Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Модели динамических систем с логическими регуляторами. Структура, методы анализа устойчивости 14
1.1. Модели динамических систем с логическими регуляторами и методы анализа устойчивости 14
1.2. Аппроксимация нелинейных моделей с помощью TS-моделей 23
1.3. Модели управляемых маятниковых систем в контексте основных задач диссертационного исследования 29
Выводы по первой главе 42
Глава 2. Построение моделей и анализ устойчивости управляемых маятниковых систем 44
2.1. Модель перевернутого маятника с линейным регулятором 44
2.2. TS-модель перевернутого маятника, ее модификация 50
2.3. Алгоритмы стабилизации 64
2.4. Исследование устойчивости модели перевернутого маятника с помощью функций Ляпунова и свойств дивергенции поля скоростей 73
2.5. Моделирование и анализ устойчивости подъемно-транспортных механизмов на примере модели портального крана 78
Выводы по второй главе 88
Глава 3. Компьютерное моделирование управляемых маятниковых систем 90
3.1. Моделирование динамического поведения перевернутого маятника с использованием линейного регулятора 90
3.2. Описание алгоритма Лоусона для исследования устойчивости моделей управляемых маятниковых систем 94
3.3. Численный анализ TS-модели перевернутого маятника 96
3.4. Моделирование управляемой маятниковой системы на основе логико-лингвистического описания ее поведения 106
Выводы по третьей главе 112
Заключение 114
Литература
- Модели управляемых маятниковых систем в контексте основных задач диссертационного исследования
- Алгоритмы стабилизации
- Моделирование и анализ устойчивости подъемно-транспортных механизмов на примере модели портального крана
- Описание алгоритма Лоусона для исследования устойчивости моделей управляемых маятниковых систем
Введение к работе
Актуальность работы
Математические модели управляемых маятниковых систем служат для описания широкого класса управляемых процессов. Многие управляемые объекты в силу своей динамики представляют собой различные виды маятниковых установок (а в некоторых случаях и их комбинацию), причем требование устойчивости является обязательным требованием их эксплуатации. Ввиду многообразия задействованных физических эффектов, нестационарности объектов и наличия неконтролируемых возмущающих воздействий процессы, протекающие в маятниковых системах, во многих случаях являются сложными для получения их адекватного математического описания с помощью классических методов моделирования [16–19].
В связи с этим развиваются альт ерн ативны е подходы, базирую щиеся на правила х логического вывода и на логическом регуляторе, синтезируемом для стабилизации системы [20]. Первый подход основан на использовании экспертных знаний об управляемой системе. В этом случае модель представляется в виде соотношений качественного характера между переменными состояния, что оказывается мало применимым на практике. При втором подходе построение модели управляемой системы осуществляется при наличии хотя бы приближенной математической модели, заданной в виде нелинейных дифференциальных уравнений или разностных уравнений. С помощью аппроксимации исходная модель приводится к виду модели Такаги–Суджено (TS-модели). В ряде работ [20–22 и др.] показано, что TS-модель является универсальным аппроксиматором в том смысле, что любая гладкая нелинейная управляемая модель может быть аппроксимирована с помощью TS-модели.
Несмотря на интенсивные исследования в области моделирования маятниковых систем с логическим регулятором, все еще остается нерешенным ряд проблем, связанных с разработкой TS-моделей и с анализом их устойчивости. Увеличение количества числа правил в TS-модели, с одной стороны, позволяет более точно описать процессы, происходящие в маятниковой системе, с учетом постоянно изменяющихся внешних воздействий. С другой стороны, затрудняет процедуру получения условий устойчивости и
проведения численного анализа синтезированной модели даже с помощью вычислительных пакетов. Для изучения устойчивости моделей управляемых маятниковых систем перспективным направлением является применение метода функций Ляпунова в сочетании с другими методами, рассмотренными в [23]. Эффективность комбинированных методов определяется ослаблением требований к функциям Ляпунова и расширением класса используемых вспомогательных функций. Особый интерес представляет дивергентный метод, применение которого к исследованию моделей маятниковых систем с логическими регуляторами еще не рассматривалось.
