Методика синтеза последовательностей с произвольным алфавитом и идеальной ПАКФ над расширенными полями Галуа Залешин Михаил Владимирович

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Залешин Михаил Владимирович. Методика синтеза последовательностей с произвольным алфавитом и идеальной ПАКФ над расширенными полями Галуа: диссертация ... кандидата физико-математических наук: 05.13.18 / Залешин Михаил Владимирович;[Место защиты: Петрозаводский государственный университет].- Петрозаводск, 2015.- 129 с.

Содержание к диссертации

Введение

1. Обзор известных алгоритмов синтеза последовательностей с ограничениями на их периодическую автокорреляционную функцию 17

1.1. Принятая терминология и обозначения 17

1.2. Алгоритмы синтеза последовательностей с идеальной ПАКФ

1.2.1. Многофазные последовательности Фрэнка 20

1.2.2. МФП Чу 20

1.2.3. МФП Милевского 21

1.2.4. МФП Zeng-Hu-Liu 22

1.2.5. Почти четырехфазные последовательности Ли с одним нулевым символом на периоде 23

1.2.6. ПМФП Кренгеля 24

1.2.7. Троичные последовательности Ипатова 24

1.2.8. Другие семейства последовательностей с идеальной ПАКФ 25

1.3. Алгоритмы синтеза последовательностей с квази-ортогональной

периодической автокорреляционной функцией 26

1.3.1. Четырехфазные последовательности, основанный на характере простых полей Галуа 26

1.3.2. Четырехфазные последовательности, основанные на характере расширенных полей Галуа 1.3.3. Последовательности Люке III-го типа 27

1.3.4. Последовательности Sidelnikov-Lempel-Cohn-Eastman 28

1.3.5. Последовательности Ding-Helleseth-Martinsen 28

1.3.6. Последовательности Ding-Helleseth-Lam 29

1.3.7. Последовательности No-Chung-Song-Yang-Lee-Helleseth 30

1.3.8. Последовательности Arasu-Ding-Helleseth-Kumar-Martinsen 31

1.4. Уточнение постановки цели и задач работы 32

2. Разработка результативных численных методов синтеза и анализа последовательностей над расширенными полями Галуа 33

2.1. Постановка задачи 33

2.2. Обобщенная модель периодических последовательностей 33

2.3. Численные методы анализа основных характеристик последовательностей, формируемых на основе обобщенной модели 37

2.4. Необходимые и достаточные условия существования ОП с идеальной ПАКФ 42

2.5. Необходимые и достаточные условия существования квази ортогональных ОП 45

2.6. Выводы 47

3. Реализация алгоритмов синтеза, анализа и формирования 49

3.1. Постановка задачи 49

3.2. Основные структуры данных компьютерной модели 49

3.3. Реализация алгоритмов расчета параметров формируемых последовательностей 54

3.4. Реализация алгоритмов синтеза последовательностей с идеальной ПАКФ 57

3.5. Реализация многофункционального программного комплекса 59

3.5.1. Формирование последовательностей по заданным параметрами с помощью программного комплекса 60

3.5.2. Синтез последовательностей с идеальной ПАКФ и заданными ограничениями с помощью программного комплекса 63

3.6. Выводы 66

4. Апробация разработанной модели и программного комплекса при решении задачи синтеза последовательностей 67

4.1. Постановка задачи 67

4.2. Синтез ПМФП с идеальной ПАКФ 67

4.2.1. Синтез почти четырехфазных последовательностей с идеальной ПАКФ 67

4.2.2. Синтез почти 12-фазных последовательностей с идеальной

ПАКФ 72

4.2.3. Синтез почти шестифазных последовательностей с идеальной ПАКФ 74

4.2.4. Синтез ПМФП с идеальной ПАКФ на основе последовательностей Чу 77

4.3. Синтез квази-ортогональных ПМФП на основе символов Лежандра 80

4.4. Выводы 84

Заключение 85

Список использованной литературы 87

Многофазные последовательности Фрэнка
Численные методы анализа основных характеристик последовательностей, формируемых на основе обобщенной модели
Реализация алгоритмов расчета параметров формируемых последовательностей
Синтез ПМФП с идеальной ПАКФ на основе последовательностей Чу

Введение к работе

Актуальность работы. Радиолокация, навигация, спутниковая и

оптоволоконная связь, обработка, передача и хранение информации – лишь краткий перечень тех отраслей, где широко востребованы последовательности, для которых значения боковых лепестков периодической автокорреляционной функции (ПАКФ) равны нулю или незначительно отличаются от нуля. Однако для большинства прикладных задач важна не только ПАКФ последовательности, но и такие ее характеристики, как алфавит, период, вес и пик-фактор. В связи с этим существует множество разновидностей последовательностей, в частности, многофазные последовательности.

