Модели и алгоритмы фрактального анализа хаотических временных рядов в реальном масштабе времени Загайнов Артем Игоревич

Введение к работе

Актуальность темы исследования. Одним из актуальных направлений

развития теории динамических систем и их многочисленных приложений

является группа практических задач, связанных с нестационарной и хаотической

динамикой управляемых процессов. Важнейшими представителями данного

научного тренда являются прикладная теория хаотических процессов и методы

фрактального анализа наблюдений (В.С. Анищенко, Б.П. Безручко, Д.П.

Кратчфилд, А.Н. Павлов, Г. Шустер).

Основанием для развития численных методов анализа хаотических

процессов послужила фундаментальная работа Ф. Такенса, позволяющая

сравнивать топологии форм построенных аттракторов в различных фазовых

пространствах. Следствием указанных результатов явилась возможность

определения степени хаотичности изучаемых процессов на основе оценки

размерности фазового пространства, в котором эволюционировало

топологически эквивалентное отображение исходной конечномерной системы

однородных нелинейных дифференциальных уравнений, описывающей

исходный временной ряд. Однако на практике такой численный анализ

столкнулся с большим количеством трудностей, касавшихся, прежде всего,

оценивания параметров вычислительных процедур (например, параметр

задержки Такенса, размерность пространства вложения и др.). Подобные

вычислительные исследования ведутся и по сей день (М.А. Неренберг, В.А.

Головко, В.А. Машин, Р.С. Ахметханов, Г.В. Гудков, М.Н. Швырло и др.).

С другой стороны, появилось большое число примеров практического

применения теории хаоса в различных областях естественнонаучного знания. В

частности, временные ряды, описывающие реальные процессы в биомедицине,

экономике, технической диагностике и пр. подвергались фрактальному анализу

с целью построения нового класса прогностических индикаторов, базирующихся

на концепциях фрактальной математики (В.С. Анищенко, Р.С. Атметханов, Г.В.

Гудков, Я.Б. Данилевич, А.А Меклер и др.). Например, такие индикаторы, как

фрактальная размерность, аппроксимированная энтропия, старший показатель

Ляпунова, показатель Херста, строились для установления степени детерминированности изучаемого процесса или степени близости данного процесса к случайному и пр. Отсюда возник ряд исследований, указывающий на перспективность применения фрактальных показателей к анализу прикладных временных рядов, описывающих результаты мониторинга реальных процессов (M. Malik, Р.М. Баевский, Г.В. Рябыкина и др.).

В качестве примера применения фрактального индикатора можно привести фундаментальные исследования фетального ритма плода (ритма плода при беременности) (Г.В. Гудков). Задача состояла в нахождении индикатора наличия нелинейной взаимосвязи фрактального процесса сердечного ритма с возможностью эффективного родоразрешения при различной патологии (например, внутриутробной гипоксии). Подобные примеры можно привести в экономике, метеорологии и пр., где возникают временные ряды с хаотическими свойствами.

Степень разработанности темы исследования. Проведенные

исследования сформировали важное научное и прикладное направление в
области анализа хаотических процессов. Однако большинство перечисленных
выше работ носят частный характер, устанавливают искомые оценки для
конкретных рядов наблюдений без построения общей методики численного
оценивания индикаторов разладок. Основное внимание здесь уделяется
хаотическим процессам с установившейся структурой, в то время как многие
реальные процессы содержат не только параметрические, но и структурные
изменения. Возникает научная задача исследования трансформации

изменяющегося аттрактора в реальном масштабе времени с целью установления детерминированности (или возможной детерминированности), ригидности и регулярности наблюдаемого хаотического процесса в настоящий или последующий момент времени. Последнее необходимо для выявления и классификации степени хаотической детерминированности наблюдаемого исследуемого процесса в реальном масштабе времени.

Важной особенностью проведенных исследований является сравнение
построенных индикаторов с так называемыми мультифрактальными

показателями, то есть сформированными не одной фрактальной порождающей процедурой, а несколькими. Подобные исследования необходимы для установления степени мультифрактальности как характеристики исходного процесса и формирования общих рекомендаций о его возможной детерминированности.

Заметим, что современные исследования ограничивались задачей установления мультифрактальности и ее степени. Результаты проведенной работы позволили снять указанное ограничение.

Ранее выполненные разработки по тематике фрактального анализа не содержали программного обеспечения для проведения численных исследований в реальном масштабе времени. Известные разработки в этой области характеризовались такими недостатками, как неполнота спектра изучаемых показателей (например, спектра фрактальных размерностей), отсутствие прогностических результатов (например, предсказание патологий в медицине), отсутствие практических рекомендаций по управлению изменением параметров обработки при оценке фрактальных индикаторов.

