Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Методы и подходы к моделированию и анализу линейных и нелинейных устройств формирования и преобразования сигналов 13
1.1. Применение операторного метода для анализа и синтеза устройств формирования и преобразования сигналов 13
1.2. Особенности спектральных методов моделирования и расчета 15
1.3. Методы исследования параметрической устойчивости формирователей и преобразователей сигналов 18
1.4. Применение численных методов аппроксимации для моделирования и анализа устройств и режимов их работы 20
1.5. Выводы и постановка задач исследования 27
ГЛАВА 2. Математическая модель амплитудно-фазового преобразователя и применение непрерывных кусочных функций для анализа линейных и нелинейных устройств 29
2.1. Представление и анализ устройств на основе обобщенной модели амплитудно-фазового преобразователя 29
2.2. Особенности моделирования устройств формирования и преобразования сигналов на основе обобщенной модели АФП
2.2.1. Представление устройств автокомпенсаторов фазовых искажений на основе АФП 35
2.2.2. Представление устройства автоподстройки фазы в усилителе на основе АФП 37
2.2.3. Представление устройства автоматической регулировки усиления с комбинированным регулированием на основе АФП 37
2.2.4. Представление устройства двухкольцевого частотно-модулированного цифрового синтезатора частот с автоматической компенсацией частотных искажений на основе АФП 38 2.3. Применение непрерывных кусочных функций для аппроксимации характеристик устройств формирования и преобразования сигналов 40
2.3.1. Переключающая непрерывная кусочная функция 40
2.3.2. Включающая непрерывная кусочная функция 43
2.3.3. Комбинированная непрерывная кусочная функция 45
2.4. Метод адаптивного выбора узлов аппроксимации для конкретных характеристик устройств формирования и преобразования сигналов 45
2.5. Выводы 52
ГЛАВА 3. Разработка математического и алгоритмического обеспечения для проведения вычислительного эксперимента и анализа линейных устройств 54
3.1. Метод и алгоритм анализа параметрической устойчивости линейных устройств на основе применения обобщенной модели АФП и непрерывных кусочных функций 54
3.2. Результаты вычислительного эксперимента по анализу устойчивости работы АФП с различными типами фильтров 59
3.3. Спектральный анализ динамических режимов линейных устройств на основе аппроксимации с применением непрерывных кусочных функций
3.2.1. Представление спектра воздействия на основе непрерывных кусочных функций 62
3.3.1. Алгоритм расчета динамических характеристик линейных устройств на основе переключающей НКФ 64
3.3.2. Пример расчета переходной характеристики АФП с фильтром нижних частот 71
3.4. Сравнение погрешности расчета динамических характеристик линейного АФП на основе различных видов НКФ 73
3.5. Выводы 80
ГЛАВА 4. Разработка математического и алгоритмического обеспечения для проведения вычислительного эксперимента и анализа нелинейных устройств 81
4.1. Анализ абсолютной устойчивости нелинейных устройств на основе применения обобщенной модели АФП и непрерывных кусочных функций 81
4.2. Исследование статических режимов устройств на основе передаточных характеристик обобщенной модели амплитудно-фазового преобразователя 89
4.3. Модели с применением непрерывных кусочных функций для анализа статических характеристик гистерезисных устройств 96
4.4. Спектральный анализ динамических режимов нелинейных устройств методом с применением непрерывных кусочных функций 104
4.5. Выводы 128
ГЛАВА 5. Разработка и применение методик анализа устройств на основе модели амплитудно-фазовогопреобразователя и непрерывных кусочных функций 130
5.1. Методика аппроксимации характеристики устройства на основе непрерывных кусочных функций 130
5.2. Спектральная методика расчета динамической характеристики линейного устройства 131
5.3. Спектральная методика расчета динамической характеристики нелинейного устройства 133
5.4. Пример представления синусоидальной характеристики с применением методики аппроксимации непрерывными кусочными функциями 134
5.5. Пример анализа динамического режима формирователя сигнала с применением спектральной методики для линейной модели 137
5.6. Выводы 138
Заключение 140
Список литературы
- Методы исследования параметрической устойчивости формирователей и преобразователей сигналов
- Представление устройств автокомпенсаторов фазовых искажений на основе АФП
- Результаты вычислительного эксперимента по анализу устойчивости работы АФП с различными типами фильтров
- Модели с применением непрерывных кусочных функций для анализа статических характеристик гистерезисных устройств
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Применение и совершенствование устройств формирования и преобразования сигналов в различных областях техники (радиосистемы, устройства управления и автоматики, приборостроение т.д.) требует разработки эффективных методов проектирования и анализа этих устройств. В настоящее время существенную сложность представляет исследование инерционных линейных и нелинейных устройств высокого порядка, применяемых в амплитудно-фазовых формирователях и преобразователях сигналов. Применяемые численные методы позволяют выполнить расчет конкретных моделей таких устройств с высокой степенью точности, но не позволяют получить обобщенные решения при вариации параметров исследуемой модели. Известные аналитические методы анализа таких устройств:
метод кусочной линеаризации на основе «сшивания» частных решений для отдельных линейных участков (А.Н. Бруевич, С.И. Евтянов, А.М. Заездный, В.Ф. Кушнир, Б.А. Ферсман, М.В. Капранов);
операторный метод на основе преобразования Лапласа (Диткин В.А., Прудников А.П., Дёч Г.) и его обобщение для нелинейных систем (В.М. Богачёв, М.В. Балашков);
аппроксимационный спектральный метод, основанный на представлении частотных характеристик суммой трапеций (Солодовников А.Н.) или треугольников (Воронов А.А.);
метод линеаризации на основе ряда Тейлора, метод гармонического баланса и др.
