормализованных собственных чисел матриц L для двух сценариев - со свободной поверхностью (СП) и с поглощающим слоем. В случае без СП собственные числа убывают с ростом индекса гораздо медленнее, чем в случае со свободной поверхностью. Это означает, что теоретически в первом случае нужно ожидать более высокую информативность результата инверсии (для заданного уровня помех можно использовать более высокую размерность устойчивого подпространства).
На рис. 2.6 приводится зависимость относительной среднеквадратичной ошибки решения от значения параметра регуляризации г при обращении данных с заданной помехой. Результат обращения полного волнового поля без учёта кратных волн, образованных на СП, позволяет получать лучший результат (минимальная RMSE) для оптимально выбранного параметра регуляризации. Однако этот сценарий заметно менее устойчив к выбору регуляризации, а именно: если параметр регуляризации выбран не оптимальным образом, RMSE быстро возрастает и превосходит ошибку, полученную с учётом образования кратных волн на свободной поверхности. Это особенно заметно для больших значений параметра r. Результаты линеаризованного обращения для двух сценариев при r = 140 представлены на рис. 2.7.
Как было сказано, сценарий без учёта кратных от свободной поверхности позволяет получить приемлемое качество восстановленных параметров. Если регуляризация не оптимальна, результат применения процедуры обращения полного волнового поля без СП становится неустойчивым и даёт результат с весьма низким разрешением. В то же время сценарий со свободной поверхностью имеет весьма широкий диапазон допустимых значений параметра регуляризации. При любом значении из этого интервала будут получаться практически одинаковые результаты, хотя и заметно уступающие по разрешённости наилучшему достижимому результату в первом сценарии.
Действительно, как видно из рис. 2.8, использование оптимального для свободной поверхности параметра регуляризации r = 500 для модели, не учитывающей наличия кратных волн, приводит практически к полному разрушению изображения (см. рис. 2.8а). В то же время, использование параметра регуляризации r = 650, который заметно отличается от оптимального, практически никак не меняет изображения для модели, учитывающей наличие кратных волн. Таким образом, учёт кратных волн заметно повышает устойчивость алгоритма, хотя и снижает разрешающую способность получаемого изображения.
Выбор параметра регуляризации
В следующем эксперименте повторяются предыдущие 3 сценария нелинейного обращения по пропагатору, но с одной лишь разницей - Pk теперь представляет собой ортогональный проектор на пространство гладких функций, натянутое на базисные сплайны (см. рис. 3.15, 3.16 и 3.17). Поведение целевых функционалов представлено на рис. 3.18. В сценариях, где используется ненулевой временной рефлектор, пропагатор восстанавливается с хорошей точностью, и чем ближе s к точному значению strue, тем выше качество решения. Результаты классического обращения показывают, что стандартный целевой функционал нечувствителен к гладкой модели.
В предыдущем разделе было показано, что качество восстановления про-пагатора зависит от используемого в обращении временного рефлектора. Чем ближе к истинному значению последний, тем лучше восстанавливается гладкая модель. Для того чтобы реализовать весь цикл нелинейного обращения в формулировке MBTT, приведем схему минимизации модифицированного функционала по переменной S.
Начальное приближение ш0 таково, что скорость распространения сейсмических волн постоянна вплоть до глубины 100 м и представляет собой линейную по глубине функцию, начиная с глубины 100 м и до 1500 м (см. рис. 3.20).
Система наблюдения состоит из 25 точечных источников и 99 гидрофонов, расположенных равномерно в верхней части модели (см. рис. 3.21). Частотный диапазон входных данных состоит из 207 временных частот, расположенных равномерно на отрезке [7, 40] Гц. Форма импульса - вэйвлет Рикера с доминирующей частотой 15 Гц.
Стартовая модель то выбрана такой, что она практически не дает описание макроскоростного строения среды. Поэтому представляет интерес сравнить классический метод обращения полного волнового поля с его модифицированной постановкой MBTT (Chavent et. al, 2014b). Результаты классического обращения для начального приближения то представлены на рис. 3.22. Отметим достаточно неплохое восстановление целевых горизонтов верхней части среды, однако ошибка в положении нижней границы составляет 200 м, что, по меркам геофизики, является неприемлемым результатом. Убедимся теперь, что метод MBTT окажется более информативным применительно к задаче восстановления гладкой модели.