В настоящей работе создано специальное программное обеспечение, полностью или частично снимающее перечисленные ограничения.

Цели и задачи работы. Цель диссертационного исследования состоит в
повышении оперативности и достоверности процессов мониторинга и
прогнозирования состояния прикладных хаотических систем на основе
проведения моно- и мультифрактального численного анализа

многокомпонентных временных рядов наблюдений, описывающих их поведение.

Задачи диссертационного исследования:

1. Критический анализ существующей методологии и технических средств исследования нелинейных многокомпонентных хаотических систем.

1. Разработка модели прогнозирования эволюции фрактальных показателей в реальном масштабе времени для прикладных хаотических процессов.

2. Создание нового метода вычисления скейлингового диапазона (диапазона постоянства корреляционного интеграла) с повышенным уровнем достоверности определения корреляционной размерности.

4. Разработка алгоритма вычисления оптимального вейвлета, выявление и сравнение особенностей и различий мультифрактального спектра для рядов хаотических наблюдений, сгенерированных монофрактальными отображениями.

5. Реализация разработанных методов и алгоритмов многокомпонентных хаотических систем в виде программного комплекса, демонстрация вычислительных возможностей и качества полученных результатов.

Научная новизна. В диссертации получены следующие результаты, характеризующиеся научной новизной:

1. Разработана и реализована модель прогнозирования процесса изменения фрактальных показателей в реальном масштабе времени. Предложен ряд фрактальных функциональных критериев состояния исследуемой хаотической системы на основе оценки параметров трендов корреляционной размерности, аппроксимированной энтропии, показателя Херста, старшего показателя Ляпунова и др. Модель протестирована на примере известных моделей детерминированного хаоса, что позволяет повысить обоснованность ее применения для реально существующих процессов естественнонаучного происхождения.

2. Предложен метод построения скейлингового диапазона корреляционного

интеграла на основе вычисления совместной функции плотности вероятности

нахождения точек на аттракторе. Показаны преимущества рассмотренного

подхода по сравнению с уже существующими при оценке фрактальной

размерности, состоящие в более точном определении границ постоянства

корреляционного интеграла для его аппроксимации прямой зависимостью в

найденном диапазоне.

3. Построены тренды корреляционной размерности и аппроксимированной
энтропии «длинных» (длиной 10⁴-10⁵ отсчетов) рядов результатов мониторинга,
таких как суточная вариабельность сердечного ритма (ВСР). Установлено, что в
норме для различных фазовых пространств они характеризуются определенным
образом (тренды корреляционной размерности не изменяют своей формы, а
тренды аппроксимированной энтропии при увеличении детерминированной
составляющей в исходном сигнале становятся одинаковыми при изменении
размерности фазового пространства). Этот результат позволил сформулировать
гипотезу о характере трендов корреляционной размерности и энтропии.

4. Показано, что сконструированный прогностический индикатор
корреляционной размерности продемонстрировал правомерность гипотезы о
характере постоянного тренда для 79% случаев фибрилляции желудочков
известной базы Sudden Cardiac Death Holter Database сервера PhysioNet. Для
одной из 16 обработанных записей временных рядов биржевых индексов
котировок валют найден регулярный аттрактор с постоянной во времени
корреляционной размерностью и нулевой аппроксимированной энтропией, что
говорит о возможности реконструкции его динамической системы в виде
конечномерной системы дифференциальных уравнений, с помощью которой
возможно проводить прогнозирование динамики эволюции исходного
временного ряда.

5. Предложен алгоритм построения оптимальной с точки зрения

предложенного критерия вейвлет-образующей функции при мультифрактальном

исследовании рядов хаотических наблюдений. Найдены оптимальные значения

скейлинговой экспоненты распределения локальных максимумов непрерывных

вейвлет-преобразований как для модельных тестовых данных (формируемых

генераторами моделей детерминированного хаоса), так для биомедицинских и

экономических рядов хаотических наблюдений. Данный результат позволяет

разложить некоторые прикладные мультифрактальные хаотические временные

ряды наблюдений на монофрактальные составляющие с целью их дальнейшего

исследования по отдельности.

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы состоит в разработке новой модели, вычислительного метода и алгоритма определения численных индикаторов хаотических процессов, работоспособность которых показана на результатах долговременного мониторинга биомедицинских, экономических и других процессов. Применения предложенной модели и численных алгоритмов позволило получить вычислительные алгоритмы для новых прогностических индикаторов разладки хаотических временных рядов наблюдений.

