Моделирование фрактальных структур в задачах многомерной классификации Бирючинская, Татьяна Яковлевна

Введение к работе

Актуальность темы исследования и степень проработанности.

В настоящее время теория фракталов является одной из наиболее актуально и стремительно развивающейся теорий, которая находит самое широкое приложение в различных областях практической деятельности. Использование фрактальных моделей позволило значительно продвинуться в решении таких практически значимых задач как обработка цифровой информации, изучение вопросов турбулентного движения жидкостей, радиолокации, исследование финансовых рынков, получение новых наноматериалов с заданными свойствами и пр. Значительный вклад в развитие фрактальной теории был внесен зарубежными учеными: Mandelbrot B., Barnsley M. F., Crownover R.M., Devaney R.L., Falconer K., Schroeder M. и др. В России этими проблемами занимались С.В. Божокин, А.Д. Морозов, В.П. Паршин, А.А. Потапов, Б.М. Смирнов и другие.

Интенсивное развитие теории фракталов не только выдвигает новые вопросы, но и позволяет искать подходы к решению задач, ранее сформулированных, но не получивших до настоящего времени удовлетворительных решений. Одной из таких задач является классификационная задача. Изучению проблем, связанных с этой задачей были посвящены работы таких ученых, как С.А. Айвазяна, В.М. Буштабера, А.А. Дорофеюка, Ю.И.Журавлёва, Н.Г. Загоруйко, И.И. Елисеевой, А.И. Орлова и др. Важность классификационной задачи обусловлена как широким спектром её практических приложений, так и той ролью, которую играет эта задача в теориях распознавания образов и искусственного интеллекта. Предлагаемый в диссертационной работе подход к решению указанной выше задачи основывается на современных представлениях фрактальной теории и вместе с тем в значительной степени учитывает опыт и полученные ранее результаты.

В связи с этим, тема диссертационной работы, посвященная моделированию решений классификационной задачи в рамках фрактальной теории, является актуальной.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с научно- исследовательскими работами Воронежского государственного аграрного университета имени императора Петра I « «Построение и численная реализация новых математических моделей технологических и производственных процессов в АПК» № г.р. 01.200.1003987.

Объект исследования - структуры многомерных данных, полученные с помощью кластерного анализа и применения алгоритмов, в основе которых лежит фрактальный подход.

Предмет исследования - процедура, основу которой составляют рандомизированные системы итерированных функций (РСИФ), позволяющая при решении классификационных задач воспроизводить структурные особенности многомерных данных.

Целью диссертационной работы является разработка фрактальных моделей, позволяющих аппроксимировать эмпирические структуры многомерных данных в классификационных задачах.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. анализ современных алгоритмов кластерного анализа с целью исследования возможностей применения теории фрактальных множеств в задачах классификации;

2. разработка алгоритма моделирования многомерных фрактальных структур на основе численного метода построения фрактальных множеств, оценка характеристик РСИФ-алгоритма, а также свойств множеств, порождаемых предложенным алгоритмом;

3. разработка программного комплекса средствами языка программирования статистической обработки данных R для проведения вычислительного эксперимента и исследования структур многомерных данных на основе фрактальных моделей, полученных с использованием предложенных алгоритмов.

4. тестирование разработанного программного обеспечения при решении содержательных прикладных задач.

Научная новизна результатов диссертационной работы заключается в следующем:

4. 1. Представлен способ моделирования многомерных фрактальных структур, отличающийся от стандартных методов построения фрактальных множеств использованием процедуры, основанной на обобщении задачи об определении суммы ряда со случайной расстановкой знаков.

   2. Разработан численный метод аппроксимации многомерных данных, отличающиеся от известных тем, что основан на моделях фрактальных множеств, порождаемых рандомизированными системами итерированных функций.

   3. Предложена модификация метода выделения эталонных объектов в классификационных задачах, отличительной чертой которой является учет системных свойств классифицируемой совокупности, что позволяет дать новую интерпретацию типичных объектов в рамках системного подхода.

   4. Создан и апробирован метод моделирования многомерных фрактальных структур с помощью рандомизированных систем итерированных функций, реализованный в виде библиотеки прикладных программ «RIFS: Random Iterated Function System», написанной средствами языка статистической обработки данных и программирования R.

   Диссертационная работа соответствует паспорту специальности 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»: п. 5. «Реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента», п. 6. «Комплексное исследование научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента», п. 8. «Разработка новых математических методов и алгоритмов интерпретации натурного эксперимента на основе его математической модели».

   Теоретическая и практическая значимость работы.

   Теоретическая значимость диссертационной работы заключается в том, что предложенный в ней фрактальный подход позволяет более глубоко исследовать механизмы формирования структуры многомерных данных и методы выделения типичных объектов в рамках системного подхода.

