Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Обзор современного состояния предметной области 12
1.1 Модели автомобильного трафика 12
1.2 Программные продукты имитационного моделирования транспортных потоков 27
1.3 Понятие устойчивости транспортного потока 36
1.4 Солверы с кратными шагами для решения систем дифференциальных уравнений 37
1.5 Методики калибровки микроскопических моделей автомобильного трафика на основе реальных данных 38
ГЛАВА 2 Новые микроскопические модели автомобильного трафика 43
2.1 Модель следования за лидером с весами 43
2.2 Микроскопическая модель с запаздывающим аргументом 48
ГЛАВА 3 Исследование устойчивости новых моделей 50
3.1 Исследование локальной устойчивости модели с весами 50
3.2 Исследование потоковой устойчивости модели с весами на кольце 53
3.3 Исследование локальной устойчивости модели с запаздывающим аргументом 57
3.4 Исследование потоковой устойчивости модели с запаздывающим аргументом 62
ГЛАВА 4 Методики калибровки моделей автомобильного трафика 68
4.1 Калибровка на основе данных о технических характеристиках автомобиля 68
4.2 Калибровка на основе реальных данных о траекториях автомобилей 77
ГЛАВА 5 Быстрый солвер с кратными шагами для задачи моделирования транспортных потоков 104
5.1 Локальная ошибка метода 104
5.2 Устойчивость численной схемы с кратными шагами 108
5.3 Результаты 109
Заключение 112
Список литературы
- Программные продукты имитационного моделирования транспортных потоков
- Микроскопическая модель с запаздывающим аргументом
- Исследование локальной устойчивости модели с запаздывающим аргументом
- Калибровка на основе реальных данных о траекториях автомобилей
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Теория транспортных потоков начала развиваться в 50-х годах XX века. Тогда появились первые макроскопические модели, в которых транспортный поток уподобляется жидкости с мотивацией, и первые модели микро уровня, согласно которым уравнения движения выписываются для каждого автомобиля в отдельности. В последующие годы оба класса моделей были существенно расширены. В настоящее время в мире существуют десятки научных журналов, в которых публикуются материалы на транспортную тематику. Регулярно проводятся крупные конференции по математическому моделированию транспортных потоков. Несмотря на колоссальный объем накопленного научного материала, феномен образования заторных состояний до конца так и не изучен. Более того, не существует моделей, которые достоверно описывали бы все существующие фазы транспортного потока. При этом задача прогнозирования появления и развития заторных ситуаций на дорогах имеет высокую степень актуальности в настоящее время и требует разработки новых моделей автомобильного трафика.
Поскольку стили вождения, правила дорожного движения и марки автомобилей могут сильно отличаться в зависимости от страны, то необходимой составляющей для получения достоверного результата является калибровка параметрических моделей трафика. Существует множество работ, посвященных калибровке соответствующих моделей на основе реальных данных. Однако, разработанные на данный момент методики не учитывают условий устойчивости решений используемых моделей и не позволяют настраивать модели на основе данных о технических характеристиках транспортных средств.
Для прогнозирования поведения транспортных потоков, изучения схем оптимального управления и схем организации дорожного движения в настоящее время существуют и продолжают развиваться программные продукты моделирования автомобильного трафика (AIMSUM, MITSIM, VISSIM, Paramics). Кроме того, модели автомобильного трафика являются неотъемлемой составляющей обучающих транспортных тренажеров. В данном случае к реалистичности моделирования движения автомобилей предъявляются высокие требования, поскольку это оказывает непосредственное влияние на качество обучения. В некоторых случаях количество одновременно моделируемых транспортных средств может достигать десятков тысяч, при этом моделирование должно выполняться в режиме реального времени на персональном компьютере.
Диссертационная работа посвящена разработке и исследованию новых
микроскопических моделей автомобильного трафика для использования в транспортных тренажерах и САПР интеллектуальных транспортных систем (ИТС), а также созданию
2
быстрого вычислительного алгоритма для решения соответствующих систем
дифференциальных уравнений большой размерности и исследованию его устойчивости.
Степень разработанности темы исследования. Макромодели не подходят для использования в транспортных тренажерах, а значит не могут быть рассмотрены для достижения цели диссертационного исследования. Среди микроскопических моделей одной из самых известных и хорошо себя зарекомендовавших моделей является модель «разумного водителя» (M. Treiber, 1999). Данная модель обладает набором параметров, которые имеют содержательную интерпретацию. Кроме того, она способна воспроизводить неустойчивости транспортного потока, которые наблюдаются на практике. Именно поэтому, модель «разумного водителя» была выбрана в качестве «отправной точки» в данном исследовании.
