Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретико-игровая модель наилучшего выбора с неполной информацией для двух лиц 13
1.1. Игра двух лиц наилучшего выбора из n претендентов с приоритетом первого игрока 14
1.1.1. Игра двух лиц наилучшего выбора из двух претендентов с приоритетом первого игрока 15
1.1.2. Игра двух лиц наилучшего выбора из трех претендентов с приоритетом первого игрока 17
1.1.3. Метод обратной индукции в игре двух лиц наилучшего выбора из n претендентов с приоритетом первого игрока 24
1.2. Игра двух лиц наилучшего выбора из n претендентов с равноправными игроками 28
1.2.1. Игра двух лиц наилучшего выбора из двух претендентов с равноправными игроками 29
1.2.2. Игра двух лиц наилучшего выбора из трех претендентов с равноправными игроками 31
1.2.3. Метод обратной индукции в игре двух лиц наилучшего выбора из n претендентов с равноправными игроками 35
1.3. Влияние корреляции качеств претендентов на решение игры двух лиц наилучшего выбора из n претендентов 40
1.3.1. Игра двух лиц наилучшего выбора из двух кандидатов c зависимыми параметрами качества кандидатов 41
1.3.2. Игра двух лиц наилучшего выбора из трех кандидатов c зависимыми параметрами качества конкурсантов 43
1.3.3. Игра двух лиц из n кандидатов c зависимыми параметрами качества конкурсантов 48 CLASS Глава 2. Теоретико-игровая модель наилучшего выбора с неполной информацией для M игроков 52 CLASS
2.1. Игра M лиц наилучшего выбора из двух кандидатов 52
2.2. Игра двух лиц наилучшего выбора из N претендентов 55
2.3. Игра M лиц наилучшего выбора из N претендентов 59
2.4. Игра трех лиц наилучшего выбора из N кандидатов 62
Глава 3. Теоретико-игровой анализ моделей взаимного выбора . 75
3.1. Моделирование приемных кампаний в вузы. 75
3.2. Иерархическая модель выбора из m вузов с полной информацией . 85
3.3. Модель взаимного выбора партнера с возрастными предпочтениями. 94
Заключение 111
Литература
- Игра двух лиц наилучшего выбора из трех претендентов с приоритетом первого игрока
- Игра двух лиц наилучшего выбора из двух претендентов с равноправными игроками
- Игра двух лиц наилучшего выбора из N претендентов
- Иерархическая модель выбора из m вузов с полной информацией
Введение к работе
Актуальность темы.
Важным направлением в теории игр и теории оптимальной остановки является исследование задач наилучшего выбора. Интерес к изучению данного класса задач обусловлен тем, что модели наилучшего выбора широко применимы в социально-экономических и естественных науках таких, как экономика, социология, психология и биология. Преимущества моделей наилучшего выбора заключаются в том, что они отражают существенные особенности реальных процессов принятия решения в условиях неопределенности и результаты моделирования достаточно легко интерпретируемы.
В реальности на процессы выбора налагается множество условий, от которых зависит конечный результат: степень информированности о качестве наблюдаемых объектов или их количестве, наличие возможности возвращения к просмотренному объекту, наличие конкуренции, наличие возможности выбора нескольких объектов и плата за просмотр объекта. В связи с этим, является актуальным исследование новых теоретико-игровых постановок задач наилучшего выбора, их моделирование и изучение оптимального поведения участников процесса выбора.
Степень разработанности. Классическая задача наилучшего выбора, известная как задача о секретаре, была решена в 1961 году независимо друг от друга Е. Б. Дынкиным с помощью теории марковских процессов и Д. Линдли с использованием методов динамического программирования. Впоследствии на основе классической задачи наилучшего выбора было разработано и исследовано множество новых постановок задач с различными критериями оптимизации и степенью информированности об объектах. Например, в работах К. Ано, M. Курано, M. Сакагучи, К. Шайовского, М. Николаева, Г. Софронова, В. Ма-залова и А. Фалько рассматриваются различные постановки теоретико-игровых задач наилучшего одностороннего выбора. В работах С. Альперна, Д. Рамсея,
К. Эриксона предложен анализ задач двустороннего выбора.
