Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математические модели осцилляторов 11
1.1. Модели осцилляторов на основе уравнений Пфаффа 11
1.2. О системах уравнений с неопределенными коэффициентами 13
1.3. Адаптивные модели осцилляторов 18
Выводы по главе 1 21
Глава 2. Математические модели осцилляторов на основе метода избыточных переменных для контроля и коррекции вычислительных процессов в условиях помех 22
2.1. О влиянии помех различного вида на вычислительные процессы и необходимости в контроле и коррекции 22
2.2. Общее описание метода избыточных переменных 29
2.2.1. Жесткие избыточные модели осцилляторов с алгебраической коррекцией 29
2.2.2. Коррекция в моделях осцилляторов с избыточностью 44
2.2.3. Контроль и коррекция моделей осцилляторов с избыточностью с непрерывной обратной связью 47
2.2.4. Гибкие модели осцилляторов с избыточностью
2.3. Анализ эффективности метода избыточных переменных 64
2.4. Выводы по главе 2 66
Глава 3. Вычислительные эксперименты для исследования осцилляторов в различных режимах и практические применения 67
3.1. Численные методы и эксперименты с воспроизведением плоских кривых 67
3.1.1. Осцилляторы на окружности, на эллипсе, на сложных кривых 68
3.2. Эксперименты с поворачивающейся контрольной плоскостью 82
3.3. Эксперименты с пространственными кривыми и поверхностями
3.4. Эксперименты с жесткими структурами 115
3.5. Эксперименты с гибкими структурами 120
3.6. Практические применения
3.6.1 Моделирование движения континентальных плит по поверхности земного шара 124
3.6.2 Применение метода избыточных переменных
в промышленности 132
3.4. Выводы по главе 3 136
Заключение 138
Список использованных источников
- Адаптивные модели осцилляторов
- Жесткие избыточные модели осцилляторов с алгебраической коррекцией
- Анализ эффективности метода избыточных переменных
- Эксперименты с пространственными кривыми и поверхностями
Введение к работе
Актуальность темы. Моделирование осцилляторов играет важную роль во многих отраслях современной науки и техники. Осциллятором можно назвать любую систему, если величины, ее описывающие, периодически или апериодически меняются со временем. Модели осцилляторов могут быть использованы в таких отраслях как программное управление оборудованием, навигационные системы, теория электромагнитного излучения, акустика, теория тяготения, теория твердого тела, теория колебательных спектров молекул и т.п.
В классических работах по осцилляторам в различных областях не рассматривались вопросы их моделирования на вычислительных машинах, тогда еще не было развитой вычислительной техники. Моделирование осцилляторов открывает новые возможности их исследования с помощью вычислительного эксперимента, но при этом возникают и дополнительные проблемы, которые и исследуются в диссертации.
При решении любых задач на ЭВМ неизбежно возникновение ошибок, являющихся результатом помех, сбоев, применением численных методов решения со слишком большим шагом дискретизации. Большинство методов обнаружения и исправления этих ошибок базируются на использовании аппаратной или временной избыточности.
Изучение вопроса контроля динамических систем получило широкое распространение в начале 20-го века. В нашей стране A.M. Ляпунов и Н.Г. Четаев вплотную подошли к данной проблеме. В связи с развитием вычислительной техники вопросы контроля вычислительных процессов приобрели особую остроту, так как для многих задач требовалось получать решение на длительных интервалах времени и при исследовании очень сложных систем уравнений, и так как вычислительные машины стали использоваться для целей управления.
Также задача обеспечения надежности динамических систем в последствие развивалась в работах таких ученых, как Л.Г. Евланов, СВ. Яблонский, Ф.Е. Темников, Н.Н. Пономарев, КБ. Карандеев, Г. Найквист, Р. Калман и др.
Возможности использования избыточности для борьбы с помехами были впервые осознаны в технике связи еще в 30-е годы, с появлением и развитием теории информации получило дальнейшее развитие понятие избыточности. Термин "избыточность" был введен в русскую техническую литературу при переводе классической работы К. Шеннона в 1953 году Н.А. Железновым, с именем которого тесно связана разработка проблемы избыточности в информационных системах.
