Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Нелинейная теория упругости 8
1.1 Основные понятия и обозначения 8
1.2 Симметрические гиперболические системы 10
1.2.1 Необходимые сведения из теории СГС 10
1.2.2 Симметризация в терминах напряжений Пиола-Кирхгофа . 15
1.2.3 Симметризация в терминах деформаций 19
1.2.4 Вычисление матриц коэффициентов 22
1.2.5 Условия выпуклости уравнения состояния и корректности задачи Коши 27
1.3 Уравнение состояния 30
1.3.1 Модельное уравнение состояния 31
1.3.2 Анализ критерия гиперболичности и необходимость смены постановки задачи 33
1.3.3 Смена постановки задачи. Введение новой независимой переменной Ж 35
1.3.4 Замечание о симметризациях в новой постановке задачи. Постулирование дискретной модели 39
1.3.5 Определение констант уравнения состояния 44
Глава 2. Численное моделирование 47
2.1 Разностная схема 47
2.1.1 Схема Годунова 47
2.1.2 Приближенное решение задачи о распаде произвольного разрыва для консервативной системы уравнений 49
2.2 Одномерный случай 53
2.2.1 Основные свойства одномерной задачи 54
2.2.2 Характеристики в одномерном случае 55
2.2.3 Несколько критических замечаний к реализации расчетной схемы 62
2.3 Разрывные решения. Примеры простейших одномерных расчетов 66
2.3.1 Разрыв в продольной компоненте скорости. Сходимость разностного решения 69
2.3.2 Разрыв в продольной компоненте скорости. Задача о распаде разрыва 70
2.3.3 Разрыв в поперечной компоненте скорости 70
2.3.4 Разрыв в продольной компоненте скорости в анизотропном материале 73
Глава 3. Нелинейная упруго-пластическая среда 77
3.1 Тензор эффективных упругих деформаций 77
3.1.1 Тензор эффективных упругих деформаций. Условия совместности деформаций 77
3.2 Расчеты ударно-волнового нагружения металлов 84
3.2.1 Пример 1. Столкновение алюминиевых пластин 87
3.2.2 Пример 2. Столкновение урановых пластин 90
3.3 Двухмерные расчеты. Задача о косом столкновении пластин . 95
Выводы 99
Список литературы 100
- Симметрические гиперболические системы
- Условия выпуклости уравнения состояния и корректности задачи Коши
- Приближенное решение задачи о распаде произвольного разрыва для консервативной системы уравнений
- Тензор эффективных упругих деформаций. Условия совместности деформаций
Введение к работе
Во многих задачах современной физики появляется необходимость исследования и прогнозирования реакции материалов и конструкций на интенсивные динамические воздействия, например такие, как высокоскоростной удар, взрыв, импульсы мощного лазерного излучения и т. д.
Вместе с тем из-за большой сложности таких быстро протекающих процессов и трудности их наблюдения появляется и необходимость в математическом моделировании. При этом для высокоскоростного деформирования материалов в ударных волнах, помимо быстрого сжатия вещества до высоких давлений и его адиабатического разогрева, современные модели должны учитывать такие чрезвычайно быстро протекающие процессы, как процессы упруго-пластической деформации, разрушения, полиморфных и фазовых превращений, химические реакции, явления электрической поляризации, ионизации и другие физические и химические явления. Тем самым современные модели должны обладать способностью адекватно описывать фундаментальные свойства вещества и неравновесных процессов в экстремальных условиях.
Многие из этих задач могут быть смоделированы на макроуровне — уровне сплошной среды. При этом свойства материала, являющиеся следствием его микроструктуры или микропроцессов протекающих в нем, описываются достаточно сложными нелинейными уравнениями состояния.
Например, в рамках такого подхода весьма актуальными являются вопросы построения математических моделей нелинейной теории упругоплас-тических деформаций твердых тел и способов их эффективного исследования с применением ЭВМ, которым и посвящена данная работа.
Основной целью настоящей работы была разработка и программная реализация алгоритма нахождения численного решения нелинейной системы теории упругости формализованной в виде симметрической гиперболической системы с общим видом уравнения состояния. А также апробация разработанного алгоритма на задачах высокоскоростного деформирования металлов.
