Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ алгоритмов дискретного преобразования Фурье 12
1.1. Спектр периодического аналогового сигнала 12
1.2. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) 16
1.3. Дискретная свертка функций 32
Выводы по 1-й главе 36
Глава 2. Алгоритмы проектирования микропроцессорной обработки сигналов 37
2.1. Одномерное двустороннее БПФ 37
2.2. Двумерное БПФ 44
2.3. Построение линейчатого спектра 47
2.4. Дискретная фильтрация 48
2.5. Эмуляция микропроцессоров ЦОС 53
Выводы по 2-й главе 56
Глава 3. Методология коррекции дискретных спектров, обеспечивающей восстановление непрерывных сигналов .57
3.1. Постановка задачи 59
3.2. Прямоугольная интерполяция входного сигнала 63
3.3. Метод коррекции спектра суммой функционального ряда 64
3.4. Методика оценки точности преобразования 67
Выводы по 3-й главе 70
Глава 4. Разработка метода линейной аппроксимации при равномерной дискретизации входных сигналов 72
4.1. Линейная с постоянным интервалом интерполяция сигнала 72
4.2. Определение формул коррекции ограниченного спектра 74
4.3. Оценка точности преобразования 78
Выводы по 4-й главе 83
Глава 5. Разработка метода линейной аппроксимации при неравномерных интервалах дискретизации входных сигналов 86
5.1. Линейная с неравномерными интервалами интерполяция входного сигнала импульсного вида 87
5.2. Коррекция ограниченного спектра 89
5.3. Оценка точности преобразования 91
5.4. Правило отсчетов 93
5.5. Аппроксимирующее преобразование периодических функций 95
5.6. Аппроксимирующее преобразование четных функций 96
5.7. Аппроксимирующее преобразование нечетных функций 98
5.8. Сужение спектра с уменьшением явления Гиббса 99
Выводы по 5-й главе 102
Глава 6. Применение аппроксимирующего преобразования для обработки дискретных сигналов . 103
6.1.Распечатка графиков с монитора. 103
6.2. Исследование переходных процессов 106
6.3. Компрессия данных 109
6.4. Восстановление и фильтрация сигналов 112
6.5. Применение метода к исследованию нелинейных систем 122
6.6. Определение производных сигналов и идентификация систем 127
6.7. Оптимизация программ аппроксимирующего преобразования 131
6.8. Практическая реализация разработок 135
Выводы по работе 137
Заключение 140
Приложение 143
Литература 172
- Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
- Метод коррекции спектра суммой функционального ряда
- Определение формул коррекции ограниченного спектра
- Применение метода к исследованию нелинейных систем
Введение к работе
Диссертация является развитием исследований и результатов работ [17-23, 25, 26, 28-33], связанных с теоретическими вопросами обработки дискретных сигналов и их практической реализацией в конкретных системах. Работа над проблемой получения непрерывных выходных сигналов после дискретной обработки (цифровой фильтрации) входных сигналов велась в период с 1952 г. по 1999 г. Впервые проблему построения непрерывных траекторий по дискретных засечкам координат планет с помощью тригонометрических рядов поставил астроном Ф.Бессель (1838г.), им получены формулы дискретного преобразования Фурье, используемые и по сей день в системах цифровой обработки сигналов [1, 3, 6, 11, 13, 52, 54-57, 59-62].
Совершенствование методов цифровой обработки дискретных сигналов особенно важно для информационно-измерительных систем подвижных объектов (транспорта, аэро-космических комплексов, их измерителей бортовых данных, устройств автоматики и телемеханики), а также для робототехники [5]. Разработанный в диссертации новый (аппроксимирующий) метод цифровой обработки сигналов изложен в [35-38,41-47].
Применение цифровой вычислительной техники для передачи, хранения и обработки аналоговых сигналов требует их представления в дискретных точках отсчета (дискретизация по времени) в виде числовых значений (квантование по уровню) [1]. Дискретное представление сигналов по сравнению с аналоговым обеспечивает более значительную помехоустойчивость, а их обработка на цифровых процессорах
(называемая цифровой обработкой сигналов - ЦОС) дает более высокую точность анализа сигналов и синтеза систем коррекции и фильтрации.
