Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математические модели и метод для исследования диэлектрической проницаемости слоистого нанокомпозита спериодической структурой 14
1.1 Введение 14
1.2 Математические принципы описания взаимодействия электромагнитного излучения с нанокомпозитными структурами 16
1.3 Математическое моделирование нанокомпозитов с простой структурой 23
1.4 Метод определения диэлектрической проницаемости слоистого нанокомпозита с периодической структурой 34
1.5 Математическая модель диэлектрической проницаемости блока нанокомпозита на основе подхода Аграновича-Гинзбурга 37
1.6 Математические модели диэлектрической проницаемости нанокомпозита на основе теории эффективной среды
1.6.1 Математическая модель диэлектрической проницаемости слоистого нанокомпозита основной морфологии 44
1.6.2 Математические модели диэлектрической проницаемости слоистого нанокомпозита сложных морфологии 47
1.6.3 Математические модели диэлектрической проницаемости нанокомпозита слоистых морфологии с включениями
1.7 Моделирование диэлектрической проницаемости нанокомпозита с использованием метода эквивалентных схем 69
1.8 Выводы к первой главе 73
Глава 2. Математические модели и метод для исследования электропроводности слоистого нанокомпозита с периодической структурой з
2.1 Введение 74
2.2 Моделирование электропроводности нанокомпозита с использованием теории обобщенной проводимости 75
2.3 Алгоритм восстановления тензора электропроводности по значениям потенциала электрического поля 76
2.4 Метод определения электропроводности слоистого нанокомпозита с периодической структурой 80
2.5 Математическая модель электропроводности слоистого нанокомпозита с периодической структурой на основе уравнений Кубо-Гринвуда 82
2.6 Математическая модель электропроводности нанокомпозита на основе теории эффективной среды 86
2.7 Моделирование электропроводности нанокомпозита с использованием метода эквивалентных схем 88
2.8 Выводы ко второй главе 90
Глава 3. Комплекс программ для исследования электрических свойств анизотропных слоистых нанокомпозитов с периодической структурой 91
3.1 Введение 91
3.2. Программный комплекс для исследования электрических свойств нанокомпозита 92
3.3 Структура программного комплекса для исследования слоистых нанокомпозитов 95
3.4 Количественная оценка сложности нанокомпозита, реализованная в программном комплексе
3.4.1 Расчет допустимого интервала масштабов 97
3.4.2 Расчет дробной размерности (емкости) для моделей нанокомпозитов с периодической структурой 102
3.4.3 Вычисление размерностей Хаусдорфа, Минковского и показателя Херста для моделей нанокомпозитов ПО
3.5 Интерфейс программного комплекса 115
3.6 Использование комплекса программ и цифровых методов в натурном эксперименте по исследованию нанокомпозитов 120
3.7 Выводы к третьей главе 124
Заключение 125
Список используемой литературы
- Метод определения диэлектрической проницаемости слоистого нанокомпозита с периодической структурой
- Математические модели диэлектрической проницаемости слоистого нанокомпозита сложных морфологии
- Алгоритм восстановления тензора электропроводности по значениям потенциала электрического поля
- Вычисление размерностей Хаусдорфа, Минковского и показателя Херста для моделей нанокомпозитов
Метод определения диэлектрической проницаемости слоистого нанокомпозита с периодической структурой
Неуклонное возрастание роли новых поколений нанокомпозитных функциональных материалов в жизни современного общества обусловлено тем, что нанокомпозиты обладают широким спектром физических и химических свойств, позволяющих применять их в самых разнообразных сферах человеческой деятельности. Перспективность использования композиционных материалов обоснована многими факторами, важнейшие из которых: доступность сырья, многофункциональность [57]. Композитные среды демонстрируют большое многообразие структур неоднородных типов дисперсных систем. Высокий интерес представляют периодические слоистые структуры, обладающие рядом принципиально новых, по сравнению с однородными материалами, свойств [58].
Исследования сложных структур гетерогенных материалов, как правило, сопровождаются попытками построения моделей этих объектов. По мере получения знаний об объекте исследования, модельные представления развиваются, совершенствуются и усложняются [59]. Изучение особенностей внешнего частотного взаимодействия с электродинамическими параметрами материала имеет важнейшее фундаментальное и прикладное значение [60]. Создание математических моделей, структура которых соответствует исследуемым объектам, а коэффициенты несут физический смысл, открывает широкий спектр возможностей [61]. Анализ динамики таких моделей позволяет прогнозировать эффективные параметры материалов для их последующего синтеза с наперед заданными свойствами. Вычислительный эксперимент позволяет получить уникальную информацию о композитной среде, позволяя, в частности, оценить параметры, прямое измерение которых затруднительно или невозможно. Преимуществами численного эксперимента, по сравнению с натурным, также являются более высокая доступность и простота управления [62]. Таким образом, математическое и компьютерное виды моделирования являются эффективными инструментами исследования, позволяющими получить результаты для решения дальнейших прикладных задач, таких как: микроминиатюризация приборов [63], создание новых биологически совместимых материалов [64], разработка материалов высокой радиоактивной устойчивости [57], разработка материалов высокой коррозионной стойкости [65].