Главным образом, диссертация является продолжением работ С. К. Годунова в области механики сплошных сред и вычислительной математики, проводимых им и под его руководством его учениками на протяжении последних более чем 45 лет. При этом основными понятиями, которыми мы будем оперировать — это законы сохранения в форме Годунова, симметрические
гиперболические по Фридрихсу системы квазилинейных уравнений, эффективный тензор метрических деформаций, конечно-объемная схема Годунова, а также весь спектр задач вычислительной линейной алгебры.
Диссертация поделена на три главы, в первой из которых мы описываем аппарат симметрических гиперболических систем уравнений вида
^(v)S+Bs(v)+o(v)v=o (1)
А = А< > О, Вк = В\,
и основное внимание уделяем способам сведения системы уравнений нелинейной упругости к этому виду.
Важное и очень удобное понятие симметрических гиперболических систем, предложенное Фридрихсом, играет ведущую роль в наших исследованиях. В задачах механики сплошных сред такие системы являются следствием формализации законов сохранения в форме Годунова, основанной на теории термодинамических потенциалов, которые обычно надо считать выпуклыми.
Применяя такой подход для нелинейной теории упругости, нам пришлось столкнуться с проблемой вычисления матриц коэффициентов квазилинейной системы (1), для решения которой был предложен эффективный алгоритм для достаточно общего случая. Попутно при разработке этого алгоритма мы смогли получить наглядное подтверждение условий локальной корректности задачи Коши для системы нелинейной упругости, которые были ранее предложены С. К. Годуновым. Предложенный алгоритм так же позволяет привести систему уравнений теории упругости к характеристическому виду с явным вычислением характеристических скоростей и системы собственных векторов. Эти векторы нам оказались нужны только в одномерном случае, даже при решении многомерных задач.
Достаточно неожиданным фактом для нас стало то, что на данный момент нам не удалось в общем случае систему уравнений нелинейной упругости в лагранжевых координатах привести к форме Годунова, например, как это сделано в эйлеровых координатах. Однако нам удалось это сделать в предположении постоянства некоторых величин. Другими словами, нам удалось осуществить такое приведение локально. И вообще говоря, исходную нелинейную систему упругости'мы можем представить в виде (1) так же только локально, в некоторой окрестности ее решения. Из-за этого с некоторого момента наших исследований мы отказались от модели нелинейной упругой
среды, как системы дифференциальных уравнений. И фактически стали исследовать поведение новой дискретной модели.
Такая модель представляет собой структуру, состоящую из дискретных элементов, внутри каждого из которых среда описывается своей собственной системой симметрических гиперболических уравнений. Движение границ и напряжение на этих границах рассчитываются по возникающей при этом задаче Римана о распаде разрыва. После этого, внутреннее термодинамическое состояние такой ячейки может быть вычислено по точным нелинейным законам сохранения.
Вторая глава работы посвящена уже непосредственно численным алгоритмам и вычислительным экспериментам. Заметим, что с точки зрения приложений, в данной работе нас главным образом интересуют задачи высокоскоростного деформирования металлов, поэтому в первую очередь нас интересовало поведение нашей модели при описании процессов с разрывами или большими градиентами. При этом, для получения численного решения мы используем конечно-объемную схему Годунова с приближенным решением задачи Римана о распаде разрыва и хорошо зарекомендовавшую себя при счете подобных экстремальных задач в газовой динамике. Отметим, что изложенная выше идеология дискретной модели по своей сути является не чем иным, как реализацией схемы Годунова.
В конце главы мы приводим ряд расчетов простейших одномерных задач, демонстрирующих поведение модели и численного алгоритма при счете разрывных решений динамики деформируемого твердого тела.
В третьей главе мы расширяем область применимости нашей модели, описывающей только упругие деформации, до описания упругопластических деформаций. Способов описания пластических деформаций на данный момент существует большое количество, что говорит о том, что наиболее универсального подхода пока не создано. В частности, в этой работе мы применяем подход Максвелла, когда изотропная среда в отсутствии какого-либо макроскопического перемещения и без притоков тепла от ее элементов меняет свое напряженное состояние так, что при этом в ней убывают касательные напряжения. Для этого мы используем понятие эффективного тензора деформации, предложенного С. К. Годуновым, и применяем такую модель упругопла-стической среды для расчета решений в задачах взрывного деформирования металлов в одномерном и двухмерном случаях.