В теории транспортных потоков определено несколько типов устойчивости транспортного потока. Одним из направлений исследований является определение условий на параметры моделей, когда тот или иной тип устойчивости/неустойчивости имеет место.
Большое количество работ посвящено методикам калибровки моделей транспортных потоков с использованием реальных данных. Однако, на данный момент не известны методики, которые позволяют настраивать параметры модели на основе данных о технических характеристиках конкретного транспортного средства и при этом учитывать математические свойства модели (например, условия устойчивости).
Использование микроскопического подхода для моделирования динамики транспортных потоков приводит к системам обыкновенных дифференциальных уравнений или дифференциальных уравнений с запаздывающим по времени аргументом. Обычно, для решения таких систем используют классические схемы численного интегрирования. В некоторых ситуациях количество одновременно моделируемых агентов может достигать таких значений, при которых решение с помощью стандартных численных схем не может быть получено в режиме реального времени на персональном компьютере. Это обусловлено присутствием как быстро, так и медленно меняющихся компонент вектора неизвестных, в результате чего для достижения требуемой точности шаг интегрирования оказывается очень маленьким. В настоящее время существует такой класс численных методов, как солверы с кратными шагами – multirate solvers, в которых на каждом макро шаге для каждой из компонент на основе информации о скорости ее изменения и априорной оценки вычисляется свой шаг интегрирования, кратный макро шагу. Однако в литературе не найдено упоминаний о том, что такие методы используются для моделирования транспортных потоков. Не обнаружено работ, посвященных исследованию устойчивости такого класса методов в применении к задачам моделирования автомобильного трафика.
3 Целью работы является разработка комплексного подхода для моделирования транспортных потоков в применении к транспортным тренажерам и САПР ИТС, которое может быть выполнено в режиме реального времени на персональном компьютере. Для достижения поставленной цели сформулированы и решены следующие задачи:
1. Разработаны новые микро уровневые модели автомобильного трафика, которые
являются развитием существующих и хорошо зарекомендовавших себя на практике моделей и
устраняют некоторые из их недостатков, тем самым повышая степень реалистичности
моделирования транспортных потоков.
2. Проведено исследование устойчивости новых моделей и получены соответствующие
условия на параметры моделей.
-
Для новых моделей реализована и применена методика калибровки на основе реальных данных о траекториях автомобилей.
-
Для новых моделей доработана, реализована и применена методика калибровки, которая учитывает технические характеристики транспортного средства, а также полученные условия устойчивости.
5. Разработан быстрый вычислительный метод решения получающихся систем
дифференциальных уравнений большой размерности, который учитывает специфику решаемой
задачи. Получены условия устойчивости для данного численного метода.
6. Создан комплекс программ для моделирования автомобильного трафика на C/C++ и
MATLAB.
Объектом исследования являются транспортные потоки. В качестве предмета
исследований выступают микроскопические модели автомобильного трафика, их
устойчивость, методики калибровки, а также быстрые численные методы для решения соответствующих систем дифференциальных уравнений большой размерности.
Методология и методы исследования. Исследование устойчивости предложенных микроскопических моделей автомобильного трафика выполнено с использованием линейного анализа устойчивости равновесного состояния. Численные эксперименты, демонстрирующие корректность полученных условий устойчивости, проведены с использованием средств MATLAB. Методика калибровки предложенных параметрических моделей на основе информации о технических характеристиках транспортных средств основана на решении многомерной нелинейной задачи оптимизации с ограничениями в виде равенств и неравенств. Ограничения в виде равенств порождены схемой численного интегрирования, а ограничения в виде неравенств – полученными в рамках данного диссертационного исследования условиями устойчивости. Методика калибровки на основе реальных данных о траекториях автомобилей также основана на решении многомерной нелинейной задачи оптимизации с ограничениями.
4 Однако, в отличие от первого подхода, она требует полного вычисления траектории и дальнейшего ее сравнения с реальной траекторией. Задачи оптимизации решены в среде MATLAB с привлечением пакета Optimization toolbox. Быстрый вычислительный алгоритм с кратными шагами разработан с использованием методов оценки локальной погрешности схем численного интегрирования и теоретических сведений об устойчивости таких схем.
Научная новизна. В работе предложены новые микроскопические модели автомобильного трафика, которые являются улучшением существующих моделей данного класса, повышая степень реалистичности моделирования транспортных потоков. Это достигается за счет учета в явном виде времени реакции водителя на изменения во внешней обстановке, а также путем обеспечения более реалистичной дистанции между автомобилями в равновесном потоке. Предложенные модели настроены с использованием методики калибровки, которая адаптирована и доработана с учетом полученных в данной работе условий устойчивости. Разработан быстрый вычислительный метод решения систем дифференциальных уравнений большой размерности, который учитывает специфику решаемой задачи. Проведено исследование предложенного вычислительного алгоритма и получены условия его устойчивости. Полученные результаты в комплексе позволяют выполнять моделирование динамики транспортных потоков в применении к транспортным тренажерам и САПР ИТС в масштабах крупных городов в режиме реального времени с использованием персонального компьютера.
