Содержание к диссертации
Введение
1. Особенности функционально-механического поведения металлов и сплавов с фазовыми превращениями 12
1.1. Физические процессы и основные эффекты, наблюдаемые при фазовых превращениях 12
1.2. Природа фазового превращения 15
1.2.1. Эффект пластичности превращения 19
1.2.2. Эффект памяти формы 21
1.2.3. Сверхупругость 22
1.2.4. Обратимая память формы 24
1.2.5. Движущая сила превращения 25
1.3. Анализ существующих математических моделей процессов фазовых превращений 28
2. Термомеханическая модель поведения металлов и сплавов при фазовом превращении 35
2.1. Вывод основных соотношений 35
2.2. Анализ кинетики фазовых превращений в сплавах 39
2.3. Термомеханическая модель фазового превращения, вызванного напряжением 50
3. Оценка свойств металлов и сплавов при фазовом превращении 55
3.1. Оценка термомеханических свойств металлов и сплавов при фазовом превращении 55
3.1.1. Определение диапазона изменения упругих свойств материала при фазовом превращении 55
3.1.2. Определение диапазона изменения теплопроводности материала при фазовом превращении 65
3.1.3. Определение диапазона изменения величин температурного коэффициента линейного расширения и теплоемкости материала при фазовом превращении 70
3.2. Оценка фазовых свойств материала при фазовом превращении 77
4. Численное моделирование термонапряженного состояния при фазовом превращении 84
4.1. Численное моделирование процесса нестационарной теплопроводности с учетом фазового превращения 84
4.2. Исследование устойчивости используемой разностной схемы 102
4.3. Численное моделирование напряженно-деформированного состояния равномерно нагретого тела с учетом фазового превращения 111
4.4. Численное моделирование напряженно-деформированного состояния и процесса нестационарной теплопроводности тела с учетом фазового превращения 124
4.5. Численное моделирование фазовой диаграммы «объемная доля
мартенсита - температура». Метод расчета параметра релаксации 137
Основные результаты и выводы по работе 142
Список литературы
- Эффект пластичности превращения
- Движущая сила превращения
- Определение диапазона изменения упругих свойств материала при фазовом превращении
- Численное моделирование напряженно-деформированного состояния равномерно нагретого тела с учетом фазового превращения
Введение к работе
Известен широкий класс металлов и сплавов, которые в результате охлаждения переходят в новое фазовое состояние, характерной особенностью которого является линзообразная либо пластинчатая структура. Продукт превращения называют мартенситом. Мартенситное превращение происходит путем бездиффузиозной деформации сдвига при совместном движении атомов, т.е. движение происходит единым комплексом, благодаря чему происходит перестройка решетки исходной фазы в мартенситную.
Актуальность работы. К настоящему моменту времени известно огромное количество металлов и сплавов, подверженных мартенситному фазовому превращению. Это сплавы на основе TiNi, MnCu, CuZn, PtAl, CuAl, FeMn и другие. Они обладают рядом уникальных физико-механических свойств (эффект памяти формы, сверхупругость), благодаря которым они находят применение в различных отраслях промышленности (биомедицинская техника, космическая и ядерная промышленность, машиностроение и т.д. [11]). В связи с этим возникает необходимость в математической модели для прогнозирования поведения таких металлов и сплавов, находящихся в переходном фазовом состоянии, при переменных термомеханических нагрузках. Существует множество работ, посвященных изучению на физическом уровне поведения материалов при фазовом превращении [12, 30, 44, 52], а также, посвященных разработке математической модели [1-4, 10, 29-44, 55-56]. Авторы этих работ описывают фазовую деформацию материала, учитывающей эффекты пластичности превращения, памяти формы, сверхупругости. Также рассмотрена термодинамическая модель поведения материала при фазовом превращении, в которой описывается диссипативная энергия тела, а также определяется зависимость объемной доли мартенсита от термонапряженного состояния. Однако в этих работах не учитывается кинетика фазового превращения, процессы аккумуляции теплоты и фазового превращения не разделены, а также термомеханические и фазовые свойства материала принимаются постоянными, либо определяются по правилу смеси, что вносит неточность в расчете напряженно-деформированного состояния конструкции из материала, находящегося в переходном фазовом состоянии. В связи с этим построение термомеханической модели поведения материала, находящегося в переходном фазовом состоянии, учитывающей все вышеперечисленные особенности, актуальна. Разработка подобной математической модели позволит более точно анализировать напряженно-деформированное состояние конструкций из материала, находящегося в переходном фазовом состоянии, а значит более эффективно использовать подобные материалы в устройствах и механизмах сложного функционального назначения.
