Моделирование пространственных и временных закономерностей геодинамического процесса Долгая Анна Андреевна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Современное состояние проблемы исследования закономерностей геодинамического процесса 10

1.1. Известные математические методы исследования закономерностей сейсмической активности 10

1.2. Известные математические методы исследования закономерностей вулканической активности 31

1.3. Математические и физические представления о свойствах геосреды и ее движении 42

1.4. Выводы к главе 1 45

Глава 2. База данных сейсмических и вулканических событий как основа для моделирования закономерностей геодинамического процесса 47

2.1. Источники данных 47

2.2. Структура базы данных 57

2.3. Информационно-вычислительная система «EQV» 62

2.4. Статистический анализ базы данных 66

2.5. Выводы к главе 2 78

Глава 3. Математические методы анализа временных и пространственно временных закономерностей сейсмической и вулканической активности 79

3.1. Математические методы исследования периодичности геодинамического процесса 79

3.2. Математический метод «квазифазовая плоскость» моделирования временных закономерностей сейсмической активности 92

3.3. Математическое моделирование миграции геодинамической активности 99

3.4. Результаты исследования пространственно-временных закономерностей геодинамического процесса 112

3.5. Выводы к главе 3 121

Глава 4. Геофизическая волновая модель движения геосреды 123

4.1. Физико-математическая модель движения твердого вращающегося тела 123

4.2. Пути дальнейшего развития волновой модели геодинамического процесса 136

4.3. Выводы к главе 4 138

Заключение 140

Список литературы

• Известные математические методы исследования закономерностей вулканической активности
• Структура базы данных
• Математический метод «квазифазовая плоскость» моделирования временных закономерностей сейсмической активности
• Пути дальнейшего развития волновой модели геодинамического процесса

Введение к работе

Актуальность темы. Важность изучения и прогнозирования землетрясений и извержений вулканов как одних из наиболее значимых для человечества природных катастроф осознана сейчас как научным сообществом, так и властями регионов, отдельно взятых государств и международными организациями. Катастрофическое землетрясение 11 марта 2011 г. в Японии, сильное извержение вулкана Мерапи 5 ноября 2010 г. в Индонезии и вызванные ими разрушения и человеческие жертвы в очередной раз показали, как опасны пробелы в данных о сейсмической и вулканической активности любого региона. Только полная и достоверная информация о происходящих геодинамических процессах позволяет надеяться на уменьшение негативных последствий природных катастроф.

Одной из первых важных особенностей сейсмичности и вулканизма, на которую исследователи достаточно давно обратили внимание, было свойство повторяемости, миграции и группируемости сейсмических и вулканических событий во времени, в пространстве и по величине энергии: для землетрясений – выделяемой упругой энергии, для извержений – энергии, заключенной в объеме выбрасываемого на поверхность земли вулканического материала.

Подход к проблеме с достаточно общих позиций, как правило, позволяет по-новому подойти как к осмыслению стоящих перед наукой задач, так и к их постановке. Изучение эффектов повторяемости, миграции и группируе-мости сейсмических и вулканических событий, проводимое на «глобальном», планетарном уровне, приобретает для геодинамики первостепенное значение. В свете современных требований такое исследование может быть выполнено только с использованием современных информационно-вычислительных технологий, которые позволяют осуществлять обработку максимально полных списков сейсмических и вулканических событий планеты и, как следствие, проводить изучение и выявлять закономерности геодинамического процесса с целью построения его модели.

Цель работы состоит в изучении временных, пространственно-временных и энергетических закономерностей сейсмической и вулканической активности планеты средствами информационно-вычислительных технологий и баз данных и построении геофизической модели движения геологической среды.

Объектом исследования являются наиболее тектонически активные пояса планеты: окраина Тихого океана, Альпийско-Гималайский пояс и Сре-динно-Атлантический хребет, региональный и планетарный сейсмический и вулканический процессы и их основные закономерности.

Предметом исследования является математические и физические модели, описывающие временные, пространственно-временные и энергетические закономерности сейсмичности и вулканизма, а также математические

методы исследования таких закономерностей, согласующиеся с представлениями о блоковом строении геосреды и волновых свойствах геодинамического процесса.

Задачи исследования. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Выполнен обзор математических моделей сейсмического и вулканического процесса и их анализ с целью разработки новых математических методов исследования временных и пространственно-временных закономерностей сейсмического и вулканического процессов.