В диссертации развивается метод избыточных переменных, в свое время предложенный М.Б. Игнатьевым и В.В. Михайловым, при помощи которого в данной работе решаются задачи диагностики, контроля и коррекции при моделировании сложных систем. Этот метод может быть отнесен к методам аналитической избыточности, хотя был предложен и описан задолго до того, как термин "аналитическая избыточность" получил в нашей стране широкую известность. М.Б. Игнатьевым рассматривались в основном аналоговые вычислительные структуры, в данной работе исследуются дискретные системы методом вычислительного эксперимента. А также в данной работе рассматриваются математические компью-
терные модели сложных систем, такие как движение континентальных плит на поверхности земного шара, что важно для исследования литосферной погоды и, в частности, землетрясений.
Метод избыточных переменных позволяет вводить избыточность на уровне исходной задачи, что открывает возможность наложить дополнительные ограничения на переменные расширенной системы, которые можно использовать в качестве контрольных условий. Например, если требуется решить дифференциальные уравнения:
то можно ввести новую, третью переменную в эту задачу
и на расширенную систему наложить дополнительное ограничение, например такое:
которое можно использовать в качестве контрольного условия — если оно нарушается, то сигнал ошибки можно использовать для коррекции системы.
Схема вычислительного процесса с контролем и коррекцией по методу избыточных переменных изображена на рис 1. В контрольном органе (КО) проверяется выполнение контрольного условия. Сигнал ошибки, полученный на выходе контрольного органа, может быть использован для коррекции вычислительного процесса с помощью обратной связи (пунктирная линия I на рис. 1) или с помощью коррекции вперед (пунктирная линия II на рис. 1). В блоке УС — устройство сжатия — осуществляется преобразование от избыточных переменных обратно к исходным. Блок ВУ — вычислительно устройство.
Рис. 1. Схема вычислительного процесса с коррекцией Аналогичным образом можно вводить избыточность в различные системы, накладывать контрольные условия и строить цепи коррекции. Актуальность темы подтверждается необходимостью реализовывать встроенные вычислительные устройства в различные блоки для программного управления оборудованием высокой ответственности в реальном времени.
Целью работы является исследование возможности построения моделей осцилляторов, заданных уравнениями Пфаффа или конечными уравнениями, в вычислительных системах с контролем и коррекцией на основе метода избыточных переменных в реальном времени. Для достижения данной цели необходимо решить следующие задачи:
-
Разработать аналитические методы контроля и коррекции как на основе использования естественной избыточности, так и на основе искусственной избыточности с обратной связью с проверкой результатов в вычислительных экспериментах.
-
Разработать метод коррекции "вперед" с использованием избыточных переменных с проверкой результатов в вычислительных экспериментах.
-
Разработать пакеты прикладных программ устойчивых моделей осцилляторов. Создать программный комплекс для автоматического генерирования структуры расширенных систем.
Научная новизна. Впервые разработаны и исследованы устойчивые модели осцилляторов с контролем и коррекцией по воспроизводимой функции, что подтверждается авторскими свидетельствами на пакеты соответствующих программ. Исследованы вопросы контроля решений обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых неизвестен первый интеграл, исследованы предельные возможности систем с линейным контролем и коррекцией как с помощью обратной связи, так и с помощью коррекции вперед при моделировании дискретных систем с использованием численных методов..
Методы исследования. Для решения поставленных задач и подтверждения исследований было использовано математическое моделирование с применением ЭВМ, теория цифровых аналогов, теория устойчивости динамических систем, вычислительный эксперимент. При исследовании математических моделей использовались численные методы Эйлера, Рунге-Кутты 4-го порядка, Dormand-Prince 5-го и 8-го порядков, Bogacki-Shampine 3-го порядка, Неші, Адамса, Розенброка, метод трапеций с переменным шагом дискретизации.
Теоретическая и практическая значимость. Моделирование осцилляторов, заданных уравнениями Пфаффа, играет большую роль в современной науке и технике, и модели должны отвечать критериям точности, надежности, адекватности и пр. В работе получил значительное развитие метод избыточных переменных, что позволило синтезировать устойчивые модели осцилляторов с контролем и коррекцией по воспроизводимой функции путем использования собственной внутренней избыточности системы или повысить помехоустойчивость добавлением избыточности с незначительными затратами ресурсов, что особенно важно при моделировании осцилляторов, как неустойчивых систем. Разработанные пакеты прикладных программ являются практическим инструментом для синтеза помехоустойчивых вычислительных систем исходя из конкретных задач и имеющихся ресурсных ограничений по быстродействию, объемам памяти и другим параметрам. Результаты, полученные в работе, позволяют моделировать и строить вычислительные устройства в реальном времени для систем программного управления оборудованием, навигационных систем, движения материковых плит и т.д.