Цель работы состоит в разработке математической модели поведения металлов и сплавов, находящихся в переходном фазовом состоянии (мартенсит-аустенит), под действием переменных термомеханических нагрузок и численном анализе протекающих в этом случае процессов.
Поставленная цель достигается на основе решения следующих задач:
• разработка термомеханической модели поведения металлов и сплавов при фазовом превращении;
• разработка соотношений, описывающих кинетику фазового превращения в металлах и сплавах;
• разработка схемы определения диапазона изменения термоупругих и фазовых свойств материала при фазовом превращении;
• построение схемы численного определения времени релаксации г;
• разработка и анализ численной модели процесса нестационарной теплопроводности и изменения напряженно-деформированного состояния цилиндрического тела при фазовом превращении.
Методы исследования. В теоретических исследованиях применялись фундаментальные положения термодинамики необратимых процессов для сплошной среды с внутренним параметром состояния, а также вариационные принципы и методы теории упругости микронеоднородных сред. В разделе численного моделирования использовались итерационные разностные методы для решения нелинейной системы дифференциальных уравнений с заданными краевыми условиями.
Достоверность результатов основана на корректном использовании методов механики деформируемого твердого тела, термодинамики необратимых процессов, вариационных принципов, строгости применяемых математических методов. Сформулированные в работе допущения обоснованы путем их содержательного анализа и методами применяемого математического аппарата. Достоверность подтверждается соответствием результатов численных расчетов фазовой диаграммы с экспериментальными данными других авторов.
Научная новизна. В рамках термодинамики необратимых процессов для сплошной среды с внутренним параметром состояния и кинетических представлений о природе фазового превращения разработана термомеханическая модель поведения металлов и сплавов, в которой процессы аккумуляции теплоты и фазового превращения независимы. На основе этой модели был проведен качественный анализ влияния характера изменения внутреннего параметра состояния на изменение температуры для термически тонкого тела.
На основе двойственной вариационной формулировки задачи предложен метод оценки термомеханических и фазовых свойств материала при фазовом превращении.
В рамках разработанных термомеханической модели и оценок термомеханических и фазовых свойств материала проведен численный анализ задачи определения температурного поля и напряженно-деформированного состояния бесконечного цилиндра при его нестационарном нагреве. Разработан алгоритм численного расчета напряженно-деформированного состояния тела при фазовом превращении с учетом зависимости температур начала-окончания фазового превращения от напряженного состояния тела. Исследовано влияние метода расчета термоупругих и фазовых свойств (свойств, проявляющихся только в процессе фазового превращения) материала на результаты численного моделирования термонапряженного и фазового состояния цилиндра.
Практическая ценность. Разработанная термомеханическая модель, учитывающая кинетический характер фазового превращения и зависимость свойств материала от его фазового состояния, позволяет описывать этот процесс при переменных температурных и силовых нагрузках во времени. Предлагаемая модель может быть использована в расчете конструкций и узлов исполнительных механизмов, работающих в условиях переменного термонапряженного состояния.
Основные положения, выносимые на защиту.
• Термомеханическая модель поведения металлов и сплавов при фазовом превращении под действием переменных термомеханических нагрузок.
• Метод расчета температур начала-окончания фазового превращения материала, находящегося в условиях сложного напряженно-деформированного состояния.
• Анализ влияния характера изменения внутреннего параметра состояния на изменение температуры для термически тонкого тела.
• Метод расчета диапазона изменения термомеханических и фазовых свойств материала при фазовом превращении.
• Метод численного расчета времени релаксации в кинетических уравнениях определения объемной доли мартенсита в материале.
• Алгоритм численного исследования термонапряженного и фазового состояния цилиндрического тела с учетом зависимостей термомеханических и фазовых свойств материала от его фазового состояния и температур начала-окончания фазового превращения от напряженного состояния тела.