В настоящее время предложен ряд моделей для слоистых дисперсных систем, позволяющих рассчитывать эффективные электродинамические параметры. Первые модели по исследованию свойств гетерогенных сред получены в работах [2, 66]. Основная часть современных математических моделей расчета электродинамических материалов неоднородной структуры, состоящих из периодически чередующихся слоев с различной толщиной и свойствами, рассмотрена в работах [23, 26, 67]. Стоит отметить значительные достижения исследователей в данной области. Однако рассмотренные в указанных работах модели не позволяют решать ряд теоретических и практических задач, таких, как определение электродинамических свойств слоистых структур более сложных морфологии, в частотности периодических.
Для математического описания принципов взаимодействия электромагнитного излучения с нанокомпозитными структурами необходимо провести их классификацию. Классификация наноструктур может быть проведена исходя из различных критериев. Так, в работах [68-70] рассматриваются такие классы наноструктур как тонкие пленки, нити, наночастицы и квантовые точки. В работе [71] приводится классификация наноструктур по пространственным размерам (Рисунок 1). = лйШИШР" „йШШШР" IZZL кластеры HaHoipvDkH пленю! и слои паиаристагты Рисунок 1 - Классификация наноструктур по пространственным размерам В работе [72] используют классификацию, введенную в 1981 г. профессором Гербертом Гляйтером (Herbert Gleiter) (Рисунок 2). Подавляющее большинство наноструктур, включающих два и более материалов, носят название нанокомпозитов. Нанокомпозиты могут быть классифицированы по фазовой структуре следующим образом: - двухфазные биокомпонентные системы; - многофазные системы. Кроме того, наноматериалы разделяют на неорганические (керамика, металлы) и органические (включая полимерные и биологические наноструктуры). Рисунок 2 - Классификация по Г. Гляйтеру Тем не менее, стоить отметить, что на сегодняшний день ни одна классификация не охватывает всего многообразия различных наноструктур, включая нанокомпозиты. Это связано с тем, что нанокомпозиты определяются многообразием различных факторов: составом, фазовым состоянием, формой, размерами, характером взаимодействия. Все эти факторы важно учитывать при математическом моделировании нанокомпозитов. Физические свойства нанокомпозитов могут существенно отличаться от свойств исходных материалов. Так, в работе [73] выделяют следующие основные причины изменения свойств материалов на наноуровне: - квантово-размерные эффекты для наноструктур, размеры которых сопоставимы с длиной волны де Бройля электрона; - поверхностные эффекты, связанные с появлением новых электронных и фононных состояний поверхности; - локальные поля в нанокомпозитной среде.
При исследовании слоистых нанокомпозитов важно учитывать то, что в одних направлениях и масштабах необходимо учитывать наноразмеры, а в других - микроразмеры. В таких системах нельзя пренебрегать анизотропией геометрических и электрических характеристик. В работе [74] изучены такие нелинейные явления в нанокомпозитах, как естественная и искусственная анизотропия, эффект Керра, гиротропия, отрицательное преломление и пр. Таким образом, физические явления, протекающие в нанокомпозитах, находятся в смежной области между квантовой механикой и классической электродинамикой.
Для описания взаимодействия электромагнитного поля с нанокомпозитами, как правило, используют следующие подходы: квантово-механический или макроскопический. Квантово-механический подход, как правило, сводится к решению уравнения Шредингера: ih -4 (f,t) = [-—V2 + V{f,t)\x(f,t) (1.1) dt 2т Однако, для систем, включающих большое количество частиц, для решения этого уравнения требуются высокие вычислительные мощности. Поэтому во многих случаях используют плотность вероятности обнаружения электрона в точке конфигурационного пространства - электронную плотность [75]. На этом основан подход Кона-Шэма, изложенный в [76], идея которого заключается в том, что гамильтониан сложной системы е2 2m"1 l l nnv 2"l-J rtj Н = - rZiVf + 5 вн(п) +±7li,j±-. (1.2) (где —Tiitf кинетическая энергия электронов; ЕІ ВН(ГІ) энергия 1 є2 электронов во внешнем поле; -tj - взаимодействие электронов) 2 " n-rj заменяется на систему, для которой функционал плотности можно вычислить в явном виде. Блок-схема подхода Кона-Шэма приведена на (Рисунок 3).
