Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Определяющие уравнения 19
1.1. Введение 19
1.2. Линейно-упругие среды с анизотропией
1.2.1. Общий случай 19
1.2.2. Орторомбическая анизотропия 20
1.2.3. Вертикально-трансверсальная анизотропия 21
1.2.4. Горизонтально-трансверсальная анизотропия
1.3. Линейно-упругие среды 23
1.4. Акустические среды 23
1.5. Заключение 24
ГЛАВА 2. Сеточно-характеристическии численный метод 25
2.1. Введение 25
2.2. Сеточно-характеристический численный метод 26
2.3. Линейно-упругие среды с анизотропией
2.3.1. Общий случай 28
2.3.2. Орторомбическая анизотропия
2.4. Линейно-упругие среды 35
2.5. Акустические среды 38
2.6. Исследование сеточно-характеристического метода на неструктурированных сетках
2.6.1. Аппроксимация 39
2.6.2. Устойчивость 41
2.7. Заключение 46
ГЛАВА 3. Граничные и контактные условия
3.1. Введение 48
3.2. Граничные и контактные условия
3.2.1. Линейно-упругие среды с анизотропией 50
3.2.2. Линейно-упругие среды 57
3.2.3. Акустические среды
3.3. Контактное условие с динамической силой трения 62
3.4. Контактное условие между линейно-упругой и акустической средами 64
3.5. Граничное условие с использованием мнимых точек 65
3.6. Контактное условие для иерархических сеток 67
3.7. Контактное условие для комбинированного метода
3.7.1. Особенности подхода 71
3.7.2. Обозначения 72
3.7.3. Описание расчета контакта 74
3.7.4. Доказательство сохранения порядка аппроксимациии 75
3.8. Заключение 78
ГЛАВА 4. Интерполяция 80
4.1. Введение 80
4.2. Реконструкция полиномами 81
4.3. Кусочно-линейная интерполяция 82
4.4. Гибридная интерполяция 83
4.5. Сравнение разработанных методов 85
4.6. Заключение 86
ГЛАВА 5. Интегралы релея 87
5.1. Введение 87
5.2. Постановка задачи 87
5.3. Решение прямой задачи упругости с помощью интегралов Релея 89
5.4. Дискретизация 91
5.5. Сравнения для плоской волны 93
5.6. Сравнения с точечными источниками 94
5.7. Заключение 98
ГЛАВА 6. Численное моделирование 99
6.1. Введение 99
6.2. Сейсморазведка в условиях арктического шельфа 6.2.1. Введение 99
6.2.2. Постановка задачи 100
6.2.3. Результаты численного моделирования 105
6.2.4. Заключение 109
6.3. Взрывное воздействие на айсберга ПО
6.3.1. Введение ПО
6.3.2. Постановка задачи 111
6.3.3. Результаты численного моделирования 111
6.3.4. Заключение 111
6.4. Ультразвуковая дефектоскопия железнодорожного пути 112
6.4.1. Введение 112
6.4.2. Постановка задачи 112
6.4.3. Результаты численного моделирования 113
6.4.4. Заключение 118
6.5. Сейсмостойкость наземных сооружений 118
6.5.1. Введение 118
6.5.2. Постановка задачи 118
6.5.3. Результаты численного моделирования 119
6.5.4. Заключение 122
6.6. Сейсмостойкость подземных сооружений 122
6.6.1. Введение 122
6.6.2. Постановка задачи 122
6.6.3. Результаты численного моделирования 123
6.6.4. Заключение 126
6.7. Сейсмостойкость нефтехранилищ 127
6.7.1. Введение 127
6.7.2. Воздействие продольных и поперечных сейсмических волн на нефтехранилище 127
6.7.3. Воздействие сейсмических волн от гипоцентра землетрясения на нефтехранилище 129
6.7.4. Заключение 132
6.8. Сейсмические волны в геологических средах 133
6.8.1. Введение 133
6.8.2. Результаты численного моделирования 133
6.8.3. Заключение 136
6.9. Численное моделирование комбинированным методом GCM-SPH 137
6.9.1. Введение 137
6.9.2. Задача о распаде разрыва, сравнение с аналитическим решением 137
6.9.3. Пробой тонкой пластины ударником 138
6.9.4. Столкновение ударника с массивной мишенью 141
6.9.5. Заключение 144
6.10. Моделирование волновых процессов при наличии контактов с динамической силой трения
144
6.10.1. Введение 144
6.10.2. Результаты численного моделирования 146
6.10.3. Заключение 147
6.11. Моделирование низкоскоростного удара по трехстрингернои панели из композитного
материала 147
6.11.1. Введение 147
6.11.2. Сравнение результатов численного и физического моделирования 148
6.11.3. Заключение 149
6.12. Моделирование отклика от системы трещин в геологической среде 150
6.12.1. Введение 150
6.12.2. Численное моделирование отклика от системы трещин 150
6.12.3. Сравнение результатов численного и физического моделирования 151
6.12.4. Заключение 152
6.13. Заключение 153
Заключение 154
Список литературы
- Орторомбическая анизотропия
- Исследование сеточно-характеристического метода на неструктурированных сетках
- Контактное условие между линейно-упругой и акустической средами
- Кусочно-линейная интерполяция
Введение к работе
Актуальность темы исследования
Современные задачи по моделированию пространственных динамических процессов в сложных гетерогенных средах требуют вводить все более усложняющиеся механико-математические модели. К данному классу задач относятся и численные эксперименты в областях сейсморазведки и сейсмологии. Вопрос освоения Арктического шельфа Российской Федерации является актуальным в силу необходимости разработки и разведки месторождений углеводородов. На Арктическом шельфе России располагаются 8 месторождений, запасы в которых оцениваются, приблизительно, в 2.7 трлн. мЗ. Для данных месторождений необходимо уточнение выполненных ранее оценок запасов нефти и газа. Нефтеразведка в условиях Арктики обладает своей спецификой. Например, одним из слоев, через которые распространяются сигналы от источников, является море, другим — ледяной покров, вносящий свой вклад в измеряемые или вычисляемые отклики при сейсморазведке.