В данной диссертационной работе представлено исследование теоретико-игровых моделей наилучшего выбора с неполной информацией.
Цель диссертационной работы заключается в разработке теоретико-игровых моделей наилучшего выбора с неполной информацией и методов решения таких задач для различного числа игроков, претендентов и типов зависимости данных о кандидатах.
Достижение поставленной цели требует решения следующих задач:
-
Разработать методы нахождения равновесия в теоретико-игровой задаче наилучшего выбора с неполной информацией для ранжированных игроков.
-
Разработать методы нахождения равновесия в теоретико-игровой задаче наилучшего выбора с неполной информацией для равноправных игроков.
-
Разработать комплекс программ, реализующих полученные алгоритмы нахождения равновесия в задачах наилучшего взаимного выбора и провести численные расчеты и оценки эффективности оптимальных стратегий.
Методы исследований. В диссертационной работе применяются методы динамического программирования, методы теории вероятностей и методы некооперативной теории игр.
Научная новизна работы заключается в исследовании новых постановок задач наилучшего выбора с неполной информацией и нахождения их решений. В работе были исследованы теоретико-игровые модели наилучшего выбора двух и более лиц с неполной информацией, получены рекуррентные формулы для нахождения оптимальных стратегий и выигрышей игроков. В теоретико-игровой модели наилучшего выбора двух лиц были рассмотрены два подхода принятия решения: с приоритетом первого игрока и с равноправными игроками. Модель с равноправными игроками была исследована в случае коррелированных наблюдений. Также рассмотрена модель взаимного выбора на примере проведения приемных кампаний вузов, найдены решения задач наилучшего
выбора с полной и неполной информацией в случае наличия иерархии между вузами. В модели взаимного выбора с возрастными предпочтениями получен аналитический вид оптимальных выигрышей представителей группы с большей численностью.
Теоретическая значимость работы. Полученные в диссертационной работе теоретические результаты относятся к теории наилучшего выбора, их значимость заключается в построении теоретико-игровых моделей наилучшего выбора с неполной информацией и разработке алгоритмов нахождения оптимальных стратегий с несколькими игроками и объектами в условиях неполноты информации о поступающих данных.
Практическая значимость работы определяется применимостью разработанных методов построения оптимальных стратегий в различных задачах выбора объектов таких, как приемные кампании в вузы, биологические задачи выбора партнера и другие социально-экономические приложения.
Положения, выносимые на защиту:
-
Предложена теоретико-игровая модель наилучшего выбора с неполной информацией с ранжированными игрокоми и разработан метод нахождения равновесия для игр двух лиц и произвольного числа кандидатов.
-
Предложена теоретико-игровая модель наилучшего выбора с неполной информацией с равноправными игроками и разработан метод нахождения равновесия для игр двух лиц и произвольного числа кандидатов. Сделано обобщение теоретико-игровой модели наилучшего выбора с равноправными игроками в случае коррелированных наблюдений.
-
На основе разработанной модели двустороннего выбора проведено компьютерное моделирование приемной кампании в вузы.
-
Создан комплекс программ для численной реализации на ЭВМ предложенных методов поиска равновесий и проведены численные эксперименты.
Связь работы с научными программами, темами. Основные результаты диссертации были получены в рамках выполнения исследований при финансовой поддержке РФФИ (проект 16-31-50013 «Задачи наилучшего выбора с неполной информацией»).
Апробация работы.
Основные результаты диссертационного исследования были представлены и обсуждены на следующих семинарах и конференциях:
-
Седьмая международная конференция Теория игр и менеджмент, Санкт-Петербург, Россия, 26-28 июня, 2013;
-
VII Московская международная конференция по исследованию операций (ORM2-2013), Москва, Россия, 15-19 октября, 2013;
-
Третий российско-финский симпозиум по дискретной математике, Петрозаводск, Россия, 15-21 сентября, 2014;
-
Восьмая международная конференция Теория игр и менеджмент, Санкт-Петербург, Россия, 25-27 июня, 2014;
-
Международная конференция по вопросам беспроводных технологий, встроенных и интеллектуальных систем (WITS-2015), Фес, Марокко, 29-30 апреля, 2015;
а также на семинарах факультета естественных наук, математики и технологии Забайкальского государственного университета и на семинарах лаборатории математической кибернетики института прикладных математических исследований КарНЦ РАН.