дают обобщенные решения для различных параметров исследуемых моделей, но обладают низкой точностью или ограниченной областью применения (невысокий порядок инерционности устройства, узкий класс воздействующих возмущений, единственное нелинейное звено, малая степень нелинейности и пр.).
Представляется актуальным и возможным применение аппроксимации характеристик нелинейных, инерционных звеньев и воздействий для расширения области применения известных аналитических методов, используемых для анализа динамических режимов устройств формирования и преобразования сигналов, а также сравнительно более простых задач анализа устойчивости и статических характеристик. Известный метод аппроксимации непрерывными кусочными функциями (НКФ), обладающий высокой точностью и простой аналитической формой записи в виде суммы модулей линейных функций, сочетает достоинства линейных и нелинейных способов аппроксимации. Единый подход на основе НКФ и обобщенной модели амплитудно-фазового преобразователя сигналов (АФП) упростит исследование устройств с разным числом и типом прямых и обратных связей и позволит получить обобщенные выражения для различных вариантов построения АФП, различных значений параметров схем и воздействий. Разработанное специализированное математическое и алгоритмическое обеспечение позволит выполнить расчет режимов конкретных устройств непосредственно по выражениям для обобщенной схемы преобразователя, без составления уравнений и их решения для каждого отдельно взятого устройства.
Целью диссертационной работы является разработка обобщенной модели амплитудно-фазового преобразования, математического обеспечения и численного метода аппроксимации непрерывными кусочными функциями для проведения вычислительного эксперимента по исследованию линейных и нелинейных устройств формирования и преобразования сигналов на основе разработанной модели.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи.
-
Исследование и анализ известных численных и аналитических методов моделирования и анализа устройств амплитудно-фазового преобразования и формирования сигналов.
-
Разработка новой математической модели амплитудно-фазового преобразователя на основе применения непрерывных кусочных функций, используемых для аппроксимации характеристик инерционных и нелинейных звеньев устройств преобразования и формирования сигналов.
-
Разработка математического, алгоритмического и программного обеспечения для проведения вычислительного эксперимента и анализа статических и динамических характеристик линейных и нелинейных инерционных устройств при детерминированных воздействиях на основе разработанной математической модели амплитудно-фазового преобразователя с использованием непрерывных кусочных функций.
-
Получение обобщенных соотношений для исследования параметрической устойчивости устройств преобразования и формирования сигналов в линейном и нелинейном режимах на основе непрерывных кусочных функций.
-
Применение разработанного математического, алгоритмического и программного обеспечения для анализа различных устройств преобразования и формирования сигналов.
Объект и предмет исследования. Объектом исследования диссертационной работы являются методы анализа и проектирования устройств амплитудно-фазового преобразования сигналов в различных областях техники (устройства и системы автоматики, приборостроение, радиосистемы и пр.). Предметом исследования является разработка и применение новых математических методов и алгоритмов моделирования и анализа преобразователей сигналов в линейном и нелинейном режиме при детерминированных воздействиях.
Методы исследования. При проведении исследований в диссертационной работе использовались методы исследования, основанные на теории линейных и кусочно-линейных динамических систем, аппроксимации, преобразования Лапласа, спектрального анализа. Анализ полученных решений осуществлялся с использованием методов вычислительной математики и математического моделирования на ЭВМ.
Соответствие диссертации паспорту специальности. Работа соответствует паспорту специальности 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»:
п. 1 – разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений.
п. 2 – развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей.