Теоретическая и практическая значимость работы. Для предложенных в диссертации новых моделей автомобильного трафика и быстрого вычислительного метода получены условия устойчивости. Новые модели использованы в тренажере автомобиля КАМАЗ. Новые модели и быстрый вычислительный алгоритм реализованы в опытно-конструкторской работе «Разработка технологии моделирования сложных информационно-управляющих систем транспортной инфраструктуры» (ОКР «ИУС–ТИМ»). Полученные результаты могут быть использованы разработчиками транспортных тренажеров, предназначенных для обучения вождению, и САПР ИТС. Получено свидетельство о регистрации программы для ЭВМ.
Положения, выносимые на защиту:
1. Предложены две новые математические модели типа следования за лидером. Первая модель описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, является развитием классической модели «разумного водителя» и устраняет ряд выявленных в рамках данного диссертационного исследования недостатков, присущих этой модели. Вторая модель в явном виде учитывает время реакции водителя на изменения в текущей дистанции, что значительно повышает степень ее реалистичности. Функция ускорения определяется дифференциальным уравнением с запаздывающим по времени аргументом.
2. Для предложенных моделей проведено исследование устойчивости – локальной в
случае колонны автомобилей конечной длины и потоковой (string) устойчивости на кольце.
Второй тип устойчивости общепринят в теории транспортных потоков и является
неотъемлемой составляющей анализа моделей автомобильного трафика. Получены условия на
значения параметров обеих моделей, которые определяют области устойчивого и
неустойчивого поведения решения соответствующих дифференциальных уравнений.
3. Реализованы методики калибровки параметрических моделей автомобильного
трафика на основе данных о технических характеристиках транспортных средств и на основе
реальных данных о траекториях автомобилей. В первом случае в задачу оптимизации
добавлены условия устойчивости калибруемой модели, полученные в рамках данного
исследования. Во втором случае предложен новый подход – platoon calibration, который
позволяет оценить соотношение между двумя факторами, являющимися причиной разброса в
значениях одних и тех же параметров модели для разных реальных траекторий. Первый
фактор – это различные стили вождения и разные технические характеристики транспортных
средств, второй – изменение стиля вождения конкретного человека с течением времени.
4. Разработан быстрый вычислительный алгоритм с кратными временными шагами для
решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений большой размерности,
описывающих динамику транспортных потоков. Данный алгоритм учитывает специфику
решаемой задачи, а именно то, что компоненты вектора решения имеют разные скорости
изменения. За счет этого удается значительно сократить вычислительное время при сохранении
требуемой точности решения. Для полученного вычислительного алгоритма построено правило
выбора шагов для каждой из компонент в отдельности на основе оценки локальной ошибки и
точности, задаваемой пользователем. Кроме того, проведено исследование устойчивости
вычислительного алгоритма и получены условия устойчивости в аналитическом виде.
Степень достоверности и апробация результатов. Доказательства утверждений, которые представлены в третьей главе диссертации, основаны на методах исследования устойчивости обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений с запаздывающим по времени аргументом. Для доказательства утверждений пятой главы используются классические методы оценки локальной погрешности схем численного интегрирования и теоремы об устойчивости методов численного интегрирования.
Результаты диссертационного исследования были представлены и обсуждались на следующих научных конференциях: Traffic and Granular Flow’13, Juelich, Germany, 2013; International Conference on Numerical Analysis and Applied Mathematics, Greece, 2014; Traffic and Granular Flow’15, Delft, the Netherlands, 2015; Неделя Науки в СПбПУ в 2012 и 2014 годах.
Публикации. Результаты диссертации отражены в 8-ми научных статьях [1-8]. Из них: 3 статьи [1-3] опубликованы в журналах из перечня ВАК, 2 публикации [4, 5] входят в базу Web of Science и 3 публикации [4-6] индексируется в базе Scopus.
Личный вклад автора. Результаты, представленные в данном диссертационном исследовании, получены соискателем самостоятельно или при его непосредственном участии.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на разделы и параграфы, заключения, списка литературы и одного приложения. Объем работы составляет … страниц. В тексте содержится … рисунков, … таблиц. Список литературы включает … наименований.