   Практическая значимость результатов диссертационного исследования состоит в том, что на основе разработанных алгоритмов и методов становится возможным описание механизмов формирования многомерных фрактальных структур и проверка гипотез о соответствии между генерируемыми и эмпирическими данными. В перспективе развитие данных методов позволит осуществить прогноз эволюции системы исследуемых данных.

   Основные научные результаты диссертационного исследования могут быть использованы для оценки фрактальных свойств эмпирических данных, а также при решении задач, связанных с построением районированных (стратифицированных) выборок, которые широко используются при социологических исследованиях.

   Исследование фрактальности изучаемой структуры влечет за собой установление её критических состояний. Это может быть использовано при решении задач управления, связанных с прогнозированием и количественным описанием состояний открытых экономических систем, для своевременного принятия мер при планировании и антикризисном управлении.

   Результаты работы могут быть использованы в учебном процессе на экономических факультетах вузов при изучении дисциплин «Эконометрика», «Компьютерное моделирование», «Математическое моделирование социально- экономических процессов» а также в специальных курсах подготовки магистров по экономическим специальностям.

   Теоретическая часть диссертации основана на использовании современных методов дискретной математики, теории вероятностей и теории фракталов. Адекватность разработанных математических моделей и проведенных вычислительных экспериментов подтверждается сопоставлением результатов теоретических исследований с результатами эмпирических исследований на реальных объектах.

   Методология и методы исследования.

   В работе использованы методы и средства системного анализа, теории вероятностей, математической статистики и прикладного статистического анализа, теории фрактальных множеств, имитационного моделирования и теории оптимизации.

   Положения выносимые на защиту:

   1. Модифицированный алгоритм, реализующий процедуру построения многомерных предфрактальных множеств с помощью вычисления сумм, образованных путем случайного отбора членов абсолютно сходящегося числового ряда;

   4. 4. 1. Исследования основных свойств многомерных предфрактальных множеств, генерируемых с помощью определения сумм, случайно отобранных членов абсолютно сходящегося ряда;

         2. Статистические оценки параметров рандомизированных систем итерированных функций, получаемые по эмпирическим данным;

         3. Метод практического применения рандомизированных систем итерированных функций в задачах классификации (на примере содержательных задач экономики и социологии).

         Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих международных и всероссийских научных конференциях: Международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 2010); XI, XII Международной научно-практической конференции «Информатика: проблемы, методология, технологии» (Воронеж, 2011, 2012); V Международной научно-практической конференции «Социологические методы в современной исследовательской практике» (Москва, 2011); Международной научно-практической конференции «Математика и ее приложения (Орёл, 2011); XII Международной молодежной научной конференции «Севергеоэкотех- 2011» (Ухта, 2011); Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна-2012 (Воронеж); III, VI, VIII Международной конференции «Экономическое прогнозирование: модели и методы» (Воронеж, 2007, 2010, 2012); Всероссийской научно-практической конференции «Современные проблемы и перспективные направления развития комплексов и систем военного назначения, форм и способов их боевого применения» (Воронеж, 2011).

         Публикации. По результатам исследования опубликовано 22 печатных работ, в том числе 4 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации основных результатов диссертационных исследований.

         Личный вклад автора в работах, опубликованных в соавторстве, состоит в следующем: 1) разработка и реализация алгоритмов [1]; 2) исследование свойств множеств, генерируемых рандомизированными системами итерированных функций [2]; 3) получение и интерпретация результатов решения классификационных задач [3], [4].

         Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы, включающего 180 наименований, изложена на 146 страницах и включает 21 рисунков и 7 таблиц.

         Похожие диссертации на Моделирование фрактальных структур в задачах многомерной классификации

         

         Математическое моделирование структур многомерных данных в классификационных задачахБуховец Алексей Георгиевич

         

         Разработка математических методов моделирования параллельно-конвейерных структур нейропроцессоров для решения задач быстрого преобразования ФурьеМезенцева Оксана Станиславовна

         

         Численное моделирование 3D волновых полей в задачах сейсмического зондирования вулканических структурКараваев, Дмитрий Алексеевич

         

         Решение задач классификации при двух оценках по каждому признаку для построения полных баз экспертных знанийПодлипский Олег Константинович

         

         Разработка метода направленного перебора альтернатив в задачах классификации объектов на основе теоретико-информационного подходаСавченко, Андрей Владимирович

         

         Модель, метод и комплекс программ для решения задачи классификации с использованием генетических алгоритмовРжеуцкий, Александр Викторович

         

         Комплексное исследование задачи классификации с применением нечетких моделей и распределенных вычисленийНгуен Данг Миня

         

         Использование искусственных нейронных сетей и вейвлет-анализа для повышения эффективности в задачах распознавания и классификации Стадник Алексей Викторович

         

         Разработка методов и алгоритмов модулярной фильтрации для задач распознавания и классификации образовДьяченко Игорь Васильевич

         

         Анализ, классификация и моделирование алгоритмов сжатияШубович Валерий Геннадьевич