Математические модели диэлектрической проницаемости слоистого нанокомпозита сложных морфологии
Изучение электропроводности нанокомпозитов является одной из основных задач теории протекания [97]. В большинстве работ по моделированию электропроводности нанокомпозитов, например [98, 99] , рассматриваются изотропные среды. Однако, в случае с нанокомпозитами, в частности со слоистыми структурами, среда является сильно анизотропной, и ее свойства значительно отличаются от свойств изотропных материалов. Для определения электропроводности исследуемого нанокомпозита можно использовать известную в настоящее время теорию обобщенной проводимости [100], однако, её применение требует задания диэлектрической проницаемости. Ниже излагается метод, свободный от этого ограничения.
Суть теории обобщенной проводимости заключается в том, что частный результат исследования одних свойств композита (например, диэлектрической проницаемости) можно распространить на другие характеристики композита [101] (например, электропроводность, теплопроводность, магнитную проницаемость и пр.), если уравнения, описывающие закономерности рассматриваемых процессов, математически эквивалентны.
Задача заключается в нахождении электропроводности исследуемого нанокомпозита по известным значениям диэлектрической проницаемости (полученным в первой главе диссертационного исследования) и информации о структуре нанокомпозита. Уравнения Максвелла, описывающие проводящие и диэлектрические свойства гетерогенной системы, имеют вид (таблица 2):
Аналогия между уравнениями, описывающими проводящие и диэлектрические свойства материала (D —электрическая индукция, j — плотность тока, р - потенциал) Физическое свойство материала Уравнения для гетерогенной системы Диэлектрическая D = —є VE; divD = 0. проницаемость є Электропроводность о j = —о V p; divj = 0. В силу эквивалентности математических уравнений (таблица 8) связь между электропроводностью о и диэлектрической проницаемостью є будет определяться соотношением: о = Є(0І(І ), где 0 - диэлектрическая постоянная. 2.3 Алгоритм восстановления тензора электропроводности по значениям потенциала электрического поля
В композитной среде аХ с (Рисунок 45) с анизотропными электрическими свойствами рассматривается следующая коэффициентная обратная задача переноса заряда по определению тензора электропроводности kiW 021 ОРЯ 1Ыч»%)+h(»M%)+ъЫч»%)+тУЫ ) = еС?Ъ х Є (0;а),у Є (0;c),t 0, (2.1) p(x,0,t) = p(x,c,t) = (p(0,y,t) = p(a,y,t) = p\s, p(x,y,G) = p0. a x Рисунок
Граничные условия принимаются в качестве максимального значения потенциала поля (p\s = (pmax, а начальное - в качестве минимального (р\0 = 4 min- те- Фтіп Ф Фтах- Для замыкания коэффициентной обратной задачи переноса заряда в анизотропной композитной среде задаются значения потенциала электрического поля в девяти точках в зависимости от времени (р((х,у) , tv) = ф }7], f = 1,9, г\ = 1,Н. Значения потенциала электрического поля рассчитываются исходя из полученных в первой главе данных о диэлектрической проницаемости нанокомпозита. Рассматривается двумерный случай, поэтому количество точек со значениями потенциала электрического поля в направлении каждой координатной оси должно быть не менее двух, а поскольку композитная среда анизотропна, то, в соответствии с пространственным шаблоном для конечно-разностных схем, количество этих точек по координатным направлениям должно быть не менее трех. Таким образом, принимается минимально возможное число пространственных точек, равное девяти, со значениями потенциала поля, зависящими от времени.