Программные продукты имитационного моделирования транспортных потоков
Взаимодействие между частицами является анизотропным. Всякий раз, когда дистанция взаимодействия It становится меньше фактической дистанции до впереди идущего автомобиля с меньшей скоростью и обгон невозможен, данный автомобиль мгновенно снижает скорость до скорости своего лидера. Уравнение для скорости имеет вид dv dv 1п/ ґ л л ІдР т: i v—=-{Ve {p,v,pa,va) — v)——, (16) где P(x,t) = pOy(p). Диффузионное слагаемое отсутствует. Ускорение частиц (автомобилей) определяется функцией Ve , которая зависит от состояния потока (р, v) в текущей точке x и от состояния потока (ра, va) на некотором расстоянии впереди ха = х + yv(x, t)T, где у -безразмерный множитель порядка 1-1.5. Таким образом, газо-кинетическая модель является нелокальной.
Другим подходом в моделировании транспортных потоков в сравнении с макроскопическими моделями, рассмотренными в предыдущем разделе, является моделирование движения каждого отдельного автомобиля. Данный подход порождает класс микроскопических моделей автомобильного трафика. При макроскопическом подходе искомыми величинами являются скорость и плотность потока в фиксированных точках пространства. В случае микроскопических моделей динамика каждого транспортного средства описываются парой дифференциальных уравнений относительно его скорости и координаты (или дистанции до лидера). В основе данного подхода лежит желание водителя придерживаться при движении безопасной дистанции до его лидера, которая, в частности, зависит от текущей скорости автомобиля. Такие модели предполагают моделирование однополосного потока, однако в совокупности с моделью перестроения, см. например [14], становится возможным переход к моделированию многополосного движения. Микроскопические модели активно используются в симуляторах транспортных потоков, компьютерных играх и тренажерах для обучения вождению. Ниже перечислены наиболее известные модели данного класса.
Модель оптимальной скорости. Рассмотрим однополосный транспортный поток. Пусть автомобили занумерованы слева направо по направлению движения. Тогда (п + 1)-й автомобиль является лидером для -го. Скорость и координата -го автомобиля в момент времени t - vn(t) и xn(t) соответственно, sn(t) = xn+1(t) — xn(t) - дистанция между п-м и (п + 1)-м автомобилями (Рисунок 2).
Движение по одной полосе Одна из первых нелинейных моделей оптимальной скорости была предложена Ньюэллом в 1961 году [8, 15]. В ее основе лежит тот факт, что для каждого автомобиля существует оптимальная скорость движения, которая в свою очередь зависит от дистанции до лидера 5n(t), описываемая следующим выражением vn(t + т) = Ve(sn(t)), (17) гдет - время, с которым происходит адаптация скорости к дистанции. В работах [16, 17] предложено дифференциальное уравнение для скорости п(0 = _( (5п(0) — vn(f) ). (18) Функция оптимальной скорости определена как Ve(d) = — (tanh(d — dc) + tanh dc), (19) где vQ и dc - константы. Можно показать, что малое возмущение в модели оптимальной скорости приводит к развитию затора, если выполнено условие неустойчивости dVe(hn) і dSn 2т, (20) т.е. в случае большого времени релаксации т или крутого вида зависимости оптимальной скорости Ve(sn) от дистанции sn. Это является преимуществом модели, поскольку в реальности одной из причин возникновения транспортных заторов является незначительные возмущения в скорости транспортного средства.
Модель оптимальной скорости обладает рядом недостатков. В частности, она очень чувствительна к выбору времени релаксации т. Например, при т = 0.65 с модель демонстрирует распространение stop-and-go волн с периодом 1-2 минуты, что является очень малой величиной. В городских условиях модель дает неправдоподобные значения ускорения и торможения, которые превышают реальные значения примерно в 10 раз. При увеличении значения т на 5% в модели начинают происходить столкновения автомобилей, в то время как при уменьшении его на 5% наблюдается абсолютная устойчивость транспортного потока даже для высоких значений плотности, что противоречит реальным наблюдениям.
Модель на основе разности скоростей. Развитием модели оптимальной скорости послужило добавление слагаемого в правую часть дифференциального уравнения для скорости, которое пропорционально разности скоростей текущего автомобиля и его лидера [18] i n(0 = ;(Pe(sn(0) - vn(0) - ЯДі?„(0, (21) Ve(d) = f (tanh { P) tanh(-/?)), где /jnt определяет переходный режим функции Ve(d) от значения Ve(d = 0) = 0 к Ve - v0 при достаточно больших дистанциях до лидера, /? - параметр, определяющий форму фундаментальной диаграммы.