Апробации работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на XII Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС 2003) 30 июня 5 июля 2003 г. Владимир; Международном симпозиуме «Образование через науку» 17-19 мая 2005 г. Москва; Международной научной конференции «Ракетно-космическая техника. Фундаментальные и прикладные проблемы механики» 4-6 мая 2006 г. Москва. Работа выполнена при поддержке программы «Университеты России» (проект УР 03.01.139) и РФФИ (проект № 05-01-00596)
Публикации. Основное содержание работы изложено в трех статьях [27, 24, 25] и трех тезисах докладов на конференциях [25, 23, 48].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов, заключения, списка использованной литературы, содержащего 56 наименований, и списка основных обозначений и сокращений, используемых в тексте.
Общий объем диссертации 149 машинописные страницы, включая 52 рисунка, 2 таблицы.
Основное содержание работы.
В первой главе дан краткий анализ литературы об особенностях физико-механического поведения материалов при фазовом превращении. В этой главе даны общие сведения и понятия для материалов с мартенситным механизмом неупругости. Приведены краткие описания основных эффектов, проявляющихся в этих материалах, благодаря которым металлы и сплавы с мартенситным механизмом упругости отличаются от традиционных конструкционных материалов. Дано краткое описание существующих математических моделей процессов фазовых превращений.
Во второй главе приведен вывод основных соотношений термомеханической модели поведения металлов и сплавов при фазовом превращении. Проведен анализ численного моделирования кинетики фазовых превращений для термически тонкого тела.
В третьей главе предложена схема оценки термоупругих свойств и метод расчета фазовых свойств металлов и сплавов при фазовом превращении.
В четвертой главе на основе соотношений полученной термомеханической модели разработан алгоритм численного анализа термонапряженного и фазового состояния цилиндрического тела, испытывающей как механические (внутренняя поверхность цилиндра жестко закреплена), так и температурные воздействия (нагрев внешней поверхности цилиндра конвективным тепловым потоком). Из анализа результатов сделаны выводы о влиянии характера изменения внутреннего параметра состояния, а также метода расчета термоупругих и фазовых свойств на численное моделирование термонапряженного и фазового состояния материала. Предложен метод расчета времени релаксации. Построена численная модель части фазовой диаграммы (мартенсит-аустенит).
Эффект пластичности превращения
Как уже было сказано, возникновение каждого кристалла новой фазы сопровождается сдвиговой деформацией превращенной микрообласти. В то же время микродеформации в разных кристаллах различны в смысле ориентации направления сдвига и плоскости сдвига. Поясним это на примере упоминавшегося превращения в кобальте [29]. В гранецентрированной кубической решетке существуют четыре непараллельные друг другу плоскости плотнейшей упаковки атомов, различающиеся только ориентацией в пространстве, но неотличимые по расположению атомов. В каждой из этих плоскостей имеются три направления сдвига, переводящие кубическую гранецентрированную решетку в гексагональную. Таким образом, при превращении в кобальте может реализоваться 4x3=12 вариантов сдвиговой деформации, которая приводит к появлению кристаллографически совершенно идентичных кристаллов новой фазы. Если кристалл не нагружен, все новые положения заполняются в среднем по объему с равной вероятностью. В результате микродеформации решетки взаимно компенсируются и макродеформация, связанная с таким перемещением атомов, отсутствует (за исключением объемного эффекта превращения) [29]. Если же материал находится в поле напряжений, его энергетический рельеф искажается, что вызывает возникновение в структуре энергетически неравноценных новых позиций. Тогда в ходе превращения атомы будут сдвигаться в направлении, физически выделенном полем напряжений, вызывая появление отличной от нуля деформации, связанной с мартенситной неупругостью. В таком случае имеет место избирательное зарождение кристаллов мартенсита, когда преимущество получают те из них, которые способствуют деформированию в направлении приложенного усилия [52]. Ее накопление (рис. 1.4) начинается при температуре, близкой к Ms, а заканчивается при температуре, приближающейся к Mr. Максимальная зафиксированная в опыте величина этой деформации составляет 30% удлинения (у монокристаллов сплава цинк-медь), хотя она может быть и незначительной (около 2% у сплавов медь-марганец или железо-марганец) [29]. Такой эффект принято называть эффектом пластичности превращения. Он наблюдается у огромного числа сплавов.