п. 4 – реализация эффективных численных методов и алгоритмов в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.
Научная новизна работы работы состоит в следующем:
-
Предложена математическая модель амплитудно-фазового преобразователя, отличающаяся иерархической структурой и возможностью описания конкретного устройства простой подстановкой коэффициентов конкретного варианта устройства в обобщенные выражения преобразователя.
-
Разработано математическое, алгоритмическое и программное обеспечение для проведения вычислительного эксперимента и анализа статических и динамических характеристик линейных и нелинейных инерционных устройств при детерминированных воздействиях на основе разработанной математической модели амплитудно-фазового преобразователя, отличающееся применением модернизированных непрерывных кусочных функций для аппроксимации характеристик инерционных и нелинейных звеньев устройств преобразования и формирования сигналов.
-
Получены обобщенные соотношения и разработаны алгоритмы для анализа параметрической устойчивости устройств преобразования и формирования сигналов в линейном и нелинейном режимах на основе непрерывных кусочных функций.
-
Получены аналитические выражения и разработаны алгоритмы для анализа однозначных статических характеристик гистерезисных устройств, отличающиеся возможностью анализа при различных изменениях воздействующих параметров на основе предложенной математической модели амплитудно-фазового преобразователя.
Практическая ценность работы составляют следующие положения:
-
Предложенная адаптивная аппроксимация частотных характеристик с адаптивным шагом позволяет уменьшить среднеквадратическую погрешность расчета динамических характеристик от 16 до 115 раз по сравнению с фиксированным шагом.
-
Полученные выражения для расчета спектра и переходных процессов нелинейного инерционного устройства позволяет выполнить анализ динамической характеристики в общем виде при любых детерминированных воздействиях.
-
Разработанный комплекс программ для анализа устройств формирования и преобразования сигналов на основе обобщенной модели амплитудно-фазового преобразователя позволяет выполнить расчет режимов устройств непосредственно по выражениям для обобщенной схемы преобразователя, без составления уравнений и их решения для каждого отдельно взятого устройства.
Практическое применение. Результаты и методики аппроксимации сигналов и характеристик, а также расчета динамического режима линейных и нелинейных устройств на основе обобщенной модели амплитудно-фазового преобразователя с применением непрерывных кусочных функций внедрены в в КБ ОАО НПП «Звукотехника» (г. Муром). На основе разработанных методик проведен расчет и оптимизация устройства автоматической регулировки уровня в усилителе звуковой частоты. Предложенные методики машинно-ориентированного рас-
чета динамических и спектральных характеристик использованы в ОАО «Концерн «Созвездие» (г. Воронеж) при моделировании цифровых вычислительных синтезаторов частот с автоматической компенсацией фазовых помех.
Результаты диссертационного исследования внедрены в учебном процессе кафедры радиотехники Муромского института ВлГУ при проведении занятий по курсам «Радиоавтоматика» и «Функциональное моделирование радиоэлектронных устройств».
На защиту выносятся следующие положения:
-
Математическая модель амплитудно-фазового преобразователя, отличающаяся иерархической структурой и возможностью описания конкретного устройства простой подстановкой коэффициентов конкретного варианта устройства в обобщенные выражения преобразователя.
-
Аналитические соотношения для модернизированных непрерывных кусочных функций, предназначенных для аппроксимации характеристик инерционных и нелинейных звеньев устройств преобразования и формирования сигналов.
-
Основные соотношения и алгоритмы для анализа линейных и нелинейных устройств на основе разработанных модернизированных непрерывных кусочных функций, позволяющие проводить исследование устойчивости, статических и динамических режимов устройств высокого порядка.
-
Результаты применения разработанного математического, алгоритмического и программного обеспечения для анализа инерционных линейных и нелинейных устройств формирования и преобразования сигналов.
Обоснованность и достоверность научных положений, основных выводов и результатов диссертации обеспечивается за счет анализа состояния исследований в данной области, согласованности теоретических выводов с результатами экспериментальной проверки модели и алгоритмов, а также апробацией основных теоретических положений диссертации в печатных трудах и докладах на научных конференциях.