Как и в случае модели оптимальной скорости, равновесное состояние дается значением функции Ve. Для значений параметра Я порядка 0.6 сек-1, модель является безаварийной для значений параметра т порядка нескольких секунд. Кроме того, результаты моделирования показывают [57], что распространение волн в случае плотного потока оказывается более реалистичным по сравнению с моделью оптимальной скорости. С другой стороны, слагаемое AAvn(t), выражающее чувствительности к разности скоростей, не зависит от дистанции до лидера. Это приводит к значительным значениям ускорения при торможении, даже если лидер находится на достаточно большом расстоянии. Как результат, автомобили никогда не достигают желаемой скорости в отсутствии других транспортных средств.
Модель Гиппса. Следующие две модели - модель Гиппса и модель «разумного водителя» - получены на основе предположения о реальной стратегии водителей придерживаться безопасной дистанции до своего лидера, двигаться с желаемой скоростью и обеспечивать комфортные значения ускорения при разгоне и торможении. Кроме того, приняты во внимание и кинематические аспекты такие, как квадратичная зависимость желаемой дистанции от скорости.
Микроскопическая модель с запаздывающим аргументом
Параметр D определяет ширину переходного процесса, т. е. фазы движения, когда в выражение для ускорения (62) вносят вклад оба слагаемых. Функция (63) является непрерывной и имеет непрерывную первую производную. Ее смысл заключается в следующем. Когда автомобиль находится далеко от своего лидера, весовая функция равна единице, и значит, работает только разгонное (первое) слагаемое. Когда дистанция до лидера h меньше желаемой дистанции s , работает только второе слагаемое, которое приводит к снижению скорости автомобиля для достижения желаемой безопасной дистанции. Между этими двумя состояниями существует некоторое переходное состояние, в которое дают вклад оба слагаемых. В следующем утверждении доказано, что в равновесном потоке (когда скорости автомобиля и его лидера совпадают) дистанция до лидера совпадает с дистанцией (61).
Утверждение 1. Согласно модели (62)-(63) в равновесном потоке, движущемся со скоростью V, дистанция между автомобилями равна s (v). Доказательство. Ускорение автомобиля определяется выражением (62) и равно нулю, так как все автомобили движутся с постоянной скоростью v, которая меньше чем желаемая скорость V0. Выполнив некоторые преобразования, имеем:
Стоит заметить, что в качестве s (v) может быть использована любая функциональная зависимость от скорости, в том числе, определенная с использованием реальных данных о скорости и плотности потока.
На Рисунке 5 приведены зависимости дистанции в равновесном потоке для модели «разумного» водителя, модели с весами, рекомендуемая и минимально допустимая дистанция согласно правилам дорожного движения в Германии. Поскольку дистанция для модели «разумного» водителя (60) зависит от максимально допустимой скорости К0, то рассмотрены два значения этого параметра - 60 и 90 км/ч, соответствующие городскому и загородному режиму движения. Из графика можно видеть, что в случае модели «разумного» водителя при приближении скорости к максимально допустимой дистанция начинает сильно расти, что очевидно неестественно. Что касается модели с весами, дистанция является плавно возрастающей квадратичной зависимостью и дает более реалистичные значения. Кроме того, дистанция в равновесном потоке лежит в диапазоне рекомендованной и минимально допустимой дистанции, регламентированной правилами дорожного движения Германии. Рисунок 5. Дистанция в равновесном потоке согласно модели «разумного водителя», модели с весами, рекомендуемая и минимально допустимая дистанция (Германия) На Рисунке 6 приведены результаты моделирования разгона автомобиля и его следования за лидером, движущимся с постоянной скоростью. Динамика разгона (скорость и ускорение) согласно модели «разумного» водителя и модели с весами схожи, однако присутствует разница в установившейся дистанции. Модель «разумного» водителя дает дистанцию порядка 20 метров, в то время как модель с весами – около 35 метров, что оказывается в 1.75 раз больше. Это наглядно демонстрирует такой недостаток модели «разумного» водителя, как неправдоподобная дистанция в равновесном потоке, в частности, в применении к моделированию автомобильного трафика в тренажерах обучения вождению. Рисунок 6. Установление дистанции в равновесном потоке. Сравнение основных динамических характеристик модели (24) и модели (62): дистанции, скорости и ускорения На Рисунке 7 приведены результаты моделирования по модели Трайбера и модели с весами (62). Эксперимент имитирует стандартный сценарий движения в городских условиях между двумя светофорами и включает в себя несколько режимов - разгон, движение с «желаемой» скоростью и торможение до полной остановки (например, при подъезде к светофору). Модель с весами дает чуть большие (по модулю) значения ускорения при торможении (при t = 35 с), однако, во-первых, они лежат в границах реалистичности, а, во-вторых, продолжительность таких значений составляет всего порядка 2 секунд. Из результатов численных экспериментов, представленных на Рисунках 6 и 7, можно сделать вывод, динамика разгона и торможения по модели «разумного» водителя и модели с весами практически совпадают, однако в равновесном потоке вторая модель дает более реалистичную дистанцию. Рисунок 7. Движение между светофорами. Сравнение основных динамических характеристик модели (24) и модели (62): дистанции, скорости и ускорения
Еще одним недостатком модели Трайбера является тот факт, что модель не учитывает время реакции водителя в явном виде. Рассмотрим простой пример. Автомобили стоят перед регулируемым перекрестком, горит красный сигнал светофора. Как только загорается зеленый, все автомобили начинают движение одновременно, т. е. их скорости становится одновременно отличными от нуля. Однако в реальной ситуации, в силу конечного времени реакции водителей, это не так.