При компьютерном моделировании управляемых маятниковых систем возникает ряд трудностей, связанных с наличием квазилинейных дифференциальных уравнений. Известные численные методы (метод Рунге–Кутты, метод Адамса и др.) не позволяют выполнить для указанных моделей адекватные численные эксперименты. Это обусловлено ограниченной областью устойчивости решений, полученных традиционными численными методами, и быстротой протекания процессов в управляемых системах [24, 25]. Для решения систем линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений целесообразным является применение алгоритма Лоусона [26]. В [27] рассмотрено применение указанного алгоритма для изучения моделей управляемых маятниковых систем с ПИД-регуляторами. Для исследования моделей маятниковых систем с логическими регуляторами алгоритм Лоусона ранее не применялся.
В связи с указанными обстоятельствами возникает, с одной стороны, необходимость создания новых математических моделей, более адекватно описывающих динамические процессы в маятниковых системах с учетом возмущающих воздействий, а с другой, необходимость правильного выбора методов, позволяющих адекватно оценивать устойчивость моделей указанных систем.
В диссертации рассмотрены два вида моделей управляемых маятниковых механизмов: перевернутый и обычный математический маятник (на примере портального крана). Особое внимание в работе уделено изучению модели перевернутого маятника. Это объясняется тем, что в настоящее время расширился класс реальных объектов управления, имеющих аналогичную математическую модель (ракета при взлете, шагающие роботы, самобалансирующиеся самокаты с гироскопическим устройством и др.), а также тем, что перевернутый маятник можно использовать в качестве экспериментальной площадки для тестирования разрабатываемых алгоритмов стабилизации и исследования устойчивости моделей управляемых систем. Разнообразная прикладная направленность, сходство составляющих компонентов и задач, выполняемых регулятором по стабилизации маятника
в верхнем (нижнем) положении за счет горизонтального перемещения каретки, определили выбор моделей указанных маятниковых механизмов.
На основании изложенной выше научной проблемы сформулированы следующие цель и задачи диссертационного исследования.
Цель диссертационной работы
Разработка и исследование моделей управляемых маятниковых систем с логическими регуляторами, получение условий устойчивости и стабилизации на основе развития метода функций Ляпунова.
Задачи диссертационной работы
построение TS-модели перевернутого маятника и анализ ее устойчивости с помощью функции Ляпунова;
разработка алгоритма стабилизации перевернутого маятника, основанного на развитии метода функций Ляпунова и построении логического TS-регулятора; исследование устойчивости моделей управляемых маятниковых систем комбинированным методом с применением функций Ляпунова и свойств дивергенции поля скоростей; - изучение динамики моделей управляемых маятниковых систем с логическими регуляторами с помощью программного комплекса, разработанного на основе алгоритма Лоусона.
Результаты, выносимые на защиту
-
Построена модифицированная TS-модель перевернутого маятника.
-
Предложены алгоритмы стабилизации и исследования устойчивости моделей управляемых маятниковых систем на основе развития метода функций Ляпунова и построения логического TS-регулятора.
-
Получены новые условия асимптотической устойчивости и равномерной устойчивости для модели управления перевернутым маятником на основе комбинированного метода, базирующегося на совместном использовании метода функций Ляпунова и дивергенции поля скоростей.
-
Разработан комплекс проблемно-ориентированных компьютерных программ для изучения динамики моделей управляемых маятниковых систем на основе применения
алгоритма Лоусона решения систем линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений.
Научная новизна
-
Отличительной особенностью рассмотренной в работе математической модели управляемой маятниковой системы является применение для описания модели редукции количества правил к меньшему их числу без потери информативности и с сохранением качественных свойств. На основе указанной редукции с использованием метода локальной аппроксимации получена модифицированная модель перевернутого маятника. Для изучения устойчивости синтезирован логический регулятор, построенный с помощью процедуры параллельной распределенной компенсации.
-
На основе метода функций Ляпунова и построения логического TS-регулятора разработан алгоритм стабилизации перевернутого маятника.
-
Впервые для моделей управляемых маятниковых систем проведен качественный анализ и даны условия стабилизации с применением сочетания функций Ляпунова и свойств дивергенции поля скоростей. Это позволило получить новые условия устойчивости и разработать алгоритмы исследования устойчивости изучаемых в работе моделей управляемых маятниковых систем.
-
При проведении численных экспериментов впервые для изучаемых моделей использован алгоритм Лоусона решения систем линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений.