2. Создана максимально полная база данных сейсмических и вулканических событий, произошедших в течение последних тысячелетий в пределах наиболее тектонически активных поясов Земли: окраины Тихого океана, Альпийско-Гималайского пояса и Срединно-Атлантического хребта.

3. Разработаны новые и модифицированы существующие математические методы исследования временных и пространственно-временных закономерностей сейсмического и вулканического процессов. Создан комплекс информационно-вычислительных систем, позволяющих применять эти методы анализа геодинамических закономерностей.

4. Выявлены наиболее общие пространственно-временные и энергетические закономерности геодинамического (сейсмического и вулканического) процесса с использованием созданной базы данных и разработанных автором новых вычислительных методов.

5. С учетом выявленных закономерностей усовершенствована созданная ранее физико-математическая модель движения блоковой вращающейся среды с целью построения геофизической модели геологической среды (геосреды), в рамках которой оказывается возможным дать физическое объяснение ее некоторым известным свойствам.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались следующие методы: математический аппарат теории вероятностей; методы вычислительной математики, статистической обработки результатов измерений; методы спектрального и спектрально-корреляционного анализа временных рядов; методы статистической физики; общие методы математического моделирования; принципы и методы построения реляционных баз данных; общие принципы алгоритмизации, структурного и объектно-ориентированного программирования.

Защищаемые положения:

1. Математическая, основанная на теории Марковских последовательностей, модель процесса миграции очагов землетрясений и извержений вулканов в пределах тектонически активных поясов Земли.

2. Численные методы исследования пространственно-временных закономерностей распределения (миграции) сейсмической и вулканической активности (метод ИМСиВА) и временных закономерностей сейсмического процесса (метод «квазифазовая плоскость»).

3. Алгоритмическая и программная реализация совокупности используемых вычислительных методик, ориентированная на кратковременные компьютерные расчеты, что позволяет использовать стандартные пользовательские вычислительные ресурсы для решения рассматриваемых в диссертации геодинамических задач.

4. Геофизическая модель геосреды, в рамках которой находят свое физическое объяснение такие ее свойства, как энергонасыщенность, эмиссия и миграция сейсмической активности.

Научная новизна исследования

1. Впервые составлена база данных, содержащая в едином формате данные о землетрясениях и извержениях вулканов мира за последние 4.1 и 12 тыс. лет соответственно. Формат базы позволяет исследовать особенности распределений сейсмической и вулканической активности в рамках единых представлений с использованием известных и предложенных в работе новых методов.

2. Впервые с помощью методов спектрального и спектрально-корреляционного анализа для сейсмического и вулканического процессов показано, что выявленные нами и другими исследователями периоды образуют кратную последовательность: общий основной Т₀ 250 + 30 лет и кратные ему четные Т₂ 2Т₀ 500 ± 50, Т₄ 4Т₀ 1000 ± 100 и Г₈ 8Т₀ 2000 ± 200 лет периоды. Существование для обоих процессов такого периода Т₀ и кратных ему «четных» периодов Т₂, Т₄ и Т₈ может являться математическим подтверждением замкнутости тектонических поясов планеты друг на друга и служить основанием для рассмотрения и сейсмического, и вулканического процессов составными частями единого волнового геодинамического планетарного процесса.

3. Впервые показано, что миграция и очагов землетрясений, и вулканических извержений является характерным пространственно-временным свойством геодинамического процесса, протекающего в тектонически активных поясах Земли в большом энергетическом (магнитудном) диапазоне.

4. Предложена геофизическая модель движения геологической среды, в основе которой заложены выявленные автором закономерности миграции сейсмической и вулканической активности и сформулированные на их основе представления о векторной сохраняющейся геодинамической величине, физическим аналогом которой может являться момент импульса. В рамках модели впервые дано физическое обоснование таким известным геологическим свойствам геосреды, как ее энергонасыщенность, эмиссия и свойство миграции сейсмической активности.

Область исследования соответствует требованиям паспорта научной специальности ВАК 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» по следующим областям исследований: Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений;

Разработка, обоснование и тестирование эффективных вычислительных методов с применением современных компьютерных технологий; Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента, Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

Теоретическая значимость исследования обоснована тем, что: доказана корректность разработанной математической модели, методики и программного комплекса для исследования пространственно-временных закономерностей сейсмического и вулканического процесса; показана эффективность применения разработанных автором на базе методов анализа временных рядов вычислительных алгоритмов для анализа других многомерных рядов данных, например – каталог катастроф; усовершенствована выявленным в работе физико-геодинамическим параметром модель волнового геодинамического процесса.