Одним из пионеров в области синтеза многофазных последовательностей с идеальной ПАКФ является Фрэнк [Phase coded communication system, 1963]. В начале 1970-х годов он запатентовал алгоритм синтеза, который оказал серьезное влияние на сферу систем связи и послужил предпосылкой для дальнейшего развития этого научного направления.

Следует отметить, что широкую известность приобрели многофазные последовательности Чу [Polyphase codes …, 1972] с идеальной ПАКФ. Их главным преимуществом по сравнению с последовательностями Фрэнка является плотная сетка периодов. Последовательности Чу существуют для любого натурального периода больше двух.

В 1996 году Моу предложил обобщенную модель [A New Unified Construction …, 1996] описания многофазных последовательностей с идеальной ПАКФ. Он показал, что последовательности Фрэнка, Чу и других являются лишь частными случаями его модели. Это послужило причиной заметного роста интереса к почти многофазным последовательностям с идеальной ПАКФ, которые не могут быть описаны с помощью модели Моу.

Ли в числе первых представил алгоритм синтеза почти многофазных последовательностей [Perfect q-ary sequences ..., 1992] с идеальной ПАКФ. Они имеют почти четырехфазный алфавит и содержат один нулевой символ на периоде. Таким образом, разработчики информационных систем получают в распоряжение последовательности с большими периодами и малым числом фаз за счет незначительного роста пик-фактора, что является вполне приемлемым компромиссом.

Наибольший всплеск популярности исследований, посвященных почти многофазным последовательностям с идеальной ПАКФ, начинается с конца 2000-х годов. С этого момента и до нашего времени опубликовано огромное количество работ по этой тематике. Существенный вклад в развитие этого направления внесли Люке [Binary and quadriphase sequences …, 2003] и Кренгель [Some Constructions …, 2010].

Еще одной важной областью исследований является вопрос разработки методов анализа и синтеза квази-ортогональных последовательностей, относительный уровень боковых лепестков ПАКФ которых существенно меньше, чем вес последовательности.

Первые работы о квази-ортогональных последовательностях, получившие широкую известность, датируются 1970-1980 годами. Сидельников, Lempel, Cohn, Eastman, Fan и Darnell заложили фундаментальную основу этой области и являются авторами множества публикаций [Some k-valued pseudo-random sequences …, 1969]; [A class of binary sequences …, 1977], посвященных квазиортогональным последовательностям.

Разработка методик синтеза последовательностей с идеальной ПАКФ и квазиортогональных последовательностей – тема работ огромного числа зарубежных и отечественный исследований. Нельзя не отметить существенный вклад в развитие этих направлений следующий ученых: Golomb, Frank, Chu, Milewski, Mow, Luke, Lee, Hoholdt, Justesen, Yang, Kim, Kumar, Fan, Darnell, Jedwab, Legendre, Lempel, Cohn, Eastman, Nogami, Tada, Uehara, Ding, Arasu, Helleseth, Martinsen, Pott, Xiang, В.М.Сидельников, М.Б.Свердлик, В.П.Ипатов, Е.И.Кренгель, В.Е.Гантмахер, Н.E.Быстров, Д.В.Чеботарев, В.А.Едемский, А.Н.Леухин и др.