Методы исследования
В диссертации использованы методы математического моделирования, теории устойчивости и теории управления динамических систем, качественной теории дифференциальных уравнений, численные методы решения линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений.
Обоснованность и достоверность результатов
Обоснованность и достоверность полученных результатов следует из того, что на всех этапах аналитического и численного решения задач использовались строгие и апробированные методы и для всех утверждений приведены полные доказательства.
Достоверность результатов подтверждается сравнением с результатами других работ, сопоставлением и совпадением результатов теоретических расчетов условий устойчивости для синтезированных в работе моделей управляемых маятниковых систем с результатами, полученными в ходе компьютерного моделирования изучаемых систем при конкретных начальных условиях.
Практическая значимость
Полученные в работе результаты по моделированию и анализу устойчивости перевернутого маятника могут найти применение в задачах динамики транспортных средств с гироскопическими устройствами, в робототехнике, в ракетостроении, в биомеханике.
Предложенные алгоритмы и полученные условия устойчивости могут быть использованы при моделировании режимов работы портального крана. Эффект от применения алгоритмов заключается в уменьшении затрат времени для транспортировки груза и высокоточном позиционировании.
Разработанный комплекс программ может быть применен в задачах проектирования и исследования устойчивости маятниковых систем с логическими регуляторами.
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались и обсуждались:
– на Всероссийской конференции с международным участием «Информационно-телекоммуникационные технологии и математическое моделирование высокотехнологичных систем» (Москва, РУДН, 2013 – 2015 гг.);
– на научной конференции «Математическое моделирование и информатика» (Москва, МГТУ «Станкин», 2013 – 2015 гг.);
– на Международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, ИПУ РАН, 2012 г.);
– на Международной конференции «Проблемы управления безопасностью сложных систем» (Москва, ИПУ РАН, 2012 – 2014 гг.);
– на научно-исследовательском семинаре по методам нелинейного анализа и проблемам безопасности Вычислительного центра им. А.А. Дородницына РАН (Москва, 2013 г.);
– на Международной конференции «Distributed Intelligent Systems & Technologies» (С.-Петербург, СПбПУ, 2013 г.);
– на V Международной научной конференции «Фундаментальные проблемы системной безопасности и устойчивости» (Елец, ЕГУ им. И.А. Бунина, 2014 г.);
– на научно-исследовательском семинаре «Системный анализ, управление и информационные системы» (Москва, МИЭМ НИУ ВШЭ, 2015 г.);
– на Международной научно-практической конференции, посвященной 95-летию со дня рождения профессора А.А. Шестакова (Елец, ЕГУ им. И.А. Бунина, 2015 г).
Публикации
По теме диссертации опубликовано 15 работ, из которых 7 (работы [1–7]) – в ведущих рецензируемых журналах и изданиях, определенных Высшей аттестационной комиссией.
Личный вклад автора в проведенное исследование
Все представленные в диссертационной работе результаты получены лично автором или при личном участии автора и состоят в следующем:
– построена модифицированная TS-модель перевернутого маятника и определены условия ее устойчивости,
– разработаны алгоритмы стабилизации и исследования устойчивости моделей управляемых маятниковых систем на основе развития метода функций Ляпунова и построения логического регулятора,
–– разработан комплекс программ для изучения динамики моделей управляемых маятниковых систем.
Структура и объем диссертации
Модели управляемых маятниковых систем в контексте основных задач диссертационного исследования
Развитие науки и техники, появление новых компьютерных технологий, разработка программного обеспечения, систем обработки данных и сбора информации определяют значительное усложнение моделей управляемых динамических систем [6, 16, 31, 92]. В связи с этим возникает необходимость в развитии и использовании качественных методов исследования моделей динамических систем, предваряющих численное моделирование и использование средств вычислительной техники [105]. Среди методов качественного исследования динамических систем особое место занимает математическая теория устойчивости динамических систем, созданная в 90-х годах прошлого века великим русским ученым А.М. Ляпуновым [73].
Классическая теория устойчивости динамических систем развивалась в работах Е.А. Барбашина [12], Н.Н. Красовского [64], В.И. Воротникова и В.В. Румянцева [18], В.Д. Горяченко [22], Е.А. Гребеникова и Ю.А. Рябова [24], Б.П. Демидовича [27], Н.П. Еругина [49], В.И. Зубова [51], А.М. Ляпунова [73], И.Г. Малкина [74, 75], Ю.Н. Меренкова [88, 89], В.В. Немыцкого и В.В. Степанова [93], Н.Г. Четаева [117], А.А. Шестакова [118], Дж. Биркгофа [14], Л. Чезари [114], Н. Руша, П. Абетса и М. Лалуа [104] и других ученых.