По материалам диссертации опубликовано 10 работ, из которых две в журналах из «Перечня российских рецензируемых научных журналов» [2,3] и одна статья в издании, индексируемом в библиографической базе данных Scopus [1], и тезисы пяти докладов [4,6,7,9,10].
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Общий
Игра двух лиц наилучшего выбора из трех претендентов с приоритетом первого игрока
Рассмотрим игру наилучшего выбора Гп с неполной информацией для двух лиц, в которой игроки (Игрок I и Игрок II) различаются наличием у одного из них приоритета при выборе. Наличие приоритета выбора у игрока означает, что данный игрок первым принимает решение о выборе текущего кандидата, в случае отказа от кандидата ход переходит ко второму игроку. Пусть приоритетом выбора обладает Игрок I. Игрокам необходимо выбрать по одному кандидату из п претендентов. Качество кандидата представляет собой последовательность независимых равномерно распределенных на множестве [0,1] х [0,1] случайных величин (ХІ,УІ), і = 1,... , п, где параметр качества Х{ поступает игрокам в явном вида, а параметр качества уі — скрыт от них. Игроки, одновременно просматривая последовательность из п претендентов, делают выбор на основании известной характеристики качества кандидата Х{.
Процесс выбора кандидатуры происходит следующим образом. На первом шаге игроки наблюдают известную характеристику х\ из набора данных {х\ у\) первого кандидата. При его выборе Игрок I получает в качестве выигрыша величину т = Х\ + у\ и выбывает из игры, а значение т становится известным Игроку II. На следующем шаге Игрок II стремится выбрать из оставшихся такого кандидата і (і = 2,... ,п), качество которого удовлетворяло бы условию Хi + Уi т. При отказе Игрока I от первого кандидата Игрок II принимает решение о выборе текущего кандидата или об отказе от него. При выборе кандидата Игрок II выбывает из игры с выигрышем т, а Игрок I продолжает выбор из оставшихся кандидатов при известном значении т, стремясь получить кандидата і (і = 2,... ,п) с качеством, удовлетворяющим условию Хi + yi т. Если же оба игрока отвергают первого кандидата, то игра Гп переходит к игре Гп_і и описанная процедура повторятся. В процессе выбора игроки используют пороговые стратегии вида: если известный параметр качества текущего кандидата хi больше некоторого значения щ (vi), то Игрок I (Игрок II) принимает кандидата, в противном случае отказывает ему. Победителем в данной игре объявляется тот из игроков, у которого сумма параметров качества выбранного кандидата будет больше, чем у его оппонента.
Рассмотрим игру наилучшего выбора двух лиц Г2, в которой для выбора доступны два кандидата. Предположим, что Игрок I, имеющий приоритет в выборе, использует пороговую стратегию и: если известный параметр качества кандидата больше или равен пороговому значению, то кандидат принимается, в противном случае — отвергается. Учитывая преимущество в выборе Игрока I, второй игрок использует пороговую стратегию v = 0.
Процедура выбора осуществляется следующим образом. На первом этапе наблюдается значение х\ из набора параметров качества первого кандидата (xi,yi). Игрок I выбирает текущего кандидата и покидает игру с выигрышем Х\ +2/1, если х\ и. В противном случае Игрок I отвергает текущего претендента и право выбора переходит к Игроку II, который принимает кандидата. Первый же игрок переходит на второй этап игры и выбирает последнего кандидата с качеством (х2,у2).