Актуальными также являются и задачи моделирования землетрясений. Полученная волновая картина, как в толще земли, так и на ее поверхности и в расположенных на ней объектах, позволяет определять области возможных разрушений жилых и промышленных сооружений, что даст возможность повысить сейсмостойкость зданий.
Поскольку любая халатность на железной дороге может привести к человеческим жертвам и существенным финансовым потерям, примеров которым в мире насчитывается много, одной из приоритетных задач является мониторинг состояния рельсов (дефектоскопия) и железнодорожного полотна в целом.
Также в настоящее время появляется практический интерес к исследованию влияния анизотропии геологических сред на прохождение в них сейсмических волн и к моделированию композитных материалов.
Степень разработанности темы исследования
При численном решении задач сейсмики используют конечно-разностные схемы на треугольных и тетраэдральных сетках, псевдоспектральный метод и метод спектральных элементов, сеточно-характеристический метод. Для численного моделирования ультразвуковой дефектоскопии применяют метод конечных элементов, масс-пружинную модель, метод конечных разностей и квазианалитический метод конечных элементов (semi-analytical finite element method, SAFE).
При численном решении задач сейсморазведки используют, в основном, лучевые методы. Также для решения данных задач применяют методы конечных элементов и спектральных элементов, в том числе с точностью высокого порядка, конечно-разностные схемы, адаптированные для моделирования задач сейсмики.
Для решения задач, в которых фигурируют гиперболические системы уравнений, описывающие линейно-упругую среду (в том числе, в анизотропном случае) и акустическое поле, и требующих при этом высокоточного расчета волновых процессов, применение метода, позволяющего детально и физически корректно описывать проистекающие волновые процессы, является оптимальным. Таким методом является се-точно-характеристический метод (GCM).
Использование неструктурированных треугольных и тетраэдральных сеток позволяет проводить численное моделирование контактных границ сложной формы. Для сеточно-характеристического метода на неструктурированных сетках необходима разработка интерполяции на тетраэдральных сетках и написание соответствующей библиотеки.
При решении ряда задач необходим точный и физически корректный учет границ и контактных границ области интегрирования, что требует разработки и математического обоснования соответствующих граничных и контактных условий. При численном моделировании задач, включающих как акустическую, так и линейно-упругую среды, к которым относятся, в частности, задачи сейсморазведки в условиях Арктического шельфа, требуется разработка контактного условия между соответствующими средами. При численном моделировании ряда задач, например, задач сейсмостойкости наземных и подземных сооружений, неоднородности занимают небольшую часть области интегрирования. Для решения таких задач целесообразна разработка сеточно-характеристического метода на иерархических структурированных и неструктурированных сетках.
Использование различных критериев разрушений, например, критерия по главному напряжению, позволяет моделировать процессы разрушения сеточно-характеристическим методом, что, однако, снижает точность из-за необходимости регулярного перестроения расчетной сетки. Для моделирования процессов, сопровождающихся значительными разрушениями и деформациями, лучше подходит метод сглаженных частиц (SPH), являющийся бессеточным. Но этот метод не лишен недостатков: для него характерны нефизичные осцилляции, а детальное моделирова-
ниє волновых процессов требует увеличения количества частиц. Для решения задач, требующих расчета значительных разрушений и деформаций одновременно с описанием волновых процессов, целесообразна разработка комбинированного численного метода GCM-SPH.
Классические интегралы Кирхгофа широко используются при решении краевых задач для волнового уравнения. Также получены обобщённые интегралы Кирхгофа, описывающие решение краевой задачи теории упругости в замкнутой форме. Эти интегралы позволяют обобщить на случай волн в упругой среде классические методы, развитые для решения скалярного волнового уравнения. В связи с этим представляет интерес получение интегралов Релея для решения краевой задачи теории упругости на основе соответствующих интегралов Кирхгофа, а также проведение сравнения решений, полученных с их помощью, и сеточно-характеристическим методом.
Цели и задачи
Целями и задачами работы являются:
-
Разработка методов интерполяции высоких порядков на неструктурированных тетраэдральных сетках. Написание библиотеки для интерполяции на неструктурированных сетках.
-
Разработка комбинированного метода GCM-SPH на базе сеточно-характеристического и метода сглаженных частиц для численного моделирования волновых процессов в упругопластических телах.
-
Разработка методов нахождения решения в узлах на поверхностях раздела сред (условие на поверхности раздела упругих и акустических сред, условие динамического трения между контактирующими поверхностями), а также на границе области интегрирования с использованием мнимых точек.
-
Разработка сеточно-характеристических методов на иерархических структурированных и неструктурированных (с кратным шагом по времени и с использованием интерполяции высоких порядков) сетках и с использованием интерполяции высоких порядков.
-
Адаптация сеточно-характеристического метода к моделированию волновых процессов в анизотропных линейно-упругих средах.
-
Получение интегралов Релея для случая однородной линейно-упругой среды. Проведение сравнения решений, полученных с помощью интегралов Релея и сеточно-характеристическим методом.