При изучении управляемых динамических систем актуальной является проблема моделирования систем с неполной информацией. Указанные системы встречаются в случаях, когда управляемый объект (или процесс) достаточно сложен для получения его точного математического описания (математической модели), что обусловлено многообразием физических эффектов, нестационарностью объекта, наличием неконтролируемых постоянно изменяющихся внешних воздействий или дефицитом априорной информации о поведении системы. В связи с перечисленными обстоятельствами применение аналитических методов для моделирования систем с неполной информацией либо сопряжено с большими вычислительными трудностями, либо не представляется возможным.
Вопросы, связанные с алгоритмическим конструированием и изучением устойчивости систем с неполной информацией, рассмотрены в работах А. Пегата [96], Р. Дорфа и Р. Бишопа [31], Б. Лю [72], К.А. Пупкова и др. [100], С.Н. Васильева [16], В.Н. Афанасьева [5, 7, 8], А. А. Шестакова [118], Ю.Н. Меренкова [88], О.Н. Масиной и О.В. Дружининой [80], П. Борне и Дж. Диулота [128], Д. Дрянкова и др. [131], Г. Фенга [132], Я. Клюшка [135] и других исследователей.
Одним из современных подходов к построению управляемых динамических систем с неполной информацией является синтез моделей динамических систем с логическим регулятором [42, 129, 130, 144]. Построению и анализу моделей динамических систем с логическими регуляторами посвящены работы отечественных и зарубежных исследователей: А.Н. Аверкина и И.З. Батыршина [1], Р.А. Алиева, Э.Г. Захарова и С.В. Ульянова [2], В.А. Горюшкина [21], В.И. Гостева [23], Н.П. Деменкова [26], Н.Д. Егупова и К.А. Пупкова [48], И. Кураваки и др. [67], В.В. Круглова, М.Н. Дли и Р.Ю. Голунова [65], О.Н. Масиной [77], О.Н. Масиной и О.В. Дружининой [80], Д.А. Поспелова [99], С.В. Ульянова, О.Ю. Тятюшкиной и Е.В. Колбенко [108], А.А. Ускова [109], А. Пегата [96], А.П. Ротштейна [103], Т. Такахи и М. Суджено [147], К. Танаки и Х.О. Ванга [148] и других исследователей.
Алгоритмы стабилизации
В разделе изучен вопрос синтеза устойчивой модели перевернутого маятника с помощью построения линейного регулятора и использования обратной связи по состоянию, получены условия устойчивости с помощью первого метода Ляпунова. Указанный метод позволил определить значения коэффициентов усиления регулятора по свойствам корней характеристического уравнения линейной модели маятника.
Рассмотрим перевернутый маятник на каретке (рис 2.1). Введем следующие обозначения: t – время; u(t) – управляющая сила, приложенная к каретке массой М; l – длина стержня маятника; g = 9,8 м/c2 – гравитационная постоянная. Каретка должна двигаться таким образом, чтобы маятник массой т всегда занимал вертикальное положение. В качестве переменных состояния примем угол отклонения маятника (t) и перемещение каретки s(t).
Как известно [31], дифференциальные уравнения, описывающие динамику маятника, можно получить, записав выражения для суммы сил, действующих в горизонтальном направлении, и суммы моментов относительно точки вращения. Примем, что М т и угол отклонения от вертикали 6 является малым.
Значения переменных состояния используются для построения регулятора, описываемого уравнением и = -Кх, где К - матрица коэффициентов обратной связи. Предположим, что управляющий сигнал пропорционален ускорению, и что массой каретки можно пренебречь. Если u{t) соответствует ускорению, то уравнение (2.4) примет вид gxl-lx2=x4=s = u(t). Для системы пониженного порядка, где управляющим сигналом является ускорение, скорость и положение каретки получаются последовательным интегрированием u(t). Найдем часть вектора состояния с компонентами [х?, х] = [6, 0]- Для данной подсистемы матричное дифференциальное уравнение (2.8) примет вид:
В полученном уравнении (2.9) матрица А представляет собой левый верхний блок матрицы А уравнения (2.8). Характеристическое уравнение X - (g/l) = 0 имеет один корень в правой половине комплексной плоскости. Чтобы сделать модель устойчивой, сформируем управляющий сигнал в виде функции от двух переменных состояния х\ и х2. Тогда получим
Таким образом, измерив переменные состояния х\, х2 и образовав управляющий сигнал вида (2.10) с учетом условий (2.11), модель (2.8) перевернутого маятника будет устойчивой.