Таким образом, из вышесказанного следует, что за последнее время в связи с постоянно возрастающим числом приложений последовательностей с идеальной ПАКФ, спрос на них продолжает увеличиваться. Но, к сожалению, существующие методики для решения задачи их синтеза не лишены недостатков:

Широко известные модели описания последовательностей с идеальной ПАКФ имеют существенные ограничения при выборе алфавита. Например, упомянутая модель Моу подходит лишь для многофазных последовательностей;
Многие известные численные методы синтеза последовательностей с идеальной ПАКФ ограничивают выбор степени расширения поля Галуа, что снижает их результативность с точки зрения вариативности правил кодирования, которые можно получить с их помощью;
Большинство существующих программных комплексов, реализующих численные методы синтеза, анализа и формирования последовательностей, являются:

a. Либо слишком специализированными (например, Signal labs) и
работают только с ограниченным множеством известных правил
кодирования, что сужает их область применения;

b. Либо представляют собой программные комплексы общего назначения
(Maple, Mathcad, MatLab), которые в силу своей универсальности не
дают прямых способов решения перечисленных выше задач.

Цели и задачи работы. Цель диссертационного исследования заключается в разработке методики синтеза последовательностей с произвольным алфавитом и идеальной ПАКФ над расширенными полями Галуа. Для достижения указанной цели решаются следующие задачи:

Построить обобщенную математическую модель периодических последовательностей с практически произвольным алфавитом;
Получить результативные численные методы синтеза периодических последовательностей с идеальной ПАКФ над полями Галуа с произвольной степенью расширения;
Разработать программный комплекс, позволяющий синтезировать, проводить анализ (вычислять основные характеристики) и формировать последовательности, который можно использовать как для решения прикладных задач синтеза последовательностей с заданными параметрами, так и для исследования характеристик последовательностей над расширенными полями Галуа;
Показать достоверность и реализуемость сочетания обобщенной модели и специализированного многофункционального программного комплекса.

Методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач использованы математическое моделирование и численные методы с использованием специально разработанных комплексов программ.

Научная новизна работы заключается в методике, позволяющей синтезировать последовательности с произвольным алфавитом и идеальной ПАКФ. Представлены следующие элементы новизны:

Предложена обобщенная модель периодических последовательностей, инвариантная к выбору алфавита;
Получены численные методы синтеза и анализа последовательностей над полями Галуа с произвольным расширением, обладающие относительно высокой результативностью;
Разработан многофункциональный программный комплекс, который позволяет:

a. Синтезировать последовательности с идеальной ПАКФ на основе
заданных ограничений;

b. Вычислять ПАКФ, период и пик-фактор последовательностей,
определяемых с помощью модели;

c. Формировать последовательности по конкретным значениям
параметров модели;

Апробировано сочетание обобщенной модели и специализированного программного комплекса, открывающее новые возможности для синтеза последовательностей с идеальной ПАКФ;
Получены новые правила кодирования последовательностей с идеальной ПАКФ и квази-ортогональных последовательностей;
Сформирована база данных результатов синтеза почти многофазных последовательностей с идеальной ПАКФ.

Практическая ценность работы. Теоретические результаты

диссертационного исследования доведены до методик решения конкретных задач синтеза, анализа и формирования последовательностей с заданными параметрами и характеристиками. Большое количество примеров является наглядным руководством к действию. Обширное приложение к диссертации

предоставляет ответы на практические задачи без дополнительных расчётов. Разработанный программный комплекс позволяет решать широкий круг задач синтеза, анализа и формирования последовательностей практически с любым алфавитом над полями Галуа произвольного расширения.

Реализация результатов работы. Теоретические и практические результаты диссертационной работы внедрены в НИР, выполняемых по следующим научным федеральным целевым программам:

«Разработка методов синтеза и обработки сложных сигналов с большой базой для радиолокационных станций с квазинепрерывным режимом работы», 381/НИЦ-гб, 2011;
«Исследование возможности повышения эффективности радиотехнических систем извлечения и передачи информации», 443/РС-С, 2012-2013;
«Исследование возможности повышения эффективности радиотехнических систем извлечения и передачи информации», 512/РС-С, 2014;
«Исследование возможности повышения эффективности оптико-электронных и радиотехнических систем и устройств формирования, передачи, приема и обработки сигналов», 453/РС-С, 2014.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и
обсуждались на 8-ой всемирной конференции «Sequences and Their Applications
– SETA-2014» (Melbourne, Australia, 2014); на 7-ой всемирной конференции
«International Workshop on Signal Design and Its Applications in Communications –
IWSDA’15) (Bengaluru, India, 2015); на 1-ой всемирной конференции
«International Conference of Telecommunication, Electronic and Computer
Engineering – ICTEC 2015» (Melaka, Malaysia, 2015); на 16-ой международной
конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применение – DSPA-2014»
(Москва, 2014); на 20-ой международной конференции «Радиолокация,
навигация, связь – RLNC-2014» (Воронеж, 2014); на 4-ой международной
научно-практической конференции «Современные концепции научных