-
Численное решение задач сейсморазведки в условиях Арктического шельфа, сейсмостойкости наземных и подземных сооружений и ульт-
развуковой дефектоскопии горизонтального расслоения головки железнодорожного рельса.
Научная новизна
Научная новизна работы состоит в следующем:
1. Разработаны методы интерполяции высоких порядков на неструктурированных тетраэдральных сетках. Реализована библиотека по интерполяции на треугольных и тетраэдральных сетках.
-
Исследованы на аппроксимацию двумерные и трехмерные разностные схемы, чередование которых соответствует семейству сеточно-характеристических методов на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках. Исследованы на устойчивость одномерные разностные схемы, в которые переходят данные двумерные и трехмерные разностные схемы в одномерном случае.
-
Выполнено математическое обоснование комбинированного метода GCM-SPH, доказано сохранение комбинированным методом GCM-SPH порядка аппроксимации базовых методов.
-
Выполнено математическое обоснование нахождения решения в узлах на поверхностях раздела сред.
-
Выполнено математическое обоснование и разработан алгоритм для расчета динамических процессов с помощью сеточно-характеристических методов на иерархических структурированных и неструктурированных (с кратным шагом по времени) сетках.
7.Сеточно-характеристический метод адаптирован для моделирования волновых процессов в анизотропных линейно-упругих средах.
-
Получены выражения для интегралов Релея для случая однородной линейно-упругой среды.
-
С помощью семейства сеточно-характеристических методов получено численное решение ряда задач сейсмической разведки, сейсмостойкости наземных и подземных сооружений, дефектоскопии рельсов.
Теоретическая и практическая значимость работы
Важными теоретическими и практическими результатами являются:
-
разработка методов интерполяции высоких порядков на неструктурированных сетках, написание соответствующей библиотеки;
-
исследование на аппроксимацию сеточно-характеристических методов на неструктурированных сетках и исследование на устойчивость семейства разностных схем, в которые переходят двумерные и трехмерные разностные схемы, чередованию которых соответствует сеточно-
характеристический метод на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках соответственно;
3. математическое обоснование комбинированного метода GCM-
SPH и доказательство сохранения комбинированным методом GCM-SPH
порядка аппроксимации базовых методов;
-
математическое обоснование нахождения решения в узлах на поверхностях раздела сред (условие на поверхности раздела упругих и акустических сред, условие динамического трения между контактирующими поверхностями), а также на границе области интегрирования с использованием мнимых точек;
-
математическое обоснование расчета динамических процессов с помощью сеточно-характеристических методов на иерархических структурированных и неструктурированных (с кратным шагом по времени и с использованием интерполяции высоких порядков) сетках;
-
адаптация сеточно-характеристического метода для моделирования волновых процессов в анизотропных линейно-упругих средах;
-
получение интегралов Релея для случая однородной линейно-упругой среды и сравнение решений, полученных с помощью интегралов Релея, и сеточно-характеристическим методом;
8. результаты исследований влияния льда, взаиморасположения
приемников и источников в задачах сейсморазведки в условиях Аркти
ческого шельфа; волновых картин и динамики возникновения повреж
дений при воздействии сейсмических волн от очага землетрясения на
наземные и подземные сооружения; пространственных волновых про
цессов, возникающих в процессе ультразвуковой дефектоскопии рельса.
Работа поддержана рядом государственных и коммерческих грантов и договоров
-
Семь грантов РФФИ (2011-2015).
-
Проект РНФ №14-11-00263 на базе МФТИ;
3.Государственный контракт № 14.515.11.0069 «Разработка научных основ новых методов и алгоритмов поиска и разведки месторождений углеводородов, в том числе в условиях Арктики, с реализацией на высокопроизводительных комплексах», 2013.
4. Государственный контракт № 14.575.21.0084 «Разработка высокоточных вычислительных методов и комплексной программно-алгоритмической системы поиска и разведки месторождений полезных ископаемых сейсмическими и электромагнитными методами в шельфо-вой зоне Арктики», 2014-2015.
5. Стипендия Президента РФ молодым учёным и аспирантам, 2013-
2015, стипендия Правительства РФ аспирантам, 2014-2015.
6. IBM Fellowship, 2015.
Методология и методы исследования
Используется сеточно-характеристический метод на структурированных и неструктурированных сетках с интерполяцией высоких порядков, в том числе, на иерархических. Используется точная постановка граничных и контактных условий, в том числе контактного условия динамической силы трения, контактного условия между упругими и акустическими средами и граничного условия с использованием мнимых точек. В диссертации проводится численное моделирование сейсмической разведки в условиях Арктического шельфа при помощи прямого моделирования динамических процессов, происходящих в многослойных упругих и акустических средах. Также проводится численное моделирование ультразвуковой дефектоскопии железнодорожных рельсов и влияния сейсмических волн, распространяющихся от гипоцентра землетрясения, на наземные и подземные сооружения с помощью сеточно-характеристического метода на иерархических сетках.
Положения, выносимые на защиту
На защиту выносятся следующие положения:
-
Разработаны методы интерполяции высоких порядков на неструктурированных тетраэдральных сетках (интерполяции полиномами от первого до пятого порядка включительно, кусочно-линейной интерполяции и интерполяции с использованием ограничителя, а также интерполяции полиномами второго порядка с использованием опорных точек четвертого порядка для минимизации системных ресурсов, затрачиваемых на построение и хранение сетки и гибридной квадратично-линейной интерполяции). Реализована библиотека по интерполяции на треугольных и тетраэдральных сетках.