Рассмотрим другой подход к моделированию движения автомобиля, основанный на том, что в реальных условиях водитель реагирует на сложившуюся ситуацию, а именно дистанцию до лидера, с некоторой задержкой, определяемой временем его реакции т. Данный подход, приводящий к параметризованным дифференциальным уравнениям с запаздывающим аргументом, является развитием описанной выше модели с весами (62). Функция ускорения имеет следующий вид [61]: v(t) = w(y, К) а (1 — (— ) ) + (і — w(y, /і)) -all — (——-J I. (66) Утверждение 2. Согласно модели (66) дистанция в равновесном потоке, в котором все автомобили движутся с постоянной скоростью V, совпадает с желаемой дистанцией s (v). Доказательство. Аналогично доказательству утверждения 1. Для сравнения рассмотренных моделей воспроизведем следующий сценарий движения (Рисунок 8). В начальный момент скорость транспортного средства равна нулю, неподвижный лидер находится на расстоянии 50 метров впереди. Автомобиль начинает разгоняться, сокращая, таким образом, дистанцию, после чего наступает фаза торможения до полной остановки. В момент времени 20 секунд лидер начинает движения, по причине чего и рассматриваемый автомобиль начинает набирать скорость. Однако в случае модели «разумного водителя» и модели с весами скорость лидера и следующего за ним транспортного средства становятся отличными от нуля одновременно, в то время как по модели с запаздывающим аргументом скорость следующего автомобиля начинает расти спустя примерно 0.5 секунды, что соответствует заданному в модели времени реакции водителя.
Исследование локальной устойчивости модели с запаздывающим аргументом
Проверим полученные результаты путем численного эксперимента. Пусть количество автомобилей на кольце составляет N = 100. Зададим следующие значения параметров исследуемой модели (66): а = 4 м/с , V0 = 90 км/ч, s0 = 1 м, Т = 1 с, с = 0.1 с /м, D = 5 м, 5 = 4. В данном случае предполагается, что каждому транспортному средству соответствует один и тот же набор параметров. Следует отметить, что, с одной стороны, значения параметров удовлетворяют условию (85), с другой стороны, обеспечивают реалистичную динамику автомобиля. Согласно (107) и (ПО) получаем значение для тсг: тсг = 0.86 c. Для выполнения моделирования движения на кольце на основе системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом зададим историю для значений скорости и дистанции каждого из автомобилей в течение временного промежутка t Є [—т, 0]: v i0 = 60 км/ч, hi0 = s0 + Гг 0 + cvf0, і = 1, ...,N. Зададим некоторое правдоподобное возмущение в ускорении 100-го автомобиля
Посмотрим, как будет вести себя решение линеаризованной системы, функция ускорения для которой дается выражением (87). В данном случае исследуется именно линеаризованная система (а не исходная) с целью проверить полученные условия устойчивости (107) и (ПО). Пусть т = 0.9тсг, что гарантирует выполнение условия (ПО). Выполним моделирование для временного промежутка от 0 до 50 минут. На Рисунок 18 (верхний график) приведены результаты моделирования. Для наглядности представлены зависимости скорости от времени только для двух автомобилей - для 100-го и 90-го. Из графиков видно, что начальные колебания затухают со временем, а скорости транспортных средств стремятся к значениям, соответствующим равновесному состоянию на кольце. Аналогичным образом ведут себя зависимости скорости для остальных автомобилей.
Теперь положим т = 1.2тсг, т.е. условие устойчивости стационарного состояния на кольце нарушается. Результаты моделирования - зависимости скорости и дистанции от времени для 100-го и 90-го автомобилей - приведены на Рисунок 18 (нижний график). Видно, что с течением времени амплитуда колебаний значений скоростей растет, что говорит о неустойчивости решения.
