Модель квантовых графов с рёбрами меняющейся длины Никифоров Дмитрий Сергеевич

Введение к работе

Актуальность. Развитие нанотехнологий, нано- и микросистемной техники делает чрезвычайно актуальной задачу моделирования соответствующих физических систем. При этом, ввиду сложности объектов, очень привлекательны математические модели, которые относят к классу явнорешаемых. Данный подход подразумевает редукцию описываемой сложной системы к более простой, допускающей аналитическое или частично-аналитическое исследование. Редукция проводится таким образом, что основные физические свойства сохраняются. Поэтому модели такого типа позволяют эффективно проводить как качественный, так и количественный анализ сложных систем. Ярким представителем данного класса моделей является модель квантовых или, в более общем случае, метрических графов.

Квантовый граф - удобная модель, рассматриваемая в физических и математических исследованиях. При своей простоте она обладает достаточной гибкостью и позволяет получить качественные результаты. Квантовые графы различных конфигураций с рёбрами постоянной длины достаточно хорошо изучены. Рассмотрены задачи об их спектральных характеристиках, инвариантах. Рёбра графа могут представлять волноводы, квантовые нити и другие системы, которые можно приближённо рассматривать как одномерные. Соответственно, модель позволяет рассматривать задачи большей размерности как комбинацию одномерных задач на рёбрах, с некоторыми условиями склейки в вершинах.

Во многих случаях параметры моделируемой физической системы меняются со временем. Это требует построения моделей метрических графов с переменными характеристиками, например, с рёбрами переменной длины, зависящими от времени граничными условиями. Такие задачи вызывают огромный интерес, однако, к настоящему моменту имеются лишь несколько самых простых моделей, например, рассмотрены задачи для уравнения Шрёдингера и уравнения Дирака на отрезках переменной длины. Также изучаются задачи, где с течением времени происходит переключение граничных условий, например, между условиями Дирихле и условиями Неймана. С физической точки зрения такие модели могут пригодиться, в частности, при моделировании квантового эффекта Казимира, спектральных свойств или рассеяния в системах с переменными параметрами.

Степень разработанности темы исследования.

Первоначально предложенная для описания макромолекул модель квантовых графов нашла применение во многих задачах квантовой теории. Особый интерес был проявлен к спектральной задаче графов различных конфигураций. Были рассмотрены периодические цепочки различной структуры, цепочки с ветвлением, бесконечные и конечные графы, состоящие из ячеек разного типа. Использовались различные подходы, например, модель толстых квантовых графов (fat quantum graphs), в которой в качестве рёбер рассматриваются волноводы конечной ширины и производится предельный переход при стремлении их ширины к нулю. Другой подход связан с анализом так называемых липких квантовых графов (leaky quantum graphs), то есть потенциалах нулевой меры, сосредоточенных на кривых и поверхностях в трехмерном пространстве. Графы с рёбрами постоянной длины изучались достаточно интенсивно, но графы с длинами рёбер зависящими от времени почти не исследовались.

Математическим аппаратом модели квантовых графов является теория операторов и их самосопряжённых расширений. Описание квантового, или, в более общем случае, метрического графа включает в себя описание множеств вершин и ребер, задание дифференциального оператора на ребрах, условий согласования во внутренних вершинах и граничных условий во внешних вершинах. Указанные компоненты модели выбираются, исходя из свойств конкретной физической системы, подлежащей рассмотрению.

Среди задач с граничными условиями, зависящими от времени, можно отметить поиск решений уравнений Шрёдингера и Дирака на отрезках, длины которых зависят от времени, которые физически соответствуют задачам о нерелятивистской и релятивистской частицах в потенциальных ямах с движущейся стенкой. Естественным синтезом упомянутых выше задач являются пока мало изученные задачи для графов, длины рёбер которых зависят от времени,

Объектом исследования являются решения уравнений Шрёдингера, Шрёдингера в магнитном поле, Дирака и волнового уравнения, заданных на метрических графах. Рассматриваются граф с петлей и граф-звезда, длины рёбер которых зависят от времени,

Предметом исследования являются методы математического моделирования динамики нерелятивистских и релятивистских квантовых частиц и классических волн в системах типа связанных квантовых точек и квантовых проводов или классических резонаторов и волноводов с переменными во времени параметрами,

Цель диссертационного исследования - разработка, программная реализация и применение математических методов моделирования динамики систем, описываемых уравнениями Шрёдингера, Дирака, волнового уравнения на метрических графах с рёбрами меняющейся длины,

Для достижения этой цели в диссертации решаются задачи:

1. Разработка математических методов моделирования динамики частиц и волновых пакетов на метрических графах с рёбрами переменной длины, основанных на аналитических решениях уравнений Шрёдингера для графа с петлёй в магнитном поле и без, уравнения Дирака и волнового уравнения для графа-звезды и графа с петлей,

2. Построение метода математического моделирования динамического квантового эффекта Казимира на базе квантовых графов,

3. Разработка и реализация алгоритмов численного моделирования динамик частиц и волновых пакетов на метрических графах в виде комплекса программ,

Теоретическая и практическая значимость работы.