Апробация результатов работы. Основные положения диссертационной работы обсуждались на следующих конференциях и семинарах: международные молодежные научные конференции «XXVI-XXVII Гагаринские чтения» (г. Москва, 2009, 2011); всероссийские научные конференции «Радиофизические методы в дистанционном зондировании сред» (Муром, 2009-2010); всероссийские научные конференции «Зворыкинские чтения» (Муром, 2009-2016); международные IEEE Сибирские конференции по управлению и связи (Красноярск, 2011, 2013); всероссийская конференция с международным участием «Научная сессия, посвящённая Дню радио» (Москва, 2012).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 15 печатных работ, включая 4 статьи в журналах из перечня ВАК, 3 статьи в журналах из перечня Scopus, 7 статей в сборниках научных трудов и других изданиях, получено 1 свидетельство о регистрации программы для ЭВМ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка используемой литературы и приложений. Общий объем работы составляет 177 страниц машинописного текста, включая 54 рисунка, 3 таблицы, 23 страницы приложений. Библиография содержит 105 наименований.
Методы исследования параметрической устойчивости формирователей и преобразователей сигналов
Выражение (1) позволяет находить спектр сигнала, представленного с нефиксированным шагом аппроксимации, что позволяет рассчитать спектр с большей точностью при аналогичном количестве узлов аппроксимации. В то же время, выражение (1) имеет громоздкую форму записи.
Спектр (1) является дискретным (получен для периодического сигнала). Согласно [20], заменой в дискретном спектре m Q0 - со может быть получен также спектр непериодического сигнала, что необходимо для исследования переходных процессов устройств.
Метод кусочной линеаризации [11, 29, 34] применим для спектрального анализа сигнала на выходе как нелинейных безынерционных, так и нелинейных инерционных устройств. Метод позволяет линеаризовать систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих модель устройства, и решить ее в аналитическом виде. В рамках данного метода требуется «сшивание» («припасовывание») частных решений, полученных для отдельных отрезков нелинейных характеристик [34]. Для этого необходимо задать начальные условия на каждом линейном участке. При увеличении числа этих участков и повышении порядка устройства применение данного метода становится затруднительным. Особенно сложным является исследование инерционных устройств с несколькими нелинейными звеньями.
Метод, основанный на использовании обобщенных функций [2, 19], требует решать систему с меньшим числом уравнений по сравнению с методом припасовы-вания. При методе на основе обобщенных функций трудоемкость решения практически не зависит от порядка дифференциального уравнения [2], но каждое из них имеет более сложную форму записи. Кроме того, метод также требует оценки моментов переключения частных решений. Для расчета моментов переключения с высокой точностью необходимо вычисление большого числа гармонических составляющих. Специальные методы спектрального анализа, например, методы на основе функциональных рядов [88] или нелинейного программирования [77], из-за своей сложности не подходят для аналитического расчета и позволяют получать только численные решения для отдельных частных случаев.
Спектральный метод, основанный на представлении (аппроксимации) частотных характеристик суммой трапеций (Солодовников А.Н.) [95] или треугольников (Воронов А.А.) [16-18], позволяет избежать необходимости решать характеристическое уравнение. Это определяет его преимущество перед операторным методом на основе теоремы вычетов и позволяет применять метод для устройств любого порядка. Однако исследования проведены только для малого числа трапеций и треугольников, ориентированы на графоаналитический расчет переходных процессов и позволяют осуществлять расчет режимов только при конкретных воздействующих возмущениях. Обобщение метода для исследования нелинейных устройств и для различных воздействующих возмущений отсутствует.
Представляется актуальным и возможным разработать и применить комбинированный метод исследования динамических режимов нелинейных инерционных преобразователей на основе аппроксимации характеристик линейных инерционных и нелинейных безынерционных звеньев.
Одним из важнейших факторов, определяющих эффективность работы устройства, является его устойчивость при возможных изменениях параметров его функциональных звеньев, в частности, фильтров. Таким образом, представляет интерес исследование параметрической устойчивости формирователей и преобразователей сигналов – определение пределов допустимых отклонений параметров схемы.
Устройство устойчиво [87], если все корни характеристического полинома передаточной функции имеют отрицательную вещественную часть. Если полином имеет хотя бы один чисто мнимый корень (p=j), устройство находится на границе устойчивости, при этом вещественные части других корней должны быть отрицательны.
Критерий Рауса-Гурвица [20, 75, 87] не требует нахождения корней и удобен для проверки устойчивости схемы с фиксированными параметрами, работающей в линейном режиме. Однако при вариации одного или нескольких параметров устройства расчет допустимых отклонений данных коэффициентов связан с решением системы неравенств высокого порядка. При высоком порядке исследуемого устройства задача является сложной даже для численных методов, приходится выполнять перебор большого числа фиксированных значений данных коэффициентов [75]. Метод D-разбиения [7, 22, 74, 83] изначально ориентирован на исследование устойчивости при изменении параметров и устраняет приведенные недостатки. В то же время, его применение требует построения граничных кривых по большому числу отсчетов частоты, что связано со значительными вычислительными затратами. Аналогично исследование устойчивости на основе частотных критериев Михайлова и Найквиста [75] требует трудоемкого расчета и построения годографа.