В сложных системах передачи и ЦОС отдельные звенья часто работают с различными частотами дискретизации и их сопряжение в едином функционирующем комплексе вызывает определенные трудности, связанные с получением после цифровой обработки значений выходного сигнала в промежутках между узлами. Разработка рациональных (по точности, требуемой памяти ЭВМ и времени реализации) численных методов ЦОС в таких сложных системах в [11] отнесена к разряду проблем. В данной работе рассматривается решение проблемы на основе преобразования Фурье, как наиболее удобном для реализации и распространенном в микропроцессорных системах ЦОС. Особенность такой реализации состоит в том, что требуется получить эффективное (в смысле наилучшее) решение в ограниченных технических возможностях конкретного микропроцессора (МП).
Разработанный метод, дающий сглаженный выходной сигнал, в
значительной степени устраняет многие недостатки, свойственные
дискретному преобразованию Фурье и Z-преобразованию.
При ЦОС интегралы, определяющие коэффициенты разложения
Фурье (частотный спектр), заменяются на ограниченные суммы
дискретных значений [6, 12, 13, 54-57, 59-62]. Особая роль дискретному
анализу отводится в микропроцессорных системах цифровой обработки
изображений, работающих в реальном времени [4, 58]. Для таких систем
важна разработка экономичных методов запоминания и обработки
сигналов. Эффективные методы обработки дискретных сигналов
актуальны и для систем связи, телеметрии, диагностики и цифрового
управления [1, 3, 34, 48, 53]. Не последнюю роль здесь играют и
экономические показатели проектируемых микропроцессорных систем
ЦОС.
Традиционные методы ЦОС - дискретное преобразование Фурье (ДПФ) и Z - преобразование осуществляют обработку сигналов, взятых в фиксированных точках отсчета с постоянными интервалами. В этих же точках получают и выходные сигналы, а промежуточные значения определяют посредством интерполяции накопленных массивов точечных расчетов. Замена непрерывных входных сигналов дискретными отсчетами вносит методические ошибки. Например, при ДПФ получают спектр с полосой частот 1/2Т (где Т - интервал дискретности) в то время, как полоса непрерывного сигнала должна быть не менее 1/Т (спектр прямоугольного импульса, заполняющего пробел между дискретами). Из-за погрешностей спектра при цифровой фильтрации на непрерывный выходной сигнал накладывается значительная волнистость (явление Гиббса).
Таким образом, цифровая обработка аналоговых и импульсных сигналов имеет серьезные проблемы при решении задач фильтрации, коррекции, определения переходных процессов, производных. Использование в этих задачах Z-преобразования вносит дополнительные ошибки и ограничения.
Многие системы автоматического управления технологическими процессами и комплексы робототехники работают на принципе времяимпульсной модуляции управляющих сигналов [5]. В таких системах нет регулярности поступления дискретных сигналов. Кроме того, эти системы часто имеют нелинейные элементы. Все это усложняет исследование и проектирование систем автоматического управления, работающих в ответственных комплексах.
Основные цели данной диссертации состоят: - в разработке методов и алгоритмов цифрового спектрального анализа аналоговых и импульсных сигналов, дискретизированных с
произвольными интервалами, с целью исключения недостатков обычного ДПФ и ускорения вычислительных процессов;
в разработке алгоритмов синтеза временного сигнала в виде, удовлетворяющем требованиям его последующего использования (выходной сигнал системы ЦОС должен быть непрерывным, не иметь заметной волнистости, обеспечивать адекватное восприятие, допускать съём его значений в произвольные моменты времени);
в разработке алгоритмов решения задач определения переходных процессов, фильтрации, дифференцирования и формирования управляющих сигналов с использованием частотных методов теории непрерывных автоматических систем;
в разработке алгоритмов исследования нелинейных систем;
-в разработке рационального правила отсчетов для аналоговых входных сигналов и их компактного дискретного представления на носителях цифровой информации;
- в разработке комплекса программ для исследования и
проектирования систем ЦОС.
В имеющихся работах рассматриваются задачи ЦОС в основном при равномерных интервалах дискретизации, приводятся расчеты по различным формулам обработки, но только в узловых точках и отсутствуют расчеты при непрерывных значениях аргументов [12, 60-62]. Для подавления явления Гиббса применяют коррекцию импульсных характеристик [6]. Работы по аппроксимирующим спектрам с ограниченной полосой частот нам неизвестны.