Практическая значимость полученных соискателем результатов исследования подтверждается тем, что определены перспективы практического использования математической модели, методик исследования закономерностей геодинамического процесса и комплекса программ при решении фундаментальных задач прикладного значения, связанных, прежде всего, с оценкой сейсмической и вулканической опасности; разработаны и внедрены в учебный процесс кафедры «Информационные системы» ФГБОУ ВО «КамчатГТУ» четыре программы для ЭВМ и одна база данных.

Достоверность результатов исследования обеспечивается применением результатов и методов современной теории вероятности и математического моделирования потоков событий; использованы известные и апробированные методы анализа закономерностей временных рядов и разработан комплекс программ для решения поставленных задач. Показано, что результаты математического моделирования согласуются с данными и расчетами, проведенными другими исследователями.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: Третьей, Четвертой и Пятой научно-технических конференциях «Проблемы комплексного геофизического мониторинга Дальнего Востока России» (Петропавловск-Камчатский, 2011, 2013, 2015); Третьей всероссийской научно-практической конференции «Наука, Образование, Инновации: Пути Развития» (Петропавловск-Камчатский, 2012); XLV, XLVI и XLVII Тектонических совещаниях (Москва, 2013, 2014, 2015); 16-й Российской научно-практической конференции «Инжиниринг предприятий и управление знаниями» (Москва, 2013); Международной конференции «Современные информационные технологии для фундаментальных научных исследований в области наук о Земле» (Петропавловск-Камчатский, 2014, Южно-Сахалинск, 2016); XV и XVI Всероссийских конференциях молодых ученых по математическому моделированию и

информационным технологиям (Тюмень, 2014, Красноярск, 2015); Всероссийской конференции с международным участием «Математика и междисциплинарные исследования – 2016» (Пермь, 2016); Moscow International School of Earth Sciences (Москва, 2016); Всероссийской конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 2016).

Работа выполнялась при частичной поддержке гранта ДВО РАН № 12–III–А–8–164 и грантов РФФИ № 12-07-31215 и № 16-37-00229.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 20 работах в отечественных и зарубежных изданиях, в том числе 3 статьи в журналах, входящих в список ВАК [1-3], 5 статей в рецензируемых журналах [8-12]. Получены три свидетельства о регистрации программ для ЭВМ [4-6] и одно свидетельство о регистрации базы данных [7], приравненных к публикациям, в которых излагаются основные научные результаты. Часть работ выполнена в соавторстве.

Личный вклад автора заключается в составлении исходных списков землетрясений и извержений вулканов [7], в построении модели и разработке метода исследования миграции сейсмической и вулканической активности (метод ИМСиВА) [1, 8, 12, 14, 16, 20], реализации методов исследования временных закономерностей геодинамического процесса [4, 5, 9, 15], разработке структуры базы данных сейсмических и вулканических событий [6, 13], выявлении общих закономерностей геодинамического процесса [3, 11, 17-19]. В работах [2, 10, 20] приведены основные положения ротационной модели движения блоковой геосреды, для построения которой были использованы полученные автором данные о закономерностях геодинамического процесса.

Благодарности. Автор выражает глубокую признательность научному руководителю А.В. Викулину за умелое и чуткое руководство. Автор благодарит Д.Р. Акманову и А.И. Геруса за помощь и всестороннее содействие в проведении исследований и выражает благодарность В.А. Рашидову и сотрудникам кафедры «Информационные системы» за ценные советы и поддержку. Автор благодарит А.Н. Николаева, Е.Ю. Лобанова и А.А. Анкваб за помощь в разработке информационно-вычислительных систем. Автор искренне признателен Г.М. Водинчару и И.В. Мелекесцеву за постоянные консультации в ходе исследования.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка цитируемой литературы и двух приложений. Общий объем работы – 196 страниц, в том числе 39 рисунков, 9 таблиц, включенных в текст, и 361 наименование библиографических ссылок.