Теперь проверим, как ведет себя решение исходной системы (98). Значения параметров модели, количество автомобилей, временной промежуток и начальные условия такие же, как и в эксперименте с линеаризованной системой. Сначала положим т = 0.9тсг. Результаты моделирования - скорость 100-го и 90-го автомобилей - приведены на Рисунке 18.
Рисунок 18. Решение линеаризованной системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом - зависимость скорости от времени. Условие устойчивости выполнено (верхний график) и нарушено (нижний график) Теперь нарушим условие (110), выбрав т = 1.2тсг. Графики зависимости скоростей от времени приведены на Рисунке 19 (второй график) - амплитуда колебаний остается постоянной со временем. Пусть т = 1.4тсг. Результаты моделирования показывают (Рисунок 20), что амплитуда колебаний скоростей возрастает со временем.
Решение исходной системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Зависимость скорости от времени. Первый график – условие устойчивости выполнено, исходные колебания затухают со временем. Второй график – условие устойчивости нарушено, амплитуда колебаний остается постоянной Рисунок 20. Решение исходной системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Зависимость скорости от времени. Условие устойчивости нарушено, амплитуда колебаний растет В рамках данной работы было установлено важное свойство исследуемой модели. Эмпирические данные свидетельствуют о существовании таких пространственно-временных структур как stop-and-go волны. Они возникают в результате небольших флуктуаций в значениях скоростей и дистанций, которые являются следствием конечных значений ускорения транспортного средства и временем реакции человека. При высоких плотностях транспортного потока такие структуры сохраняются и распространяются в противоположном потоку направлении. Модель автомобильного трафика (66) способна воспроизводить возникновение и распространение stop-and-go волн. Это является ее преимуществом, поскольку не все существующие модели позволяют симулировать данный феномен, наблюдаемый в эмпирических данных. Возникновение таких волн можно объяснить следующим образом. Малые флуктуации всегда присутствуют в транспортном потоке. Если плотность потока достаточно мала, то они затухают, и фаза свободного потока сохраняется. Однако если плотность превышает критическое значение, то флуктуации возрастают, и возникает транспортный затор, границы которого движутся с некоторой постоянной скоростью в противоположном направлении. На Рисунке 21 (график слева) приведена фундаментальная диаграмма, соответствующая исследуемой модели (66) с параметрами 0 = 1 м, = 1.5 с, = 0.1 с /м. Критическое значение времени реакции водителя для таких значений параметров - = 0.80 c, фактическое значение = 0.88 с. Для моделирования распространения stop-and-go волн необходимо рассмотреть плотный поток, чему соответствует убывающая ветвь графика фундаментальной диаграммы. Пусть количество транспортных средств на кольце составляет 50. Зададим историю для значений скоростей автомобилей в течение временного промежутка [-, 0]: 0 = 7 км/ч, = 1,…, . Значения для дистанций вычисляются согласно модели Танака (6). Такая исходная конфигурация транспортного потока выделена на Рисунке 21 (график слева) маркером. Зададим начальное возмущение в скорости первого автомобиля 1() = 0.5 sin(), [0, 2]. (112) Время моделирования составляет 12 минут. Длина каждого из автомобилей составляет 5 метров. На Рисунке 21 (график справа) приведены траектории всех транспортных средств. Цвет каждой точки траектории в каждый конкретный момент времени соответствует текущей скорости автомобиля (чем темнее оттенок серого, тем больше скорость). На графике можно видеть, что волны (для наглядности одна из которых выделена черным цветом) распространяются, во-первых, против движения потока, а во-вторых, с постоянной скоростью равной примерно 2.6 м/с. Это согласуется с результатами, полученными ранее на основе эмпирических данных [67]. Кроме того, в литературе приводится следующая формула для скорости волны [65]
Калибровка на основе реальных данных о траекториях автомобилей
Пусть согласно микроскопической модели функция ускорения зависит от скорости V и дистанции h до впереди идущего автомобиля и имеет вид i (t) = a(y(t), /i(t)). Тогда система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих динамику транспортного потока из N автомобилей, движущихся друг за другом, имеет вид 105 h1=vL- v± (...) (140) vN = aw(vN,hN) V hN = VW-1 — vN, с начальными условиями 17/(0) = i;/0,/i/(0) = hI0,1 = 1, ...,N. Для краткости перепишем систему (140) и начальные условия в следующем виде x(t) = F(x(t)), х(0) = х -0- , (141) где х = (vlthlt ...,vN,hN)T, F2i-i = a.(I\vI,hI), F2\ = vi-i vi.