Апробация работы. Результаты работы апробированы на конференциях: Информационные ресурсы в образовании (всероссийская научно-практическая конференция, г.Нижневартовск, 14-16 апреля 2011 г.), Культура, наука, образование: проблемы и перспективы (всероссийская научно-практическая конференция, г.Нижневартовск, 7-8 февраля 2012 г.), Информационные ресурсы в образовании (международная научно-практическая конференция, г.Нижневартовск, 27-29 марта 2012 г.), Региональная информатика «РИ-2012» (юбилейная XIII санкт-петербургская международная конференция, г. Санкт-Петербург, 23-24 октября 2012 г.), Информационные ресурсы в образовании (международная научно-практическая конференция,
г.Нижневартовск, 17-19 апреля 2013 г.), Международный латиноамериканский форум и выставка инновационных разработок молодых ученых PeRuSat-2013 (г.Лима, Республика Перу, 17-22 сентября 2013 г.), Информационная безопасность регионов России (VIII Санкт-Петербургская межрегиональная конференция, г.Санкт-Петербург, 23-25 октября 2013 г.); а также доклад по теме диссертации был представлен на семинаре Дома ученых им. М. Горького РАН в секции кибернетики (г. Санкт-Петербург, 23 марта 2015 г.)
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 12 научных работах, в их числе 4 статьи в ведущих российских рецензируемых научных журналах и изданиях, рекомендованных ВАК. Список работ приведен в конце автореферата. В совместных с научным руководителем работах научному руководителю принадлежит постановка задачи, в диссертацию вошли только результаты, полученные ее автором. Из остальных работ, выполненных в соавторстве, в диссертацию включены только те результаты, которые были получены лично Катерминой Т.С. и не затрагивают интересов других соавторов.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем диссертации составляет 160 страниц, работа содержит 52 рисунка и 17 таблиц. Список литературы состоит из 98 наименований.
Адаптивные модели осцилляторов
Для того чтобы воспроизводить кривые и поверхности, заданные с помощью системы уравнений Пфаффа, т.е. системы уравнений вида (1.4), в данной работе предлагается построить расширенную систему эквивалентных уравнений. Определим алгоритм построения расширенной системы эквивалентных уравнений из данных.
Построение любого вычислительного процесса связано с выделением выходных переменных среди исследуемых основных соотношений и с организацией такого процесса, чтобы эти переменные вычислялись в функции от входных параметров. Назначение выходных переменных и входных параметров в основных соотношениях осуществляется в процессе постановки задачи. В данном случае рассматриваются системы, описывающиеся конечными уравнениями или уравнением Пфаффа [20, 60, 71], причем число переменных в них равно или больше числа уравнений связи. Уравнения Пфаффа являются квазилинейными уравнениями относительно дифференциалов переменных, а конечные уравнения могут быть приведены к квазилинейному виду либо путем дифференцирования, либо путем выделения выходных переменных среди групп слагаемых в уравнениях. Таким образом, для определения структуры уравнений систем с избыточностью необходимо исследование квазилинейных систем с неопределенностью.
При исследовании таких систем в алгебре [18, 34] принято избавляться от неопределенности путем разделения переменных системы на две группы: на группу главных и группу свободных переменных, при этом число главных переменных меньше или равно числу уравнений связи. Главные переменные определяются в функции от свободных переменных и матрицы коэффициентов. В этом случае исследуется частная система, полученная из общей системы (1.5), что при изучении ее поведения в целом является неудобным и при отсутствии априорной информации о коэффициентах qtj приводит к плохой обусловленности решения или некорректности. Метод избыточных переменных предполагает другой путь. Общее решение системы — вектор X строится в функции от коэффициентов qtj и группы новых переменных — произвольных коэффициентов и [25]. Задаются конкретные значения этим коэффициентам, получаются частные решения системы, осуществляется задание различных поведений на заданных многообразиях (1.5).
