Стационарные локализованные возмущения в конденсате Бозе-Эйнштейна: описание, численное построение, устойчивость Кизин Павел Павлович

Введение к работе

Актуальность работы, таким образом, обусловлена бурным развитием тео рии конденсата Бозе–Эйнштейна и значимостью уравнения Гросса–Питаевского

для его описания. Основным объектом исследования данной диссертационной

[13] Б.А . Маломед, Контроль солитонов в периодических средах. Москва: Физматлит, 2009.

[10] P. J. Y. Louis, E. A. Ostrovskaya, C. M. Savage, and Yu. S. Kivshar, “Bose–Einstein condensates in optical

lattices: Band-gap structure and solitons,” Phys. Rev. A, vol. 67, p. 013602, 2003.

[14] I. V. Barashenkov, D. E. Pelinovsky, and E. V. Zemlyanaya, “Vibrations and oscillatory instabilities of gap

solitons,” Phys. Rev. Lett., vol. 80, p. 5117, 1998.

работы являются стационарные решения одномерного уравнения Гросса–Пита евского с периодическим потенциалом и отталкивающим типом взаимодействия.

Цели и задачи работы можно сформулировать следующим образом.

1. Разработка, теоретическое обоснование и программная реализация алго ритма, позволяющего по заданному заранее коду численно строить профи ли стационарных состояний БЭК с отталкивающим типом межчастичных взаимодействий, находящегося в поле внешнего периодического потенци ала.

2. Численное исследование связи между устойчивостью стационарного со стояния БЭК с отталкивающим типом межчастичных взаимодействий, находящегося в поле внешнего периодического потенциала, и его кодом.

Научная новизна. Одним из основных результатов данной работы яв

ляется разработанный численный метод построения профилей стационарных состояний конденсата Бозе–Эйнштейна по заданному коду. Данный метод явля ется новым, он реализован в виде комплекса программ на языке высокого уров ня Python с использованием сторонних библиотек numpy, scipy, matplotlib, gmpy2. Разработанное приложение зарегистрировано в государственном реестре программ для ЭВМ и выложено в открытый доступ по ссылке . Также в диссертации численно исследована спектральная устой чивость следующих стационарных состояний БЭК: фундаментального щелево

го солитона, усеченных блоховских волн (с англ. Truncated-Bloch-wave solitons)

и связанной пары фундаментальных щелевых солитонов, разделенных некото рым числом пустых потенциальных ям. Такие решения были обнаружены ранее (см., например, ^[10]), однако информация об их устойчивости или неустойчиво сти либо отсутствовала, либо была противоречивой. Результаты исследования

[10] P. J. Y. Louis, E. A. Ostrovskaya, C. M. Savage, and Yu. S. Kivshar, “Bose–Einstein condensates in optical

lattices: Band-gap structure and solitons,” Phys. Rev. A, vol. 67, p. 013602, 2003.

спектральной устойчивости указанных решений в рамках данной диссертации проверены эволюционным моделированием уравнения () при помощи конечно разностной схемы. Наконец, в данной работе представлены новые результаты, относящиеся к теории кодирования стационарных состояний БЭК, доказыва ется ряд теорем о свойствах кодировочных множеств на плоскости начальных условий (u, u⁰).

Теоретическая и практическая значимость. Результаты, изложен

ные в диссертации, могут быть использованы при проведении экспериментов с конденсатом Бозе–Эйнштейна, например при поиске стационарных состояний, устойчивых в моделируемой оптической ловушке. Численный метод, разрабо танный в диссертации, может быть использован для построения новых классов локализованных решений уравнения () и детального исследования построен ных классов решений.

Положения, выносимые на защиту:

3. Разработан и обоснован численный метод построения решений уравнения (), соответствующих заданному коду. Данный метод реализован в виде комплекса программ на языке высокого уровня Python.

4. Показана осцилляторная неустойчивость фундаментального щелевого со литона и усеченных блоховских волн. Эта неустойчивость имеет место при большой амплитуде и слабой локализации указанных решений. Данный факт был подтвержден при помощи численного решения эволюционной задачи.

5. Исследована спектральная устойчивость связанной пары фундаменталь ных щелевых солитонов, разделенных некоторым числом пустых потен циальных ям. Показано, что устойчивость или неустойчивость таких ре шений зависит от числа периодов, разделяющих фундаментальные соли тоны.

4. Представлено дальнейшее развитие теории кодирования решений уравне

ния () в случае отталкивающего взаимодействия = 1. В частности,

доказана теорема о возможных формах кодировочных множеств на плос кости начальных условий (u, u⁰).

Степень достоверности и апробация результатов. Модель Гросса–

Питаевского является классической задачей из физики сверхнизких темпера тур, и ее достоверность не вызывает сомнений. В данной диссертационной ра боте численно строятся локализованные стационарные решения указанной мо дели, а также численно исследуется устойчивость таких решений. Построение решений производится при помощи стандартных численных методов с контро лируемой точностью. Исследование устойчивости построенных решений произ водится двумя независимыми методами: методом коллокации Фурье и методом функции Эванса. Кроме того, результаты исследования устойчивости проверя ются численным решением эволюционной задачи при помощи конечно-разност ной схемы.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конфе ренциях: “Нелинейные уравнения и комплексный анализ”, УНЦ РАН, Уфа, 18–22 марта 2013 г.; “Микроэлектроника и информатика – 2013”, МИЭТ, Москва, 17–19 апреля 2013 г.; “Nonlinear Waves – Theory and Applications”, Пекин, Китай, 12–15 июня 2013 г.; “Нелинейные уравнения и комплексный анализ”, УНЦ РАН, Уфа, 17-21 марта 2014 г.; “Hamiltonian Dynamics, Nonauthonomous Systems, and Patterns in PDE’s”, НГУ, Нижний Новгород, 10–15 декабря 2014 г.; “Фундамен тальная математика и ее приложения в естествознании”, БашГУ, Уфа, 27 сен тября – 1 октября 2015 г.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 11 печатных ра

ботах, из них 5 статей в рецензируемых журналах из перечня ВАК [–] и6 тезисов докладов [–].

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положе

ния, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубли кованные работы. Подготовка к публикации полученных результатов проводи лась совместно с соавторами, причем вклад диссертанта был определяющим. Все представленные в диссертации результаты получены лично автором с ис пользованием разработанных автором методов и компьютерных программ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,