Учитывая эти обстоятельства, в диссертацию включены две главы, цель которых проанализировать возможности алгоритмов ДПФ для получения непрерывных выходных сигналов. В 1-й и 2-й главах введены обозначения, получены различные варианты формул ДПФ и выполнены расчеты для типовых процессов, что позволило оценить их
точность и в последующих главах сравнить с ними результаты расчетов по новым аппроксимирующим формулам. Учитывая, что в различных источниках формулы преобразования Фурье могут отличаться в множителях или в знаках отдельных элементов, в этих главах определяется единая для данной работы форма записи математических зависимостей. Такой подход позволил избежать ссылки на внешние источники (с соответствующими им пояснениями) и этим сократить объём работы.
В эти главы включены также разработанные инструменты для исследования и проектирования ЦОС: программы построения и распечатки графиков и линейчатых спектров, а также программный эмулятор сигнального микропроцессора типа ADSP-21xx. Рассматриваются алгоритмы и программы быстрого преобразования Фурье (БПФ) векторов и матриц, что важно для микропроцессорных систем ЦОС. Дается анализ методов повышения быстродействия ДПФ за счет табличного ввода некоторых функций и исключения в программах операций деления.
Назначение этого материала состояло в определении эффективных путей совершенствования ДПФ на основе анализа его возможностей по получению непрерывных выходных сигналов. Выводы по главам 1 и 2 конкретизировали направление исследований по диссертации.
Разработка и исследование нового метода ДПФ приводятся в главах 3-6. В главе 3 формируются методики построения аппроксимирующих преобразований Фурье, сжатия бесконечных спектров и оценки точности разработанных формул и алгоритмов.
В главе 4 разрабатывается и исследуется метод линейно-аппроксимирующего преобразования при равных интервалах дискретизации, а в главе 5 - при неравных интервалах.
Аппроксимирующие свойства процесса цифровой обработки (определение выходного сигнала при произвольном времени) обеспечиваются новым подходом к построению частотных спектров. Для получения коррекций и сжатия спектров, разработан способ достаточно точного определения сумм бесконечных функциональных рядов.
Вычислительным экспериментом определено, что разработанный аппроксимирующий метод обеспечивает высокую точность двойного (прямого и обратного) преобразования Фурье, а применение полученной коррекции по существу не расширяет по сравнению с обычным ДПФ спектр практически непрерывного сигнала. В 5-й главе сформулировано также правило взятия отсчетов с аналоговых сигналов по уровню второй центральной разности. Показано существенное снижение волнистости воспроизводимых процессов между узлами. Сглаженные и практически непрерывные процессы позволяют применением экстраполяции или увеличением частоты съёма сигналов рассогласования повысить устойчивость цифровых систем управления.
В главе 6 даны методики применения аппроксимирующего преобразования в различных типовых задачах ЦОС. Программно реализованы алгоритмы применения разработанного метода для исследования переходных процессов, фильтрации и коррекции сигналов в автоматических системах, в том числе и в системах, содержащих нелинейные элементы и дифференциаторы. Определен алгоритм компрессии данных, сохраняемых на носителях информации.
Весь теоретический материал подтвержден расчетами и
графиками, полученными на ЭВМ с использованием разработанных
формул и программ. Материал может читаться без анализа программ.
Программы и контрольные расчеты по ним вынесены в Приложение и
обозначены как рисунки с номерами, начинающимися с буквы П. К ним
можно обращаться для сверки формул и контроля решений, полученных другими методами. Приведенный в Приложении комплекс из 36 программ имеет и самостоятельное практическое значение как инструмент для исследования различных процессов в системах ЦОС. Программы комплекса используются в учебном процессе и в научных исследованиях. Этому способствовало включение разработанных программ в изданное учебное пособие [43] и в монографию [46].
Список литературы содержит работы, наиболее близко связанные
с темой диссертации. Из 100 печатных работ автора в список включено
35. Сделаны выводы о работоспособности, обеспечиваемой точности и
областях применения разработанного метода линейно-
аппроксимрующей цифровой обработки сигналов.
По выполненным исследованиям приведен перечень их
практической реализации (наиболее важным из них является разработка
программного обеспечения 1-го в стране авиационного комплекса с
Ф бортовой ЭВМ, принятого на вооружение и отмеченного
Государственной премией [22,23]).
Области применения разработанного метода ЦОС:
- системы радиосвязи, радиолокации, радионавигации, телевидения;
- системы обработки информации от бортовых устройств и
приборов;
- комплексы цифровой обработки телеметрической информации;
* - системы автоматического и автоматизированного управления;
цифровые комплексы технической диагностики;
цифровые системы медицинской диагностики (томографии);
- комплексы автоматизации производственных процессов и
робототехники.