Так же важно заметить, что к основным инструментам в настоящей ра-
боте необходимо отнести алгоритмы линейной алгебры. В большом объеме задействованы такие стандартные алгоритмы, как сингулярного разложения матриц, решения системы линейных уравнений и полная задача на собственные значения. В связи с этим еще раз очень важно подчеркнуть, что мы работаем с симметрическими матрицами, для которых разработаны весьма эффективные и достаточно надежные алгоритмы линейной алгебры. Они задействованы как в процедуре вычисления матриц коэффициентов, так и при реализации разностной схемы для системы (1).
Симметрические гиперболические системы
Будем рассматривать квазилинейные системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Такая система может быть записана в виде где (п х п)-матрицы коэффициентов А и Bk зависят от х = (xi,X2,Xz), t и u = (ui, 1X2,. .., ип). По двойному индексу предполагается суммирование. Поскольку в приложениях, которые нас интересуют, матрица А является невырожденной, то система может быть разрешена относительно du/dt:. где Ск = А 1Вк. Из всего этого множества квазилинейных систем нас будут интересовать такие системы, для которых задача Коши с достаточно гладкими коэффициентами и начальными данными на плоскости t = 0 является локально корректной. Известно, что такими являются гиперболические системы уравнений. В настоящее время используется следующее понятие гиперболичности. На самом деле, можно показать, что условие гиперболичности означает существование в пространстве искомых функций базиса (11:12,..., 1п), составленного из левых собственных векторов матрицы М. Очевидно тогда, что также существует базис(гі,Г2,..., rn), составленный из правых собственных векторов и выполняются следующие соотношения: Другими словами, строки матрицы Л-1 являются левыми собственными векторами, а столбцы матрицы Л — правыми. Например, для двух независимых переменных t и х гиперболичность позволяет систему (1.2.1) записать в характеристической форме
В скобках стоит производная функции unotB направлении dx/dt = А&. Это направление называется характеристическим. Самое простое гиперболическое уравнение первого порядка — уравнение переноса В качестве других известных примеров можно прршести систему уравнений гидродинамики, теории упругости, систему уравнений Максвелла и т. д. Вообще же гиперболические уравнения появляются всюду, где происходят процессы распространения информации с конечной скоростью. Ясно, что когда все корни характеристического уравнения различны, то всегда существует полный базис из собственных векторов. В случае же кратных корней, этого утверждать нельзя. Поэтому важным подклассом среди гиперболических систем являются симметрические -гиперболические системы по Фридрихсу (Friedrichs, 1954) ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система квазилинейных уравнений, (1.2.1) называется симметрической t-гиперболической по Фридрихсу, если выполнены следующие условия т. е. матрицы А, Вк являются симметричными, а матрицы А к тому же положительно определена.
Сразу заметим, что в силу симметричности матриц и положительной определенности матрицы при d/dt, полная обобщенная задача на собственные значения ХА+/. всегда имеет вещественные характеристические корни Л и полную систему левых (правых) собственных векторов li,l2,... ,1а-Матрица составленная из столбцов правых собственных векторов будет следующая где U — матрица ортогональных собственных векторов симметричной матрицы А ЇМА Ї, М = ркВк- Поскольку А — А1 0, то А ъ всегда существует и единственна. Например, ее можно вычислить по формуле Л" = VT, VJ, где УЕУТ — сингулярное разложение симметричной матрицы А. На важность определения Фридрихса для задач математической физики впервые обратил в 1961 году С. К. Годунов в работе [Годунов, 1961), в которой он рассматривает один класс квазилинейных систем. Системы уравнений принадлежащие, описываемому классу, имеют вид
Условия выпуклости уравнения состояния и корректности задачи Коши
Как мы уже успели убедиться, мы должны наложить на функцию Ф требование выпуклости по переменным Cij для того, чтобы обеспечить гиперболичность системы (1.1.1), другими словами, корректность задачи Коши.
Надо сказать, что с ошибкой такие условия выпуклости были приведены в монографии (Годунов, 1978; Годунов, Роменский, 1998), и сам С. К. Годунов с некоторого времени это неоднократно подчеркивал. Ниже, используя результаты предыдущего раздела мы наглядно доказываем условия, которым должна быть подчинена функция Ф.