Оптимальное значение пороговой стратегии и находится из следующих соображений. Пусть наблюдаемое значение хх = и, тогда выигрыши Игрока I при выборе первого кандидата и отказе от него совпадают. Обозначим На(и) — выигрыш первого игрока при выборе первого кандидата, который равен
Рассмотрим игру наилучшего выбора 3. Пусть для выбора доступны три кандидата, качество которых состоит из двух компонент, представляющих собой последовательность независимых равномерно распределенных на множе 18 стве [0,1] х [0,1] случайных величин (хi,уi), і = 1,2,3. Игрокам I и II необходимо выбрать по одному кандидату с суммарным качеством большим, чем у оппонента. Просмотр кандидатов организован аналогично как в игре IV Выбор игроками осуществляется с помощью пороговых стратегий. Пусть и2 и v2 пороговые стратегии Игрока I и Игрока II при выборе первого кандидата, соответственно. Поскольку Игрок I имеет преимущество в выборе, поэтому г 2 и2.
Рассмотрим процесс выбора кандидатов. На первом этапе игроки наблюдают значение х\ параметра качества первого кандидата. Если наблюдаемое значение х\ г 2, то оба игрока отвергают кандидата и игра Гз переходит к игре Г2, значение которой известно и равно Н\.
Допустим, что наблюдаемое значение хх = v2, тогда Игрок II может как принять кандидата, так и отказать ему. Обозначим H{aII\v2) и H II\v2) — выигрыши Игрока II при выборе и отказе от кандидата, соответственно. Оптимальное пороговое значение v2 находится из условия равенства выигрышей Нa \v2) и Щ \v2). Заметим, что при отказе от первого кандидата Игрок II переходит к игре Г2, в которой его ожидаемый выигрыш равен H II\v2) = -Яь
Допустим, что Игрок II выбирает кандидата с параметром качества хл = v2 и его выигрыш равен суммарному качеству т = v2 + у\. В этом случае у Игрока I появляется возможность выбора из двух оставшихся кандидатов при известном значении т. Для победы Игрок I будет стремиться получить кандидата с суммарным качеством, удовлетворяющим условию Хi+уi т, поэтому на втором этапе игры он установит новый порог s = s(m), оптимальное значение которого находится из равенства соответствующих выигрышей.
Игра двух лиц наилучшего выбора из двух претендентов с равноправными игроками
В данной главе рассмотрена бескоалиционная игра наилучшего выбора Тм,м c неполной информацией, в которой каждому из М руководителей (игроков) необходимо выбрать одного из N кандидатов на должность секретаря. Качество кандидатов состоит из двух параметров, образующих последовательность независимых равномерно распределенных на множестве [0,1] х [0,1] случайных величин {ХІ,УІ), і = 1,..., N. При просмотре кандидата информация о первом параметре его качества поступает в явном виде, а информация о втором параметре недоступна игрокам, поэтому выбор кандидата осуществляется на основании известной характеристики. Цель игроков состоит в максимизации суммарного качества выбранного ими кандидата. Победителем в данной игре является игрок, у которого суммарное качество выбранного им кандидата больше, чем у его оппонентов. В предыдущей главе была рассмотрена игра двух лиц с нулевой суммой, в которой функция выигрыша равна 1 (выигрыш) и -1 (проигрыш). В игре М лиц более удобно перейти к игре с постоянной суммой и считать функцию выигрыша, равной 0, в случае проигрыша. В моделях выбора из N кандидатов (N 2) двумя и более игроками получены оптимальные пороговые стратегии игроков и их выигрыши.
Рассмотрим многошаговую игру Гм,2 с неполной информацией, в которой М равноправных игроков одновременно просматривают последовательность из двух кандидатов с качеством, состоящим из двух параметров, представляющих собой последовательность независимых равномерно распределенных на множе 53 стве [0,1] [0,1] случайных величин (хг,уг), і = 1,2. В процессе просмотра каждого кандидата информация о его качестве игрокам поступает частично: первый параметр качества игрокам известен, а второй параметр — скрыт от них. Игрокам необходимо выбрать одного кандидата, основываясь только на известной характеристике его качестве. Цель игроков состоит в максимизации суммы параметров качества выбранного ими кандидата. В данной игре победителем является тот игрок, у которого сумма параметров качества выбранного им кандидата больше, чем у его оппонентов.