Известные математические методы исследования закономерностей вулканической активности

В своих исследованиях авторы работ [Чипизубов, 2001; Гамбурцев и др., 2004] используют гистограммный метод – землетрясения группируются по некому заранее заданному интервалу, и числа событий, попавших в каждый интервал, наносятся на гистограмму. Взаиморасположение пиков на гистограмме дает основание выделять различные периоды активизации или затишья в сейсмическом процессе, протекающем в рассматриваемом регионе.

Гистограммный метод очень часто используется (с некоторыми изменениями) в работах большого числа исследователей для анализа данных о сейсмическом режиме разных регионов за различные промежутки времени, потому что прост в реализации и дает очевидные (буквально) результаты. Однако для анализа больших наборов данных этот метод не подходит, так как он очень требователен к качеству (однородности и полноте) исходного материала, чего в реалиях сейсмических данных для больших регионов и в течение длительных периодов времени достичь очень сложно. Далее приведем некоторые результаты, полученные различными исследователями с помощью гистограммного метода.

В работе [Kawasumi, 1951] проанализированы исторические записи о сильных землетрясениях, происходивших в г. Камакура неподалеку от Токио, и выявлен 69-летний период для сильных землетрясений в районе Южного Канто. В работе [Rikitake, 1977] приведены средние периоды повторяемости землетрясений для различных тектонических зон окраины Тихого океана, значения которых составили от 27.2 (Аляска) до 170 лет (желоб Нанкай). Значение периода для Центральной Америки получено равным 34.5 года. В работе [Suyehiro, 1984] для ряда районов Японии определен период повторения землетрясений, равный 100-150 лет. В исследовании [Tsunoda, 2009] сделан вывод о периодичности повторения сильных землетрясений в пределах тихоокеанского кольца каждые 25-33 года.

Для Анатолийского разлома в Турции в работе [Ambraseys, 1970] сформулирован вывод о том, что периоды повышенной сейсмической активности чередуются с относительно спокойными периодами порядка 150 лет. В работе [Мэй Шиюн, 1960] сделано предположение о существовании в сейсмотектонических процессах Китая изменений активности с периодом около 1000 лет. Для Армении в статье [Тамразян, 1962] выделено 11 периодов продолжительностью 90-140 лет. По результатам анализа И.В. Кирилловой [Кириллова, 1957] сильные землетрясения Кавказа и Турции проявляются с 250-300-летними периодами. Для зоны подвига плит Наска и Южной Америки в работе [Christensen, Ruff, 1986] определен средний период повторяемости сильных землетрясений 86 лет. В работе [Clark et al., 1965] рассматриваются данные о землетрясениях Новой Зеландии и приводятся данные, подтверждающие, что в этом районе наблюдается периодичность сильных разрушений с периодом около 100 лет. При этом для Веллингтонской зоны разломов в центрально части Новой Зеландии средняя повторяемость землетрясений составляет 200 лет [Johnston, 1965]. Для Алеутских островов определен средний период повторяемости сильных сейсмических событий, равный 80 лет [Jacob, 1984]. Для северо-западной окраины Тихого океана установлено существование сейсмического цикла [Федотов, 1965, 1968] продолжительностью 190 ± 40 лет.

При исследовании периодических закономерностей сейсмического процесса часто применяется спектральный анализ временных рядов. Метод спектрального анализа (Фурье-анализ) предполагает решение задачи линейной множественной регрессии с помощью преобразований Фурье. Такая модель может быть записана как: xt =а0 + [flicosM + sinM], (для i = 1,...,n ).

После нахождения значений коэффициентов при синусе и косинусе строится периодограмма, значения которой вычисляются по формуле: 2і ; где Pi – амплитуда периодограммы на частоте vi, и N – общее число разбиений периодограммы (общая длина ряда). Пики на периодограмме соответствуют значимым периодам в исходном временном ряде.

В работах различных научных групп этот метод применяется с различными авторскими дополнениями (см., например [Хаин, Халилов, 2008, 2009; Аптикаева, 2013]). Так, в работе [Morgan et al, 1961] для различных выборок землетрясений определялись амплитуды и фазы первого и второго члена ряда Фурье для периодов, равных году, солнечному и лунному дню, синодическому месяцу (29.53 дней) и аномалическому месяцу (27.55 дней). Авторы произвели спектральный анализ амплитуд вблизи первых трех из перечисленных периодов, затем была проведена проверка достоверности выявленных периодичностей. Метод основан на вычислении вероятности того, что при анализе Фурье ряда независимых случайных событий амплитуда получающихся членов ряда Фурье будет больше заданной величины Ak0.