#
Рациональное решение этих задач актуально для научных исследований и практического применения во многих отраслях народного хозяйства.
Диссертация ориентирована на техническое и прикладное назначение и ее математическая часть изложена в стиле, рекомендованном в книге [9]. Микропроцессорная реализация алгоритмов потребовала приведения полученных формул к экономичной вычислительной схеме. В частности, для исключения в алгоритмах операций деления или вычисления стандартных и специальных функций (в МП это требует соответственно в 16 и в 25 раз больше времени вычислений, чем сложение или умножение [14]) все выведенные в работе формулы приводятся, по-возможности, с помощью метода наименьших квадратов к степенным полиномам, вычисляемым по схеме Горнера.
Для оценки точности и времени микропроцессорной реализации алгоритмов потребовалось разработать программный эмулятор МП, как это делалось в работах [22, 23, 25] при проектировании специализированных систем ЦОС.
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)
Для передачи аналоговых сигналов или их обработки на цифровых ЭВМ период tN разбивается на N интервалов, через которые берутся точечные отсчеты. В случае одинаковых интервалов их длина будет T=tN/N (рис.2). Таким образом, сигнал представляется последовательностью дискретных значений, называемой решетчатой функцией. Если спектр сигнала не содержит частот выше max=27cFmax (такой спектр называют финитным), то по теореме отсчетов В.А.Котельникова [50] интервал дискретизации Т может выбираться равным l/2Fmax (частота дискретизации в 2 раза выше максимальной частоты сигнала). Данное правило дает хороший результат при известной фазовой характеристике сигнала [56], когда отсчеты можно выбрать в его экстремальных точках. На рис. 2 видно, что при выбранных без учета фазы по данному правилу точках отсчета в спектр могут не попасть высокочастотные составляющие сигнала, близкие к циклической частоте =1/2Т. Для захвата этих частот надо сдвинуть систему отсчетов ("гребенку Дирака") так, чтобы отсчеты попали на максимумы и минимумы самой высокочастотной гармоники (на рис. 2 примерно на 0,5Т). Если на отрезке наблюдения имеется более одного участка, где имеются составляющие максимальной частоты, к тому же сдвинутые друг от друга по фазе на ±90, то при любом наложении гребенки Дирака ошибки преобразования при равных интервалах будут неустранимы и существенны.
На практике до обработки сигнала фаза не известна, а за Fmax принимают максимальную частоту, которую надо сохранить в спектре сигнала. Можно показать, что при случайном наложении гребенки Дирака на сигнал максимальная ошибка определения амплитуды гармоники Fmax может составлять при выборе T=1/2F ш -100%, при T=l/4Fmax - 29%, а при T=l/8Fmax - 7,5% . Практически частоту дискретизации ff=l/T берут в 3-5 раз больше определенного теоремой Котельникова значения, т.е. принимают fT=(6-10)Fmax или 1=(0,1-0,2) , . Обратим внимание на связь параметров сигнала и спектра (см. рис.2). Время наблюдения сигнала tN определяет дискретность линейчатого спектра fo=l/tN W/2n. Интервал дискретности сигнала Т определяет предельную частоту в спектре fM= 1/2Т (частоту Найквиста). Отсюда следует, что при расширении выборки сигнала линейчатый спектр стремится к сплошному, а уменьшение Т расширяет полосу спектра.
При вычислении спектра полученной таким образом решетчатой функции обычно определяют такое же количество точек линейчатого спектра (в дальнейшем покажем возможность сокращения гармоник спектра почти в 2 раза). Формула (1) с учетом ограниченного количества гармоник примет вид:
Для вычислений в этих формулах в качестве аргументов функции v(t) можно использовать только целые тип, что эквивалентно Т=1 и по существу переводит решение задач в дискретное относительное время. При этом v(t) будет представляться массивом vm , где m=0...N-l. После получения решения результаты переводятся в фактическое время подстановкой t=mT.
По формулам (6) и (7) составлена программа al, приведенная на рис. П.1. Для работы программы задается количество точек отсчета N (п=12), интервал дискретности Т (dt=3) и массив отсчетов v из N значений (последнее 13-е значение, равное v0=20, включено как указание на периодичность функции и в расчетах не используется).
