Введение к работе
Актуальность темы исследования. Выявление предвестниковых эффектов землетрясений по данным геофизического мониторинга является актуальной научной задачей, исследованием которой занимаются научные центры во многих странах. В России алгоритмы прогноза землетрясений и методологии оценивания сейсмического риска активно развиваются в Институте теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН и в Институте физики Земли РАН.
Теория вейвлетов (всплесков) возникла в 80-е годы XX века в процессе изучения частотно-временных сигналов. В настоящее время теория вейвле-тов активно применяется для анализа нестационарных сигналов и предлагает новые методы для решения сложных задач в таких областях как сжатие данных, анализ изображений, распространение волн, распознавание образов, компьютерная графика и многих других. Применениям непрерывного и дискретного всплескового преобразований для прогнозирования временных рядов и для обработки сигналов посвящены многочисленные публикации. Для данной диссертации особенно важны применения методов теории всплесков в геофизике (Любушин А.А., 2007). Данные мониторинга зачастую имеют фрагментарный характер, что существенно осложняет своевременный прогноз землетрясений. В разработанной А. А. Любушиным методике существенным элементом является оценка гладкости низкочастотных микросейсмических колебаний с помощью вейвлетов.
Известно, что стандартное ортогональное всплесковое преобразование не подходит для анализа высокочастотных сигналов с относительно узкой полосой частот (Debnath L., Shah F.A., 2015). Для преодоления этого недостатка были созданы M-ленточные всплески как прямое обобщение обычных всплесков. Для обработки некоторых сигналов существенно, что при M > 2 построены (C.K. Chui, J. Lian, B. Han и др.) масштабирующие функции, обладающие одновременно свойствами ортогональности и симметрии, что невозможно при M = 2. Из недавних публикаций в этом направлении отметим статью Л. Гори и Ф. Питолли (Gori L., Pitolli F.A., 2017). Другое важное отличие этой конструкции заключается в том, что ортонормированный базис состоит из сдвигов и растяжений не одного ортогонального всплеска, а целого семейства из M - 1 функции. Обобщением этого подхода является метод синтеза многомерных неразделимых матриц растяжения (децимации) для многоскоростных систем произвольной размерности и заданного числа каналов (Чобану М.К., 2009). M-ленточные всплески применяются для обработки многомерных цифровых сигналов, в анализе изображений, удалении шумов, в анализе акустических речевых сигналов, при распознавании рукописных символов, для повышении надежности водяных знаков, для сегментации снимков земной поверхности, в работе с текстурами и др. В применяемых в диссертации дискретных всплесковых преобразованиях число каналов совпадает с числом p, по которому определяются обобщенные функции Уолша.
Классическая система Уолша и дискретное преобразование Уолша применяются в системах управления и связи, для обработки изображений и речевых сигналов, для построения помехоустойчивых методов кодирования сигналов, в анализе и синтезе устройств логического действия и многих других областях. Обобщение функций Уолша на случай p > 2 было осуществлено в работах Крестенсона и Леви (H.E. Chrestenson, P. Levy). Преобразование Виленкина-Крестенсона является обобщением дискретного преобразования Уолша и используется при решении задач сжатия информации, в теории кодирования, в томографии и некоторых других задачах цифровой обработки информации (Голубов Б.И. и др., 2008).
Построение новых вейвлет-базисов и расширение возможности их адаптации к анализу и обработке сигналов являются актуальными научными задачами. Для решения проблемы математического моделирования эффектов, предшествующих землетрясениям, в диссертации применяются всплесковые агрегированные сигналы, определяемые по временным рядам мониторинга.
Степень разработанности темы исследования. Приведенные в диссертации результаты об анализе геофизических временных рядов инициированы исследованиями А.А. Любушина. Долгосрочный прогноз землетрясения 11 марта 2011 года удалось сделать на основе анализа статистических свойств шума широкополосной сети сейсмических наблюдений F-Net, расположенной на Японских островах. В его работе (Lyubushin A., 2012) показано, что предвестником землетрясения 11 марта 2011 г. в Японии, в частности, явилась высокая гладкость волновых форм шума по данным широкополосной сети сейсмических наблюдений F-Net. Гладкость оценивалась как число обнуляемых моментов оптимального всплеска Добеши по энтропийному критерию распределения квадратов всплесковых коэффициентов. В работе С.А. Строганова (Строганов С.А., 2012) показано, что задолго до землетрясения гладкость всплесков Лэнга, как и в случае всплесков Добеши, начинала плавно повышаться, а после землетрясения резко снизилась. Приведенные в диссертации результаты развивают и дополняют эти исследования.
