Введение к работе
(Актуальность темы. Математическое моделирование некоторых ризических явлений приводит к постановке задач для дифференциальных уравнений в частных производных с нелокальными условиями вместо краевых и начальных, в частности, с интегральными условиями.
Интегральные условия возникают в тех случаях, когда область ризических характеристик рассматриваемой среды недоступна для непосредственного измерения, но возможно получение дополнительной информации о характере процесса в виде какого-либо усреднения.
В работе (О некоторых проблемах современной теории шфференциальных уравнений //Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16. N2 11. С.1221-1228) А.А.Самарский приводит постановку задачи с штегральным условием для уравнения теплопроводности и отмечает, что юдобные задачи возникают при изучении некоторых процессов, іроисходящих в плазме. Впервые задачу с интегральным условием >ассмотрел Cannon J.R. (The solution of the equation subject to the pecification of energy //Quart. Appl. Math. 1963. V.21. № 2. P. 155-160). Іадача Самарского с интегральным условием для параболических 'равнений изучена в работах Н.И.Ионкина. Л.И.Муравей и ^.В.Филиновский рассмотрели модель некоторого технологического процесса, которая также может быть описана параболическим уравнением : интегральными условиями.
Естественным оказывается постановка задач с интегральными словиями и для гиперболических уравнений. Ряд статей Л.С.Пулькиной юсвящены этой теме.
В предлагаемой работе рассматриваются некоторые математические «одели процесса переноса влаги в капиллярно-пористых средах. Одним из іервьіх этот процесс с физической точки зрения рассмотрел А.В.Лыков. С юмощью методов термодинамики необратимых процессов им было
получено уравнение влагопереноса второго порядка. Введя безразмерные переменные, А.М.Нахушев свел это уравнение к вырождающемуся гиперболическому уравнению, известному сейчас как уравнение Лыкова-Бицадзе.
Еще одной моделью процесса влагопереноса в почвенном грунте является уравнение третьего порядка:
Аихху +Вихх +Сиху +аих +buy +cu = f(x,y).
Существенный вклад в исследование моделей влагопереноса внес А.М.Нахушев. Для уравнений влагопереноса им были поставлены задачи с интегральными условиями, но при исследовании этих задач рядом авторов интегральное условие обычно заменялось на некоторую конечную сумму.
В связи с тем, что задачи с интегральными условиями возникают прк моделировании многих различных физических процессов, но исследование проводились для случая конечных сумм, возник интерес к обосновании корректности постановки задач с интегральными условиями. Поэтом} отыскание условий существования и единственности решений подобны? задач является достаточно важным.
Основная цель работы. Обоснование существования и единственное^ решений задач с интегральными условиями для уравнений влагопереноса Разработка метода нахождения приближенных решений.
Общая методика исследования. В работе используется аппарат теорш дифференциальных уравнений, функционального анализа, специальны: функций, методы априорных оценок, метод Галеркина.
Научная новизна. Для каждой из поставленных задач доказана теорем; существования единственного непрерывно зависящего от данных задачі решения. Получены условия на коэффициенты уравнений и данные задач
при которых решения принадлежат соответствующему функциональному пространству. Предложен алгоритм построения приближенного решения.
Практическая и теоретическая значимость. Разработанные методы, опирающиеся на доказанную в работе корректность постановки исследуемых задач, могут быть использованы при нахождении приближенных решений задач с интегральными условиями для широкого класса уравнений в частных производных.
Апробация работы. Основные результаты и содержание работы докладывались:
на научных семинарах кафедры уравнений математической физики в самарском госуниверситете (руководитель- доктор физико-математических наук, профессор О.П.Филатов);
на Международном семинаре «Дифференциальные уравнения и их приложения». - Самара, 1996год;
на Всероссийской молодежной научной конференции « ХХШ Гагаринские чтения».- Москва, 1997 год;
на седьмой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи».- Самара, 1997 год.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ [1 -5].
Объем и структура работы. Диссертация содержит 67 страниц текста и гастоит из введения и двух глав, разбитых на 6 параграфов. Библиографический список литературы содержит 39 наименования.