Выпуклость функции Ф эквивалентна положительной определенности матрицы [ФСцсш„]- Из определения положительной определенности и из формулы (1.2.18) сразу же получаем, что [ с стп} 0 тогда и только тогда, когда Q 0. Следовательно достаточно исследовать вопрос положительной определенности матрицы Q. Напомним ее вид где Матрица Q перестановкой строк и столбцов может быть представлена следующим образом что в данном случае соответствует умножению исходной матрицы слева и справа на Pi и Р/ соответственно, где Pi — ортогональная матрица. Следовательно, обе матрицы Q и P\QPJ будут одновременно либо положительно определены, либо нет. Матрица Pi имеет вид
Чтобы условия на положительную определенность матрицы Q стали совсем прозрачными можно сделать дополнительное ортогональное преобразование Рг строк и столбцов матрицы. Тогда получим, что положительная определенность Q будет эквивалентна положительной определенности следующей матрицы
Заметим, что мы так же почти полностью определили спектр матрицы [Фсу-cronL если только было известно сингуляное разложение матрицы С. Он состоит из шести чисел вида (Ф + Ф )/(кі 4- kj), (Ф — Ф .)/(/сг- — kj) и трех собственных значений матрицы [Ф -]. Этот факт будет нами в дальнейшем использован при нахождении характеристик в одномерном случае.
Термодинамическое состояние вещества характеризуется действующим деформациями С (напряжениями т), плотностью р или удельным объемом V, температурой Т или удельной внутренней энергией Е. Соотношение, определяющее связь между этими параметрами, называют уравнением состояния (УС) данного вещества.
В теории упругости в качестве УС используют внутреннюю энергию объема, который до деформации был равен единице. Для ее обозначения мы ввели букву Ф. Напомним, что Ф связана с удельной внутренней энергией Е формулой Ф — роЕ. Таким образом в общем случае можем написать
Обычно, поскольку р = ро/ det С, то зависимость от р включают в зависимость от Cij и вместо (1.3.1) используют Ф = Ф(сц, С21,..., СзЗ) S). Однако, ни одна физически осмысленная интерполяционная формула для Ф в последнем
Ниже в этом разделе мы в этом убедимся и будет показано, что для правильной постановки задачи, плотность р все-таки необходимо включить в число независимых переменных и использовать уравнение состояния в виде (1.3.1). Более того, в силу инвариантности внутренней энергии от поворотов упругого тела как целого, зависимость Ф от су- может быть еще уточнена. На математическом языке эта инвариантность выражается в независимости значения Ф при произвольных ортогональных преобразованиях тензора С. Другими словами, функция Ф может зависеть только от ортогональных инвариантов тензора С. Поскольку для матрицы третьего порядка таких независимых инвариантов может быть только три J i, J 2 з 5 т0 можем написать
Однако, сразу заметим, что поскольку р = ро/ det С, то р уже является ортогональным инвариантом тензора С, поэтому нами ниже будет использован следующий достаточно общий вид уравнения состояния где /0, J i, J 2-должны быть независимыми ортогональными инвариантами тензора С.
