Введение к работе
Актуальность темы. Сеточные методы в настоящее время являются самым распространенным средством решения задач математической физики. К числу наиболее развитых из них относятся, прежде всего, методы конечных разностей и конечных элементов. Различные аспекты преимущественно линейной теории этих методов освещены в многочисленных работах.
Хорошо известно, что при описании реальных задач, возника-ицих.в механике, физике, технике,возникает, как правило, необхо-іимость учета нелинейных эффектов, что существенно усложняет по-зтроение и теоретическую оценку качества сеточных аппроксимаций зоответствующих краевых задач. Значительные трудности, естест-ієнно, возникают и при построении эффективных итерационных мето-ІОВ решения нелинейных уравнений математической физики.
К настоящему времени довольно широко изучены сеточные схемы і итерационные методы для нелинейных задач с сильно монотонными шераторами.
В диссертации рассматриваются задачи, при описании которых юзникают эллиптические уравнения и неравенства с операторами, г.е являющимися сильно монотонными. Это - задачи теории стацио-:арной фильтрации несжимаемой жидкости, следующей разрывному акону фильтрации с предельным градиентом, а также задачи физи-ески нелинейного изгиба тонких пологих оболочек, находящихся од воздействием произвольно направленной внешней нагрузки.
Цель работы заключается в построении и исследовании сеточ-
- 4 -ных методов решения стационарных задач фильтрации с предельным градиентом и задач физически нелинейного изгиба тонких пологих оболочек.
Методы исследования. В диссертации используются метод монотонных операторов и методы выпуклого анализа, в частности, теория двойственности. При построении конечномерных аппроксимаций применялись методы сумматорных тождеств и конечных элементов.
Научная новизна. Построены и исследованы итерационный процесс типа Удзавы решения нелинейных стационарных задач теории фильтрации с разрывным законом и сеточного аналога этого алгоритма. Построена разностная схема для задачи об изгибе тонкой пологой физически нелинейной оболочки, находящейся под действием произвольно направленной внешней нагрузки, и исследована сходимость разностной схемы. Предложен и исследован итерационный метод типа Удзавы решения разностной схемы для задачи об изгибе тонкой пологой физически нелинейной оболочки.
Практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы при решении конкретных задач нелинейной фильтрации и теории пологих оболочек.
Апрооация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах кафедры вычислительной математики Казанского госуниверситета, на итоговых научных конференциях Казанского госуниверситета 1988- 1994 г., на семинарах Всесоюзної! школы молодых ученых "Современные проблемы численного анализа' СЕреван, 1988 г.), на Республиканской конференции молодых ученш и специалистов СМинск.1989 r.D, на Всесоюзной конференции "Мате-
матическое моделирование и численный эксперимент" (Казань, 1991 г.), на 4-й Всероссийской школе молодых ученых "Численные методы механики сплошной среды" (Абрау-Дюрсо. 1992 г.), на Международной конференции "Flow thorough porous media and reservior engee-ring applications" (Москва, 1992 г.}, на Международной конференции "Алгебра и анализ", посвященной 100 - летию Н. Г. Чеботарева (Казань, 1994 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 61 наименование. Общий объем работы 100 страниц.