С любым числом переменных п т определяется структура уравнений для Xj,у = 1,2,...,и [25]. Число произвольных коэффициентов в этом случае будет равно s = c„m+1. (1.6) На основании изложенного выше был предложен следующий алгоритм определения структур уравнений с неопределенными коэффициентами [25]. Пусть требуется найти дифференциальные уравнения, решения которых располагаются на поверхностях
Знаки перед членами уравнений (1.8) определяются по следующему закону: рассматривается порядок верхних и нижних индексов у буквы D, например, против часовой стрелки, и если имеется нечетное число нарушений порядка, то перед этим членом ставится минус, в других случаях ставится плюс. То есть для членов верхней строки имеем порядки: 123, 124, 134 — в них нет нарушений, и они идут с плюсом; во второй строке имеем 213 — одно нарушение (2 больше 1) — знак минус, 214 — знак минус, 234 — нарушений нет — знак плюс, и т.д.
Заметим, что решения уравнений (1.8) располагаются на поверхностях (1.7) лишь в том случае, если начальные условия системы (1.8) удовлетворяют уравнению (1.7).
Наличие неопределенных коэффициентов в структуре уравнений позволяет управлять поведением такой системы, оставаясь на заданных многообразиях. Например, для задания движения координаты х4 к максимуму можно положить
Неопределенные коэффициенты в структуре этих уравнений можно использовать для удовлетворения начальных и краевых условий и для определения значений искомой функции в интересующих точках.
Следует заметить, что при построении общего решения уравнений нами использованы все линейные комбинации частных решений этих уравнений. Структура полученного общего решения является равноправной относительно миноров коэффициентов исходных уравнений, что позволяет, в частности, задавать любые движения на исходных многообразиях.
Модель "среда-система" [27, с. 31] На этом рисунке переменные системы х1..хк взаимодействуют с переменными среды Уі-ук, а сигналы рассогласования подаются в блок управления. У системы есть две возможности приспособиться к изменениям в среде: с помощью манипуляции произвольными коэффициентами или при помощи наложения или снятия дополнительных ограничений, т.е. обучения системы.
Рассмотрим изменение адаптационных возможностей системы с неопределенными коэффициентами в зависимости от количества переменных в исходных соотношениях и самих этих соотношений. Как показано в [27] адаптационные возможности системы тем выше, чем больше в ней неопределенных коэффициентов, которые могут служить как для обеспечения роста или уменьшения какой-либо переменной, так и для изменения траектории движения по заданным многообразиям. Более подробно это будет показано в главе 2. В данном пункте приведем условия, при которых достигается максимальное количество неопределенных коэффициентов.
Жесткие избыточные модели осцилляторов с алгебраической коррекцией
Для того чтобы определить hj, необходимо в данном случае иметь три уравнения вида (2.55). Их можно получить, используя различные значения коэффициентов на заданном интервале времени. Таким образом, для каждого момента времени будем иметь систему линейных алгебраических уравнений:
При повороте плоскости, то есть при перестройке правых частей уравнений (2.54), часть помех будет поворачиваться вместе с плоскостью. Для того чтобы определить, какая доля помех поворачивается, можно взять еще одну контрольную плоскость A4 = m Xj, j = 1,2,3, и для нее экспериментально получить величину А4 и сравнить расчетное и экспериментальное значение этих величин. Если между ними большая разница, то таким способом определить ошибки нельзя. Полученные в результате экспериментов и расчетов по формулам (2.56) величины hj для нужных моментов времени могут быть использованы для коррекции решения, соответствующего этим моментам времени fe) = (0-MO, (2.58) где tx любое в интервале (t0). В результате экспериментов с поворачивающейся плоскостью определяется направление вектора помех, и эта информация может быть использована.
В системе с двумя контрольными условиями, при повороте сразу пары плоскостей, необходимое число поворотов будет примерно (п + 2)/2. В этом случае затраты времени на идентификацию вектора помех уменьшаются в два раза по сравнению с системой, где только одна поворачивающаяся плоскость.
Если число контрольных плоскостей к, то число необходимых поворотов (п + к)/к, и минимальное число поворотов будет при к&п, оно равно двум при к « 3/2. Таким образом, здесь возможен обмен между затратами аппаратуры и затратами времени для определения вектора помех. Чем больше контрольных плоскостей, то есть чем больше избыточность аппаратуры, тем меньше раз требуется повернуть пучок плоскостей, тем меньше затраты времени, и наоборот. Конкретная рекомендация по числу контрольных плоскостей зависит от размерности и сложности задачи и от вида используемой вычислительной машины, ее параметров по быстродействию, памяти и т.п. 2.2.3. Контроль и коррекция моделей осцилляторов с избыточностью с непрерывной обратной связью
Далее рассмотрим вопрос о построении структур с контролем и коррекцией по воспроизводимой функции [25].