Структура базы данных

Коэффициент ослабления гармонической компоненты с периодом Т в этом случае определяется как произведение RT (T)R p(T). Таким образом, линейное преобразование (1.1) позволяет выделить из рассматриваемого процесса низкочастотную часть спектра.

Для выявления скрытой периодичности в характере извержений различных геодинамических типов вулканов и землетрясений производилась фильтрация высокочастотного шума путем линейного преобразования методом скользящих средних, описанным выше. Для этого были использованы различные фильтры с разными интервалами сглаживания и различным числом интервалов в варианте сглаживания. Авторы анализировали данные об извержениях с 1800 по 2000 годы и выделили несколько циклов для разных типов вулканических извержений в разных регионах мира. На всех спектрах отчетливо выделились две гармоники с периодами 21-22 и 46-52 года. В работе [Хаин, Халилов, 2008] было установлено, что степень активизации вулканов поясов сжатия Земли, также как и промежутки времени между максимумами вулканической активности, попеременно возрастают и убывают, при этом амплитуда циклов вулканической активности прямо пропорциональна периоду вулканического затишья предшествующему данному циклу.

В работе [Тихонов и др., 2011] осуществлен поиск возможных периодичностей (в диапазоне от 100 до 10 000 суток), влияющих на время начала извержения. Для проведения исследования авторы этой работы использовали метод, заключающийся в следующем. Моменты начала извержений (событий) исследуемого района, взятых из многолетнего каталога, отображаются на кольцо, то есть, на полуинтервал [0,1) с отождествленными концами. С этой целью для любого заданного цикла рассчитывается значение условной фазы цикла (0 1) на дату возникновения извержения. Это значение вычисляется с помощью следующих выражений: = (t – t0)/T, если t – t0 0; = (T + (t – t0))/T, если t – t0 0, где t – юлианская дата начала извержения; t0 – юлианская дата начала (конца) цикла, ближайшая к дате извержения.

В результате такого отображения получают распределение точек (извержений) по кольцу, для которого решается задача статистической проверки гипотезы H0 о равномерности распределения F = F0 против альтернативы H1: F F0. Степень неравномерности распределения оценивается на основе статистики К с помощью критерия Куипера. Среди всех получаемых распределений случайных фаз на кольце для разных циклов интерес представляют только те, которые статистически значимо отличаются от равномерных. Для них характерно наличие областей сгущения событий и окон разрежения (покоя), в пределах которых извержения отсутствуют. В результате исследования установлена периодичность извержений вулканов мира, равная 1739 суток (4.8 года).

В статье [Токарев, 1979] проведен анализ периодичности извержений отдельных вулканов Камчатки и Гавайев и сделан долгосрочный прогноз повышения их активности. Значения выявленных периодов варьируются от 24 до 110 лет.

В работе [Мелекесцев, 1980] приводятся результаты исследования ритмичности и синхронности вулканических проявлений в пределах земного шара в целом. Рассматривались данные об абсолютном возрасте вулканических пород и сведения о крупнейших исторических извержениях. В результате анализа были выделены ритмы длительностью 200-250, 500-600 и 1800-2000 лет.

Приведенные данные показывают, диапазон периодов вулканической активности, выявленных для отдельных вулканов и вулканических поясов Земли достаточно широк, однако чаще всего исследователи рассматривают периодичности в пределах первых десятков лет. По-видимому, для анализа более длительных периодичностей необходимо брать более продолжительные ряды данных и подбирать методику, позволяющую проводить такое исследование. Обзор работ также показал, что чаще всего временные ряды и их особенности выявляются авторами визуально, с минимальным применением математического аппарата, а если математические методы исследования применяются, то объем рассматриваемых выборок не велик.

Рядом авторов было отмечено «перемещение» в одну сторону с определенной скоростью вулканической активности как в пределах отдельно взятых вулканических центров [Clague, Dalrymple, 1974; Kenneth et al., 1986; Lonsdale, 1988; Леонов, 1991; Певзнер, 2011], так и в пределах вулканических дуг [Berg, 1974; Sauers, 1986]. Скорости миграции вулканической активности в отдельно взятых вулканических центрах находятся в диапазоне 310-5 210-3 км/год. В пределах вулканических дуг скорости миграции извержений вулканов изменяются в диапазоне 100-900 км/год. В перечисленных работах для выявления миграции вулканической активности используется метод, основанный на визуальном анализе особенностей распределения извергавшихся вулканов в пространстве и времени, исследование строится, фактически, на экспертной оценке. Очевидно, что такой подход очень трудоемкий, так как нужно вручную просмотреть большое число пространственных данных. При этом такой подход не дает однозначных результатов, так как во многом зависит от опыта и знаний исследователя.