В основе предложенного солвера с кратными шагами лежит оценка локальной ошибки численного интегрирования. Рассмотрим один макрошаг метода, который связывает решения на соседних макроуровнях tm_1 и tm = tm_1 + AT. В рамках одного макрошага для каждой компоненты вектора решения Xj, і = 1,...,2N выполняется fcj последовательных микрошагов Atj = AT/ki согласно базовой численной схеме, в качестве которой в данной работе используется явный метод Эйлера. Показатели кратности {fcj i определяются таким образом, чтобы удовлетворить условию точности, предъявляемому к решению исходной системы: lm = \\x m) — x(tm) є, (142) где х -171- - численное решение в момент времени tm, х - точное решение следующей задачи x(t) = F{x{t)),x{tm_1) = х -171-1- . (143) В данном случае используется бесконечная норма, поскольку условие точности должно быть выполнено для всех компонент, т. е. для всех автомобилей.
Стоит заметить, что в рамках макрошага для конкретной компоненты могут быть необходимы значения других компонент, которые, однако, не вычислены в определенные моменты времени. В нашем случае мы полагаем их равными значениям на момент начала текущего макрошага и принимаем это во внимание при выводе оценки ошибки lm. В конце каждого макрошага производится обновление значений вектора решения.
Рассмотрим і-ю компоненту вектора решения задачи (141). Определим количество последовательных микрошагов /q и соответствующую величину микрошага Atj = ДГ/ZCJ, которые гарантируют выполнение условия точности (142). Для того чтобы перейти с временного слоя tm на следующий tm + AT, необходимо выполнить ki последовательных шагов согласно базовой численной схеме:
Теперь получим выражение для точного решения Xj задачи (143) с начальными данными x(tm) = х -171- в момент окончания текущего макрошага tm + AT i(tm + AT") = х + ATFi(x m)) + —-y=1 —L(x(-mJJfy(x(-mJJ + 0(AT ). (150) Вычитая (149) из (150), получим ошибку численного интегрирования при выполнении одного макрошага (tm - tm + ДГ) ei,ki = dF Ат2 2W_ dFj (т) І h J І (151) Отбросив О (AT3), получим оценку ошибки численного интегрирования для г -ой компоненты вектора решения: estUk. = ДГ2 Il/=i- (x(m))F,(x(m)) Н——-L(x(-m Fi(x(jn . М I (152) 107 Если количество микрошагов в рамках одного макрошага равно 1, т.е. fcj = 1, то выражение (151) превращается в хорошо известное для явного метода Эйлера [95].
Пусть пользователем задана точность s, с которой должно быть получено решение. Тогда для каждой компоненты Xj, используя оценку (152), можно определить минимальное значение /Cj, которое будет гарантировать получение численного решения с требуемой точностью г m nkieN -i -es i,ki Е . (153)
Рассмотрим, как будет выглядеть оценка (152) применительно к системе (140), описывающей динамику транспортного потока. Для дистанции оценка локальной ошибки получена с точностью на один порядок выше, чем в общем случае (формула (152)). Это сделано из тех соображений, что, во-первых, водители в первую очередь оценивают дистанцию (а не скорость), во-вторых, координата получается путем интегрирования скорости по времени. Для дистанции I-го автомобиля оценка локальной ошибки схемы численного интегрирования с кратными шагами имеет вид est дг2 2I,k2I (a(/-D _ aa)) + Qerka-D -jerk )\, (154) где jerk = (ц a -7- + a (v/_! — vt) - рывок, a и a - частные производные функции ускорения а -7- по скорости и дистанции соответственно.
Оценка локальной ошибки для скорости I-го автомобиля получена непосредственно с использованием формулы (152) и имеет вид
Пусть для дистанции и для скорости заданы относительные точности eh и ev соответственно. Тогда величина макрошага ДГ и показатели кратности /c2/_i, 1 = 1, ...,N являются решением системы неравенств где a -0- - ускорение лидера для первого автомобиля в колонне. Если ДГ оказывается большим 0.5 секунды, то полагаем ДГ = 0.5 секунды, как среднему значению времени реакции водителя. Величина микрошага At2i полагается равной AT, поскольку в (154) показатель кратности не входит. Решение системы неравенств (156) выполняется в несколько этапов. Сначала на основе неравенств, записанных во второй строке (156), определяется минимальная величина ДГ, при 108 которой данный набор неравенств имеет решение хотя бы для каких-нибудь целых к21_1,1 = 1,...,N. Обозначим ее как Д7\. Затем из первого неравенства определяется минимальное значение AT, удовлетворяющее этому неравенству - АТ2. В качестве итогового значения для макрошага берется величина min(AT1,AT2), после чего из второй строки системы (156) определяются все показатели кратности, учитывая, что AT = гпіп(ДГ1, ДГ2).