В то же время, характеристики звеньев устройств могут быть нелинейными, что влияет на область устойчивости.
Методы Ляпунова [17, 37, 102] позволяют исследовать устойчивость устройств, работающих в нелинейном режиме. Первый метод Ляпунова основан на линеаризации всех нелинейных звеньев для конкретного положения равновесия. Поэтому его применение эквивалентно построению линейной модели для малых отклонений переменных на входах каждого нелинейного звена [102]. Таким образом, первый метод Ляпунова позволяет оценить только асимптотическую устойчивость нелинейного преобразователя «в малом».
Второй метод Ляпунова [37, 102] универсален, так как не связан с линеаризацией дифференциального уравнения нелинейного устройства и не накладывает особых ограничений на характер нелинейности. Вместе с тем, применение второго метода Ляпунова на практике осложняется отсутствием общих рекомендаций по выбору функций Ляпунова [102].
Частотный критерий абсолютной устойчивости положения равновесия впервые был предложен В.М. Поповым [84]. Выполнение данного критерия обеспечивает асимптотическую устойчивость устройства «в целом» (при любых отклонениях воздействующих возмущений). Критерий Попова применим и к устройствам, нелинейные звенья которых имеют статические характеристики с областями неоднозначности [36]. Другим важным достоинством критерия Попова является простое выражение, наглядность и удобство метода не только для анализа, но и для синтеза нелинейных инерционных устройств. Аппроксимация амплитудно-фазовой характеристики (годографа) позволит упростить применение частотных критериев Найквиста и Попова для исследования устойчивости устройств со сложной формой инерционных характеристик.
Требуется разработать новые способы для исследования устойчивости устройств высокого порядка в общем виде в линейном режиме («в малом») и в нелинейном режиме («в целом») в рамках проведения вычислительного эксперимента. Предлагаемые способы должен сочетать достоинства известных алгебраических и частотных критериев и возможность проводить исследование устойчивости устройств не только при фиксированных значениях параметров звеньев, но также при их изменении.
Представление устройств автокомпенсаторов фазовых искажений на основе АФП
Этапы анализа устройств формирования и преобразования сигналов: а) традиционный анализ; б) анализ устройств на основе АФП (или) существенной нелинейности его звеньев отсутствует аналитическое решение уравнений, описывающих устройство (ряд трансцендентных уравнений и др.). Как и для численных методов, каждое изменение структуры устройства, параметров его звеньев и (или) воздействий требуют повторного проведения основных этапов анализа.
Известно применение обобщенных схем, например, для анализа автокомпенсаторов амплитудных и фазовых искажений [53-55]. Но они используются для анализа узкого класса схем или вариантов одной схемы.
Исследования показали, что сигнал на выходе устройства может быть представлен как изменение амплитуды и (или) фазы входного воздействия в данном устройстве [43, 64, 91]. Таким образом, представляет интерес применение обобщенной схемы амплитудно-фазового преобразователя (АФП) [64], реализующего такое изменение, для последующего исследования широкого класса устройств на основе данной схемы. При этом исключаются этапы составления и решения уравнения для каждого конкретного устройства (рис. 4б). Простой подстановкой коэффициентов конкретного варианта АФП в обобщенные выражения возможно получение характеристик конкретного устройства в аналитическом виде.
Соответственно анализ конкретного устройства может проводиться непосредственно по конечным выражениям искомых характеристик АФП [64]. Для этого достаточно в выражения искомых характеристик преобразователя подставить коэффициенты представляющей (аппроксимирующей) схемы АФП и коэффициенты характеристик составляющих устройство звеньев.
Такой подход позволяет исключить этапы составления в общем случае нелинейных дифференциальных уравнений схем конкретных устройств и их решений с целью получения аналитических выражений характеристик устройств (рис. 4б). Кроме того, после подстановки соответствующих коэффициентов, возможен расчет и исследование искомых характеристик непосредственно по обобщенным выражениям преобразователя. Это позволяет сочетать достоинства численного (рис. 3) и аналитического (рис. 4а) подходов и гибко преодолевать их недостатки.
Преимущества анализа на основе АФП (рис. 4б) перед численным (аналитическим) способом: отсутствует этап составления дифференциального уравнения для каждой новой схемы или изменения одной схемы; отсутствует процесс численного (аналитического) решения дифференциального уравнения, вместо него вычисляется (исследуется) алгебраическое выражение.