Кривая накопления деформации при охлаждении никелида титана при постоянном растягивающем напряжении 100 МПа [29] Важно отметить, что деформацию, равную описанной выше, можно сообщить сплаву, прикладывая к мартенситу механическое напряжение. Деформация тогда осуществляется за счет пространственной переориентации уже образовавшегося мартенсита и нередко дополнительно посредством его механического двойникования, а иногда и по более сложному механизму. При этом кристаллы одних вариантов ориентировки растут за счет других, которые сжимаются. Конечное состояние кристалла оказывается при этом почти эквивалентным достигнутому вследствие пластичности прямого превращения.
Эффект памяти формы состоит в следующем: при температуре выше А-г образцу с ЭПФ придают некоторую первоначальную исходную форму, потом охлаждают его до температуры ниже М г и деформируют, если потом образец подвергнется нагреву до температуры выше A f, он опять вернется к первоначальной исходной форме. Это означает, что сплав помнит первоначальную форму, то есть он обладает ЭПФ [51].
Восстанавливаемая деформация для различных сплавов может достигать 10% и более. Если неупругая деформация, сообщенная образцу в низкотемпературной фазе, превышает уровень восстанавливаемой для данного сплава, то избыточная деформация при повышении температуры до исходного значения остается. [52]
Степень восстановления формы при обратном мартенситном превращении тем меньше, чем выше температуры Ms и А г. Примером могут служить сплавы системы Fe-Ni (5 - 20% Ni), имеющие довольно высокую температуру обратного мартенситного превращения (473...673 К) в зависимости от химического состава) и слабое проявление ЭПФ. Авторы работы [52] на основе экспериментальных данных установили, что максимальная энергия возврата формы при одной и той же степени деформации образца уменьшается при приближении температуры деформации к интервалу температур обратного мартенситного превращения. Однако наибольшая скорость возврата формы и соответствующей энергии приходится на первую половину температурного интервала обратного превращения.
Помимо охлаждения сплава мартенситное превращение может быть инициировано приложенными к образцу напряжениями. Так, например, если материалу, находящемуся в аустенитном состоянии, приложить внешнее напряжение, то наблюдается образование мартенсита, который в отсутствие напряжения нестабилен. В этом случае деформация, накопленная при нагружении, исчезает при разгрузке, когда в процессе нагружения мартенсит превращается в матричную фазу. Данный эффект носит название сверхупругости [29]. Восстанавливаемая деформация в данном случае составляет более 7%, в то время как для обычных материалов она не превышает 0.5%.
Движущая сила превращения
Для превращения исходной фазы в мартенситную необходимо, чтобы химическая свободная энергия мартенситной фазы была ниже, чем соответствующая энергия исходной фазы. А также для протекания превращения необходимо, чтобы изменение свободной энергии химической природы было больше свободной энергии нехимической природы [44, 52]. Следовательно, для превращения необходима движущая сила (рис. 1.7).
Свободная энергия нехимической природы включает в себя энергию деформации превращения, энергию поверхности превращения, упругую энергию деформации, а также энергию, обусловленную пластической деформацией и упругими колебаниями атомов. Авторы [44] показали, что в термоупругих материалах поверхностная энергия и энергия пластической деформации, настолько малы, что ими можно пренебречь. Вследствие чего полное изменение энергии, обусловленное образованием зародыша кристалла мартенсита, определяется следующим соотношением AF = -7tr2tAFch + ЛГ2ІА(/Г} где r,t - радиус и средняя толщина кристалла мартенсита, лг t -приближенный объем кристалла, tsF - изменение химической свободной энергии на единицу объема, AWJ - энергия упругой деформации на единицу объема. При 298 К энергия деформации равна 2.1-10 кДж/м3 [44, 52]. Указанная упругая энергия в общем не достаточно велика, чтобы содействовать обратному превращению при нагревании, однако в некоторых специальных сплавах она содействует обратному превращению и обуславливает термоупругий характер превращения.
При достижении кристаллом мартенсита определенных размеров его рост прекращается и устанавливается термоупругое неустойчивое равновесие между мартенситной и исходной фазами [44, 52]. Дальнейшее охлаждение приводит к увеличению разности свободной энергии химической природы и, как следствие, приводит к дальнейшему росту мартенситного кристалла. Исчезновение мартенситного кристалла при нагревании происходит с небольшим температурным гистерезисом. Термоупругое равновесие возможно лишь в том случае, когда возникающая в процессе образования мартенсита упругая энергия сопоставима по величине с свободной энергией химической природы. При этом температура должна быть достаточно низкой, чтобы ограничить влияние релаксационных процессов, приводящих к нарушению сопряженности на границе раздела фаз [44, 52].
