Спектральные свойства периодических массивов квантовых точек и колец в магнитном поле Попов, Андрей Владимирович

Введение к работе

Актуальность темы. Интерес к периодическим системам в магнитных полях резко возрос за последние годы среди специалистов как по математической, так и по теоретической физике. Интерес физиков-теоретиков к таким системам в последние полтора десятилетия обуславливался необычайно важными экспериментальными открытиями, такими как квантовый эффект Холла (Нобелевская премия 1985 г.); квантовый биллиард в периодических массивах квантовых антиточек; экспериментальное обнаружение фрактальной структуры спектра (бабочка Хофштадтера) в периодических массивах квантовых точек и др. Строгое математическое обоснование теоретических построений физиков, связанных с объяснениями этих экспериментов, потребовало привлечения мощных методов алгебраической топологии, спектрального анализа, некоммутативной геометрии и др. При этом немалую роль в построении общей теории для указанных выше экспериментов, и в анализе других свойств пернодическігх систем в магнитных полях играют получаемые в тех или иных приближениях различные явнорешаемые модели. В связи с этим построение явнорешаемых математических моделей периодических квантовых систем при наличии магнитного поля и исследование их энергетического спектра представляется весьма актуальным.

Цель работы.

1. Построение самосопряженных операторов, являющихся модельными гамильтонианами периодических массивов квантовых точек и одномерных квантовых колец с вихрями Ааронова-Бома, находящихся во внешнем однородном магнитном поле.

2. Аналитическое и численное исследование структуры спектра построенных гамильтонианов.

Для достижения основной цели работы потребовалось решить следующие задачи, вспомогательные по отношению к указанным выше, но тем не менее представляющие и самостоятельный интерес.

3. Построение всех самосопряженных расширений одного клас
са симметрических операторов, выделение из них расширения по Фри-

дрихсу, которое можно считать гамильтонианом двумерного квантового кольца, находящегося в однородном магнитном поле в присутствии соленоида Ааронова-Бома, и исследование его спектра.

4. Разложение построенных гамильтонианов указанных выше периодических систем в прямые интегралы по спектру неприводимых представлений дискретной группы магнитных трансляций и исследование спектра слоя в полученных разложениях.

Общая методика исследования основана на применении методов теории самосопряженных расширений симметрических операторов в гильбертовых пространствах, теории представлений групп и техники разложения периодического оператора в прямой интеграл по тору квазиимпульсов.

Научная новизна и значимость работы определяются следующими основными результатами.

1. Описаны все самосопряженные расширения одного класса сим
метрических операторов, из них выделено расширение по Фридрнхсу,
которое можно считать гамильтонианом двумерного квантового кольца,
находящегося в однородном магнитном поле в присутствии соленоида
Ааронова-Бома. Проведен анализ спектра этого гамильтониана для всех
возможных значений параметров модели.

2. С помощью теории самосопряженных расширений построены операторы энергии двух периодических квантовых систем на плоскости, находящихся в магнитном поле: массивов квантовых точек и квантовых колец, причем впервые для моделей такого типа учитывалась не только однородная составляющая магнитного поля, но и поле, создаваемое периодической системой соленоидов Ааронова-Бома.

3. Проведено аналитическое и численное исследование структуры спектра построенных гамильтонианов. Получены условия, налагаемые на величину магнитного потока, которые определяют зонную или канто-ровскую структуру энергетического спектра. Доказано появление в рассматриваемых системах собственных значений, погруженных в непрерывный спектр, и вырожденных подзон. Построены диаграммы поток-

энергия.

Положения, выносимые на защиту.

1. Найдены все самосопряженные расширения одного класса сим
метрических операторов, из них выделено расширение по Фрндрихсу,
которое можно считать гамильтонианом двумерного квантового кольца, .
находящегося в однородном магнитном поле в присутствии соленоида
Ааронова-Бома, и исследован спектр этого гамильтониана.

2. Построены операторы энергии двух квантовых систем, нахо
дящихся во внешнем однородном магнитном поле: гамильтониан Я^агг
периодического массива квантовых точек с вихрями Ааронова-Бома и
гамильтониан Нд периодической системы квантовых колец Ааронова-
Бома.

3. Для случая, когда поток однородного поля через элементарную ячейку кристаллической решетки системы рационален, получено разложение гамильтониана Н^агг в прямой интеграл по спектру неприводимых представлений дискретной группы магнитных трансляций, найден спектр слоя этого разложения над произвольной точкой тора квазипмпульсов. Доказана зонная структура спектра оператора Н^агг, построены диаграммы поток-энергия.

4. В случае квадратной решетки доказана фрактальная структура спектра оператора Н^атт для почти всех иррациональных значений потока. Доказано существование у оператора Н^агг собственных значений, погруженных в его непрерывный спектр.

5. Для случая рационального потока и квадратной кристаллической решетки получено разложение гамильтониана Яд в прямой интеграл по спектру неприводимых представлении дискретной группы магнитных трансляций, найден спектр слоя этого разложения над произвольной точкой тора квазипмпульсов. Доказана зонная структура спектра оператора На, получена оценка на количество подзон в каждой зоне.

6. Доказано существование при целом потоке у гамильтониана Ял вырожденных подзон (локализованных состояний).

Практическая значимость. Работа носит теоретический харак-

тер. Полученные результаты могут представлять интерес как для специалистов по квантовой теории твердого тела, так и для специалистов по спектральной теории самосопряженных операторов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Материал работы, изложенный на 179 страницах машинописного текста, включает 19 рисунков и список литературы, содержащий 112 наименований.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на четвертой международной конференции по разностным уравнениям и их приложениям (Познань, 1998 г.), на международной конференции "Физика на пороге 21 века" (Санкт-Петербург, 1998 г.), на научных межвузовских конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1998, 2000 гг.), на международной конференциях "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 1998, 2000 гг.), на II Уральской региональной межвузовской научно-практической конференции "Проблемы физико-математического образования в ВУЗах России" (Уфа, 1997 г.), на второй международной научно-технической конференции "Проблемы и прикладные вопросы физики" (Саранск, 1999 г.), на региональной научно-практической конференции "Критические технологии в регионах с недостатком природных ресурсов" (Саранск, 1999 г.), на конференциях молодых ученых Мордовского госуннверситета (Саранск, 1996-1998 гг.), на Огаревских чтениях (Саранск, 1998-2000 гг.).

Личное участие автора. Исходные теоретические положения разработаны совместно с В.А. Гейлером. Доказательство основных теорем, численные расчеты и анализ результов проведены автором'самостоятельно.

Публикации. Основные результаты работы отражены в двадцати публикациях.