-
Исследованы на аппроксимацию двумерные и трехмерные разностные схемы, чередование которых соответствует семейству сеточно-характеристических методов на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках. Исследованы на устойчивость одномерные разностные схемы, в которые переходят данные двумерные и трехмерные разностные схемы в одномерном случае.
3.Выполнено математическое обоснование комбинированного метода GCM-SPH на базе сеточно-характеристического и метода сглаженных частиц (SPH) для численного моделирования волновых процессов в
упругопластических телах, доказано сохранение комбинированным методом GCM-SPH порядка аппроксимации базовых методов.
-
Выполнено математическое обоснование нахождения решения в узлах на поверхностях раздела сред (условие на поверхности раздела упругих и акустических сред, условие динамического трения между контактирующими поверхностями), а также на границе области интегрирования с использованием мнимых точек.
-
Выполнено математическое обоснование и разработан алгоритм для расчета динамических процессов с помощью сеточно-характеристических методов на иерархических структурированных и неструктурированных (с кратным шагом по времени и с использованием интерполяции высоких порядков) сетках.
-
Выполнена адаптация сеточно-характеристического метода для моделирования волновых процессов в анизотропных линейно-упругих средах для общего вида тензора упругих постоянных, а также случаев орторомбической, горизонтально-трансверсальной и вертикально-трансверсальной анизотропии.
-
Получены выражения для интегралов Релея для случая однородной линейно-упругой среды, выполнено сравнение решений, получаемых с помощью интегралов Релея и сеточно-характеристическим методом.
-
С помощью семейства сеточно-характеристических методов получено численное решение ряда задач, в том числе проведены:
исследование влияния льда, взаиморасположений приемников и источников в задачах сейсмической разведки в условиях Арктического шельфа путем детального анализа возникающих волновых картин и сейсмограмм;
исследование волновых картин и динамики возникновения повреждений при воздействии сейсмических волн от очага землетрясения на наземные и подземные сооружения;
исследование пространственных волновых процессов, возникающих в процессе ультразвуковой дефектоскопии железнодорожного пути.
Степень достоверности и апробация результатов
Научные результаты диссертации опубликованы в 64 работах, из которых 5 [1-5] в изданиях, входящих в систему цитирования Web of Science, 8 [1-8] в изданиях, входящих в систему цитирования Scopus, 23 в изданиях, входящих в систему цитирования РИНЦ [1-23] и 15 [9-23] в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.
Результаты работы были доложены, обсуждены и получили одобрение специалистов на следующих научных конференциях:
1.Научные конференции Московского физико-технического института - Всероссийские молодёжные научные конференции с международным участием «Проблемы фундаментальных и прикладных, естественных и технических наук в современном информационном обществе» (МФТИ, Долгопрудный, 2009 - 2014);
2.Российско-индийский семинар «Новые достижения математического моделирования» (ИАП РАН, Москва, 2011);
З.Ш Международная научно-практическая конференция «Интеллектуальные системы на транспорте» (ИнтеллектТранс-2013) (ПГУПС, Санкт-Петербург, 2013);
4.Конференция "Численная геометрия, построение сеток и высокопроизводительные вычисления" посвященная 120 годовщине со дня рождения Б.Н. Делоне и конференция NUMGRID2012 (Москва, 2012);
5.Х и XI Курчатовская молодежная научная школа (Москва, 2012-2013);
6.ХХ юбилейная конференция «Ломоносов», МГУ (Москва, 2013);
7. Между народная конференция, проводящейся в рамках "G20 Youth Forum 2013" (Санкт-Петербург, 2013);
8.Научно-практическая конференция "Суперкомпьютерные технологии в нефтегазовой отрасли. Математические методы, программное и аппаратное обеспечение" (Москва, 2013);
9.The 6th International Conference "Distributed Computing and Grid-technologies in Science and Education", (Москва, 2014);
10.Третья научно-техническая конференция с международным участием "Интеллектуальные системы управления на железнодорожном транспорте. Компьютерное и математическое моделирование", ИСУЖТ-2014 (Москва, 2014).
Результаты работы были доложены, обсуждены и получили одобрение специалистов на научных семинарах в следующих организациях:
1.0АО «Нефтяная компания "Роснефть"» (2011, 2012, 2013);
2.Российский федеральный ядерный центр - Всероссийский научно-исследовательский институт экспериментальной физики (2011, 2012);
3.Филиал «Центр Инновационного Развития» ОАО «РЖД» (2013).
Орторомбическая анизотропия
Используется сеточно-характеристический метод [23-35,46-50,116,118,147-153] на структурированных и неструктурированных сетках с интерполяцией высоких порядков, в том числе, на иерархических. Используется точная постановка граничных и контактных условий, в том числе контактного условия динамической силы трения [62-67], контактного условия между упругими и акустическими средами [8,9] и граничного условия с использованием мнимых точек [54].
В диссертации проводится численное моделирование сейсмической разведки в условиях Арктического шельфа при помощи прямого моделирования динамических процессов, происходящих в многослойных упругих и акустических средах [8,9]. Также проводится численное моделирование ультразвуковой дефектоскопии железнодорожных рельсов [12-21] и влияния сейсмических волн, распространяющихся от гипоцентра землетрясения, на наземные и подземные сооружения [54] с помощью сеточно-характеристического метода на иерархических сетках [46-50].