Нелинейные компоненты тензора электропроводности определяются через главные коэффициенты оа, Ор и угол ориентации р главных осей Осей Ор следующим образом: ОІІОР) = та(ф)со р + Op( p)sir? p, Огг( Р) = aa( p)sir? p + Ор(ф)со& р, (2.2) 012О) = 0210) = а( Р) - 0/?( Р)) sinq)COS(p Для решения поставленной задачи используется метод параметрической идентификации, в котором искомые функции еГцОр),о12(Е(р) = ОгііЯ)) гг( Р) находятся в виде линейной комбинации базисных функций Gn(E), задаваемых на конечных элементах - конечных отрезках А(рп, п = 1, N — 1 ( pmjn (р ртах, причем эти базисные функции приписаны каждому узлу: Рп = (Pmin + 2=1 Д Ра-1 (А(Р0 = 0) , (2-3) п = 1, N и ортогональны на отрезке ер Є [(ртіП, (ртах\ Используются следующие линейно-непрерывные базисные функции: ( 0, р (рп-г 10, р (ртах Нелинейные компоненты тензора электропроводности, зависящие от поля, в методе параметрической идентификации представляются в виде линейных комбинаций базисных функций Gn((p)\ где коэффициенты линейных комбинаций о г, 022, в\г на каждом п-м конечном элементе п = 1, N — 1 являются искомыми величинами. На основании принципа максимума можно утверждать, что потенциал электрического поля внутри области будет удовлетворять неравенству (Pmin (p(x,y,t) (р max Обозначив а = ог1 {(ртЫ), о = о12 ((р п ), о?х = о21 ((р п ), о?2 = OPnin ) ії = Oll( Pmax),Ol2 = 12( Ртах) 21 = lOPirax ) 22 = 22( Ртах) для определения постоянных компонентов тензора
Алгоритм восстановления тензора электропроводности по значениям потенциала электрического поля
На основе разработанных моделей и алгоритмов реализован проблемно-ориентированный комплекс программ [54-56], позволяющий исследовать анизотропные нанокомпозиты с периодической структурой методами, рассмотренными в первых двух главах диссертации. В работах [107-109] приводятся некоторые результаты, полученные с использованием разработанного комплекса программ. Укрупненная схема реализации методов, на примере нахождения тензора диэлектрической проницаемости нанокомпозита самоподобной структуры, представлена на рисунке 50. Для увеличения производительности оптимизирующего компилятора используется метод множителей Лагранжа с заданными условиями Каруша- Куна-Таккера.
Дополнительной возможностью программного комплекса является проведение фрактального анализа, применяемого для количественной оценки сложности исследуемых наноструктур. Блок-схема фрактального анализа, реализованного в программном комплексе представлена на рисунке Блок-схема фрактального анализа, реализованного в программном комплексе NPC - Modeling 3.3 Структура программного комплекса для исследования слоистых нанокомпозитов Анализ свойств проводится, исходя из введенных в систему данных о параметрах среды: объемные доли компонент, комплексная диэлектрическая проницаемость веществ, форма, структура и ориентация в пространстве частиц включений.
Модульность разработки (Рисунок 52) позволяет расширять функционал, в особенности важным фактом является возможность добавления новых моделей гетерогенных сред и новых численных методов. В работе программно реализованы модели для различной морфологии нанокомпозитов. При разработке библиотеки численных методов были программно реализованы алгоритмы поиска комплексных корней полиномов [110].
В ходе разработки программного комплекса обнаружилась потребность в источнике исходных данных свойств материалов. В такой роли наиболее удобно использовать табличные данные экспериментальных исследований свойств материалов. Для этих целей спроектирована схема работы нескольких программных комплексов с использованием единой базы данных свойств материалов (Рисунок 53).
Удаленная база данных свойств материалов имеет интерфейс для выполнения административных функций и интерфейс для выгрузки данных внешнему клиенту. В свою очередь, программный комплекс на стороне клиента получает данные через унифицированный модуль сбора данных из глобальной базы данных или из локальной. Взаимосвязь приложений с удаленной базой данных происходит посредством локальной или глобальной сети.
Такой подход позволяет создать инструментальную среду для проведения различного рода исследований в области анализа свойств гетерогенных сред и осуществить возможность удаленного подключения к всегда актуальной базе данных свойств материалов. 3.4 Количественная оценка сложности нанокомпозита, реализованная в программном комплексе
Как было сказано выше, дополнительной возможностью программного комплекса является возможность проведения фрактального анализа, применяемого для количественной оценки сложности исследуемых наноструктур. Поскольку разработанные модели могут служить для описания физических свойств реальных объектов, то мы имеем дело с объектом, имеющим свойства подобия в ограниченном интервале масштабов. На фрактал накладывается область существования - max и min размеры, при которых наблюдаются фрактальные свойства [111]. Сверху этот интервал ограничен размерами объекта. Снизу, в качестве ограничения области существования, в рассматриваемом случае используется радиус Ван-дер-Ваальса, поскольку при сближении атомов на расстояние, меньшее суммы их ван-дер-ваальсовых радиусов, возникает сильное межатомное отталкивание, поэтому именно ван-дер-ваальсовы радиусы характеризуют минимальные допустимые контакты атомов, принадлежащих разным молекулам. Таким образом, физический смысл у приведенных выше фрактальных моделей композитов имеется только при соблюдении условий г -; d /?в_д_в, где г - размер объекта, d - размер слоя композита, #в-д-в _ радиус Ван-дер-Ваальса химического элемента, составляющего слой композита. В качестве примера рассмотрим композит Si-Al и необходимые для оценки ограничений интервала масштабов характеристики. Геометрические характеристики элементов Si, А1 показаны в таблице 10.