Для конкретности вычислений с целью проверки формул преобразования в большинстве примеров рассматривается одна и та же входная последовательность v(t), взятая из случайной генерации: 20; -20; 0; 127; 150; 105; 37,5; -14; 26,5; 69; 128; 201. Для нее с целью после-дующей сверки с получаемыми результатами с помощью MathCAD [49] получена сплайн-интерполяция F(z), где z изменяется с шагом Т/3 (рис. 3). На малом графике рис. 3 дана линейная интерполяция заданной последовательности.
Из-за особенностей языка (в частности, в Паскале не различаются прописные и строчные буквы, отсутствуют греческие буквы, применяется линейная запись нижних индексов и т.д.), а также из-за довольно протяженного периода формирования данной работы в программах обозначения несколько отличаются от символов, используемых в формулах. Эти отличия несложно установить при анализе программ. Пользователю достаточно знать только обозначения исходных данных и форму выходных результатов. Решение выводится в файл FF, путь к которому указан в операторе assign . В примере выведены 23 строки решения (это связано с тем, что монитор ЭВМ обычно воспроизводит 24 строки), начальная строка вывода определяется параметром (буквой).
Метод коррекции спектра суммой функционального ряда
В главе рассматриваются в основном методы сокращения времени выполнения процедур ЦОС, что крайне важно для микропроцессорных устройств. Сигнальные микропроцессоры [14] обычно применяются на подвижных объектах и требования к их программному обеспечению особенно высокие. Среди этих требований наиболее важное - решение задач в реальном времени. Быстрое преобразование Фурье (БПФ) - весьма распространенный метод ускорения ДПФ. Программы для микропроцессоров (МП) обычно отлаживаются на ЭВМ общего назначения, а затем переписываются в программируемую память контроллеров [14]. В этой главе остановимся на алгоритмах БПФ [6, 28, 29,31], других методах ускорения вычислений и некоторых средствах отладки программного обеспечения для МП [25, 46], необходимых для последующей оценки инструментальной точности и времени вычислений по формулам, полученным в данной работе. При выводе формул будем ориентироваться на разработку процедур, обеспечивающих необходимое быстродействие.
Обычное ДПФ (глава 1, формулы (24)) для вычисления N дискретных значений спектра V(kW) требует N2 комплексных умножений, каждое из которых включает определение 2-х тригонометрических функций, 4-х умножений и 2-х сложений. Формула (24) рассматривается потому, что она является универсальной для прямого и обратного преобразования Фурье и в основном применяется в микропроцессорной обработке сигналов. При большом количестве отсчетов (N 100) ДПФ требует значительного времени, что затрудняет обработку процессов в реальном времени.
При составном N=NiN2-..NM время вычислений можно уменьшить путем замены одномерного массива исходной последовательности vm размера N на многомерный массив с измерениями по осям Ni,N2,...,NM. Наилучший результат достигается в случае, когда N=2R. При этом многократным разбиением исходного массива v(m) на ряды с четными и нечетными номерами m осуществляется так называемый процесс прореживания по времени, в итоге которого процедура ДПФ по ступеням производится над парой значений исходной функции.
Пары для ДПФ можно подбирать последовательным делением массива v(m) пополам, при этом после преобразования составляющие спектра V(k) будут получены не в порядке номеров, что потребует соответствующей их перестановки (это называют прореживанием по частоте). Подобные методы и называют быстрым преобразованием Фурье [6, 52, 55, 60]. На БПФ будет ориентирована разработка аппроксимирующей коррекции спектра в новом методе.
Вариант, когда N=2R, реализуется методом прореживания по времени следующим образом. Представим массив v(m) в виде двух последовательностей из четных и нечетных номеров отсчета
Таким образом, спектр для функции с N отсчетами получен преобразованием Фурье двух функций размером N/2. Это сокращает расчеты в 2 раза (N2/2 комплексных умножений). В свою очередь, последовательности у(т) и х(т) можно снова разделить на четные и нечетные номера и так далее. Когда N=2R, процесс прореживания производится через R=log2N ступеней. Это прореживание сводится к перестановке исходного массива v(m) в двоично-инверсном порядке номеров их элементов, т.е. таким образом, чтобы взаимно переставлялись элементы, у которых двоичные порядковые номера совпадают при зеркальном отображении одного из них. Например, при N=8=23 перестановка будет следующей: Из (27) следует, что значение составляющей спектра при частоте (k+N/2)W получается из тех же компонентов, что и значение составляющей спектра при частоте kW. Граф БПФ с прореживанием по времени для N=8 показан на рис. 10,а. Исходным является переставленный массив v(m). Кружками обозначены двухточечные ДПФ. Некоторые результаты ДПФ корректируются умножением на поворачивающие множители zn= "lwn =coswn-isinwn. Итоговым результатом является массив спектра V(k).