Положения, выносимые на защиту На защиту выносятся следующие положения: 1. Разработаны методы интерполяции высоких порядков на неструктурированных тетраэдральных сетках (интерполяции полиномами от первого до пятого порядка включительно, кусочно-линейной интерполяции и интерполяции с использованием ограничителя, а также интерполяции полиномами второго порядка с использованием опорных точек четвертого порядка для минимизации системных ресурсов, затрачиваемых на построение и хранение сетки и гибридной квадратично-линейной интерполяции). Реализована библиотека по интерполяции на треугольных и тетраэдральных сетках. 2. Исследованы на аппроксимацию двумерные и трехмерные разностные схемы, чередование которых соответствует семейству сеточно-характеристических методов на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках. Исследованы на устойчивость одномерные разностные схемы, в которые переходят данные двумерные и трехмерные разностные схемы в одномерном случае. 3. Выполнено математическое обоснование комбинированного метода GCM-SPH на базе сеточно-характеристического и метода сглаженных частиц (SPH) для численного моделирования волновых процессов в упругопластических телах, доказано сохранение комбинированным методом GCM-SPH порядка аппроксимации базовых методов. 4. Выполнено математическое обоснование нахождения решения в узлах на поверхностях раздела сред (условие на поверхности раздела упругих и акустических сред, условие ди 17 намического трения между контактирующими поверхностями), а также на границе области интегрирования с использованием мнимых точек. 5. Выполнено математическое обоснование и разработан алгоритм для расчета динамических процессов с помощью сеточно-характеристических методов на иерархических структурированных и неструктурированных (с кратным шагом по времени и с использованием интерполяции высоких порядков) сетках. 6. Выполнена адаптация сеточно-характеристического метода для моделирования волновых процессов в анизотропных линейно-упругих средах для общего вида тензора упругих постоянных, а также случаев орторомбической, горизонтально-трансверсальной и вертикально-трансверсальной анизотропии. 7. Получены выражения для интегралов Релея для случая однородной линейно-упругой среды, выполнено сравнение решений, получаемых с помощью интегралов Релея и се-точно-характеристическим методом. 8. С помощью семейства сеточно-характеристических методов получено численное решение ряда задач, в том числе проведены: - исследование влияния льда, взаиморасположений приемников и источников в задачах сейсмической разведки в условиях Арктического шельфа путем детального анализа возникающих волновых картин и сейсмограмм; - исследование волновых картин и динамики возникновения повреждений при воздействии сейсмических волн от очага землетрясения на наземные и подземные сооружения; - исследование пространственных волновых процессов, возникающих в процессе ультразвуковой дефектоскопии железнодорожного пути.
Степень достоверности и апробация результатов
Научные результаты диссертации опубликованы в 64 работах, из которых 5 в изданиях, входящих в систему цитирования Web of Science, 8 в изданиях, входящих в систему цитирования Scopus, 23 в изданиях, входящих в систему цитирования РИНЦ и 15 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ.
В настоящей главе рассматриваются определяющие системы уравнений: система уравнений, описывающая состояние бесконечно малого объема сплошной линейно-упругой среды в изотропном [110] и анизотропном [111-114] случае, а также система, описывающая акустическое поле [115]. Численное моделирование решений данных систем дает возможность решать задачи широкого класса, например, задачи сейсмической разведки [39-45], в том числе, в условиях Арктического шельфа: при этом находят решение системы уравнений, описывающей линейно-упругую среду в изотропном случае, для описания волновых процессов в грунте, льде и, быть может, нефтесодержащем резервуаре, и решение системы, описывающей акустическое поле, для описания волновых процессов в воде (приближение идеальной жидкости [115]) и, быть может, в нефтесодержащем резервуаре [8,9].
Также численное решение системы уравнений, описывающей линейно-упругую среду в изотропном случае, дает возможность моделировать сейсмостойкость наземных и подземных сооружений [54,84,85] и ультразвуковую дефектоскопию элементов железнодорожного пути [12-21]. Решение системы уравнений, описывающей линейно-упругую среду в изотропном и анизотропном случаях, дает возможность исследования композитных материалов [35].
Исследование сеточно-характеристического метода на неструктурированных сетках
Порядок аппроксимации формулами (102)-(107) систем уравнений (39), (40) соответственно по всем координатам совпадает с используемым порядком интерполяции [11.3].
Выражения (102), (104) аппроксимируют по времени систем (39), (40) соответственно с порядком, совпадающим с порядком интерполяции, а выражения (103), (105) аппроксимируют по времени систем (39), (40) соответственно со вторым порядком начиная с квадратичной интерполяции и с первым порядком для линейной интерполяции в случае, когда
А в случае, когда выражение (106) не выполнено, (102), (104) аппроксимируют по времени систем (39), (40) соответственно с первым порядком. Также существует ряд соотношений между матрицами А., при выполнении которых выражения (103), (105) аппроксимируют систем (39), (40) по времени с порядком, совпадающим с порядком интерполяции. Например, когда выполнены следующие соотношения: 2АгА,Аг =(А,АгАг + АДА,) . (107) выражения (103), (105) аппроксимируют систем (39), (40) с третьим порядком по времени при кубической интерполяции [142].
Семейство сеточно-характеристических методов на неструктурированных треугольных [117] и тетраэдральных сетках [23-35,46-50] сводится к чередованию двумерных и трехмерных разностных схем, в одномерном случае переходящих в разностные схемы, рассмотренные в данном разделе [142]. Для интерполяции второго порядка выражения (102)-(105) в одномерном случае эквивалентны чередованию разностных схем, шаблоны которых приведены на рис. 2.2, 2.3. Каждая из этих схем исследовалась в [154]. Схема, с шаблоном на рис. 2.2, является устойчивой при числе Куранта [154] от 0 до 2, а схема, с шаблоном на рис. 2.3, является устойчивой при числе Куранта от 0 до 1.