Отметим, что в (2.10) выражение к\х\ определяет управление отклонением маятника , при этом основание маятника нужно перемещать ускоренно в ту же сторону, что и наклон маятника. Выражение к2х2 изменяет ускорение каретки с учетом угловой скорости вращения маятника. Если маятник движется в ту же сторону, что и его отклонение, то происходит увеличение необходимого ускорения каретки по сравнению с к\х\. Если маятник движется в сторону, обратную по отношению к отклонению, то ускорение уменьшается и становится меньше значения к\х\.
Описанный процесс стабилизации маятника можно изобразить схемой, показанной на рис. 2.2. Схема включает управляемый объект -перевернутый маятник, на который можно воздействовать, перемещая его опору; систему измерения угла и угловой скорости 9, линейный регулятор, реализующий стратегию стабилизации и силовое воздействие, передвигающее опору перевернутого маятника. Объект
Синтезированная модель (2.8) является примером классической модели, которая описывает динамику перевернутого маятника в идеализированных условиях с учетом малых отклонений. Такая модель имеет малую практическую ценность. В реальности процессы, происходящие в маятниковых системах, характеризуются нелинейными особенностями. Это обусловлено многообразием физических эффектов, нестационарностью объекта и наличием неконтролируемых возмущающих воздействий. В ряде работ [10, 20, 110, 112] построены нелинейные модели перевернутого маятника, однако вопрос об их устойчивости решается с помощью линеаризации исходной модели в окрестности состояния равновесия.
В настоящее время имеет место усложнение механизмов и объектов маятникового типа, что приводит к необходимости создания новых математических моделей, более адекватно описывающих динамические процессы в маятниковых системах с учетом возмущающих воздействий, а также к необходимости правильного выбора методов, позволяющих исследовать устойчивость моделей маятниковых систем.
В настоящем разделе рассмотрен альтернативный подход к построению модели перевернутого маятника, связанный с аппроксимацией с помощью TS-модели вида (1.2). Выполнена модификация синтезированной TS-модели перевернутого маятника (число правил в модели уменьшено с шестнадцати до двух). Построен стабилизирующий логический регулятор и определена функция Ляпунова.
Как отмечалось в разделе 1.3 главы 1, TS-модель является универсальным аппроксиматором в том смысле, что гладкая нелинейная управляемая модель при ряде принятых ограничений может быть аппроксимирована с помощью TS-модели. TS-модель описывается нечеткими правилами импликации, которые представляют собой локальные линейные отношения «вход-выход» нелинейной системы. Применяемые правила являются нечеткими в части если, в части то содержатся дифференциальные уравнения, описывающие динамику процесса.
Моделирование и анализ устойчивости подъемно-транспортных механизмов на примере модели портального крана
В данном разделе продолжено изучение устойчивости модели перевернутого маятника (2.51). Проведен качественный анализ и получены условия асимптотической устойчивости и равномерной устойчивости на основе комбинированного метода, базирующегося на совместном использовании свойств дивергенции поля скоростей и функций Ляпунова. Разработаны алгоритмы исследования устойчивости модели перевернутого маятника с логическим регулятором.