Первые примеры ортогональных всплесков в анализе Уолша были построены Лэнгом (Lang W.C., 1996) в 1996 г. Дальнейшие результаты о всплесках, ассоциированных с функциями Уолша и их обобщениями, получены С.Ф. Лукомским, Минакши, П. Манчанда, В.Ю. Протасовым, А.Х. Сидди-ки, С.А. Строгановым, Ю.А. Фарковым, Е.А. Родионовым и др.
Ю.А. Фарковым (Фарков Ю.А., 2011) были построены ортогональные всплески, ассоциированные с обобщенными функциями Уолша, в пространствах периодических последовательностей. Ортогональные и биортогональ-ные всплески в пространствах периодических и непериодических последовательностей, ассоциированные с функциями Уолша, изучались С.А. Строгановым (Строганов С.А., 2012). В диссертации эти результаты дополняются конструкциями биортогональных всплесков, определяемых по обобщенным функциям Уолша, в пространствах периодических последовательностей. Кроме того, предложен новый алгоритм построения унитарной мат-
рицы по первому столбцу, дополняющий известные конструкции (Новиков И.Я. и др., 2005).
С.А. Строганов использовал построенные им всплески для сжатия изображений. Его результаты показывают, что эти всплески для анализируемых в работе изображений дают лучший результат, чем всплески Хаара, Добеши и CDF 9/7, используемый в стандарте JPEG2000. После применения двумерного всплескового преобразования всплесковые коэффициенты подвергались процедуре квантования, затем изображение восстанавливалось, и подсчиты-валась величина PSNR.
Результаты о гладкости ортогональных всплесков на положительной полупрямой, определяемых по функциям Уолша, полученные автором и Ю.А. Фар-ковым (Родионов Е.А., Фарков Ю.А., 2009), дополняются в диссертации новыми результатами для случая p = 3 и используются в многомерном статистическом анализе временных GPS рядов.
В работе Ю.А. Фаркова и М.Е. Борисова (Фарков Ю.А., Борисов М.Е., 2012) периодические дискретные всплески на положительной полупрямой, аналогичные всплескам в пространстве тригонометрических полиномов (Chui C.K., 1993), применялись для сжатия некоторых фрактальных сигналов. Эти результаты дополняются новыми примерами с использованием всплесковых базисов, изучаемых в настоящей работе. Эти базисы применяются для сжатия фрактальных сигналов и дают лучшие результаты, чем традиционные всплесковые базисы, а также, чем метод зонного кодирования (Голубов Б.И. и др., 2008).
В работах Е.В. Бурнаева и Н.Н. Оленева для оценки близости финансовых временных рядов предложены меры близости, основанные на всплесковых коэффициентах Добеши. В настоящей диссертации показано, что в этих целях можно также использовать всплески, ассоциированные с функциями Уолша.
Целью диссертационной работы является анализ шумовой компоненты геофизических временных рядов для предсказания землетрясений при помощи всплесковых базисов, ассоциированных с функциями Уолша. Для достижения поставленной цели решались следующие задачи.
-
Исследовать шумовую компоненту геофизических временных рядов при помощи вейвлет-методов и выявить предвестники землетрясений.
-
Установить связи между вейвлетами, ассоциированными с функциями Уолша, и анализом шумовой компоненты геофизических временных рядов.
-
Смоделировать предвестниковые эффекты землетрясений при помощи построения вейвлет-агрегированных сигналов.
-
Проанализировать с помощью вейвлетов Лэнга шумовую компоненту модельного сигнала колебаний блоков земной коры.
-
Проанализировать шумовую компоненту GPS-временных рядов до и после сейсмической катастрофы в Японии 11 марта 2011 г.
-
Построить новые вейвлет-базисы в пространствах последовательностей с помощью обобщенных функций Уолша.
-
Разработать алгоритмы построения ортогональных и биортогональных
вейвлет-базисов, ассоциированных с обобщенными функциями Уолша.
-
Оценить гладкость ортогональных вейвлетов на положительной полупрямой.
-
Разработать программный комплекс на языке MATLAB, реализующий алгоритмы, изложенные в диссертации.
Предметом исследования являются конструкции всплесковых базисов в пространствах последовательностей.
Объектом исследования является шумовая компонента геофизических временных рядов в сейсмически-опасных регионах и модельных данных.
Научная новизна работы состоит в следующем.
Для анализа шумовой компоненты геофизических временных рядов разработаны новые методы с применением вейвлетов, ассоциированных с функциями Уолша.
Построены новые агрегированные сигналы, с помощью которых удалось получить новые результаты для выявления предвестниковых эффектов землетрясений.
При помощи анализа модели авторегрессии 2-го порядка показано, что оцененная при помощи вейвлетов Лэнга гладкость сейсмического шума имеет повышенное значение перед землетрясением.