исследований» (Москва, 2014); на ежегодных научных конференциях кафедры прикладной математики и информатики (2011-2014).

Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 12 научных работ. Из них 2 статьи опубликованы в рецензируемых журналах, входящих в базу Scopus, 3 работы опубликованы в центральных рецензируемых научных журналах, рекомендованных перечнем ВАК, 2 работы опубликованы в сборниках трудов (DSPA-2014, RLNC-2014), засчитывающихся ВАК РФ при защите диссертации, 1 статья – в другом рецензируемом издании, получено 2 свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ и БД.

На защиту выносятся следующие положения:

Обобщенная модель периодических последовательностей, инвариантная к выбору алфавита;
Результативные численные методы синтеза последовательностей над полями Галуа с произвольным расширением;

Многофункциональный программный комплекс для синтеза, анализа и формирования последовательностей над расширенными полями Галуа;
Новые правила кодирования последовательностей с идеальной ПАКФ и квази-ортогональных последовательностей.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, 4 глав, Заключения и Приложений, содержит 8 рисунков. Список литературы включает 43 наименования.

Многофазные последовательности Фрэнка

Безусловным преимуществом представленных выше семейств МФП с идеальной ПАКФ является то, что их пик-фактор равен единице. С другой стороны, для них имеет место зависимость между числом фаз и периодом. То есть с ростом периода последовательностей Фрэнка, Чу и Милевского количество фаз соответствующих МФП тоже увеличивается. Кроме того, в работе [14] Моу предложил обобщенную модель описания МФП с идеальной ПАКФ. Приведенные выше семейства являются частными случаями этой модели. Более того, Моу сделал предположение, что любая МФП с идеальной ПАКФ может быть описана с помощью предложенной им модели.

В работе [43] предложен алгоритм синтеза МФП с нулевыми символами на периоде. Формирование осуществляется над расширенным полем Галуа GFyq2) с нечетной характеристикой на основе M-последовательности { /„}. В качестве первого входного параметра используется произвольная -фазная последовательность {zn} четного периода р, который делит q-\ без остатка. При этом ее

ПАКФ является почти идеальной, то есть относительно ПАКФ выполняется равенство Rz (0) = -Rz (уо/2). В качестве второго параметра алгоритма синтеза выступает Q2-фазная последовательность {ип} с идеальной ПАКФ и периодом, равным р/2. В этом случае алгоритм синтеза определяется следующей последовательностью шагов: 1. Сформировать матрицу W, состоящую из h = [qm - l)/(q -1) строк и q-l столбцов, таким образом, что в г -ом столбце матрицы стоят элементы последовательности \zn}, если dr 0, и элементы МФП {ип} в противном случае; 2. Выполнить циклический сдвиг каждого г-ой столбца матрицы W, для которого dr ФО, на величину md0(dr), где inde(dr) - дискретный логарифм символа dr по основанию 6 в поле GF(q); 3. Сформировать МФП с почти идеальной ПАКФ периода ph, выписав построчно элементы матрицы W; 4. Применить к полученной МФП бинарно-фазовое преобразование Люке [20]. Сформированная на основе представленного выше алгоритма МФП имеет идеальную ПАКФ и обладает следующим набором характеристик: 1. Алфавит является НОК(Q,02)-фазным; 2. Период равен ph/2; 3. Вес равен ph/2; 4. Пик-фактор равен единице. Аналогичный алгоритм представлен в работе [26]. Основное отличие заключается в том, что последовательность {zn} может быть почти МФП (ПМФП), то есть может быть сформирована над алфавитом, который кроме многофазных элементов содержит нулевой символ. При этом в качестве последовательности [ип] принимается нулевая последовательность.