Для некоторых простейших сплошных сред зависимость (1.3.1) сама по себе не сложна. Например, для идеального газа она имеет.вид
Величина 7 называется показателем адиабаты. Для такого газа удельная внутренняя энергия и давление выражаются формулами
Энтропийную функцию обычно берут в виде s(S) = eslCv, где величина с называется удельной теплоемкостью при постоянном объеме. Двучленное уравнение состояния, являющееся несложным обобщением уравнения состояния идеального газа, имеет вид где величины ро) со есть соответственно начальная плотность среды и скорость звука в среде. Давление через плотность и энтропию выражается так: Этим эмпирическим уравнением состояния можно пользоваться при изучении процессов, происходящих в воде, а также в металлах при высоких давлениях (Годунов, и др. 1976; Зельдович, Райзер, 1966). Заметим, что уравнение состояния идеального газа получается как частный случай двучленного уравнения, если положить со = 0. pQ = 1. Показатель 7 называется показателем адиабаты и для металлов его обычно берут равным 4 {Зельдович, Райзер, 1966; Баум и др., 1959). Поскольку мы главным образом будем интересоваться вопросами высокоскоростного нагружепия металлов, когда среда успешно описывается уравнениями газовой динамики, следовательно, за основу модельного УС будет вполне логично взять уравнение (1.3.3). Далее, естественным шагом в сторону усложнения УС упругой среды будет сконструировать УС в виде линейной комбинации удельной внутренней энергии газовой составляющей и упругой составляющей Поскольку р = —(Eg)v, то проинтегрировав уравнение (1.3.3) по V, получим следующую формулу для Eg Такое УС игнорирует касательные напряжения в среде. Вклад в касательные напряжения мы будем делать за счет упругой составляющей УС, которое предлагается взять в следующем виде
Приближенное решение задачи о распаде произвольного разрыва для консервативной системы уравнений
Поскольку конструирование точного решения задачи Римана о распаде разрыва для нелинейной теории упругости является достаточно дорогостоящей процедурой, то для нахождения численного решения при помощи схемы Годунова актуальными становятся те ее модификации, которые используют приближенное решение задачи Римана. Среди них основными являются численные методы типа Курапта-Изаксона-Риса или КИР (Courant et al, 1952), Роу (Roe, 1981), Ошера (Engquist, Osher, 1981), Хартена-Лакса-ван Лира или HLL (Harten, Lax, van Leer, 1983). Существуют также различные модификации метода HLL, в частности, метод HLLE (Einfeldt, 1988) и HLLC (Того, Chakroborty, 1994; Того et al, 1994)- Подробное описание этих методов можно найти в монографиях (Куликовский, и др., 2001; Того, 1999).
В методе Ошера решение задачи Римана строится с использованием только волн Римана. Методы типа КИР и Роу основаны на приближенном решении задачи о распаде разрыва, которое строится на основе использования различным образом линеаризованных гиперболических систем уравнений. В этом случае решение состоит только из элементарных решений типа бегуїцих разрывов, которые отделяются друг от друга областями постоянных значений величин.
В методе HLL используется определенная структура спектра линеаризованной задачи, когда собственные числа располагаются следующим образом Аі = Ах,, Аг = ... = An_i = Ао, An = Ад. При этом учитывают два основных разрыва, которые описывают распространение сильных особенностей типа ударных волн, и не рассматривает разрывы типа контактных или тангенциальных. В уточненном методе HLLC производится дополнительный учет цетрального разрыва движущегося со скоростью AQ.
Ниже будет предложен способ приближенного решения задачи Римана, который является обобщением HLLC-метода на более сложную структуру спектра как, например, в теории упругости. Сразу заметим, что вообще говоря, предлагаемый способ как и HLLC может быть применен к гиперболическим системам имеющим консервативную форму, поскольку использует соотношения на разрывах, являющихся следствием интегральной формы записи законов сохранения.
Прежде, чем перейти к описанию предлагаемого алгоритма, нам сначала удобно рассмотреть стандратную схему решения задачи о распаде разрыва, как это делается, например, в методах КИР или Роу для симметрической гиперболической системы уравнений.
Рассмотрим квазилинейную симметрическую форму записи (2.1.2) гиперболической системы (2.1.1) в новых обозначениях J q = A, #qq = В с (п х п)-матрицами А = А1 0, В = В1, и q — (#i,.... qn) — вектором неизвестных. И зададимся целью решить для нее задачу Рішана, т. е. задачу Коши с кусочно-постоянными начальными данными
Для приближенного построения задачи о распаде разрыва обычно используют ту или иную аппроксимацию матриц коэффициентов A(q), P(q) и рассматривают близкую задачу с постоянными коэффициентами с теми же начальными данными (2.1.4).
Кандидаты для матриц А, В, которые тут же приходят в голову могут быть такими A = {AL + AR)/2 или A = A((qL + qE)/2), аналогично для матрицы В. Более подробно о выборе матриц А, В см. (Куликовский и др., 2001; Того, 1999; Roe, 1981)
Из курса линейной алгебры известно, что любые две симметричные матрицы А 0, В одна из которых положительно определена, всегда одновременно могут быть приведены к диагональному виду. Например, домножением справа на матрицу Л = A ?V, а слева на матрицу Лт = VJA i, где V ортогональная матрица, составленная из собственных векторов симметричной матрицы А ЇВА 2 (чтобы найти А ъ для А = А1 0 достаточно знать ее сингулярное разложение А РНиР1, тогда А ? = РЕ-2рт).