Допустим, что при выборе игроки используют пороговые стратегии вида: если на первом шаге качество выше зараннее установленного значения им,2, то игрок делает предложение текущему кандидату, в противном случае отвергает его. Найдем оптимальные пороговые стратегии игроков.
Предположим, что первый игрок использует стратегию и, а все остальные М - 1 игроков используют одинаковые стратегии и, профиль которых обозначим vM-1, и и v. Тогда, наблюдая значение Х\ качества первого кандидата, первый игрок делает текущему кандидату предложение при условии, что Х\ и, а остальные игроки — при х\ v. В зависимости от значение х\ возможны следующие ситуации:
Предполагается, что кандидат, получивший предложение от нескольких игроков, выбирает одного из них с одинаковой вероятностью. Следовательно, выигрыш первого игрока имеет вид:
Заметим, что в случае одного кандидата (N = 1) все игроки делают ему предложение, поэтому оптимальные пороги равны нулю. Кандидат, в свою очередь, выбирает одного из игроков с одинаковой вероятностью. В силу симметрии выигрыши игроков будут равны 1/M. 2.2. Игра двух лиц наилучшего выбора из N претендентов
Рассмотрим многошаговую игру наилучшего выбора Г2,дг с неполной информацией, в которой двум игрокам (обозначим их Игрок I и Игрок II) необходимо выбрать одного из N кандидатов. Качество кандидатов представляет собой последовательность независимых равномерно распределенных на множестве [0,1] х [0,1] случайных величин (хг, у{), і = 1,..., TV, причем информация о значении ХІ игрокам поступает в явном виде, а о значении І/І недоступна им. Оба игрока при выборе кандидатов руководствуются пороговыми стратегиями. Кандидат, получивший предложение от обоих игроков, выбирает одного из игроков с вероятностью . Из симметрии задачи следует, что значение игры H2,N = , а оптимальные пороги игроков совпадают и находятся из следующих соображений. Пусть для просмотра доступно N кандидатов и оба игрока еще не сделали выбор. Предположим, что Игроки I и II используют пороговые стратегии и и v, соответственно, и и v. Обозначим функцию выигрыша в данной игре H2,N(U,V).
Для нахождения оптимальных пороговых стратегий и и v допустим, что Игрок II остановился на кандидате с суммарным качеством, равным г,ив игре осталось п кандидатов. Учитывая известное значение выигрыша z, Игрок I стремится выбрать такого кандидата і (і = 1,2,...,п), суммарное качество которого удовлетворяет условию Xi + yi z, где 0 z 2. Обозначим данную многошаговую игру наилучшего выбора T\ n(z) и ожидаемый выигрыш Игрокa I Hhn(z). Пусть при выборе кандидата Игрок I использует пороговую стратегиию и\ п.
Игра двух лиц наилучшего выбора из N претендентов
В России при поступлении в вузы множество абитуриентов подразделяется на несколько категорий, которые имеют некоторые преимущества при зачислении. Например, к таким категориям относятся участники Всероссийских олимпиад и олимпиад, утвержденных Минобрнауки, или граждане, постоянно проживающие на территории Крыма. Особое внимание уделяется льготным категориям абитуриентов (льготникам), поскольку вузы обязаны выделить под их прием не менее десяти процентов от плана бюджетного приема. Учитывая, что уровень подготовки льготников достаточно низкий, то при их зачислении резко падает значение среднего балла ЕГЭ — важного показателя при мониторинге российских вузов. Помимо понижения среднего балла ЕГЭ зачисление льготников сопровождается и рядом других проблем, поэтому вузам выгодно зачислить по возможности меньше абитуриентов из этой категории. Установлении порогового балла ЕГЭ позволяет ограничить доступ льготников в вузы и дает возможность поступить абитуриентам с хорошими баллами ЕГЭ из числа поступающих на общих основаниях.