В состав обобщенной модели преобразователя (рис. 5) входят: аналогичные ему АФПід, управляющее устройство (УУ), управляющие тракты (УТи) и весовой распределитель (ВР). В управляющем устройстве (УУ) осуществляется управление амплитудой и (или) фазой входного сигнала преобразователя. Каждый управляющий тракт состоит из детектора отклонения амплитуды и (или) фазы сигнала, а также фильтра. Тракты УТі и УТ2 реализуют принцип регулирования по возмущению и по отклонению соответственно. Значения коэффициентов передачи весового распределителя определяют пропорции передачи сигналов с его входов на выходы и позволяют формировать управляющий и выходной вспомогательный сигналы преобразователя.
На схеме приняты следующие обозначения: U\ - основные входной и выходной сигналы АФП, Una сигналы эквивалентных опорных генераторов детекторов (Дід), щ2 - вспомогательные входной и выходной сигналы, иу - управляющий сигнал, є - дестабилизирующий фактор. Далее параметры (амплитуда или фаза) сигналов АФП обозначены как х,у- параметры основных входного и выходного сигнала АФП, хГ\2 - параметры сигналов эквивалентных опорных генераторов детекторов УТід.
Различные варианты построения преобразователя - с регулированием по возмущению (РВ), по отклонению (РО) и комбинированным регулированием (КР) - по лучаем простым выбором значений соответствующих коэффициентов весового распределителя. Дальнейшее раскрытие АФПід позволяет представлять устройства и разным числом и типом связей (прямыми, обратными, местными, общими, многопетлевыми). Таким образом, гибкая структура обобщенной модели преобразователя (рис. 5) позволяет исследовать различные классы радиоустройств: автоматические компенсаторы амплитудных или фазовых искажений [70, 93, 99], устройства автоподстройки фазового набега в усилителях [33, 97, 100], устройств автоматической регулировки усиления [28], передатчики с различными видами модуляции [64], схемы синтезаторов частот [40, 44] и др.
Основным аналитическим уравнением для описания обобщенной модели АФП является передаточная функция. Ранее были получены обобщенные выражения передаточных функций линейного АФП [52]: Н„Лр) = , (7) арх \ + N2apM2{p) где а - воздействие, /3 - отклик, - коэффициент, принимающий значения 0 или 1, в зависимости от вида конкретной передаточной функции, Nh2a,p - коэффициенты регулирования цепей регулирования по возмущению и отклонению по соответствующим параметрам а и Д М1Л(р) - коэффициенты передачи фильтров УТі и УТ2 соответственно, p=d/dt - оператор
Результаты вычислительного эксперимента по анализу устойчивости работы АФП с различными типами фильтров
Узлы аппроксимации с фиксированным шагом &.9 легко определить следующим выражением: 3t =S0+i-A#, Ai9 = t9 t9 . (27) Разработанные НКФ позволяют проводить также аппроксимацию с нефиксированным шагом. Использование такого подхода приводит к уменьшению погрешности, так как аппроксимирующая функция «подстраивается» (адаптируется) под изменение характера нелинейности исходной характеристики.
Требуется получить выражения для расчета узлов аппроксимации, обеспечивающие высокую точность представления конкретных характеристик.
Обычно изменение частотных характеристик происходит медленно в области больших значений аргумента, поэтому для повышения точности при заданном числе узлов аппроксимации целесообразно перейти к представлению частотной характеристики как функции логарифмической частоты, Л = In си. Расположим узлы аппроксимации по линейному закону (27) на шкале логарифмических частот: Л,=Ал-1 + \п(со0), (28) где Лд - шаг логарифмической частоты. Параметры аппроксимации определяем исходя из значений границ исследуемого диапазона частот [со0; coN ]. N Переходя от логарифмической частоты Л к линейной, получим выражения для экспоненциальных узлов: юі = ел- . (30) Данный способ расположения узлов аппроксимации эффективен для представления различных характеристик и сигналов, имеющих области быстрого и медленного изменения. К ним относятся, например, частотные характеристики, характеристики нелинейных звеньев жесткого и мягкого ограничения, динамические возмущения и др.
Для получения компактного выражения исследуемой характеристики желательно уменьшить число узлов аппроксимации. Чтобы выполнить представление характеристики или воздействия сложной формы малым числом узлов с высокой точностью, необходимо оптимизировать их расположение по критерию минимума среднеквадратической ошибки (СКО) в заданном интервале. Расположение узлов с фиксированным или экспоненциальным шагом в общем случае не является оптимальным. Для характеристики сложной формы это приводит к существенному росту погрешности. В [89] данная задача определения узлов с нефиксированным шагом была решена из условия равенства среднеквадратической погрешности на каждом участке аппроксимации: =... = 8„- (31)
Данное условие не всегда определяет минимум ошибки во всем диапазоне аппроксимации, особенно для функций с областями быстрого и медленного изменения. Кроме того, оно требует интегрирования функции ошибки и после дующего решения системы N нелинейных уравнений (по числу узлов), что затруднительно даже для численного расчета на ЭВМ.