Если исходная, дифференцируемая в заданной области изменения переменных, функция имеет вид F(yl,y2)= О, то введя в качестве сигнала ошибки новую переменную уъ, получим Величина уъ подсчитывается в контрольном органе по формуле (2.59), она известна, и ее можно использовать для коррекции, назначив неопределенные коэффициенты и2 и и3 таким образом, чтобы у3 —» 0. НУЮ У2О)=-Последнее уравнение системы (2.61) служит только для теоретического рассмотрения вопроса о назначении коэффициентов, оно прямо не решается в устройстве, в рассматриваемом случае оно будет иметь вид откуда следует, что уъ устойчиво стремится к нулю при коэффициенте усиления в цепи коррекции а 0. С помощью коэффициента щ задается скорость и направление движения по заданной траектории F(yl,y2) = 0.
Таким образом, из всего вышесказанного можно сформулировать алгоритм построения устойчивых моделей плоских кривых, при условии, что известен первый интеграл, т.е. воспроизводимая функция, дифференцируемая в заданной области изменения переменных, задающая кривую, например:
Назначить неопределенные коэффициенты таким образом, чтобы уъ —»0. Для построения устойчивой модели пространственной кривой необходимо дополнительное контрольное условие, т.к. пространственная кривая является пересечением двух поверхностей. Это контрольное условие может быть как линейным, так и нелинейным. Также, необходимо введение еще одной дополнительной переменной — в качестве сигнала ошибки второго контрольного условия. Далее следует выполнять действия, аналогичные указанным в приведенном выше алгоритме.
Если функция, которую требуется воспроизвести, задается пересечением дифференцируемых многообразий т п, при этом случай т = п означает требование решить, найти корни нелинейной системы конечных уравнений; случай т = п -1 означает требование воспроизвести заданную линию, одномерное многообразие, в п-мерном пространстве; случай т = п-2 означает требование воспроизводить траектории на заданной многомерной поверхности, на двумерном многообразии, и т.д.; то, введя новые дополнительные переменные, получим
Можем построить эквивалентную для (2.69) систему дифференциальных уравнений, которая будет содержать S = С+т неопределенных коэффициентов, часть из которых можно использовать для построения цепи коррекции. Например, для двух пересекающихся многообразий с четырьмя переменными где у5 и у6 — сигналы ошибок на выходах контрольного органа, структура эквивалентных для (2.70) дифференциальных уравнений будет содержать двадцать неопределенных коэффициентов и будет иметь вид:
Очевидно, что коэффициенты первой группы нельзя использовать для коррекции, коэффициенты второй группы можно использовать для коррекции либо по у5, либо по у6, а коэффициенты третьей группы могут быть использованы для коррекции сразу по обеим переменным у5 и у6, для коррекции с перекрестными связями. Вначале для простоты положим % = % = и\9 = Що = (2.72) что позволяет развязать переменные у5 и у6, и назначим коэффициенты второй группы так, чтобы у5 — 0, у6 —» О при условии, что величины у5 и у6 известны как результат вычислений в контрольном органе,
Из условий устойчивости должно быть а 0, Р 0. Тогда выражения в квадратных скобках обращаются в нуль только в особых точках исходной системы уравнений. Такую коррекцию будем называть полной коррекцией по воспроизводимой функции без перекрестных связей. По условиям устойчивости можно было бы использовать для коррекции не шесть, а меньшее число неопределенных коэффициентов, но при этом возрастет число случаев, когда коррекция действовать не будет, не смотря на наличие сигнала ошибки, отличного от нуля.
Анализ эффективности метода избыточных переменных
Таким образом, при помощи добавления второго контрольного условия в виде контрольной плоскости удается удержать точку на заданной траектории и добиться уменьшения величины ошибки. Не смотря на то, что на расширенную по методу избыточных переменных систему действует больше помех, видно, что возможностей манипулирования этой системой и снижения ошибки также становится больше.
Приведем пример части тора, построенной при помощи метода избыточных переменных, представленный на Рисунке 3.41. При построении был использован метод Bogacki-Shampine с постоянным шагом дискретизации, равным 0.05 и а = 1.
Данные Таблицы 3.14 косвенно подтверждают тезис о том, что чем сложнее система, тем меньше необходимо искусственной (добавленной извне) избыточности для контроля и коррекции, т.к. чем сложнее система, т.е. чем больше переменных содержит изначально, тем меньше разница между размером файла с коррекцией и без.