Далее будем рассматривать модель выбора вузов при условии, что множество абитуриентов состоит из льготников и абитуриентов, поступающих на общих основаниях, с известным распределением балла ЕГЭ. Предполагая, что при проведении приемных кампаний целью вузов является выполнение плана приема без учета дополнительных качеств абитуриентов, получаем модель взаимного выбора с полной информацией.
Пусть YN и YL множество абитуриентов, поступающих на общих основаниях, и множество льготников, соотвественно. N и L — объем этих множеств. Предположим, что балл ЕГЭ абитуриентов, поступающих на общих основаниях, распределен по закону F{y) с средним значением Ef, а балл ЕГЭ льготников — по закону G(y) cо средним значением Ед.
Вузы Xi,X2,...,Xm, ранжированные согласно отношению Хг Xi+h і = 1,... т - 1, объявляют прием на бюджетные места DUD2,..., Аг, соот-ветствено. Каждому вузу необходимо выполнить план бюджетного приема и зачислить на платную основу не менее qi D{ абитуриентов, где qi — некоторый процент от бюджетных мест, устанавливаемый вузами самостоятельно (г = 1,... ,ш). Информация о количестве бюджетных и платных мест в каждом вузе является общедоступной. Допустим, что вузы не устанавливают ограничения на количество льготных категорий граждан. Каждый вуз стремиться максимизировать средний балл ЕГЭ зачисленных абитуриентов путем установления порогового балла ЕГЭ, необходимого для поступления. Обозначим хг пороговый балл ЕГЭ необходимое для поступления в вуз Хг (і = 1,... ,m - 1). Также обозначим v{ проходной балл ЕГЭ вуз Хг, то есть значение балла ЕГЭ зачисленного на последнее бюджетное место абитуриента, поступающего на об 87 щих основаниях. Проходной и пороговый баллы ЕГЭ связаны соотношением %i Vi. Из предположения об иерархии вузов следует, что для Vi = 1,... ,m xi х2 хm и vi v2 vm. Пусть Нi(хi,уi) - выигрыш вуза Хi, і = 1,2,... ,т. Найдем оптимальные значения для пороговых и проходных баллов ЕГЭ из следующих соображений.
В силу ранжирования вузов по привлекательности, каждый вуз, кроме первого, устанавливает пороговые баллы ЕГЭ, учитывая соответсвующие баллы, установленные вышестоящими вузами в рейтинге привлекательности. Первый же вуз в рейтинге определяет пороговое значение балла ЕГЭ независимо от других вузов, исходя из следующих соображения.
При установлении порогового балла х\ в вуз Х\ будут зачислены все абитуриенты-льготники, с баллами ЕГЭ из промежутка [хиМ], где М максимальное значение балла ЕГЭ. На оставшиеся бюджетные места будут зачислены абитуриенты, поступающие на общих основаниях, с баллами из промежутка [vuM], а абитуриенты с баллами выше из промежутка [xuvi] заполнят платные места. Таким образом, оптимальное значение порогового балла ЕГЭ находится из следующей оптимизационной задачи:
Иерархическая модель выбора из m вузов с полной информацией
Рассмотрим модель взаимного выбора с возрастными предпочтениями в случае, если максимальный возраст женщин равен трем, а мужчин т 3. В этом случае ожидаемый выигрыши женщин имеют следующий вид Из вида ожидаемых выигрышей женщин следует, что существует две пороговые стратегии: Gx = [т - l,m,m], если V2 1, и G2 = [т,т,т], если V2 1. Мужчина могут использовать в ответ на стратегии G\ и G2 стратегии, представленные в следующей таблице:
Пусть игроки используют профиль стратегий (Fi,G2), где G2 = [т}т}т], Fi = \1 ,.,1,2,...,23,... , к = 1,...,ш-3, 1 = 1,...,ш-3. В силу использова к I т-к-1 ния женщинами стратегии Gx (то есть принимать любого партнера), равновесное возрастное распределение женщин имеет вид: Ь = (1, 0,0). Тогда возрастное распределение мужчин примет вид: Тогда ожидаемые выигрыши мужчин можно представит в виде следующих рекуррентных соотношений: Um = = 1 — z, г Um-i = + (1 - - ) Um = 2(1 - z) + zUm, г \ г) иm-i = + (1 - ) иm.i+1 = 3(1 -z) + zUm.i+u г = 2,..., т - 1, г г Обозначим z = 1 - 1/г и после упрощений получим, что ожидаемые выигрыши мужчин имеют вид Um = l-z, Um-i =2-Z2 Z, иm.i = 3 - zi+1 - zi - zi \ і = 2, ...,m - 1. Для равновесной стратегии женщин G\ = [т,т,т] может быть получена равновесная стратегия мужчин Ff из ситемы