Численный эксперимент, описанный в разделе 3.4.2, показывает, что качество восстановления пропагатора сильно зависит от временного рефлектора s, используемого в обращении. Предлагается схема минимизации в формулировке MBTT, представленная на рис. 3.23. На стадии 1 целевой функционал Ё(р; s) минимизируется по переменной s, затем на стадии 2 тот же функционал минимизируется по переменной р, используя временной рефлектор, полученный на первой стадии. Затем этот цикл, состоящий из двух стадий, повторяется снова. Результаты восстановления полной модели т(р; s) = р + М{р) s на стадии 1 изображены на рис. 3.24. Соответствующее поведение целевого функционала представлено на рис. 3.25.
Следующий шаг - реконструкция пропагатора с использованием обновленного на первой стадии временного рефлектора. В качестве базиса гладкого подпространства предлагается выбрать те из восьми B-сплайнов, которые сфокусированы в верхней части среды (см. рис. 3.26). Результаты обращения для стадии
Восстановленная полная модель на стадии 3 (минимизация по s) изображена на рис. 3.29, соответствующее поведение целевой функции - рис. 3.30. Базис гладкого подпространства на стадии 4 изображен на рис. 3.31, результаты обращения - рис. 3.32 и 3.33 соответственно. Отметим практически идеальное качество восстановления пропагатора.
Так как восстановленная после 4 стадий обращения MBTT модель хорошо описывает макроскоростное строение среды, предлагается использовать эту модель в качестве начальной для классического обращения. Результаты такого численного эксперимента представлены на рис. 3.34 и 3.35. Отметим, что в отличие от первого эксперимента (рис. 3.22) границы разделов сред восстанавливаются на правильных местах (см. рис. 3.36 для сравнения результатов обращения и рис. 3.37 для сравнения синтетических сейсмограмм).
Анализ информативности и разрешающей способности реконструкции пропагатора
Рассмотрим скоростную модель mtrue, представленную на рис. 3.19. Начальное приближение ш0 таково, что скорость распространения сейсмических волн постоянна вплоть до глубины 100 м и представляет собой линейную по глубине функцию, начиная с глубины 100 м и до 1500 м (см. рис. 3.20).
Система наблюдения состоит из 25 точечных источников и 99 гидрофонов, расположенных равномерно в верхней части модели (см. рис. 3.21). Частотный диапазон входных данных состоит из 207 временных частот, расположенных равномерно на отрезке [7, 40] Гц. Форма импульса - вэйвлет Рикера с доминирующей частотой 15 Гц.
Стартовая модель то выбрана такой, что она практически не дает описание макроскоростного строения среды. Поэтому представляет интерес сравнить классический метод обращения полного волнового поля с его модифицированной постановкой MBTT (Chavent et. al, 2014b). Результаты классического обращения для начального приближения то представлены на рис. 3.22. Отметим достаточно неплохое восстановление целевых горизонтов верхней части среды, однако ошибка в положении нижней границы составляет 200 м, что, по меркам геофизики, является неприемлемым результатом. Убедимся теперь, что метод MBTT окажется более информативным применительно к задаче восстановления гладкой модели.