Получить аналитические выражения для точек оптимальной аппроксимации посредством данной системы уравнений не представляется возможным. Поэтому при аппроксимации адаптивной функцией на нелинейном участке для увеличения точности узлы аппроксимации берутся с более частым шагом, чем на линейных участках (узлы аппроксимации подбираются эмпирически [44]). Это затрудняет исследование, особенно при большом числе узлов.
В [48] узлы синусоидальной характеристики были определены из более простого условия равенства максимальных абсолютных погрешностей на соседних участках аппроксимации, что также не является оптимальным для различных функций и требует численного решения. Кроме того, в [48] был определен только 1 оптимальный узел аппроксимации синуса в диапазоне четверти периода, обобщение способа для произвольного числа узлов и для различных представляемых функций отсутствует.
Представляется необходимым разработать способы расчета оптимальных узлов аппроксимации различных функций в автоматизированном режиме. Автоматизированный расчет узлов аппроксимации предлагается производить на основе критерия минимума среднеквадратической ошибки (СКО) аппроксимации суммой переключающих НКФ (18): ст2(3) = П/(.9)-У—f.9-,9,- -&-& +А, +A,)m mm, (32) \3)=($1 31 &N_1) - вектор узлов аппроксимации. Поиск минимума функции многих переменных - известная математическая задача, описание решения которой представлено в [1, 6, 32, 71]. Начальный 30 и конечный 3N узлы аппроксимации не являются параметрами вектора в (32) и остаются фиксированными. Остальные (промежуточные) узлы подлежат оптимизации по критерию (32). Поскольку способы представления функций с помощью всех НКФ (переключающей, включающей, троичной) являются эквивалентными, данный критерий оптимален для всех данных способов аппроксимации.
Введем определения: оптимальная НКФ (ОНКФ) – функция с оптимальными узлами, равномерная НКФ (РНКФ) – функция с равномерными узлами (с фиксированным шагом аппроксимации). Аппроксимирующие функции ОНКФ и РНКФ описываются общим выражением (18) и различаются только узлами аппроксимации.
Разработанные в настоящей работе способы представления функций, в отличие от адаптивной функции [46, 89], и при нефиксированном шаге не требуют матричного вычисления коэффициентов аппроксимации. Кроме того, предложенный способ расчета оптимальных узлов позволяет определять их в автоматизированном режиме для различных характеристик звеньев устройств и сигналов, что повышает удобство применения как на ЭВМ [32, 35], так и в специализированных вычислителях [78, 79].
На основе выражений, полученных в ходе разработки НКФ, предложен алгоритм аппроксимации сигналов и характеристик, блок-схема данного алгоритма показана на рис. 16. Алгоритм содержит контроль точности расчетной характеристики на основе сравнения достигнутой (СКОдос) и допустимой (СКОдоп) средне-квадратической погрешности. Для увеличения точности алгоритм предусматривает использование различного закона расположения узлов аппроксимации для различных типов характеристик: а) при экспериментальном исследовании выбираем произвольный шаг для удобства измерений; б) при теоретическом исследовании: - для воздействия или характеристики нелинейного звена при большом числе узлов аппроксимации – равномерный (фиксированный) шаг; - для частотной характеристики – экспоненциальный шаг при любом числе узлов аппроксимации;
Модели с применением непрерывных кусочных функций для анализа статических характеристик гистерезисных устройств
Полученные выражения (79), (83) позволяют исследовать переходные процессы при различных вариантах построения линейного устройства при любых детерминированных воздействиях на основе обобщенной моделиАФП с различными типами фильтров высокого порядка в его управляющих трактах.
Для сравнения погрешности динамической характеристики на основе разработанных видов аппроксимации необходимо выбрать конкретное устройство и воздействие, позволяющие получить точное аналитическое выражение выходного параметра (например, на основе преобразования Лапласа). Этому требованию отвечают устройства низкого порядка (не выше 2-го) при простых воздействиях, имеющих табличное изображение по Лапласу.