При БПФ потребуется вмест N только NR/2 комплексных умножений. Если обрабатывается N=512 точек, то количество выполняемых операций сокращается примерно в 100 раз.
Вычисление спектра производится с вещественнми значениями, среди которых наиболее трудоемкими по времени получения являются sinkw и coskw (в цифровых сигнальных процессорах время определения тригонометрических функций примерно в 25 раз больше времени сложения или умножения [14]). Сокращение времени вычислений спектра можно получить за счет использования рекуррентных соотношений для определения тригонометрических функций.
Определение формул коррекции ограниченного спектра
Передаточная функция такого звена Ф(р)=Ф(ісо)= 1/(іют+1)=(1 --ісот)/((ал:)2+1), где х - постоянная времени. Для упрощения примем т==1 мс, а частоты будем брать в кГц. В дискретном виде 0(kW)=ck+idkj где ck=l/(k2W2 +1); dk=-kW/(k2W2+l). Следовательно, процедура фильтрации будет следующей. Получаем с помощью БПФ спектр V(kW)=ak-ibk для исходной последовательности. Затем по формуле свертки (22) корректируем спектр: ak=akck+bkdk; bk=bkck-akdk на участке частот от 0 до 1/2Т. Для использования обобщенной программы БПФ полученные гармоники спектра симметрично относительно частоты 1/2Т комплексно-сопряженно отображаем на полосу частот от 1/2Т до 1/Т. С помощью обратного БПФ восстанавливаем функцию времени у(т).
Программа ola51 БПФ с фильтром типа инерционного звена дана на рис. П. 15. Исходные данные задаются в ней аналогично ранее рассмотренным программам ola. Входной сигнал задан в виде импульса 16-ю отсчетами: начальное значение 0,10 точек по 100, 5 нулевых точек. Собственно фильтрация путем определения по формуле (20) коэффициентов спектра выходного сигнала производится сразу после возврата из процедуры прямого БПФ (после bpf(l)). Далее вычисляются амплитуды и фазы составляющих выходного спектра, строится его диаграмма, производится обратное БПФ и выводятся 16 значений выходной последовательности у(т). Результаты решения приведены внизу рис. П. 15. По полученным значениям у(т) видно сглаживание входного импульса, но неопределенность восприятия его фронта и среза (нет функций перехода от 0 к 100 и от 100 к 0), а также колебательность в точках отсчета выходной последовательности затрудняют анализ переходного процесса. В диаграмме спектра наблюдается подавление верхних частот. Как отмечалось ранее, обратное ДПФ позволяет восстановить временной сигнал только в точках, в которых он был задан, т.е. при t=mT, где m - целое. Восстановление по спектру ДПФ исходного сигнала при непрерывном времени дает вне заданных узлов значительное выпучивание (пунктирная линия на рис. 4). Решение проблемы получения спектра, по которому обратным преобразованием Фурье можно найти аппроксимированные (непрерывные) значения искомой функции при произвольном времени на всем отрезке её задания, будет рассмотрено в главах 3-6. Получение аппроксимирующего спектра позволит не только восстанавливать исходные сигналы, но и осуществлять фильтрацию полезных сигналов из помех.
ЭВМ общего назначения производят операции над числами с плавающей запятой, мантисса чисел имеет 11-12 десятичных разрядов (тип real) или 7-8 разрядов (тип single). От количества разрядов мантиссы зависит точность вычислений. Практически системы ЦОС реализуются на специальных микроконтроллерах (МК), числа в которых представляются обычно 8-32 двоичными разрядами, что соответствует мантиссе в 2,5-10 десятичных цифр. К тому же большинство МК работают с числами с фиксированной запятой. Все это надо учитывать при проектировании микропроцессорных систем ЦОС.
В настоящее время наиболее распространенными и недорогими являются 16-тиразрядные микропроцессоры (МП) типа ADSP-21xx [14]. В последнее время появились и МП, работающие с плавающей запятой, среди них выделятся серия TMS-320xxx.