В пункте 2.2.1 второй главы данной работы показана возможность использовать операцию сжатия для уменьшения влияния сигнала ошибки на решение жестких алгебраических систем. Операция сжатия в данном случае означает переход от расширенной системы с избыточными переменными к исходной системе пфаффовых уравнений. Далее исследуем системы, рассмотренные в пункте 2.2.1 второй главы, и сравним полученные результаты. Т.к. все эти системы описывают движение точки по окружности, сравним их с системой, описывающей движение точки по окружности, но без избыточных переменных.
Для уменьшения влияния помехи, параллельной контрольной плоскости, т.е. плоскости задаваемой контрольным условием, может быть использовано устройство сжатия при соответствующем подборе а , bt, mi.
Промоделируем в данных вычислительных экспериментах влияние ошибок двух видов: ошибка вследствие неточности численного метода и одиночная случайная помеха.
В первом эксперименте рассмотрим величину ошибки, вызванной неточностью численного метода, в частности метода Heun. Интервал моделирования, шаг дискретизации и величина полученной ошибки показаны в таблице 3.15.
Как видно из результатов вычислительных экспериментов, Система 2 не дала положительных результатов. Системы 1 и 3 по сравнению с простой моделью осциллятора имеют положительные результаты. При этом, чем больше интервал работы модели, и чем меньше шаг дискретизации, тем лучший результат показывает процедура сжатия. Наилучшие результаты по сравнению с системой без избыточных переменных можно получить, используя Систему 3 и метод Heun с шагом дискретизации 0.05 и интервалом моделирования 1000.
Т.к. Система 2 не дала положительных результатов в предыдущем эксперименте, она не будет рассматриваться в эксперименте с одиночной случайной помехой.
В данном случае, введем в систему блок, в определенное время добавляющий к одной из переменных системы помеху, величина которой равна 0.1. Интервал моделирования равен 5.
Анализ результатов проведенных экспериментов показал, что использование алгебраической коррекции особенно эффективно, когда на систему действуют одиночные помехи, и имеет менее значительные результаты в случае, когда ошибки вызваны неточностью численного метода.
В пункте 2.2.4 второй главы данной работы были описаны гибкие структуры, которые позволяют развить возможности коррекции и диагностирования систем. Приведем несколько экспериментов с гибкими структурами. Напомним, что гибкими в данной работе предлагается считать структуры, в которых число переменных пх в расширенных структурах, число контрольных условий к и число исходных переменных п связаны соотношением пх п + к, за счет чего с помощью произвольных коэффициентов оказывается возможным осуществлять перестройку работы системы без нарушения функционирования так, чтобы обходить неисправные места в схемах и алгоритмах.
В качестве исходного уравнения в нашем случае возьмем: результаты показали, что в данном случае удается полностью исключить влияние помехи.
Далее были проведены эксперименты, в которых блок, попавший под воздействие помехи, отключается в двух различных вариантах: сразу после окончания действия помехи и по окончании интервала модельного времени равного 5 после окончания действия помехи. Также были проведены эксперименты, в которых блок с ошибкой не отключается вовсе. Эксперименты проводились для всех блоков D системы, и показали, что такой способ коррекции наиболее эффективен, когда заранее известно время и место возникновения ошибки, т.е. вычислительный блок, в котором она может произойти. В этом случае можно интерактивно, не нарушая работу всей системы в целом, отключить только ту ее часть, в которой может произойти ошибка, еще до ее возникновения.
В данном пункте рассматриваются примеры практического применения метода избыточных переменных при моделировании, программном управлении станками для воспроизведения кривых и поверхностей, промышленными роботами, а также рассматривается возможность распространить данный метод на улучшение работы 3d принтеров.
Эксперименты с пространственными кривыми и поверхностями
Рассмотрим сначала такое устройство, как промышленный контроллер. Любой промышленный контроллер, например, программируемый логический контроллер или встроенный электронный контроллер имеет в своем составе специальные датчики, при помощи которых можно организовать обратную связь. По своей сути станки с ЧПУ (числовым программным управлением) — это устройства, работающие в реальном времени, и нужно так организовать обратную связь, чтобы при необходимости исправить неверное направление движения работы станка правильная траектория высчитывалась автоматически также в режиме реального времени. Для определения необходимой траектории движения рабочего органа в целом (инструмента/заготовки) в соответствии с управляющей программой используется интерполятор, рассчитывающий положение промежуточных точек траектории по заданным в программе конечным точкам, таким образом, если датчиком будет замечено отклонение от заданной траектории, то при помощи интерполятора (если есть специальные указания в управляющей программе), исполнительные элементы станка просто вернутся на нужную траекторию. В этом случае от времени отклика на нарушение зависит насколько сильным будет отклонение.