Вычисление размерностей Хаусдорфа, Минковского и показателя Херста для моделей нанокомпозитов
После ввода входных параметров осуществляется расчет с помощью кнопки «Рассчитать». С помощью кнопки «Отчет» все входные данные и полученные значения заносятся в MS Excel и там же производится построение графика. Отчет сохраняется в файл Impedance.xls. Имеется кнопка «Печать отчета», после создания отчета и нажатия которой можно распечатать нужный документ.
Скриншоты интерфейса программного комплекса (на примере программного комплекса моделирования параметров импеданса эквивалентной схемы нанокомпозита) приведены на рисунках 61-66.
При вводе в поле «Количество итераций» значения, большего единицы, получаем количество вкладок, равное введенному числу, при нажатии на которые можем рассмотреть каждый шаг расчета (Рисунок 62).
После просмотра и анализа полученных данных имеется возможность создать новый расчет (нажать на вкладку «Итерация 1» и ввести новые входные параметры), провести детализацию итераций (Рисунок 63), либо совершить отчет с выводом полученных и входных данных в Excel (Рисунок 64).
На базе емкостных методов измерения диэлектрической проницаемости на переменном токе (мостовые и резонансные методы) предлагается цифровой метод исследования объекта с использованием разработанного программного комплекса. Традиционная измерительная установка, состоящая из набора специализированных измерительных приборов - средств отображения информации, заменяется на интегрированную цифровую информационно -измерительную систему, состоящую из блока преобразователей, персонального компьютера со специальным программным обеспечением. Выбор емкостных методов на переменном токе в качестве рабочих связан с тем, что измерения диэлектрической проницаемости на постоянном токе возможны в тех случаях, когда нет утечки зарядов между электродами и газовыделения на поверхности электродов, что приводит к недопустимо большой погрешности. Укрупненная схема реализации эксперимента с использованием цифровых методов показана на рисунке 67.
При наличии датчиков оптических величин экспериментальные исследования диэлектрической проницаемости можно расширить с радиочастотного диапазона до оптического.
Набор сенсоров преобразует контролируемую величину (напряжение, сопротивление, частота, давление, температура и т.д.) в сигнал, удобный для измерения, передачи, преобразования, хранения и регистрации информации о состоянии объекта измерений (напряжение или ток). Далее с помощью АЦП аналоговый сигнал преобразуется в цифровой сигнал, который передается на компьютер. С помощью разработанного программного обеспечения возможны регистрация и наглядное воспроизведение полученных сигналов, которые используются в качестве входных данных. Управление исследуемым объектом совершается также посредством компьютера. Цифровой сигнал, исходящий из ПК, поступает в ЦАП, где преобразуется в аналоговый, после чего сигнал подается на исследуемый объект.
Фотография интегрированной цифровой информационно-измерительной системы приведена на рисунке. Отметим, что такие системы значительно компактнее по сравнению с традиционными измерительными установками и дешевле.
В качестве примера АЦП - ПАП преобразователей использован модуль ZET 210, обеспечивающий связь между ПК, датчиками и исследуемыми объектами. Дополнительными возможностями модуля являются использование беспроводных интерфейсов Bluetooth и Wi-Fi (Рисунки 70, 71), а также работа в режиме автономного регистратора и Flash - накопителя (Рисунок 72). 16-канальный мультиплексор коммутирует последовательно выбранные каналы к операционному усилителю через равные промежутки времени. После момента переключения каналов от сигнального процессора поступает команда на начало преобразования для АЦП, по окончании преобразования АЦП подает сигнал готовности данных преобразования и происходит прерывание в сигнальном процессоре. Сигнальный процессор сохраняет данные во внутренней памяти для дальнейшей передачи контроллеру USB, записи на флэш-диск либо для передачи через беспроводной интерфейс Bluetooth/ Wi-Fi. Данные из внутренней памяти сигнального процессора поступают на два независимых цифроаналоговых преобразователя ЦАП. Выходной сигнал ЦАП формируется операционными усилителями.
Беспроводной интерфейс Bluetooth обеспечивает полную гальваническую развязку измерительных и цифровых цепей компьютера. Подключение по Bluetooth позволяет размещать измерительную часть на подвижных элементах конструкции. Интерфейс Wi-Fi позволяет проводить измерения на больших расстояниях, таким образом, объект исследования может находиться на расстоянии до 10 км в пределах прямой видимости от рабочего места исследователя. В этом случае снижаются затраты на систему измерения за счет отсутствия кабеля связи.