Другими словами после замены переменных w = VJA2q — A_1q линейная система (2.1.5) с постояннымикоэфициентами запишется в канонической форме
Новые неизвестные w = (wi,... ,wn) называются римановыми инвариантами, a d{ — характеристическими скоростями и равняются скоростям распространения звуковых волн в среде. Хорошо известно, что общее решение системы (2.1.6) дается формулами
Прямые х — dit = 0 называются г-ым семейством характеристик системы (2.1.5). Формула общего решения говорит о том, что римановы инварианты сохраняют первоначальное значение вдоль характеристик своего семейства. Другими словами, каждый риманов инвариант W{ является бегущей волной со скоростью di (волны Римана). В силу того, что начальная функция в задаче Римана является ступенчатой функцией, то волны Римана Wi также являются ступенчатыми функциями.
Компоненты решения W = (Wi,...,Wn) задачи Римана для системы (2.1.6) в областях, примыкающих к контактному разрыву (пунктирная линия на рис. 2.1) для любого t 0 находятся по формулам где (wL1,..., wLn) = wL = A_1qL, (%,..., wRn) =wfi- Л-1сід, к - скорость движения первоначального разрыва.
Решение исходной системы в каждой точке области строится как линейная комбинация римановых инвариантов Q = AW, и представляет собой области постоянных параметров, разделенных п скачками (см. рис. 2.1). При этом оказывается, что QL = QR.
Мы же в данной работе используем несколько более точную аппроксимацию квазилинейной системы (1.2.10), когда в каждом полупространстве х 0 и х 0 матрицы коэффициентов будут свои Аь = A(qL), Вь = B(qL)
Задача о распаде разрыва в этом случае ставится так. Необходимо определить движение контактной границы и потоки величин через границы, когда в соприкосновение приведены две среды, описываемые различными системами линейных гиперболических уравнений. Например, такой подход может быть применим, когда рассматриваются две среды с принципиально различными агрегатными состояниями вещества (жидкость и твердое тело и т.д.). Чтобы решить задачу о распаде разрыва в такой постановке необходимо в каждой из подобластей перейти к римановым инвариантам, по схеме описанной выше, и воспользоваться их свойством постоянства вдоль соответствующего семейства характеристик. После чего в областях, примыкающих к контактному разрыву, двигающемуся со скоростью с, часть компонент вектора WL = (WLI,...,WLTI), отвечающих приходящим на границу характеристикам dn к находится по формулам Wn = и ц, аналогично для компонент вектора WR = (WRI ..., WRn): WRi = wRi, если dRi x. Оставшиеся компоненты не могут быть выбраны произвольно и должны определятся из соотношений на разрыве (условия Рэнкина-Гюгонио), которые являются следствием интегральной формы записи законов сохранения (2.1.1) и в нашем случае имеют вид He ограничивая общности можем считать, что мы работаем в системе координат, в которой первоначальный разрыв остается неподвижным х = 0. Например, такими координатами являются лагранжевы координаты среды, которые используются всюду в этой работе. В этом случае условия (2.1.7) выглядят наиболее просто и для римановых инвариантов Wz,, WR примут вид где Ajr = AL2Vl, AR = AR2VR. Дополнив это векторное равенство тривиальными скалярными равенствами
Тензор эффективных упругих деформаций. Условия совместности деформаций
Приведем необходимые сведения для построения модели упруго-пластической среды. Пусть в главных осях тензор напряжений а имеет вид другими словами, существуют такая ортогональная матрица U, det(U) = 1, что
Тогда величина касательных напряжений на всевозможных площадках определяется ориентацией этих площадок относительно главных осей напряженного состояния и величиной разностей 7i — о"2, о"2 — тз5 сг3 — сгі. Поэтому убывание касательных напряжений можно описывать как убывание разностей (Т{ — jj. При этом за величину, характеризующую интенсивность касательных напряжений принимают величину а ее скорость убывания характеризуют при помощи некоторого характерного времени г, называемого временем релаксации касательных напряжений. Параметр т нельзя считать постоянным. Оно зависит от напряженного состояния и температуры. Формулы, выражающие г через параметры среды, имеют примерно следующий характер: т = тоехр(\(а(і, S)/T), где S — энтропия, Т — температура, W( Jd, S) — энергия активации процессов, происходящих в кристаллической решетке и приводящих к релаксации касательных напряжений.