Шаблон разностной схемы с квадратичной интерполяцией. Вариант 2. Схемы, шаблоны которых приведены на рис. 2.4 - 2.15 были исследованы автором [142]. Для интерполяции третьего порядка выражения (102)-(105) в одномерном случае эквивалентны чередованию схем, шаблоны которых изображены на рис. 2.4 - 2.6. Схема с шаблоном на рис. 2.4 является устойчивой при числе Куранта от 1 до 2, схема с шаблоном на рис. 2.5 исследовалась в [154] и является устойчивой при числе Куранта от 0 до 1. Схема с шаблоном на рис. 2.6 является неустойчивой.
Шаблон разностной схемы с кубической интерполяцией. Вариант 3. Для интерполяции четвертого порядка выражения (102)-(105) в одномерном случае эквивалентны чередованию схем, шаблоны которых приведены на рис. 2.7-2.10. Схема с шаблоном на рис. 2.7 является устойчивой при числе Куранта от 1 до 3. Схема с шаблоном на рис. 2.8 является устойчивой при числе Куранта от 0 до 2. Схема с шаблоном на рис. 2.9 является устойчивой при числе Куранта от 0 до 1. Схема с шаблоном на рис. 2.10 является неустойчивой.
Шаблон разностной схемы с интерполяцией четвертого порядка. Вариант 4. Для интерполяции пятого порядка выражения (102)-(105) в одномерном случае эквивалентны чередованию схем, шаблоны которых приведены на рис. 2.11 - 2.15. Схема с шаблоном на рис. 2.11 является устойчивой при числе Куранта от 2 до 3. Схема с шаблоном на рис. 2.12 является устойчивой при числе Куранта от 1 до 2. Схема с шаблоном на рис. 2.13 является устойчивой при числе Куранта от 0 до 1. Схемы с шаблонами на рис. 2.14, 2.15 являются неустойчивыми. n,m-\ п/п n,m+l n,m+2 п,т+Ъ n,m+4 Рис. 2.15. Шаблон разностной схемы с интерполяцией пятого порядка. Вариант 5. Приведем пример исследования на устойчивость с помощью спектрального признака устойчивости [155] схемы с шаблоном на рис. 2.11.
На рис. 2.2 - 2.15 наклонной чертой отмечена характеристика, исходящая из точки т,п + \ . Для определенности все схемы приведены для положительных собственных значений. На основе проведенных исследований можно сделать вывод о целесообразности применения ограничителей и гибридных схем и о преимуществах использования интерполяции четвертого порядка по сравнению с интерполяцией пятого порядка для сеточно-характеристического метода на неструктурированных треугольных [117] и тетраэдральных [23-35,46-50] сетках. Следует отметить, что, не смотря на неустойчивость части разностных схем, к чередованию которых сводится семейство сеточно-характеристических методов на неструктурированных сетках, каждая схема на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках, как было показано автором [142], обладает повышенными порядками аппроксимации по пространству, а для ряда рассматриваемых гиперболических систем уравнений и по времени.
В данной главе приведены сеточно-характеристические методы на структурированных (двумерный и трехмерный случай), а также на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках для решения системы уравнений, описывающей состояние линейно-упругой среды в изотропном и анизотропном случаях, а также системы, описывающей акустическое поле. Вкладом автора являются: - разработка сеточно-характеристического метода на структурированных сетках в двумерном и трехмерном случаях, а также на неструктурированных треугольных сетках, для решения системы уравнений, описывающей состояние линейно-упругой среды в анизотропном случае [68-70], системы, описывающей акустическое поле и совместного решения данных систем в изотропном случае [8,9]; - разработка сеточно-характеристического метода на неструктурированных тетраэдральных сетках для решения системы уравнений, описывающей состояние линейно-упругой среды в изотропном [23-35,39-50] и анизотропном случае [68-70], а также системы, описывающей акустическое поле и совместного решения данных систем в изотропном случае [8,9]. Также автором проведено исследование сеточно-характеристических методов на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках на аппроксимацию и устойчивость [142], а именно было проведено исследование семейства сеточно-характеристических методов на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках с интерполяцией от первого до пятого порядка включительно на аппроксимацию и исследование на устойчивость разностных схем, в которые данное семейство методов переходит в одномерном случае.
Контактное условие между линейно-упругой и акустической средами
В формулах (244)-(263) нулевым нижним индексом обозначена первая мнимая точка, нижним индексом -1 обозначена вторая мнимая точка, а нижними индексами 1 и 2 первая и вторая в направлении от границы области интегрирования внутренние точки, на рис. 3.1 мнимые точки обозначены черными квадратами. Верхними индексами обозначены компоненты симметричного тензора напряжений, а за P(t) обозначено заданное на границе давление.
Граничное условие с использованием мнимых точек. Далее расчет проводится методом сквозного счета, причем вычисляемые волновые процессы внутри куба (квадрата), на границах которого используются данные граничные условия, не влияют на волновые процессы вне куба (квадрата).
Аккуратное детальное описание всех волновых процессов вблизи всех имеющихся в поставленной задаче неоднородностей требует использования достаточно подробной сетки. Чем меньшие неоднородные включения нужно исследовать, тем больше придется сделать шагов по времени, а также операций на каждом временном слое. Однако, в большинстве случаев неоднородности локализованы в небольшом объеме внутри области интегрирования. При данной постановке задач оптимальным является применение иерархических сеток, сгущающихся в местах расположения неоднородностей.
