Введение к работе
Актуальность теми. Одно из основных направлений в математической экономике занимает моделирование задач оптимального управления. Строгий анализ таких моделей стал возможен в конце 50-х годов, когда Л.С. Понтрягин и его ученики создали теорию оптимального управления. Этот факт, как и работы Л.В. Канторовича, Т. Купманса, Дж. Данцига по созданию линейного программирования и В.В. Леонтьева по развитию моделей межотраслевого баланса, показывают важность разработки адекватного математического аппарата для изучения и применения соответствующих моделей. Анализ задач оптимального управления в математической экономике напрямую связан с изучением необходимых условий экстремума первого порядка для канонических задач оптимального управления при наличии фазовых и смешанных ограничений. Очень важный результат в этой области Оыл достигнут в 1962г. А.Я. Дубовицким и А.А. Милютиным, которые получили необходимые условия экстремума в виде уравнения, записанного в сопряженном пространстве. Из него удалось вывести как частные случаи известные ранее необходимые условия экстремума для различных классов задач (теорема Куна-Таккера, принцип максимума Яонгрягина и др.).
Суть схемы Дубовицкого - Милютина состоит в апггроксимэции выпуклыми конусами некоторого множества, построенного с помощью целевой функции, и ограничений в окрестности исследуемой точки. Необходимым условием экстремума является, пустое пересечение указанных конусов. Далее к конусам применяется теорема отделимости, которая приводит к линейному уравнению в сопряженном пространстве, названному авторами схемы уравнением Эйлера. Если некоторое ограничение не имеет корректной аппроксимации выпук-
лыми конусами, то авторы рекомендуют представлять его в виде объединения подмножеств, для которых такие аппроксимации существуют. Здесь необходимым условием экстремума является пустое пересечение всех комбинаций конусов, представляющих такие "неправильные" множества, с конусами "правильных" множеств. Вообще говоря, эта рекомендация может привести к необходимости рассматривать бесконечное число уравнений Эйлера, если хотя бы одно из "неправильных" множеств допускает только такие представления, в которых содержится бесконечное число "правильных" подмножеств. Кроме того, если в задаче более одного ограничения без внутренних точек, то в схеме Дубовицкого - Милютина следует рассматривать аппроксимацию пересечения этих ограничений.
Как показано в диссертации, привлечение топологического понятия связности позволяет обойти эти трудности для одного класса задач на условный экстремум. При этом в точке экстремума или существует нетривиальное решение уравнения Эйлера, или выполняется некоторое включение для функционалов из сопряженного пространства. Отметим, что в модифицированной схеме, как и в схеме Дубовицкого - Милютина, аппроксимирующими множествами остаются выпуклые конусы, т.е. она не требует привлечения более тонких аппроксимаций типа локальных шатров В.Г. Болтянского или касательных конусов Ф. Кларка.
Как показано в диссертации, данная модификация схемы Дубовицкого - Милютина позволяет изучать некоторый класс моделей оптимального управления в математической экономике, который относится к негладкой оптимизации - одной из интенсивно исследуемых ветвей негладкого анализа. Этот класс характеризуется тем, что в любой момент времени воздействие на фазовые переменные
оказывают лишь некоторые управляющие воздействия - так называемые лимитирующие факторы. Подобные процессы также широко распространены в биологии (принцип Либиха) и экологии.
Цель работы. Моделирование задач оптимального управления в математической экономике с использованием необходимых условий экстремума первого порядка для задач оптимизации в отделимом локально выпуклом линейном топологическом пространстве, полученных с помощью методов общей топологии.
Методы исследований. В работе использованы методы общей топологии, функционального анализа, дифференциальных уравнений, математической экономики, теории экстремальных задач (в частности, теории оптимального управления).
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах автора. Использование топологического понятия связности для моделирования задач оптимального управления в математической экономике позволило получить новые необходимые условия экстремума первого порядка. Они показывают, что в точке экстремума вместо уравнения Эйлера может выполняться некоторое включение для функционалов из сопряженного пространства. Применение этих условий к задаче оптимального управления в математической экономике, где производственная функция является динамическим аналогом производственной функции Леонтьева, позволило получить обобщение принципа максимума Понтрягина для указанного класса задач.
Практическая ценность. Она определяется прикладным характером основных постановок задач оптимального управления в математической экономике, рассмотренных в диссертации, и важностью решенных прикладных задач. Так, например, результаты диссерта-
ции пригодны для анализа на оптимальность траектории развития экономики с производственной функцией, которая является динамическим аналогом функции Леонтьева. Эти же результаты применимы и для моделирования тех управляемых процессов в биологии и экологии, для которых справедлив принцип Либиха.
Апробация работы. Основные положения диссертации излагались на научных семинарах отдела проблем моделирования ВЦ РАН (1985-1996), кафедры оптимального управления ВМиК МГУ (1986), 2-й Всесоюзной школе "Прикладные проблемы управления макросистемами" (Тамбов, 1987), 3-й Всесоюзной школе "Прикладные проблемы управления макросистемами" (Апатиты, 1989), семинаре "Моделирование развивающихся систем с изменяющейся структурой" (Львов 1990), 1-го Всесоюзного семинара "Прикладные проблемы моделирования и оптимизации" (Львов, 1991), 4-й Международной школе "Прикладные проблемы управления макросистемами" (Алма-Ата, 1992), школе "Проектирование автоматизированных систем контроля и управления сложными объектами" (Туапсе, 1992).
Публикации. Основные положения диссертации содержатся в монографии [I], которая вышла в свет в апреле 1996 г. Всего по теме диссертации опубликовано шесть печатных работ [1-6], список которых приводится в конце автореферата.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. За введением следует 0, который содержит краткую сводку необходимых сведений по топологии связных множеств. Первая глава разбита на 3 параграфа, вторая -на 2, третья - на 3, четвертая - на 2. Работа выполнена на 255 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 82 наименования.