Выполним сравнение точности динамических характеристик на основе полученных выражений для конкретного варианта АФП с РВ, (Ni=l, N2=0) и ФНЧ 1-го порядка с постоянной времени, равной 1. Передаточная функция такого преобразо-p вателя по входному воздействию имеет вид H(p) 1 + p Пусть входное воздействие имеет форму экспоненциального импульса x(t) = ехр(-ґ), его изображение по Лапласу [26] Х{р) = . Изображение от 1 + р клика устройства при данном воздействии Y(р) = X(р)Н(р) = — ——, его вре (1 + Р) менное представление [26] y(t) = (і - ґ)ехр(-ґ). Число узлов аппроксимации входного воздействия и выходного спектра равно числу расчетных точек динамической характеристики и равно N. Диапазон аппрок симации входного сигнала и расчета переходного процесса ґо=Ю4с, ґ бс. Парамет ры аппроксимации спектра: нижняя граница верхняя граница от при малом числе узлов (N=S) до о г 1000с"1 при N256 (при большем числе узлов целесообразно расширять диапазон сверху для увеличения точности [15, 55]). Узлы аппроксимации спектра заданы по экспоненциальному закону для увеличения точности. Так, для переключающей НКФ от логарифмической частоты экспоненциальное расположение узлов позволяет повысить точность представления спектра и существенно уменьшить среднеквадратическую погрешность расчета динамического режима по сравнению с аппроксимацией НКФ с фиксированным шагом - от 16 раз при малом числе узлов (7V=8) до 115 раз при 7V=1024.
На рис. 23в показана аппроксимация вещественного выходного спектра преобразователя по #=16 узлам в диапазоне от «0=0,01с до со Юс1; Модули спектра входного воздействия \Sex{jco)\ и коэффициента передачи АФП \H\JCD)\ показаны на рис. 23а и 23б соответственно. Узлы аппроксимации НКФ и расчетные точки динамической характеристики на рис. 23 показаны точками.
Представление частотных и спектральных характеристик АФП для расчета переходного процесса: а) модуль спектра входного воздействия; б) модуль коэффициента передачи АФП; в) вещественная составляющая выходного спектра На рис. 24 показан результат расчета переходного процесса на основе на основе цифровой фильтрации с применением прямого и обратного дискретного преобразования Фурье (ДПФ) [20]:
Динамическая характеристика АФП при N=16, N=20с-1, полученная на основе НКФ и дискретного преобразования Фурье
Среднеквадратическая погрешность динамической характеристики на основе НКФ и ДПФ, рассчитанная по выражению составляет: на основе ДПФ – 0,076; на основе переключающей линейной НКФ – 0,016; на основе НКФ от логарифмической частоты – 0,012. Зависимости среднеквадратической погрешности динамических характеристик от числа узлов аппроксимации N для различных видов НКФ показаны на рис. 25. Погрешность выражения на основе переключающей линейной НКФ на рисунке обозначена как ЛинНКФ, на основе НКФ от логарифмической частоты - ЛогНКФ. Целесообразно использовать выражение на основе НКФ от логарифмической часто ты (83), обеспечивающее меньшую погрешность по сравнению с методом линейных НКФ.
Зависимости среднеквадратической ошибки расчета динамических характеристик на основе трех видов НКФ и дискретного преобразования Фурье (ДПФ) от числа отсчетов N
Для сравнения на рис. 25 показана также зависимость среднеквадратической погрешности расчета динамических характеристик на основе цифровой фильтрации с применением ДПФ от числа отсчетов N. Из рисунка видно, что при равном числе отсчетов и узлов аппроксимации НКФ погрешность расчета динамических характеристик, полученных на основе переключающей НКФ от логарифмической частоты, меньше, чем с помощью дискретного преобразования Фурье (в 3,5-128 раз). Это обусловлено высокой точностью данного метода аппроксимации спектра. Кроме того, аналитическое выражение динамических характеристик на основе предложенных НКФ позволяет выбирать произвольное число отсчетов воздействия и отклика.
Переходные характеристики АФП с комбинированным регулированием (N1=N2=1), рассчитанные по формуле (83), представлены на рис. 26-28. Показаны характеристики преобразователя с тремя типами фильтров различного порядка в управляющих трактах: с фильтрами нижних частот (ФНЧ, рис. 26), верхних частот (ФВЧ, рис. 27) и полосовыми (ПФ, рис. 28). В рассмотренных примерах ФНЧ и ФВЧ имеют 1, 2, 3, 5-й порядок; ПФ – 2,4,6,10-й порядок. Фильтры высоких порядков образованы последовательным соединением фильтров 1-го порядка соответствующего типа. Коэффициенты передачи фильтров имеют вид (49). Отноше-78