Введение к работе
Актуальность темы. Интерес к периодическим системам в магнитных нолях резко возрос за последние годы среди специалистов как по математической, так и по теоретической физике. Интерес физиков-теоретиков к таким системам в последние полтора десятилетия обуславливался необычайно важными экспериментальными открытиями, такими как квантовый эффект Холла (Нобелевская премия 1985 г.); квантовый биллиард в периодических массивах квантовых антиточек; экспериментальное обнаружение фрактальной структуры спектра (бабочка Хофштадтера) в периодических массивах квантовых точек и др. Строгое математическое обоснование теоретических построений физиков, связанных с обяснепиями этих экспериментов, потребовало привлечения мощных методов алгебраической топологии, спектрального анализа, некоммутативной геометрии и др. При этом немалую роль в теоретическом обосновании указанных выше экспериментов и в анализе других свойств периодических систем в магнитных полях играют явнорешаемые модели, использующие теорию точечных потенциалов (потенциалов нулевого радиуса).. В связи с этим построение и исследование методами теории потенциалов нулевого радиуса явнорешасмых моделей трехмерных периодических систем при наличии магнитного поля представляется весьма актуальным.
Цель работы. 1. Построение точечного периодического возмущения трехмерного оператора Шредингера с. однородным магнитным полем (другими словами, оператора Ландау) с помощью теории самосопряженных расширений симметричных операторов.
2. Анализ зонной структуры спектра возмущенного операто
ра. .
Лля достижения основной цели работы потребовалось решить следующие задачи, вспомогательные по отношению к указанным выше, но тем не менее представляющие и самостоятельный инте- ' рее.
3. Исследование функции Грина трехмерного оператора Лан-
Дау.
-
Разложение периодического оператора Ландау в прямой интеграл по спектру неприводимых представлений группы магнитных трансляций.
-
Исследование спектра слоя в указанном выше разложении для случая периодического точечпого возмущения оператора Ландау.
Общая методика исследования основана на применении методов теории самосопряженных расширений симметрических операторов'в гильбертовых пространствах, теории представлений групп и техники разложения периодического оператора в прямой интеграл по тору квазиимпульсов.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты, выносимые на защиту.
-
Приведен вывод явных формул для функции Грина трехмерного оператора Лапдау. На основе этих формул получены экспоненциальные оценки функции Грина на бесконечности.
-
Дана- конструкция периодического точечного возмущения трехмерного оператора Ландау.
-
Выведены явные формулы для разложепил периодического возмущения оператора Ландау в прямой интеграл по спектру неприводимых представлений группы магнитных трансляций и с их помощью получено разложение периодического точечного возмущения оператора Ландау в прямой интеграл операторов с дискретным спектром.
4. Проведен исчерпывающий анализ спектра слоя периодиче
ского точечного возмущения оператора Ландау над произвольной
фиксированной точкой тора квазиимпульсов.
5. Полностью исследована зонная структура спектра пери
одического точечного возмущения оператора Ландау. В частно
сти, доказано, что спектр возмущенного оператора имеет не более
одной лакуны и не содержит сшн-улярно непрерывной компонен
ты, но может содержать собственные значения. При естествен
ных ограничениях на параметры возмущения спектр не содержит
и собственных значений. Указан способ построения возмущения-
оператора Ландау со спектром, имеющим лакупу любой наперед заданной длины. *
6. Показало существование особенностей Ван Хова для зако
нов дисперсии периодического оператора Ландау. Доказано, что
точки магнитной зоны Бриллюэна, в которых возникают особен
ности Ван Хова, образуют всюду плотное в торе квазиимпульоов
множество. . .
Отметим, что при получении результатов нн. .3-6 использовалось обычное в теории периодических операторв Шредиигера с магнитным полем условие цеяочисленности потока Магнитного поля через грани элементарной ячейки нериодов. Локазательства результатов п. 5 проведены, для простоты, лишь для случая ортогональной решетки.
Научная и практическая ценность. Работа.носит теоре
тический характер. Полученные результаты могут представлять
интерес как для специалистов по квантовой теории твердого тела,
так и для специалистов по спектральной теории самосопряженных
операторов. *
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались па Международных конференциях по дифференциальным уравнениям и их приложениям (Саранск, 1994, 1996 гг.), на шестой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1996 г.), на Огаревских чтениях (Мордовский г.осуниверситет, Саранск 1993, 1994, 1995, 1996 гг.), на конференции молодых ученых (Саранск, 1996 г.), на научном семинаре профессора Е.В.Воскресенского но прикладной математике при Мордовском государственном университете им. Н.П.Огарева (Саранск, 1996 г.).
Публикации. Основные результаты работы отражены в девяти публикациях, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, списка основных обозначений, трех глав, разбитых па параграфы, и списка литературы. Общий объем диссертации 145 страниц. Список литературы содержит 94 наименования.