Рост упругих кристаллов мартенситной фазы может происходить при постоянной температуре под влиянием внешних напряжений. Экспериментальные данные показали, что при температуре выше температуры инициализации мартенситного превращения под действием внешней нагрузки на полированной поверхности образца появляется рельеф, соответствующий образованию кристалла мартенсита. В отличие от клиновидных кристаллов мартенсита, полученных в отсутствие внешних напряжений путем нагрева, данные кристаллы мартенсита имеют вид плоскопараллельных пластин, количество и размеры которых растут по мере увеличения напряжения.
Важность практических применений сплавов с МН в различных сферах промышленности вызывает необходимость разработки математических моделей для прогнозирования поведения таких сплавов при переменных механических и температурных нагрузках. Известно большое число работ, посвященных построению моделей поведения материалов с МН при фазовом превращении. Однако завершенной теории, позволяющей количественно описать термомеханическое поведение сплавов с МН, еще не создано.
В работе [36] предложена термодинамическая модель исследуемых материалов, основанная на предположении о независимости при термомеханическом описании процесса напряжений, деформации, температуры и объемной доли мартенсита, а также на идее о пропорциональности энергии диссипации скалярному параметру - объемной доле мартенситной фазы в материнской аустенитной фазе. Также в данной работе используется выражение аддитивности приращения полной деформации в отношении термоупругой и фазовой деформации dey=dSjS + ds\p, где є if- - компоненты тензора деформации, (х) определяемые соотношениями классической термоупругости, s}f; компоненты тензора фазовой деформации. В качестве соотношений для фазовой деформации используются выражения, являющиеся обобщением соотношений, полученных в рамках микромеханической модели [36]: W и (z) de = juSif + vstj + уеі dx ч У r У где /и, v, у- параметры материалы, Sy - компоненты девиатора тензора напряжений, х - объемная доля мартенсита в аустените. Здесь необходимо отметить, что термодинамический подход предлагает, вообще говоря, новую модель, в которой объемная доля мартенситной фазы зависит не только от компонентов тензора напряжений (его инвариантов), но и от смешанного инварианта, включающего тензор фазовой деформации. Объемную долю мартенсита при прямом превращении автор работы [36] определяет с помощью следующего соотношения: (х) Х = Т - М)- ксгу \р8у + vosfj + ує где Т - температура образца, М$ - температура начала фазового превращения с нулевым действующим напряжением, \//(%) - некоторая скалярная функция, зависящая от объемной доли мартенсита, к - постоянная материала. Подбирая должным образом y/{j), можно получить различные описания фазовой диаграммы. Например, при полиномиальном описании диаграммы фазового превращения достаточно принять у/(%) = Ь% + с, где Ь, с - постоянные материала; чтобы получить экспоненциальную зависимость для фазовой диаграммы, следует принять ц/{%) - -Mn(l - %) + с. Последнее равенство и, соответственно, связанный с ним анализ фазовой диаграммы требует дополнительных исследований путем идентификации модели по данным испытаний сплавов с МН. Указанное обобщение представляется весьма важным, так как при прочих равных условиях может дать более детальное описание зависимости фазовой деформации от температуры и условий прямого (обратного) превращения.
Также в данной работе используется предположение об изменение термоупругих свойств материала по законам смеси. Температуры начала и конца фазового превращения, зависящие от действующего напряжения, берутся следующими Ms f =М г +kl(a), где М f - температура начала (конца) фазового превращения с нулевым действующим напряжением, 1(a) - второй инвариант тензора напряжений.
Определение диапазона изменения упругих свойств материала при фазовом превращении
При фазовом превращении сплавы можно рассматривать как двух-компонентную смесь переменного состава. Экспериментальное определение термомеханических свойств при этом принципиально невозможно в силу кинетического характера фазового превращения. В этом случае актуальной становится проблема расчетно-теоретической оценки свойств сплавов при фазовом превращении. Методам оценки эффективных упругих свойств неоднородных материалов посвящены работы [6, 13,14, 16, 21, 46, 53] и др., однако в данном случае число подлежащих определению параметров модели превышает число обычно рассматриваемых. В отличие от теории упругости необходимо дополнительно найти оценки температурных и фазовых свойств (у) (тє, а}]). Так как диапазон температуры, в котором происходят фазовые превращения, обычно не превышает (10...50) К, то в дальнейшем зависимость рассматриваемых термомеханических свойств от температуры не учитывается.