Возрастное распределение для мужчин и женщин определяется следующими векторами, соответсвенно a=(R)Rz)Rz\...)Rzm-l)) 6=(l,m,o), где z = 1 — 1/r. Следовательно, входящее соотношение полов имеет вид l + z + z2 + ... + zm-2 + 2zm-1 R = где Z = 1 - 1/Г. (1 - z)(l + z + z2 + ... + zm-1)2 В этом случае выигрыш женщин второго возраста V2 = 2 m 1, а ожи 108 даемый выигрыш мужчин можно представить в виде следующих рекурретных соотношений
В работе представлены теоретико-игровые модели двух и более лиц одностороннего и двустороннего наилучшего выбора из нескольких объектов в предположении о различной степени информированности о качестве наблюдаемых объектов.
В первой главе диссертации рассмотрены теоретико-игровые модели наилучшего выбора двух лиц из последовательности N объектов, качество которых состоит из двух параметров, представляющих собой случайные величины с известным законом распределения вероятностей. Перед игроками поставлена задача выбора объекта с максимальным суммарным значением качества при условии, что информация о втором параметре качества объекта при наблюдении недоступна игрокам.
В рамках исследования данной модели были рассмотрены два подхода к принятию решения о выборе объекта — с приоритетом первого игрока и с равноправными игроками. Модель наилучшего выбора с равноправными игроками была исследована в случае коррелированных значений параметров качества. В результате исследования построенных моделей выбора получены рекуррентные формулы для вычисления выигрышей игроков и найдены численные значение пороговых стратегий выбора.
Во второй главе проведено исследование теоретико-игровой модели наилучшего выбора М лиц с неполной информацией, с равноправными игроками, и найдены оптимальные пороговые стратегии и выигрыши игроков в случае выбора из двух и более объектов. Отдельно исследована модель наилучшего выбора трех лиц из N кандидатов.
В третьей главе исследованы модели двустороннего наилучшего выбора с различной степенью информированности о качестве наблюдаемого объекта. На примере проведения приемных кампаний рассмотрены иерархические модели выбора вузов с полной и неполной информацией. В иерархической модели выбора из m вузов с неполной информацией качество объекта (абитуриента) представлено двумя параметрами: балл ЕГЭ и скрытой характеристикой. Такой характеристикой может быть способность к обучению, работоспособность, заинтересованность предметом и т. д. Информация о скрытой характеристике поступает уже в процессе обучения. В иерархической модели выбора из M вузов с полной информацией качество абитуриента представляет собой балл ЕГЭ, распределение которого предполагается известным. В данной модели были найдены оптимальные пороговые стратегии установления балла ЕГЭ при условии, что множество абитуриентов разделено на две группы с различным известным распределением вероятностей балла ЕГЭ.
Рассмотрена модель взаимного выбора с возрастными предпочтениями, в которой представители двух групп одновременно принимают решение о выборе друг друга, основываясь на известном качестве партнера. Качество индивида представляет собой его возраст и способность к воспроизведению. При условии, что возраст и численность представителей одной из групп больше возраста и численности представителей противоположной группы, были получены аналитические выражения для вычисления оптимальных выигрышей, возрастного распределения для представителей группы с большей численностью.
В приложениях находятся листинги программ, разработанных в пакете Mathematica 9.1, с помощью которых были проведено численнное моделирование, и результаты моделирования задач наилучшего выбора, рассмотренных в первой главе, реализованных в виде эксперимента со студентами Забайкальского государственного университета.