Приведем теоретические сведения, которые будут использованы для исследования модели (2.51). Рассмотрим нелинейную модель, описываемую дифференциальным уравнением [46] х = g(x,h), х є R", h є H zi?, (2.52) которое определено на множестве В(р) х Н, где В(р) = {х є Rn: х р}, р 0. Предполагается, что функция g(x,h) удовлетворяет условию Липшица относительно х = (х\,Х2, ...,хп) для каждого /г єЯсі?, т.е. 3L = L(h) 0: g(x,h) — g(x ,h) Lx —х V х , х є 5(р), и решения x(t, xo, h) уравнения (2.52) непрерывно зависят как от начальной точки XQ = JC(0, х0, И), так и от параметра h = {h\, h2, ..., /?&} для k \. Решение x = 0 называется равномерно устойчивым относительно множества Н R , если V є 0 3 8 = 8(є) XQ \ 0 следует x(t, хо, И) \ є t є к , У п є Н, причем число о зависит от є, но не зависит от выбора точки h є Н. Будет иметь место следующая теорема. Теорема 2.5 [46]. Если тривиальное состояние равновесия х = 0 уравнения (2.52) асимптотически устойчиво для каждого h, принадлежащего компактному множеству Н R, то состояние равновесия х = 0 уравнения (2.52) равномерно устойчиво относительно множества Н.
Если z - асимптотически устойчивое состояние равновесия дифференциального уравнения вида х = g(x) и V{x) - функция Ляпунова, для которой выполняется условие -V а,Vа2, а, 0,ао 0, то существует множитель Эйлера а(х), для которого дивергенция div(a(х)g(x)) является отрицательно определенной. Множителем Эйлера называется любая положительная в окрестности (0,0) функция, равная нулю лишь в точке х=0. Функцию Ляпунова, обладающую указанным свойством, назовем дивергентной функцией Ляпунова для состояния равновесия z.
Изучение модели (2.52) при сделанных предположениях можно свести к изучению модели вида x = g(x,u), х є R" ,и є U R, (2.53) где множество U является компактным, и - скалярная переменная управляющего воздействия, причем u=F{x) и F(0)=0, F{x) - нелинейная функция описывает работу логического регулятора. Результат действия F{x) соответствует управляющему воздействию на объект управления.
Имеют место следующие теоремы. Теорема 2.6 [119, 32]. Пусть div g(x,u) 0 в окрестности состояния равновесия х= (хь ...,хп) = 0 модели (2.53) и существует дивергентная функция Ляпунова в силу указанной модели. Тогда состояние равновесия х= 0 модели (2.53) асимптотически устойчиво для каждого и є U . Теорема 2.7 [119, 32]. Пусть div[CJ(X) g(x,и)] 0 в окрестности состояния равновесия х= (хь ...,хп) = О модели (2.53), где а(х) - множитель Эйлера, и пусть существует дивергентная функция Ляпунова в силу модели (2.53). Тогда состояние равновесия х= (хь...,хп) = 0 асимптотически устойчиво для каждого и є U.
Теорема 2.8 [119, 32]. Если состояние равновесия х = 0 модели (2.53) асимптотически устойчиво для каждого и, принадлежащего компактному множеству U R, то состояние равновесия х = 0 модели (2.53) равномерно устойчиво относительно множества U.
На основе вышеприведенных теорем 2.5 - 2.8 и с учетом (2.52), (2.53) условия устойчивости модели (2.51) перевернутого маятника имеют вид. 1. Пусть для рассматриваемой модели перевернутого маятника (2.51) в окрестности состояния равновесия хг = х2 = 0 выполнено условие 1 8F. Тогда состояние равновесия асимптотически устойчиво по Ляпунову для каждого и є U. 2. Если выполняются условия 1 для каждого и, принадлежащего компактному множеству U R, то состояние равновесия Х\ = х2 = О равномерно устойчиво относительно множества U. 3. Пусть для рассматриваемой модели перевернутого маятника (2.51) в окрестности состояния равновесия выполнено условие да да ,g , 1 _, 1 dF(x) ч „ (x) (да + М)1 дх2 и существует дивергентная функция Ляпунова в силу модели х2 н (siri j) Т (х)) +а( ) О, 5Xj Эх2 / (т+М)Г (т+М)Г дх2 где а(х) - множитель Эйлера, и существует дивергентная функция Ляпунова в силу модели (2.51). Тогда состояние равновесия JC1 = JC2 = 0 асимптотически устойчиво для каждого и є U.
В случае, когда переход к шагу 1 не требуется, на основании теорем об устойчивости можно сделать вывод о том, что, состояние равновесия х = 0 равномерно устойчиво относительно множества U.
Таким образом, в разделе решена задача 3 диссертационного исследования, а именно, изучена устойчивость модели перевернутого маятника (2.51). Выполнен качественный анализ и получены условия асимптотической устойчивости на основе комбинированного метода, базирующегося на совместном использовании свойств дивергенции поля скоростей и функций Ляпунова. Разработаны алгоритмы исследования устойчивости модели перевернутого маятника с логическим регулятором.