Метод искусственных переменных помогает решить эту задачу, так как возможно так запрограммировать контроллер, чтобы при поступлении первых сигналов об ошибке немедленно сработала обратная связь в сторону уменьшения ошибки. В п. 2.2 показаны различные варианты такой коррекции. Кроме того, если заранее известна априорная информация о возможной ошибке, избежать ее можно при помощи коррекции "вперед" по методу избыточных переменных. В настоящее время в качестве языка программирования ЧПУ используются различные системы параметрического программирования, расширяющие возможности языка G-code и позволяющие организовать должным образом обратную связь.
Рассмотрим теперь исполнительные механизмы, в частности сервоприводы и шаговые электродвигатели.
Сервопривод (следящий привод) — привод с управлением через отрицательную обратную связь, позволяющую точно управлять параметрами движения.
Сервоприводом является любой тип механического привода (устройства, рабочего органа), имеющий в составе датчик (положения, скорости, усилия и т. п.) и блок управления приводом (электронную схему или механическую систему тяг), автоматически поддерживающий необходимые параметры на датчике (и, соответственно, на устройстве) согласно заданному внешнему значению (положению ручки управления или численному значению от других систем).
Таким образом, сервопривод — устройство, принимающее на вход сигнал с датчиков и управляющего устройства, и при помощи обратной связи реализующее движение по заданной траектории. Устройство управления может быть встроено в сервопривод, так что есть все основания полагать, что работу сервопривода можно улучшить, если устроить ее при помощи обратной связи с МИП.
Главным достоинством шагового электродвигателя, в отличие от серводвигателя, является точность, т.к. шаговый двигатель поворачивается строго на определенный угол в зависимости от потенциала, поданного на обмотку, но возможна ситуация "проскальзывания", например из-за несовершенства управляющей программы, из-за ускорения старта или торможения. В таком случае бывает очень трудно вернуть исполнитель на необходимую траекторию, так как электрически это никак не может быть замечено, и все последующие движения будут совершаться с ошибкой. Для устранения этого недостатка устанавливают датчики обратной связи. Таким образом, применение МИП возможно и при работе шагового электродвигателя.
От станков с ЧПУ перейдем к промышленным роботам, состоящим из манипулятора и системы управления.
При работе манипулятора, наличие избыточных степеней свободы, во-первых, вызывает трудности в управлении системой, во-вторых, позволяет повысить точность и надежность выполнения заданий [96].
Механические руки манипуляторов тоже предназначены для выполнения многих работ, поэтому их кинематические схемы содержат значительно большее число степеней свободы чем то, которое необходимо для выполнения какой-либо одной работы. Каждый шарнир манипулятора обычно имеет одну или две угловых степени свободы, изменяя которые с помощью автоматизированного привода, изменяют положение конечной точки руки-схвата с инструментом так, чтобы выполнить ту или иную работу — завинтить гайку, взять предмет и перенести его в заданное место и т.п. Таким образом, манипулятор содержит естественную избыточность, которую целесообразно использовать при управлении промышленным роботом.
ЗО-принтер — это устройство, позволяющее воспроизводить пространственные объекты не путем их вырезания, а путем послойного создания объекта по цифровой ЗБ-модели [90, 92].
Независимо от того, какая используется технология формирования слоев в том или ином ЗО-принтере (лазерная или струйная), а также технология позиционирования (декартова или при помощи трех параллелограммов, сдвигаемых тремя радиально-симметрично расположенными двигателями) устройство управления в ЗО-принтере может быть организовано также, как и в станке с числовым программным управлением. Таким образом, возможно организовать его работу так, чтобы применение метода избыточных переменных способствовало наибольшей точности воспроизведения пространственных объектов. Точность работы ЗО-принтеров становится тем важнее, чем более развивается эта индустрия и ЗО-принтеры получают все большее применение в строительстве, производстве продуктов питания, а также в медицине при протезировании и производстве имплантов, и т.д.