Математический метод «квазифазовая плоскость» моделирования временных закономерностей сейсмической активности

Созданная база данных включает в себя большой объем данных о землетрясениях и извержениях вулканов Земли. Очевидно, что плотность покрытия данных двух составленных нами каталогов для разных периодов времени и разных регионов значительно разнится. В связи с этим необходимо подробно рассмотреть структуру сейсмического и вулканического каталогов в пространстве и времени с тем, чтобы применяя в последующих исследованиях те или иные методы, осознавать возможное влияние структуры исходных данных на получаемые результаты.

Анализ структуры сейсмического каталога Составленный глобальный сейсмический каталог включает в себя все известные данные о землетрясениях с 2150 г. до н.э. до 1900 г., данные о землетрясениях с магнитудой М6 для временного интервала с 1900 г. по 1962 г. и данные о землетрясениях с магнитудой М5 за период с 1963 г. по 2015 г. включительно. На рис. 2.6. представлено распределение числа землетрясений по годам с усреднением по 100 лет.

Для построения такого распределения исходная совокупность данных представляется множеством D, каждый элемент которого представляет дату события. Диапазон значений элементов множества ф лежит в пределах: е[а,Ь], іє[і,и], где а - дата самого первого (раннего) события, Ъ - дата самого последнего события, п - количество событий в выборке. Продолжительность каталога Г находится по формуле: Т = Ь-а. Для проведения процедуры группирования определяется шаг группирования t, после чего вычисляется число интервалов группирования к: , Tmodt = 0 к 1 t + 1, Tmodt O t где операция mod - это вычисление остатка от деления. Новое множество X содержит число событий исходной выборки, попадающих в определенный интервал: x]={m{D\a + t-j D a + t-(j + \))}, js[0,k-l] (2.1) где m - мощность множества. Для построения графика на рисунке 2.6. множество X было преобразовано во множество Y, где у} =lg( ,-), а =100 лет.

Видно, что данные, представленные в каталоге, можно разбить на два интервала: до начала нашей эры и после. В течение первой фазы число землетрясений в каталоге составляет, в среднем одно землетрясение за сто-двести лет. В течение нашей эры происходит постепенное увеличение числа землетрясений в каталоге со временем. Особенно быстрое увеличение числа данных наблюдается после 1500 года - с началом колонизации территории всего земного шара.

Для анализа энергетической структуры каталога строились графики повторяемости землетрясений за различные интервалы времени, как для всей планеты (рис. 2.7), так и для различных её регионов.

График повторяемости землетрясений – это график, отображающий зависимость между числом событий и их энергетической характеристикой. В качестве последней используется магнитуда землетрясения (логарифм высвобожденной при землетрясении упругой энергии) или энергетический класс сейсмического события. Традиционно для построения графика повторяемости вертикальная шкала числа событий берется в логарифмическом масштабе.

После построения графика повторяемости определяется его наклон – решается задача аппроксимации прямолинейной части графика линейной функцией. Найти уравнение аппроксимирующей прямой можно с помощью метода наименьших квадратов [Зайдель, 1968].

Нужно найти кривую, от которой данные точки меньшего всего отклоняются. Простейший способ проведения такой кривой – соединить между собой все точки пунктиром и считать ломаную искомой зависимостью. Поэтому следует искать прямую линию, менее всего отклоняющуюся от них. Если обозначить абсциссы точек, в которых производится измерение, xi, а результаты измерений – yi, то уравнение искомой прямой может быть записано в виде: y = ax + b. Коэффициенты уравнения, a и b, надлежит выбрать наилучшим образом. Для нахождения по способу наименьших квадратов уравнения искомой прямой поступают следующим образом: проводят ординаты точек yi, до их пересечения с искомой прямой. Значение этих ординат будет (ахi+b), расстояние по ординате от точки yi до прямой равно (axi+b-yi). Предположим, что прямая будет наилучшей, если сумма квадратов всех расстояний (axi+b-yi)2 имеет наименьшее значение.