При проектировании систем ЦОС на начальном этапе обычно используют ЭВМ общего назначения, а на завершающей стадии оценку точности и других характеристик производят на макете МК или на его программном эмуляторе. Оценку точности можно произвести и теоретически [11,20,61], но более верный результат дает решение конкретных задач при представлении данных в разрядных сетках используемого МК. Рассмотрим вариант исследования ЦОС с помощью эмулятора, как достаточно простой и доступный. При этом будем опираться на разработки [22, 23, 25].
В 16-тиразрядном МП число представляется в двух ячейках: в виде мантиссы f и двоичного порядка е, записываемых в дополнительных кодах. В операциях сложения-вычитания мантисса имеет вид 14-тиразрядного целого числа, старший разряд отведен под знак, а предыдущий - под признак переполнения ф (при переполнении он не равен знаковому разряду). В операциях умножения мантисса представляется 15-тиразрядной правильной нормализованной дробью (0,5 f l) с одним знаковым разрядом. Двоичный порядок является целым показателем степени двух, умножением на которую можно получить значение числа (например, х=2 ). Сложение и умножение в МП выполняются за один рабочий цикл (в современных МП за 1-60 не). В программах следует избегать деления, так как оно требуют примерно 16 рабочих циклов.
На рис. П. 16 представлена программа БПФ olamp, которая по существу повторяет программу olal (рис. П.10) с использованием модуля эмулятора процессора обработки сигналов (eposl на рис. П. 17). Для расчетов взята последовательность из N=512 отсчетов с интервалом между ними dt=0,125 мс (МП часто работает с частотой дискретизации 8 кГц).
Программный модуль eposl включает 7 процедур, имитирующих выполнение основных операций в разрядной сетке МП: 1) х2у(х,у) обеспечивает вычисление х=х-2у; 2) nn(f,e) -нормализация (число имеет 2 знаковых разряда) перед запоминанием и операциями +; 3) dd(f,e) - денормализация (число с одним знаковым разрядом) перед операцией х ; 4) mm(f,e) - восстановление числа с исключением порядка; 5) xpy(m,p,l,q,f,e,t) - сложение f-2e=m-2p+l-2q ; t=t+l; 6) xmy(m,p,l,q,f,e,t) - умножение f-2e=m-l-2p+4 ; t=t+l; 7) xdy(m,p,l,q,f,e,t) - деление f-2c=m/l-2p"q; t=t+l 6; 8) vc(y,f,e) - преобразование вещественного числа у в формат МП. После всех операций производится нормализация результата. В программе olamp исключено построение спектра, а вывод результата обратного БПФ сделан каждого 16-го значения (решение приведено на рис. П. 18, где v(t) - значение входного сигнала; u(t) - действительная и мнимая составляющие восстановленного сигнала в одно и то же время t). Из сопоставления с исходными данными установлено, что для рассматриваемого сигнала точность двойного преобразования Фурье на МП будет не хуже 1% (абсолютная ошибка не превышает 1), а мнимая часть остается нулевой. При необходимости контроля производительности (времени решения задачи) системы ЦОС в модуль эмулятора включен счетчик времени вычислений. Заметим, что решение приведенной выше задачи потребовало 53236 циклов, что на МК с рабочей частотой 16,67 МГц составит менее 2 мс. В МП типа TMS-320C80, имеющих быстродействие порядка 2 млрд операций в сек., прямое решение такой задачи потребует около 0,05 мс.
Применение метода к исследованию нелинейных систем
В устройствах хранения, преобразования, передачи и обработки цифровых данных частоты дискретизации fr=l/T, где Т - интервал между отсчетами, могут не только не совпадать, но и существенно отличаться. В [58] приведены данные по частотам дискретизации систем ЦОС широкого назначения. Так, оборудование телецентров работает с fT=48 кГц, в каналах передачи используется ff=32 кГц, в аудиоустрой-ствах стандартными являются ff==22,05 и 11,025 кГц, а нестандартными fr=5 или 4,4 кГц. В лазерных устройствах принята fr=44,l кГц. В системах 60-канальной связи стандартная fr=576 кГц для передачи преобразуется в частоту 512 кГц. АЦП и ЦАП микроконтроллеров могут работать с частотами ff=8 или 16 кГц. В специализированных комплексах ЦОС часто приходится сопрягать узлы с разными частотами дискретности.
Следовательно, получение значений обрабатываемых сигналов в произвольные моменты времени и преобразование частот дискретизации в системах ЦОС является актуальной задачей. Особенно это важно для систем, работающих с импульсными сигналами (телеметрия, радиолокация, робототехника и т.п.). Цифровая обработка протяженных сигналов с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ) вообще является проблемой, так как нет правил перехода по уровням (например, от 0 к 1 и от 1 к 0).