Проведен двухступенчатый многомерный статистический анализ GPS-сигналов от станций, расположенных на Японских островах, в результате которого подтверждена гипотеза о высокой корреляции свойств шума перед крупным землетрясением.
Разработаны алгоритмы для построения новых ортогональных и биор-тогональных базисов, ассоциированных с функциями Уолша.
Разработан программный комплекс на языке MATLAB, реализующий построенные алгоритмы.
Теоретическая значимость состоит в предложенном новом методе построения всплесковых базисов в пространствах последовательностей и в развитии методологии анализа шумовых компонент геофизических временных рядов.
Практическая значимость. Результаты диссертационного исследования могут быть использованы в геофизике для предсказания землетрясений, при обработке многомерных цифровых сигналов, кодировании изображений, а также в учебном процессе при подготовке инженерных и научных кадров по направлениям «Прикладная математика и информатика», «Математика и компьютерные науки», «Геофизика». В результате работы создан программный комплекс, который может быть использован исследователями, применяющими всплесковые методы для анализа сигналов.
Методологическая база исследования. В работе использовались общие положения теории функций и функционального анализа, линейной алгебры, методы анализа Фурье-Уолша, теории всплесков, математической статистики, анализа временных рядов, анализа данных геофизического мониторинга. Применялись также современные методы поиска предвестников рез-
ких или даже катастрофических изменений (например, землетрясений) и методы выделения скрытых сигналов на фоне высокого уровня шума. При решении задачи об оценке гладкости всплесков и масштабирующих функций использовался матричный метод с применением совместного спектрального радиуса, развитый в работах И. Добеши, Дж. Лагариса, В.Ю. Протасова и др. Программный комплекс разработан как для построения новых всплесковых базисов, так и для решения сформулированных выше задач анализа шумовой компоненты временных рядов. При этом основные программы написаны на языке программирования MATLAB.
Положения, выносимые на защиту:
-
Метод моделирования предвестниковых эффектов сейсмических событий (землетрясений) при помощи построения всплесковых агрегированных сигналов.
-
Инструмент анализа шумовой компоненты модельного сигнала авторегрессии 2-го порядка, имитирующего колебания блоков земной коры.
-
Метод анализа шумовой компоненты GPS временных рядов в Японии в период землетрясения 11 марта 2011 г.
-
Теорема о построении биортогональных всплесков в пространстве последовательностей.
-
Разработка численных методов для построения новых всплесковых базисов и модифицированной версии дискретных всплесковых преобразований.
-
Программный комплекс, обеспечивающий применение дискретных ортогональных всплесковых базисов к анализу данных.
Степень достоверности и аппробация результатов. Степень достоверности результатов обеспечивается использованием традиционных методов функционального анализа и математического моделирования, применением общих методов математического доказательства и методов статистического анализа данных. Результаты исследования не противоречат результатам других исследователей.
Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:
-
V Международый симпозиум «Ряды Фурье и их приложения», г. Ростов-на-Дону, 2008 г.
-
Международная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2009», МГУ им. М.Ломоносова, г. Москва, 2009 г.
-
IX Международная конференция «Новые идеи в науках о Земле», РГГ-РУ им. Серго Орджоникидзе, г. Москва, 2009 г.
-
X Международная конференция «Новые идеи в науках о Земле», РГГРУ им. Серго Орджоникидзе, г. Москва, 2011 г.
-
Воронежская зимняя математическая школа, ВГУ, г. Воронеж, 2011 г.,
-
VII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Молодые - наукам о Земле», РГГРУ им. Серго Орджоникидзе, 2014 г.
-
XVIII Международная Саратовская зимняя школа «Современные про-
блемы теории функций и их приложения», СГУ, г. Саратов, 2016 г.
8. IX Международый симпозиум «Ряды Фурье и их приложения», г. Ростов-на-Дону, 2016 г.
Публикации по теме диссертации. Основные результаты работы диссертации опубликованы в 17-ти печатных работах, из них 7 статей, 6 из которых в рецензируемых журналах (в том числе 5 из списка ВАК), и 10 тезисах докладов. Две работы опубликованы в журналах, включенных в реферативную базу данных Scopus и поисковую платформу Web of Science. Полный список приведен на с. 21-22.
Личный вклад автора. Все результаты, представленные в диссертационной работе, были получены соискателем лично. Обсуждение и публикация полученных результатов проводились совместно с соавторами, но основное содержание настоящего исследования и положения, выносимые на защиту, отражают личный вклад автора в выполненную работу.
Объем и структура и работы. Диссертация содержит введение, три главы, заключение, список использованных библиографических источников (100 позиций) и два приложения. Общий объем диссертации - 164 страниц, в него включены 24 рисунка и 10 таблиц.