Воспользуемся методом эффективного модуля [46]. Поставим в соответствие исходной неоднородной среде однородную, описываемую определяющими соотношениями где (Ту, у - средние значения компонентов тензоров напряжений и деформации в объеме представительного элемента, Сщ - эффективные компоненты тензора модулей упругости. Будем решать задачу механики деформированного твердого тела для однородной среды вместо исходной задачи для неоднородного тела. Внутри каждого компонента (мартенсит аустенит) материал однороден, тогда для средних по объему каждого а ее элемента компонентов тензоров напряжений cry и деформации Єи имеем а а а cry =Cijkl ЄН, а где а -1,2, Сум - компоненты тензора модулей упругости включения (мартенсита) и матрицы (аустенита).
Для средних по объему характерного (представительного) элемента гетерогенного материала, а также для средних по объемам включения и матрицы компонентов тензоров напряжений и деформации имеем 12 12 ij = Xl atj+Xl rij, ij = X\ stj + XlSij, (3 1) где X\ X - объемна доля мартенсита в сплаве, Xl = 1 X объемная доля аустенита в сплаве. С помощью уравнений (3.1) можно установить соотношения, связывающие средние напряжения по объему характерного элемента со средними напряжениями по компоненту а. То же относится и к деформациям а а а а (Jij = Aijkl okU Sij = Dijkl skh 12 12 Xl MjU+Xl AW = hjkh Xl DijM+Xl Dijkl = hjkh (3-2) 11 2 2 W/&/ = Xl Cijmn Dmnkl+ Xl Cijmn DmnkU 11 2 2 Bykl = Xl Bijmn Amnkl+ Xl Bijmn Лщпкі, где Iijkl —\pik jlJr il jk) компоненты единичного тензора четвертого ранга; Вщ, В ум, В ум - компоненты тензоров коэффициентов податливо а а сти всего (однородного) материала, включения и матрицы; Аум, Dykl компоненты тензоров концентрации. Если Сщ и Вщ известны, то тензоры с а а \ а компонентами Сщ и Bijkl однозначно определяются из соотношений
Поскольку анизотропные свойства материала, находящегося в переходном фазовом состояния, не достаточно хорошо исследованы, то в первом приближении примем, что осредненная среда изотропна. Далее, поскольку
Потенциальная энергия деформации рассматриваемого объема материала в целом имеет вид .1 1 .2 2 U[u) = -\(JijijdV = i Х\ \(Tij є у dV + Х2 \ ?ij Єу dV V V V + f V 2 єу єи V J f. 1 Ї V J dV = Ux[u] + U2\u\+Un[u\ где U\[u] , Ui\u\ и [/12( ] - средние значения потенциальной энергии деформации компонентов материала и потенциальной энергии их взаимодействия. Выразив компоненты тензоров напряжений и деформации через их шаровые и девиаторные составляющие и воспользовавшись соотношениями (3.4), получим 1 1 V и\2И = т4 KKV - к\к - KRHkdv + Ам JW " РЇМ - MRhjeijdv V AM = 2W2 XIX2{MI M2)2MR AK = K\K2 XlX2{Ki-K2)2KR (3.5) Ку =Х\К\+ Х2К2, KR1 = Х\Ц1 + 2 21 MV = Х\Щ. + Х2М2 MR1 = ХіМЇ1 + Z2M21. где i j/, juy, К л, JUR - оценки упругих свойств по Фойгту и Рейсу соответственно.
В том случае, когда эффективные значения К и /л фиксированы, любое изменение средних значений cry и 8ц приводит к соответствующему а а изменению средних значений а у и є у В компонентах материала. С другой а а а стороны, можно задать вариации средних значений и/, и у и Б у, не изменяя значения переменных щ, cry и %. Это приводит к изменению величины эффективных модулей. а а а Пусть щ, ay, Б І/ - истинные поля осредненных вектора перемещения и тензоров напряжений и деформации. Введем возможные поля вектора а перемещений и І таким образом, что на поверхности рассматриваемого тела. а а а и І ui. Положим зависимость щ от пространственных координат. Потребуем, чтобы для соответствующих им значений компонентов тензоров деформации выполнялись условия 1 2 12 Х\ єу + Х2Є ij = sij, X\ Sstj + X25 etj = 0 (3-6) а ос a где 5 sij = Sij-Sij - вариации компонентов тензора деформации
Численное моделирование напряженно-деформированного состояния равномерно нагретого тела с учетом фазового превращения
Из рис. 4.8, 4.9 следует, что при приближении % к нулевому значению устойчивость решения теряется. Кривые, соответствующие N, =10, 100 количеству интервалов разбиения отрезка времени [О, tencj], показывают неустойчивость решения. Только при N,=1000 (Д/ = 2с) решение ведет себя устойчиво, что подтверждает ограничение (4.17) (2с 2-1.0с).