Кроме этого, в системах телеметрии (в частности, в импульсных дальномерах [16-19]) сигналы поступают с переменными интервалами, зависящими от значений измеряемых параметров. Интервалы могут быть нерегулярными на выходе аналого-цифрового преобразователя [1, 8]. Равные интервалы между отсчетами обеспечиваются задержкой их выдачи, что приводит к соответствующим ошибкам. Нерегулярность может возникнуть и при случайных потерях импульсов, нарушении работы системы синхронизации или изменении задержки отсчетов в каналах дискретизации.
В устройтвах цифрового управления моменты съёма выходных данных с МП могут быть вообще нерегулярными (асинхронными). Нерегулярность времяимпульсных управляющих сигналов присуща робо-тотехническим комплексам [5]. В системах телеметрии, в технической и медицинской диагностике ступенчатость и волнистость (явление Гиббса) воспроизводимых графиков нарушают восприятие информации и могут привести к ошибочным выводам. Отсюда возникает необходимость спектрального анализа дискретных сигналов с переменными интервалами и гармонического синтеза по дискретным спектрам значений аналоговых сигналов в произвольные моменты времени без накопления в буфере выходных значений в точках отсчета и этапа интерполяции.
Важно отметить, что дискретность входного сигнала в системах автоматического управления существенно снижает их устойчивость. В этом нетрудно убедиться, если в характеристическом уравнении непрерывной системы W(p)=0 сделать замену p=2s/(2-sT) и применить критерий Рауса-Гурвица [17-19]. В этих работах определено, что автоматическая следящая система с одним интегратором, абсолютно устойчивая в аналоговом варианте, при интервале Т дискретности поступления входных сигналов теряет устойчивость при коэффициенте усиления К 2/Т. Отсюда следует, что для расширения области устойчивой работы автоматических систем необходимо уменьшать интервалы подачи входных сигналов.
На практике обычно используется преобразование сигналов с кратными частотами дискретизации [6, 60-62]. Получение решетчатой функции с увеличенной частотой дискретизации называют интерполяцией, а устройство, реализующее этот процесс, - экспандером. Уменьшение частоты дискретизации называется децимацией, а соответствующее устройство - компрессором. Устройства, в которых эти частоты кратны, являются достаточно простыми. Один из способов интерполяции состоит в добавлении между линиями спектра L-1 нулевых точек, что приводит к увеличению fT в L раз. Децимацию можно получить выделением из решетчатой функции каждого L-ro отсчета. Сокращение объёма памяти сохраняемых данных (компрессия) требует разработки правил отсчетов с неравномерными интервалами и в то же время обеспечивающими необходимую точность восстановления сигналов.
Случаи, когда исходные и требуемые точки отсчета не совпадают, являются более сложными. Здесь требуется вводить коррекцию в спектральный анализ (в преобразование Фурье). Один из способов состоит в переходе от решетчатых функций к непрерывным путем соединения дискретных отсчетов интерполяционными зависимостями. Из работ, посвященных решению такой задачи, следует отметить [11], в которой рассмотрены многие способы интерполяции исходной функции v(mT), где Т - интервал дискретизации, a m =0...N-1, с целью численного преобразования Фурье для восстановления v(t) при любом t В этих работах получены первичные формулы преобразования Фурье для многих типов интерполяционных представлений и дана теоретическая оценка точности получаемых спектров. В этой книге решение такой задачи отнесено к разряду проблем.
В данной работе было констатировано, что при различного рода интерполяциях дискретный сигнал становится непрерывным и полученный от него бесконечный спектр без его ограничения по частоте и дополнительного уточнения практически не может использоваться из-за невысокой точности.
Статья [63] и книга [8], хотя и рассматривают нерегулярную дискретизацию, но решаемые в них задачи носят характер иного направления. В 1-й работе определяется правило отсчетов для узкополосного сигнала, модулированного по амплитуде и фазе. Во 2-й работе исследуется методами теории массового обслуживания процессы обработки серий импульсов с нерегулярными интервалами. Задача решается во временной области и сводится к интерполяции и экстраполяции выходных сигналов между отсчетами. Аналогичным образом эта задача решается в[1].
Похожие диссертации на Метод линейно-аппроксимирующей цифровой обработки сигналов в информационно-измерительных системах