Синтез ПМФП позволяет существенно расширить сетку периодов последовательностей с алфавитом, включающим относительно небольшое количество фаз, и обладающих идеальной ПАКФ. Это оказывается возможным за счет незначительного роста значения пик-фактора, который у этих последовательностей не равен единице. где в - первообразный элемент поля GF(q); yj(dn) - мультипликативный характер элемента dn над GF(q). С помощью описанного алгоритма могут быть сформированы последовательности, которые имеют идеальную ПАКФ, и обладают следующим набором характеристик:

В работе [23] представлен алгоритм синтеза ПМФП с идеальной ПАКФ на основе двух известных (почти) многофазных последовательностей периода N. Первая из них должна иметь идеальную ПАКФ, а вторая {/ и - нечетно-идеальную ПАКФ (такая ПМФП представляет собой полупериод ПМФП с почти идеальной ПАКФ). Тогда формирование последовательности выполняется следующим образом: где 0 j 2N, а ib\ - конкатенация двух последовательностей {Ьп} и {-Ьп}. Сформированные таким образом ПМФП имеют идеальную ПАКФ, а их период равен 4N. Остальные же характеристики этих последовательностей полностью определяются свойствами последовательностей {ап} и{Ьп}.

В работе [17] определен следующий алгоритм формирования троичных последовательностей (ТП) с идеальной ПАКФ над расширенным полем Галуа GF(qm} с нечетной характеристикой и степенью расширения на основе соответствующей М-последовательности {dn} и двух классов степенных вычетов Нг над GF(q) при р = 2: / \n\y/(d\

Однако одни лишь семейства последовательностей с идеальной ПАКФ не способны удовлетворить непрерывно растущий спрос со стороны разработчиков радио-аппаратных комплексов и систем. В связи с этим высокую значимость получили последовательности, ПАКФ которых является квази-ортогональной. Рассмотрим некоторые известные алгоритмы синтеза таких последовательностей.

Численные методы анализа основных характеристик последовательностей, формируемых на основе обобщенной модели

Из (2.4.2) следует, что МП {zr} должна иметь идеальную ПАКФ и быть сбалансированной. Однако это условие никогда не выполняется. Отсюда получаем, что для 0 = 0 не может быть сформирована ОП периода ph с идеальной ПАКФ на основе МП с периодом р.

Кроме того, следует заметить, что для значений боковых лепестков ПАКФ МП RZ(T) = -\ и p-q-\ значение параметра /? стремится к ±1 с ростом характеристики q.

Найдем необходимые и достаточные условия, при соблюдении которых формируемые с помощью обобщенной модели ОП являются квазиортогональными.

В общем случае в силу следствия 2.3.2 ОП является квази-ортогональной, то есть значения боковых лепестков не превосходят некоторого малого натурального числа 8, если выполнена система неравенств:

Из системы вытекает следующее НУ существования квази-ортогональной ОП периода ph на основе МП с периодом р:

Необходимое условие 2.5.1. Для того, чтобы ОП { „}, формируемая на основе МП с периодом р, являлась квази-ортогональной и имела период ph, необходимо, чтобы МП также была квази-ортогональной.

Решение получившейся системы неравенств образует следующие ДУ существования квази-ортогональной ОП: Достаточные условия 2.5.1. ОП {j J является квази-ортогональной и имеет период ph, если: 1. МП {zr} - квази-ортогональная последовательность с периодом р, для которой выполняется Rz (г) S/qm lL и % S/qm2L, где 1 т р -1; 2. Значение параметра 0 = 0. Случаю сбалансированной МП {zr} соответствуют следующие ДУ: Достаточные условия 2.5.2.

Следует отметить, что условия 2.5.2 имеют смысл лишь тогда, когда либо 8 имеет значение, сравнимое с qm 2, при этом степень расширения поля Галуа тФ2. Вариант для поля GFyq2) аналогичен случаю, рассмотренному в рамках ДУ 2.4.2 для существования ОП с идеальной ПАКФ.