Численное моделирование напряженно-деформированного состояния равномерно нагретого тела с учетом фазового превращения
Рассмотрим задачу исследования напряженно-деформированного состояния описанного выше цилиндра с жестко закрепленной внутренней поверхностью. Внешняя поверхность цилиндра свободна от нагрузки Рь= Цилиндр равномерно нагрет до температуры среды Т = const. На примере задачи проиллюстрируем влияние метода расчета термоупругих свойств на результат определения напряженно-деформированного состояния.
Так как температуры начала и окончания фазового превращения зависят от напряженного состояния тела, то и термоупругие свойства, которые входят в уравнения равновесия, также зависят от напряженно-деформированного состояния. Вследствие этого задача определения напряженно-деформированного состояния нелинейна.
Предположим, что вследствие осесимметричного деформирования бесконечного цилиндра в нем отличны от нуля только перемещения по радиальной координате и{г), следовательно, напряженно-деформированное состояние будет зависеть от радиальной координаты. Запишем уравнение равновесия для осесимметричной задачи
Данное уравнение дополним соотношениями, выражающими компоненты тензора напряжений через перемещения и{г) для изотропного материала (2.7) где AT = Tm Q = const, Ах = х{г) Хо Хо начальное значение объемной доли мартенсита. Поскольку начальное значение температуры цилиндра TQ соответствует значению температуры начала фазового превращения из низкотемпературной фазы в высокотемпературную, то Хо= - Дифференцирование ведется по радиальной координате. Дополним уравнение равновесия (4.21) граничными условиями
Запишем уравнение зависимости температур начала и окончания фазового превращения от напряженного состояния тела (2.25) Aff(r) = AsJ+k fi+, (4.24) где Sy{r)- компоненты девиатора напряжений, сги(г) - интенсивность напряжений. Положим линейную зависимость внутреннего параметра состояния от текущего значения температуры ) = 1,700 А?(г\ Z(rh ff„ f , A{r) T A{r), (4.25) X(r)=0,T Aj(r).
Данное предположение основано на том, что процесс стационарен, и в уравнении (2.11), описывающем закон изменения внутреннего параметра состояния, при t — со z{r) z(r)- Дифференциальная задача (4.21), (4.22), (4.24), (4.25) с граничными условиями (4.23) нелинейная, поэтому для ее решения применим итерационный алгоритм. На первой итерации найдем точное решение этой задачи при следующих значениях температур начала и окончания фазового превращения АаЛг)= Asj - const. 114 i(r) = + C2r, С, = {т -т Ш- (4.26) а+ 4 Rza(l-2v(%)) Нх) і Со= R: + RI (i-2vCri) где = const берется из соотношения (4.25) при АЛг) = Asj = const.
Полученное решение (4.26) соответствует решению исходной задачи без учета зависимости температур начала и окончания фазового превращения от напряженного состояния тела. Соответственно, подставив решение для перемещения (4.26) в соотношения (4.22), мы получим решение для напряженного состояния Мх) ar{rhi-Mz) - (1 - 2v(x))% + С2 - (1 + v(z))U%№ + a \Z)A% (7, М Мх) l-2v(x) (1 - 2v0r))S. + С2 - (1 + у{х){а[Т)Ш + a \Z)Az 2M{Z) (4.27) z W - 7 2vfe)C2 - (1 + v(z)VTXz№ + a XzYz l-2v( ) Подставив полученное решение в уравнения (4.24), (4.25), мы получим распределение объемной доли мартенсита по радиусу на второй итерации. Таким образом, решение найденное на к-ой итерации мы подставляем в уравнения (4.24), (4.25) для получения распределения объемной доли мартенсита на к + 1-ой итерации.