Пути дальнейшего развития волновой модели геодинамического процесса

Анализ итоговых плоскостей M – , построенных для совокупностей землетрясений северо-западной окраины Тихого океана (рис. 3.8, [Викулин, 2003, рис. 2.2.1 Аа]), показал, что результат сравнения экспериментального и теоретического распределений – одинаковые значения доверительной вероятности на плоскости M – располагаются вдоль непересекающихся линий (изолиний).

При статистических исследованиях систем, состоящих из достаточно большого количества объектов, как известно [Ландау, Лифшиц, 1964], «появляются новые своеобразные закономерности», которые «ни в какой степени не могут быть сведены к чисто механическим закономерностям. Их специфичность проявляется в том, что они теряют всякое содержание при переходе к механическим системам с небольшим числом степеней свободы». Именно поэтому для исследования таких статистических систем разработана специальная концепция, получившая название фазового пространства. Каждая точка такого пространства соответствует определенному состоянию анализируемой системы. Таким образом, исследование состояния статистической системы сводится к анализу траекторий движения точек в фазовом пространстве. Закономерное распределение точек в фазовом пространстве описывается функцией статистического распределения, которая имеет вероятностную природу.

Как видим, в случае, если на плоскости М - т значения доверительной вероятности Р распределены в соответствии с какими-либо закономерностями, то эти закономерности могут быть проинтерпретированы в рамках физически обоснованной концепции. Так как магнитуду M можно рассматривать как аналог энергии, а временной интервал т как аналог времени процесса, то плоскость М - гможно рассматривать как некий аналог фазовых плоскостей, которые строят, например, в квантовой физике. Это позволило нам назвать плоскость М - г«почти фазовой» - «квазифазовой».

Наблюдаемый на построенной плоскости «фазовый портрет» (рис. 3.8) позволил предположить, что сейсмический процесс в пределах северозападной окраины Тихого океана является периодическим (квазипериодическим).

Форма замкнутых изолиний, как видно из данных на рис. 3.8, оказалась близкой к прямоугольному треугольнику; при этом две перпендикулярные друг другу стороны треугольника оказались примерно параллельными «вертикальной» оси т и «горизонтальной» оси магнитуд M. В таком случае для определения значения периода сейсмического процесса достаточно продифференцировать математическое выражение для изолинии p(M, т) = const. В результате получаем уравнение движения точки вдоль «фазовой» траектории: АM+ Ах = 0, (3 6) дM Эх которое тождественно выполняется вдоль «горизонтальных» (т.к. ЭР/ЭМ=0, Ат=0) и «вертикальных» (т.к. ЭР/Э т=0, ДM=0) отрезков изолиний. Тогда, величина периода сейсмического процесса 7\ может быть определена из выражения Tt = aYM, где арт/ M. Согласно данным из рис. 3.8 значения этих величин составляют M=7.6±0.2 и aрЗО+7 год/ед магнитуды fЛp), откуда для продолжительности сейсмического периода была получена следующая оценка [Викулин, 2003]: T=230±60 лет. (3.7)

Автором диссертации исследование выполнялось с помощью информационно-вычислительной системы «Квазипериодичность» [Долгая, Николаев, 2013], автоматизирующей выполнение перечисленных выше этапов. Внешний вид приложения и журналы результатов приведены на рис. 3.9. Блок-схемы алгоритма работы информационно-вычислительной системы, автоматизирующей выполнение исследования по описанному методу, приведены в Приложении 1 на рис.П1.3, П1.4.

Интерфейс ИВС «Квазипериодичность» Функции ИВС «Квазипериодичность»: 1. формирование совокупности событий из каталога землетрясений; 2. построение экспериментальной и теоретической последовательностей; 3. расчёт промежуточных и итоговых показателей, предусмотренных методикой исследования; 4. построение «фазового пространства»; 5. экспорт всех полученных результатов в MS Excel и сохранение их в базе данных MS Access. В приложении 2 приведен листинг процедуры расчета теоретической последовательности по трем законам распределения: Пуассона (3.1), Парето (3.2) и Вейбулла (3.3). Для нахождения значения критерия Пирсона (3.4) был написан исполняемый файл в среде MATLAB. Он вызывается средой Delphi с помощью следующего кода.