Таким образом, на основе полученных необходимых и достаточных условий существования построим метод синтеза последовательностей с заданными ограничениями на ПАКФ. В общем случае метод синтеза может быть представлен следующим алгоритмом:

Результативность предложенного метода синтеза связана с простотой его применения. Для формирования больших семейств последовательностей достаточно выбрать всего несколько параметров, которые удовлетворяют одному из представленных наборов достаточных условий существования. Основным параметром метода, как и для модели в целом, является МП, относительно которой строятся ограничения в необходимых и достаточных условиях. Расчет прочих параметров не представляет труда. При этом выбор степени расширения поля Галуа практически не ограничен.

Таким образом, построена обобщенная модель формирования последовательностей, отличающаяся своей универсальностью, которая продемонстрирована на соответствующих примерах. Ее особенностью является возможность широкого варьирования параметрами формируемых последовательностей. В частности, выбор алфавита практически ничем не ограничен. Разработаны эффективные методы анализа последовательностей, формируемых на основе полученной модели. Эффективность обусловлена тем, что они позволяют выразить характеристики обобщенных последовательностей через характеристики соответствующих моделирующих последовательностей и прочие параметры модели.

Получен относительно результативный численный метод синтеза последовательностей с идеальной ПАКФ и квази-ортогональных последовательностей с помощью обобщенной модели над полями Галуа произвольного расширения. Определены необходимые и достаточные условия существования для синтезируемых последовательностей.

Реализация алгоритмов расчета параметров формируемых последовательностей

В этом разделе решается задача реализации полученных методов синтеза, анализа и формирования последовательностей. Для решения этой задачи необходимо: 1. Разработать основные структуры данных компьютерной модели, которые позволят обрабатывать математические объекты средствами цифровых вычислительных машин; 2. Разработать алгоритмы синтеза ОП с идеальной ПАКФ; 3. Разработать алгоритмы анализа ОП для расчета их основных характеристик программными методами; 4. Разработать алгоритмы формирования ОП по заданным параметрам обобщенной модели; 5. Реализовать предложенные алгоритмы на конкретных языках программирования в виде программного комплекса.

Для реализации алгоритмов компьютерной модели определим несколько структур данных, соответствующих базовым элементам обобщенной модели. В качестве основного языка описания структур данных выберем C++, поскольку он: 1. Имеет широкое распространение и поддержку на всех основных платформах (Windows, nix); 2. Обладает высокой эффективностью в плане производительности вычислений и расхода памяти по сравнению с большинством других языков программирования высокого уровня; 3. Предоставляет множество стандартных алгоритмов и структур данных в виде базовых или внешних подключаемых модулей. Для определения параметров расширенного поля Галуа GF[qm) сформируем следующую структуру, состоящую из двух полей: struct GF { unsigned int q; // характеристика unsigned int m; // степень расширения }; Классы степенных вычетов над GF(c[) можно представить в виде множества элементов этого поля, записанных в десятичной форме. Такой структуре соответствует шаблон STL - std:: set T . Следовательно, объявление принимает вид: typedef std::set unsigned long ResidueClass; Определение комплексных параметров обобщенной модели соответствует классу std:: complex T . Для краткости примем std::complex double Complex;

Периодические следующее обозначение: typedef последовательности в общем случае представляют собой вектор комплексных чисел фиксированной длины, которая равна периоду. В C++ такое определение принимает вид: typedef std::vector Complex Sequence;

В этом случае период последовательности определяется с помощью функции-члена Sequence::size() . С учетом принятых обозначений представим параметры модели с помощью отдельной структуры: Блок-схема реализации алгоритма формирования ОП изображена на рис. 3.2.1. При этом вычислительная сложность представленного алгоритма зависит от периодов ОП и МП, то есть равняется Olp2h). Однако следует заметить, что поиск индексов классов степенных вычетов для каждого символа M-последовательности можно реализовать за константное время на основе ассоциативного массива. Это заметно увеличит расход памяти, однако намного сократит сложность расчетов. В этом случае описанный алгоритм обладает линейной вычислительной сложностью O(pti).