Разработанный класс математических моделей является эффективным математическим аппаратом исследования спектральных и транспортных свойств нано- и микросистем типа сетей или линейных структур. Примерами приложений этих моделей может быть исследование квантового динамического эффекта Казимира или резонансов в квантовых или классических системах волноводного типа.

Разработанный комплекс программ позволяет численно моделировать динамику физических систем указанного типа. При этом область его использования может быть значительно шире, чем конкретные задачи, решённые в данной диссертационной работе.

Методы исследования, В работе использованы методы теории операторов и, в частности, теории самосопряжённых расширений симметрических операторов, теории аналитических функций, а также методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Численное решение полученных систем обыкновенных дифференциальных уравнений проводилось методами конечных разностей с использованием средств языка GNU Octave/Matlab.

Научная новизна. Результаты представленные в главах 1, 2 и 3 являются новыми, В разделе 1.1 новыми являются разработанные программы, а аналитическое решение уравнения Шрёдингера для графа-звезды было предложено ранее. Все результаты, полученные в задачах для графа с петлёй являются новыми, включая модель квантового графа в магнитном поле.

Положения, выносимые на защиту:

4. Метод математического моделирования динамики волнового пакета и релятивистской частицы на графе-звезде и графе с петлёй, нерелятивистской частицы на графе с петлёй и графе с петлёй в магнитном поле, основанный на аналитических решениях уравнений Шрёдингера, Дирака и волнового уравнения на метрических графах с рёбрами меняющейся длины.

5. Метод математического моделирования динамического квантового эффекта Казимира на базе квантовых графов.

6. Разработанные алгоритмы численного моделирования динамики нерелятивистской квантовой частицы, релятивистской квантовой частицы и классической волны на метрических графах с ребрами меняющейся во времени длины в виде комплекса программ на языке GNU Octave/Matlab.

Степень достоверности и апробация результатов работы. Достоверность результатов обеспечивается использованием строгих математических методов и корректностью всех построений. Подход на базе метрических (квантовых) графов имеет строгое математическое обоснование и показал свою эффективность при анализе многих физических систем. Используется аппарат теории операторов и их самосопряжённых расширений, теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Результаты диссертационного исследования были представлены на 8 международных научных конференциях: International Conference "Mathematical Challenge of Quantum Transport in Nanosystems-2017 - "Pierre Duclos Workshop"", Saint Petersburg, 26.09.2017-27.09.2017; XLVI Научная и учебнометодическая конференция Университета ИТМО, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 31.01.2018; VII Конгресс молодых ученых, Университет ИТМО, Санкт-Петербург, 19.04.2018; 5th Najman Conference on Spectral Theory and Differential Equations, Opatija, Croatia, 10.09.2017-15.09.2017; 23rd International Symposium on Mathematical Theory of Networks and Systems, Hong Kong University of Science and Technology, Hong Kong, 16.07.18-20.07.18; International Workshop "Nonlinear Partial Differential Equations on Metric Graphs and Branched Networks", Lorentz Center, Leiden, The Netherlands, 27.08.2018-31.08.2018; International Conference on Numerical Analysis and Applied Mathematics, Rhodes, Greece, 12.09.18-18.09.2018; International Conference "Mathematical Challenge of Quantum Transport in Nanosystems-2018 - "Pierre Duclos Workshop"", St. Petersburg, 25.09.2018-26.09.2018.

Исследования частично проводились по темам, поддержанных грантом РНФ 16-11-10330.

Внедрение результатов работы. Математические модели и комплексы программ, разработанные в диссертации, внедрены и используются для расчетов по теме НИР 713553 «Разработка физических принципов, материалов, устройств и систем оптических быстрых и защищенных коммуникаций, дистанционного зондирования объектов» в рамках Программы повышения конкурентоспособности Российских университетов (грант № 08-08 Правительства Российской Федерации), акт внедрения от 17.10.18.

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 3 научных работы, из них 2 статьи в журналах из Перечня ВАК, и одна в журнале из списков Web of Science/Scopus.

Личный вклад автора. Результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно. Основные задачи поставлены научным руководителем И. Ю. Поповым. Личный вклад соискателя в работах, выполненных в соавторстве с Д. А. Ереминым, Е. Н. Гришановым, О. Г. Костровым, заключается в получении основных формул, разработке математического метода моделирования, в реализации соответствующих алгоритмов численного моделирования в виде программ, проведении численных экспериментов и визуализации их результатов.

Структура и объём диссертации.

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и 8 приложений. Полный объем диссертации составляет 125 страниц с 31 рисунком. Список литературы содержит 77 наименований.