Полученные результаты могут быть использованы для исследования устойчивости моделей управляемых маятниковых систем при постоянно действующих возмущениях, а также при моделировании указанных систем на основе экспертных правил. Предложенные алгоритмы исследования устойчивости перевернутого маятника могут использоваться в дальнейшем для реализации в виде компьютерных программ.
Описание алгоритма Лоусона для исследования устойчивости моделей управляемых маятниковых систем
Отметим достоинства моделирования управляемой маятниковой системы, представленной в виде лингвистического описания, с помощью пакета Fuzzy Logic Toolbox: - для проектирования управляемой системы нет необходимости в наличии дифференциальной модели, описывающей динамику изучаемого процесса, управление осуществляется с помощью правил вида если … то; - логические регуляторы, относящиеся к классу обучаемых, сохраняют высокую работоспособность в условиях помех и погрешностей измерения, в отличие от линейных регуляторов, и достаточно быстро настраиваются на изменяющиеся внешние воздействия, малые вариации нечетких множеств, определяющих выбор состава и вида терм, оказывают слабое влияние на показатели качества системы; - моделирование управляемых систем с логическими регуляторами на основе экспертных данных сокращает время их разработки, характеризуется простотой выполнения. Экспертные знания легко внедрить в системы с помощью логических регуляторов, что позволяет быстро создавать прототипы изделий, процессов, механизмов с понятными для человека алгоритмами функционирования.
Таким образом, в разделе с помощью пакета Fuzzy Logic Toolbox компьютерной системы Matlab проведено тестирование модели перевернутого маятника, представленной в виде логико-лингвистического описания. Система тестирования правил позволяет в реальном времени изменять значение входящих переменных и получить значения переменных выхода.
Компьютерные эксперименты, проведенные в настоящей главе, выполнены в рамках задач моделирования, сформулированных в разделе 1.3 главы 1 (задача 1 и задача 4 диссертационного исследования).
В ходе решения задачи 1 диссертационного исследования в разделе 2.2 главы 2 построена модифицированная TS-модель перевернутого маятника. Получены условия асимптотической устойчивости, представленные в виде линейных матричных неравенств. Построен логический регулятор, стабилизирующий перевернутый маятник. В процессе решения задачи 4 диссертационного исследования в разделе 3.3 главы 3 проведен численный анализ TS-модели перевернутого маятника с использованием алгоритма Лоусона решения систем линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений. Применение указанного алгоритма позволило провести качественное исследование решений системы дифференциальных уравнений перевернутого маятника, аппроксимированной TS-моделью, и получить фазовые траектории для конкретных начальных условий.
Результаты модельных расчетов показали, что для каждого начального условия можно построить стабилизирующий регулятор, даже при больших углах отклонения и в случае, когда модель теоретически является неуправляемой. Показано, что результаты компьютерного моделирования TS-модели перевернутого маятника, полученные в разделе 3.3, согласованы с результатами исследования устойчивости, проведенного с помощью качественных методов в разделе 2.2. В разделе 3.4 рассмотрен подход к моделированию управляемой маятниковой системы на основе лингвистических правил. С помощью пакета Fuzzy Logic Toolbox компьютерной среды Matlab проведено тестирование модели портального крана и модели перевернутого маятника. Показано, что результаты моделирования согласованы с теоретическими выводами раздела 2.5.
Итак, в главе 3 приведены результаты численного анализа синтезированных моделей управляемых маятниковых систем на основе разработанного комплекса проблемно-ориентированных программ в компьютерной среде Matlab. Показана согласованность результатов исследования устойчивости модели перевернутого маятника с линейным регулятором и TS-модели перевернутого маятника с логическим регулятором с результатами исследования устойчивости, проведенного с помощью качественных методов.
При проведении вычислительного эксперимента для TS-модели перевернутого маятника впервые использован алгоритм Лоусона решения линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений. В процессе создания и применения комплекса программ показана согласованность аналитических и численных результатов. Разработанный комплекс позволяет провести численное исследование управляемых маятниковых систем с логическими регуляторами, представленных TS-моделями, а также расширить диапазон исследования указанных систем.