Численный эксперимент, описанный в разделе 3.4.2, показывает, что качество восстановления пропагатора сильно зависит от временного рефлектора s, используемого в обращении. Предлагается схема минимизации в формулировке MBTT, представленная на рис. 3.23. На стадии 1 целевой функционал Ё(р; s) минимизируется по переменной s, затем на стадии 2 тот же функционал минимизируется по переменной р, используя временной рефлектор, полученный на первой стадии. Затем этот цикл, состоящий из двух стадий, повторяется снова. Результаты восстановления полной модели т(р; s) = р + М{р) s на стадии 1 изображены на рис. 3.24. Соответствующее поведение целевого функционала представлено на рис. 3.25. Следующий шаг - реконструкция пропагатора с использованием обновленного на первой стадии временного рефлектора. В качестве базиса гладкого подпространства предлагается выбрать те из восьми B-сплайнов, которые сфокусированы в верхней части среды (см. рис. 3.26). Результаты обращения для стадии 2 представлены на рис. 3.27 и 3.28. Восстановленная полная модель на стадии 3 (минимизация по s) изображена на рис. 3.29, соответствующее поведение целевой функции - рис. 3.30. Базис гладкого подпространства на стадии 4 изображен на рис. 3.31, результаты обращения - рис. 3.32 и 3.33 соответственно. Отметим практически идеальное качество восстановления пропагатора.
Так как восстановленная после 4 стадий обращения MBTT модель хорошо описывает макроскоростное строение среды, предлагается использовать эту модель в качестве начальной для классического обращения. Результаты такого численного эксперимента представлены на рис. 3.34 и 3.35. Отметим, что в отличие от первого эксперимента (рис. 3.22) границы разделов сред восстанавливаются на правильных местах (см. рис. 3.36 для сравнения результатов обращения и рис. 3.37 для сравнения синтетических сейсмограмм). Кубические В-сплайны
Классическое обращение для стартовой модели, полученной после обращения MBTT. Черным изображена истинная модель, красным - восстановленная
Gullfaks, отображающей типичное строение ряда резервуаров Северного моря (см. рис. 3.38). Входные данные синтезированы для набора из 18 частот, расположенных равномерно в диапазоне [5,20] Гц, каждая из которых имеет равный вклад в целевой функционал (здесь имеется в виду, что Фурье-спектр зондиру 85
Используется следующая геометрия источников и приёмников: неподвижные 200 приёмников, расположенные на глубине 10 м от линии z=0 с шагом 20 м, и 20 источников, равномерно размещенные на этой же линии с шагом 200 м. Вертикально неоднородная модель (см. рис. 3.39) используется в обращении в качестве начального приближения.
Как и в предыдущих численных экспериментах, применим для решения задачи стандартный метод обращения полных волновых полей. Результаты обращения представлены на рис. 3.40 и рис. 3.41. Как можно заметить, классический метод не позволяет восстановить гладкую компоненту решения для выбранного диапозона частот в данных. Восстановленная модель содержит в основном резко осциллирующую компоненту решения, однако положение целевых горизонтов восстанавливается со значительной ошибкой (см. рис. 3.41). В то же время, 5 Гц это почти предельная временная частота, которая может быть достоверно извлечена из реальных данных. Рисунок 3.36 – Классическое обращение (слева) и классическое обращение после MBTT (справа). Черным изображена истинная модель, красным - восстановленная
Наряду со стандартным подходом, представлены результаты обращения в постановке MBTT (см. рис. 3.42). Начальное приближение для временного ре-флетора s - входные данные, начальный пропагатор p выбран таким же, как стартовая модель для стандартного обращения (см. рис. 3.39). Кубические 2D B-сплайны используются в качестве базиса пространства пропагаторов. Неизвестная гладкая можель p строится путем минимизации модифицированного целевого функционала методом сопряженных градиентов в пространстве пропа-гаторов. Стадия восстановления пропагатора представлена на рис. 3.43. Важно отметить значительную чувствительность модифицированного целевого функционала к макроскоростной модели. Более того, как только обновляется пропа 87
Разница между наблюдаемыми и моделируемыми данными. Слева: классическое обращение, справа: классическое обращение после MBTT гатор p, одновременно с ним обновляется и глубинный рефлектор r, поскольку они связаны оператором миграции: r = M(p) s . На рис. 3.43 видно, что в течение процесса оптимизации одновременно обновляются и гладкая модель, и глубинный рефлектор. Как результат, если пропагатор близок к истинной макроскоростной модели, то границы раздела сред восстанавливаются корректно. Финальная скоростная модель, полученная в результате применения метода MBTT, представлена на рис. 3.42.