Но для сеточно-характеристических методов размер шага интегрирования по времени напрямую зависит от размера минимального шага по пространству. Поэтому использование обычных иерархических сеток не сократит количество шагов по времени, уменьшится только число операций на каждом временном слое.
Как показали проведенные теоретические и численные исследования, применение именно сеточно-характеристических методов на неструктурированных треугольных и тетраэдральных сетках позволяет использовать специальные иерархические сетки с кратным шагом. Можно де лать кратный шаг не только по пространству, но и по времени, и, таким образом, сокращать не только число операций, необходимых для интегрирования задач на каждом временном слое, но и число выполняемых шагов по времени в той части области интегрирования, где нет неодно-родностей и используется более крупная сетка.
Поясним принципы использования иерархических сеток (в том числе, с кратным шагом) на примере следующей системы уравнений, состоящей из двух уравнений переноса
При решении системы уравнений состояния линейно-упругой среды можно рассмотреть два варианта нахождения решения в узлах на поверхности раздела между сетками различной мелкости с координатой х по данному принципу: вычислять и складывать значения по характеристикам в различных точках, зависящих от шага по времени и того, в область с какой сеткой падает характеристика, или использовать на границе корректор, основанный на контактном корректоре полного слипания. В ходе математических и численных исследований [46-50] выяснилось, что в случае использования неструктурированных иерархических сеток с кратным шагом по времени второй подход лучше обобщается на угловые точки, и при его использовании не возникает нефизичных осцилляции в этих точках. При использовании иерархических структурных сеток и без использования кратного шага по времени используется первый подход [54].
На рис. 3.3 изображен пример иерархической неструктурированной тетраэдральной сетки с кратностью 2. Можно видеть, что иерархическую тетраэдральную сетку можно построить, в частности, на основе иерархической структурированной сетки. Возможно также построение иерархической тетраэдральной сетки с произвольным расположением узлов в пространстве, в таком случае области различной кратности определяются по минимальной высоте тетраэдров в каждой в рассматриваемой области. Рис. 3.3. Иерархическая неструктурированная тетраэдральная сетка.
Рассматривается разработанный автором комбинированный метод [55-61] моделирования упругопластических тел, призванный объединить преимущества двух методов: сглаженных частиц и сеточно-характеристического. Сеточно-характеристический метод [23-35,46-50] позволяет моделировать волновые процессы в упругих средах, в том числе и упругие удары, причем в этом случае преимущество имеет использование подвижной тетраэдральной сетки. Кроме того, использование различных критериев разрушений позволяет моделировать процессы разрушения, что, однако, является технически сложным и снижает точность из-за необходимости регулярного перестроения расчетной сетки. Для моделирования процессов, сопровождающихся значительными разрушениями и деформациями, лучше подходит метод сглаженных частиц, являющийся бессеточным методом [136]. Тем не менее, этот метод не лишен недостатков: для метода характерны нефизичные осцилляции, а детальное моделирование волновых процессов требует увеличения количества частиц. Таким образом, имеется два семейства методов, являющихся оптимальными для двух разных групп задач. Однако задачи, встречающиеся на практике, часто могут требовать как детального описания волновых процессов, так и описания значительных деформаций и разрушений, что потребует идти на существенный компромисс при выборе численного метода. С целью решения таких задач разрабатывается комбинированный численный метод GCM-SPH, объединяющий преимущества и частично устраняющий недостатки двух базовых методов. 3.7.1. Особенности подхода
Поскольку для обоих базовых методов решение в каждой точке пространства на каждом шаге по времени зависит только от решения в близлежащей области на предыдущем шаге, вдали от границы раздела двух методов каждый из них работает независимо. Поэтому наибольший интерес представляет организация взаимодействия двух методов вдоль границы их раздела.
Как известно, основой сеточно-характеристического метода является перенос решения между временным слоями вдоль характеристик, а конкретный способ вычисления значения решения в точке пересечения характеристики с предыдущим временным слоем не играет значения. Это позволяет реализовать учет решения в области с частицами при поиске решения в области сетки, граничащей с частицами: при попадании характеристики в область с частицами интерполяция компонент скорости и тензора напряжений производится с использованием того же ядра сглаживания, которое используется в реализованной вариации метода сглаженных частиц.
Несколько сложнее оказывается организация учета решения в области с сеткой при поиске решения в области с частицами, граничащей с сеткой. Суть метода сглаженных частиц [136] состоит в вычислении временных производных компонент решения, аналитически выраженных через численное решение в соседних частицах, и последующем явном интегрировании по времени. Для решения проблемы переноса решения из части области интегрирования, в которой используется сеточно-характеристический метод, в часть области интегрирования, в которой используется метод сглаженных частиц, используются "сеточные" частицы — тонкий слой особых частиц, расположенных вдоль поверхности раздела, с одной стороны которой используется сеточно-характеристический метод, а с другой - метод сглаженных частиц (рис. 3.4). В отличие от обычных частиц решение в этих частицах, а также их смещение за шаг, не вычисляется обычным методом [136], а интерполируется по значениям компонент скорости и тензора напряжений в опорных точках тетраэдральной сетки.
Кусочно-линейная интерполяция
На основании интегралов Кирхгофа для краевой задачи теории упругости в замкнутой форме [137,138] автором были получены соответствующие интегралы Релея [140,141], а также проведена их программная реализация, при помощи которой проведено сравнение [141] решений, получаемых с помощью данных интегралов Релея [140,141] и сеточно-характеристическим методом [23-35,46-50,85]. Проведенное автором сравнение демонстрирует количественные и качественные совпадения решений для всех типов волн, что свидетельствует как о физической корректности решений, получаемых сеточно-характеристическим методом [23-35,46-50,85], так и о целесообразности применения и дальнейшего развития методов решения краевой задачи теории упругости при помощи интегралов Релея и Кирхгофа.