Так, например, для металлов при нормальных условиях характерное время релаксации касательных напряжений будет порядка нескольких часов, месяцев или даже лет. При напряжениях, превышающих так называемый предел текучести, оно резко убывает. В процессах, сопровождающих деформацию металлов под воздействием взрывчатых веществ, время релаксации порядка одной — десяти микросекунд. В расплавленных металлах и жидкости время релаксации порядка Ю-12 секунды. Убыль разностей главных напряжений хорошо моделируется при помощи дифференциальных уравнений, которые имеют примерно следующий вид где а = (о\ -\- 02 + оз)/3. Например, одна из возможных форм такова
Однако, поскольку наша модель сформулирована не в терминах напряжений Oij, то нам удобно использовать несколько иную, чем описанную только что, математическую формализацию закона релаксации касательных напряжений. Но прежде чем перейти к описанию этой формализации, напомним понятие — тензора эффективной упругой деформации (Годунов, 1978).
Чтобы определить тензор деформации, мы можем воспользоваться следующей вычислительной процедурой. По известным напряжениям aij и температуре Т, используя уравнение состояния Ф(р, сц,..., сзз, S) (решив нелинейную систему (1.3.13)) мы сможем найти деформации с . Тензор С, определенный при помощи такой процедуры по измеренному напряженному состоянию, носит название тензора эффективной упругой деформации. Таким образом изменение эффективной деформации может происходит при отсутствии реальной геометрической деформации среды, без перемещения ее точек.
Такая ситуация приводит нас к раздвоению понятия тензора деформации. Один из них связан с напряжениями а, и почти не связан с движениям точек среды, другой наоборот — связан с изменением формы среды и может не отражать реальных напряжений в среде.
Сказанное выше хорошо демонстрируется следующей задачей о совместности деформаций. Пусть нам известно распределение некоторого тензора С(хі,Х2,Хз) = [CJJ], detC 0. Тогда мы обладаем также распределением обратного тензора A(xi,X2,x ) — [а -] = С-1. Спрашивается — можно ли по заданным а г( і) 25 з) однозначно восстановить начальные координаты ь г5 з некоторого отображения хі = ХІ(І, 2, 3) так, что
Иными словами, будет ли данная система, состоящая из девяти уравнений, совместна? Оказывается, что вопрос о совместности для тензорного поля 4( 1, #2, хз) решается достаточно просто {Годунов, Роменский, 1998). Для того, чтобы система (3.1.2) была совместна необходимо и достаточно выполнение девяти равенств называется тензором Бюргерса В = [6 ], построенного по тензорному полю А. Таким образом, условие совместности для тензора А состоит в равенстве нулю тензора Бюргерса В, построенного по А. Аналогичные условия для малых деформаций носят название условия совместности Сен-Венана. Важно отметить, что формулировка условий совместности в терминах симметричного тензора деформации G — (ССт) г = А1 А является весьма сложной и трудно проверяемой (Годунов, 1978). Описанная задача о совместности деформаций математическим языком выражает тот постулат, что чисто упругое тело после снятия нагрузки принимает исходную форму. Ясно, что для того, чтобы некоторый тензор С описывал упругую деформацию, то обратный к нему тензор А должен удовлетворять условиям совместности. Естественно, что эффективный тензор деформации таким условиям удовлетворять не обязан. Более того тензоры С не удовлетворяющие условиям совместности являются кандидатами для описания пластических деформаций.
Условимся далее обозначение С использовать для тензора эффективной упругой деформации, а реальную деформацию среды будем обозначать тен-зором С с элементами с -. Ясно, что в среде, обладающей свойством релаксации касательных напряжений, эффективный тензор деформации С будет не совпадать с тензор деформации С, подсчитанному по формулам ( = dxi/d j реального перемещения точек среды.
Теперь мы можем перейти к описанию закона релаксации касательных напряжений, который мы сформулируем в терминах сближения главных значений тензора эффективной упругой деформации С.