В качестве параметров алгоритма используются классы степенных вычетов и M-последовательностей. Для формирования этих структур существуют эффективные алгоритмы формирования, обладающие линейным временем работы. Таким образом, вычислительная сложность алгоритма формирования ОП на основе обобщенной модели равняется O(ph). Начало

Синтез ПМФП с идеальной ПАКФ на основе последовательностей Чу

Представленные методы анализа весьма эффективны. Это объясняется тем, что они позволяют выразить характеристики ОП через характеристики соответствующих МП и прочие параметры модели. А по построению период МП существенно меньше периода ОП. Кроме того, одну и ту же МП можно использовать в сочетании с различными наборами характеристик модели, что делает предложенные методы анализа еще эффективнее и проще.

На основе полученных методов анализа характеристик ОП определим необходимые и достаточные условия существования последовательностей с заданными ограничениями на их ПАКФ. Найдем необходимые и достаточные условия, при соблюдении которых формируемые с помощью обобщенной модели ОП, имеют идеальную ПАКФ. В общем случае в силу следствия 2.3.2 ПАКФ ОП является идеальной, если выполнена система уравнений: v ; (2.4.1) Из системы вытекает следующее необходимое условие (НУ) существования ОП с идеальной ПАКФ периода ph на основе МП с периодом р:

Необходимое условие 2.4.1. Для того, чтобы ОП {уп}, формируемая на основе МП с периодом р, имела идеальную ПАКФ и период ph, необходимо, чтобы значения боковых лепестков ПАКФ МП совпадали, то есть RZ(T) = const, где Из (2.4.2) следует, что МП {zr} должна иметь идеальную ПАКФ и быть сбалансированной. Однако это условие никогда не выполняется. Отсюда получаем, что для 0 = 0 не может быть сформирована ОП периода ph с идеальной ПАКФ на основе МП с периодом р.

Заметим, однако, что для выполнения второго уравнения ( = 0) из системы (2.4.2) необходимо и достаточно, чтобы МП {zr} была сбалансированной. В этом случае значения ПАКФ ОП на позициях, кратных h, равняются qm 1Rz(t), а значения всех остальных боковых лепестков ПАКФ равняется нулю. Особым случаем полученного варианта является сбалансированная МП {zr} с почти идеальной ПАКФ. Для такой МП имеем следующие достаточные условия (ДУ) существования ОП с идеальной ПАКФ: Достаточные условия 2.4.1. ПАКФ ОП {уп} является идеальной и имеет период ph, если существует такое Г, что: 1. МП {zr} - сбалансированная последовательность с почти идеальной ПАКФ и периодом 2р; 2. Значение параметра а = ехр(т/Т), где ph = T(mod 2Т); 3. Значение параметра 0 = 0. Доказательство. На основании следствия 2.3.3 имеет место равенство: Rp (ph) = [ехр(р/77п/Г)] qm lRz (p) = -[ехр(р/77п/Г)] qm l. Отсюда следует, что если ph = T(mod2T), то [ехр(/?/ш/Г)] =-1. Тогда R (ph) = R} (О), то есть {уп} имеет идеальную ПАКФ, а ее период равен ph . Что и требовалось доказать. Аналогичный результат приводится в подразделе 1.2.4 аналитического обзора известных алгоритмов синтеза (кроме того, см. примеры 2.2.1-2.2.5).

Для случая 0 0 положим, что ПАКФ МП является идеальной. В этом случае имеем: qm l =1. Получили противоречие. Однако если положить, что МП является сбалансированной, то получаем qm 2 = 1. Этот вариант возможен для значения степени расширения т = 2. В этом случае из первого уравнения системы получаем следующее равенство: \0\ =-qRz{r)jр. Ему соответствуют следующие ДУ: Достаточные условия 2.4.2. ПАКФ ОП {уп} является идеальной и имеет период р(д + 1), если: 1. Степень расширения поля Галуа т = 2; Найдем необходимые и достаточные условия, при соблюдении которых формируемые с помощью обобщенной модели ОП являются квазиортогональными.

Из системы вытекает следующее НУ существования квази-ортогональной ОП периода ph на основе МП с периодом р: Необходимое условие 2.5.1. Для того, чтобы ОП { „}, формируемая на основе МП с периодом р, являлась квази-ортогональной и имела период ph, необходимо, чтобы МП также была квази-ортогональной.