Обратим внимание, что в силу использования функции Грина, имеющей вид (318)-(326), при расчетах с использованием интегралов Релея отсутствует так называемая преломленная головная сейсмическая волна [167] (указанная стрелкой на рис. 5.4 б), образующаяся в результате отражений, исключенных использованием данной функции Грина (318)-(326). В случае использования сеточно-характеристического метода данный тип волн присутствует и на него теряется часть энергии продольных и поперечных волн. Следует отметить, что скорости распространения продольных и поперечных волн при применении обоих методов как в случае точечного источника, так и в случае плоской волны - совпадают с точностью до 0.01 процента, причем погрешность обусловлена выбором расчетных сеток и шага по времени. Глава 6. Численное моделирование
В данной главе приведены полученные автором результаты: - численного решения задач сейсмической разведки в условиях арктического шельфа и численного моделирования взрыва айсберга [8,9] с использованием полученного автором се-точно-характеристического метода на структурированных сетках для численного моделирования волновых процессов в линейно-упругих и акустических средах [8,9]. Автором был выполнен анализ влияния льда и взаимного расположения приемников и источников на получаемые сейсмограммы [8,9]; - численного моделирования сейсмостойкости наземных и подземных сооружений [54] се-точно-характеристическим методом для решения системы уравнений, описывающей состояние сплошной линейно-упругой среды, [85] при помощи полученных автором граничного условия с использованием мнимых точек [54] и структурированных иерархических сеток [46-50]. Автором был выполнен анализ динамики возникновения повреждений в подземных и наземных сооружениях от различных типов волн; - численного моделирования неразрушающего контроля железнодорожных путей на примере ультразвуковой дефектоскопии железнодорожных рельсов с горизонтальным расслоением головки [12-21] сеточно-характеристическим методом для решения задачи теории упругости в замкнутой форме [85]. Автором были проанализированы зависимости различных компонент регистрируемого отклика от величины горизонтальной трещины в головке рельса.
Также в данной главе представлены результаты численного моделирования землетрясения и распространения сейсмических волн в изотропных и анизотропных геологических средах, выполненные разработанным автором сеточно-характеристическим методом на неструктурированных тетраэдральных сетках [23-35,46-50].
В шельфовой зоне Арктических морей расположены перспективные запасы нефти и газа. Сейсморазведочные работы в Арктических условиях осложнены наличием воды и ледяного покрова. В данном пункте приведены результаты проведенного автором исследования влияния льда, расположения приемников и источников на получаемые сейсмограммы. Используется се-точно-характеристический метод на структурированных сетках с применением разработанного автором контактного условия между линейно-упругой и акустической средами [8,9].
Были проведены численные эксперименты по решению задач сейсморазведки в условиях Арктического шельфа. Во всех расчетах шаг по пространству составлял 0.2 м, шаг по времени равнялся 3-Ю-5 с, было выполнено 15 тысяч шагов по времени. Рассматривался слой льда толщиной 4 метра плотностью 917 кг/3 (рис. 6.1). Скорость продольных волн во льду полагалась равной 3940 W , а поперечных волн - 3650 W . Рассматривался слой воды толщиной 100м, что соответствует Ленинградскому и Русановскому месторождениям Карского моря [1] (рис. 6.1, рис 6.2.) Скорость продольных волн в грунте составляла 6500 у , а поперечных 3700 у , плотность задавалась равной 2500 кг/3 Плотность воды равнялась 1000 кг/3, скорость звука / м / м составляла 1500 ш/. Ширина области интегрирования равнялась 1200 м. Рассчитывался слой дна глубиной 600 м (рис. 6.1, рис. 6.2). По бокам ставились неотражающие граничные условия.
Рассматривались источники, расположенные на льду (рис. 6.3), во льду (рис. 6.4), в воде подо льдом (рис. 6.5), на дне (рис. 6.6, рис. 6.7) и в воде при отсутствии льда вблизи поверхности (рис. 6.8). Во всех случаях проводилось воздействие импульсом Риккера.
Приемники располагались на дне (рис. 6.9, рис. 6.10) либо на поверхности льда (рис. 6.11) (при наличии льда) или воды (рис. 6.12). При расположении приемников на дне, расположение источников не оказывает существенного влияния. Приемники на дне всегда дают больше информации: и вертикальную, и горизонтальную компоненты скорости. А при расположении приемников на поверхности как льда, так и воды, теряется горизонтальная компонента скорости. При измерениях на льду сейсмограммы, показывающие модуль скорости, дают меньше информации, чем непосредственно сейсмограммы, показывающие вертикальную компоненту скорости, из-за возрастания амплитуды за счет прибавления не несущей информации горизонтальной компоненты. Также отклики, регистрируемые на приемниках, расположенных на поверхности, значительно слабее, чем отклики, регистрируемые на приемниках, расположенных на дне, при одной и той же интенсивности воздействия. По результатам численных экспериментов выяснилось, что при расположении источников на льду, во льду и в воде подо льдом волновые картины, возникающие отклики и все виды сейсмограмм (с приемников на поверхности, с приемников на дне, показывающие горизонтальную, вертикальную компоненты скорости и модуль ско 101 рости) близки (с точностью до 1 процента). Также при расположении источника на дне наличие льда существенно не влияет на получаемые как на дне, так и на поверхности льда или воды соответственно сейсмограммы.