Практическая значимость состоит в создании трех независимых программных комплексов:

1. Программный комплекс для вычисления фрактальных характеристик
аттракторов (фрактальных размерностей, энтропии, показателя Херста, старшего
показателя Ляпунова и пр.) временных рядов наблюдений, описывающих
поведение хаотических систем в реальном масштабе времени. Программный
комплекс позволяет осуществить визуализацию изменения фрактальных
характеристик и их трендов и дает возможность повысить оперативность
определения фрактальных индикаторов разладки хаотических процессов по
сравнению с известными аналогами.

2. Комплекс прикладных медицинских программ для вычисления
фрактальных размерностей временных рядов наблюдений, отображающих
скорости кровотока и системного артериального давления в сосудах головного
мозга. Комплекс работает совместно допплерографом MULTIDOP-X, что
позволяет повысить достоверность определения патологий сосудов головного
мозга по сравнению с существующими технологиями в среднем на 10%.

3. Программный комплекс вычисления мультифрактальных характеристик

прикладных хаотических процессов, реализующий расчет скелинговой

экспоненты в алгоритме нахождения оптимальной вейвлет-образующей

функции. Данный инструмент позволяет обрабатывать различные хаотические

ряды наблюдений и выявлять степень их мультифрактальности для наиболее

известных вейвлетов. В случае установления конечности монофрактальных

составляющих осуществляется разложение исходных рядов наблюдений на

отдельные компоненты, что позволяет повысить точность идентификации структуры разладки исследуемой хаотической системы.

Положительный эффект от применения разработанных методов состоит в возможности в реальном масштабе времени осуществлять предсказания прикладных процессов детерминированного хаоса, порождающего в процессе мониторинга исходные временные ряды наблюдений (например, медико-биологического происхождения).

Методология и методы исследования. В диссертации разрабатывалась и
модифицировалась фрактальная и мультифрактальная методология

исследований временных рядов наблюдений, описывающих поведение сложных хаотических систем в реальном масштабе времени. В процессе исследований применялись статистические, спектральные, корреляционные и др. методы.

На защиту выносятся:

1. Модель прогнозирования эволюции фрактальных показателей в реальном
масштабе времени;

2. Метод вычисления скейлингового диапазона оценки корреляционного
интеграла хаотических процессов при монофрактальном методе исследований;

3. Алгоритм определения оптимальной вейвлет-образующей функции,
описывающей спектрально-временное представление исследуемых хаотических
процессов при мультифрактальном исследовании;

4. Программные комплексы фрактальной обработки хаотических
временных рядов, позволяющие оценить фрактальные индикаторы разладки для
прикладных процессов естественнонаучного происхождения.

Степень достоверности и апробация результатов.

Достоверность результатов диссертационного исследования подтверждена двумя актами внедрения: акт внедрения в АНО «XXI-век», внедрение в образовательный процесс ВКА им. А. Ф. Можайского на практических занятиях по дисциплине «Программирование».

Проекты «Аппаратно-программный комплекс энтропийно-динамического
мониторинга кардиоритма», «Программная составляющая автоматизированного
комплекса вычисления фрактальных компонент вариабельности сердечного
ритма», «Процессы переноса во фрактальных средах и системах: свойства и
размерности» и «Выявление границ применения мультифрактальных численных
методов к исследованию сердечнососудистой патологии» поддержаны грантами
Российского Фонда Фундаментальных Исследований (гранты 09-08-01135-а, 10-
08-11513-с, 09-08-01111-а, 12-08-31108-мол_а). Результаты работы
использовались при подготовке ежегодных промежуточных или итоговых
отчетов о НИР СПбГПУ им. Петра Великого.

Основные теоретические положения, алгоритмы, используемые в работе и их практическая реализация обсуждались и докладывались на: The XIII International Conference «Applied Stochastic Models and Data Analysis» (Vilnius Gediminas Technical University, 2009), International Conference «Stochastic Modeling Techniques and Data Analysis» (Mediterranian Agronomic Institute of Chania, 2010), International Conference «Stochastic Modeling Techniques and Data Analysis» (Lisbon, Portugal, 2014), XXIX-й Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях» (ММТТ-29, Санкт-Петербургский Государственный Технологический Институт, 2016).

По теме диссертации опубликовано четырнадцать печатных работ, в том числе восемь – в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. Одна работа поддержана грантом РФФИ и напечатана в отдельном сборнике.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 разделов, заключения, 3 приложений и списка использованной литературы. Работа изложена на 159 страницах, содержит 5 таблиц, 110 рисунков. Список литературы включает 78 наименований.